IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć: b>0 X a,b a>0 b>0 X a,b a>0 X a,b b 0 a>0 X a,b 2. (8 pkt.) Niech R R := {f : R R}. Udowodnić, że relacja zdefiniowana następująco: dla f, g R R, f g f = g (x 0 (0, 1)) (x (0, 1)) (x x 0 f(x) < g(x)) jest relacją częściowego porządku. Niech X = {f R R f(x) = x 1 n, n N \ {0}}. Określić zbiór X dolnych ograniczeń zbioru X. Podać, jeśli istnieje, infx. Jeśli nie istnieje, uzasadnić dlaczego.
3. (8 pkt.) Niech R := R \ {0}. Dana jest funkcja f : R R R R, f(a, b) := ( a, b a2 b 2 ). Czy funkcja f jest "na"? Odp. uzasadnić. Naszkicować zbiór f[a], dla A = {(a, 1) a R}. Znaleźć zbiór f 1 [{(1, 0)}]. 4. (8 pkt.) Niech Q[x] = {a 0 + a 1 x +... + a n x n a i Q, n N} będzie zbiorem wielomianów jednej zmiennej o wymiernych współczynnikach. Dla f, g Q[x] definiujemy relację następująco: f g p Q[x] f(x) g(x) = x 2 p(x). Pokazać, że jest relacją równoważności. Znaleźć klasę abstrakcji wielomianu f(x) = x. Jakiej mocy jest ta klasa? Odp. uzasadnić.
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10.. 5. 6. 7. 8.. 5. (8 pkt.) Przy pomocy wyłącznie symboli logicznych, kwantyfikatorów (tylko nieograniczonych), zmiennych przebiegających zbiór a) liczb rzeczywistych b) liczb naturalnych oraz znaków podanych w nawiasach zapisać wyrażenie: a) Istnieje funkcja liniowa, która w każdym przedziale domkniętym przyjmuje wartości mniejsze lub równe a. (, +,, a) b) Nie każda liczba naturalna nieparzysta jest podzielna przez 3. (, +, =, 1) 6. (6 pkt.) Niech f : A B będzie funkcją i niech Y B. Podać definicję zbioru f 1 [Y ]. Niech {B i : i I} będzie dowolną rodziną podzbiorów zbioru B. Wyjaśnić (z uzasadnieniem), jaka zależność zachodzi między zbiorami: f 1 [ i I B i] oraz i I f 1 [B i ].
7. (7 pkt.) Opisać konstrukcję zbioru liczb całkowitych. Podać definicje dodawania i odejmowania w zbiorze liczb całkowitych. Podać dowód poprawności definicji dodawania. 8. (7 pkt.) Sformułować i udowodnić Twierdzenie Cantora o zbiorze potęgowym. Czy (i dlaczego) istnieją zbiory nieprzeliczalne o mocy innej niż continuum?
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x a) 2 + (y 1 a )2 b 2 } dla a, b R, a 0, b > 0. Wyznaczyć: a>0 X a,b b>0 a>0 X a,b b>0 X a,b a 0 b>0 X a,b 2. (8 pkt.) Niech R R := {f : R R}. Udowodnić, że relacja zdefiniowana następująco: dla f, g R R, f g f = g (x 0 (0, 1)) (x (0, 1)) (x 0 x f(x) < g(x)) jest relacją częściowego porządku. Niech X = {f R R f(x) = x n, n N}. Określić zbiór X górnych ograniczeń zbioru X. Podać, jeśli istnieje, supx. Jeśli nie istnieje, uzasadnić dlaczego.
3. (8 pkt.) Niech R + := {x R x > 0}. Dana jest funkcja f : R R R R, f(x, y) := (xy, x + y 1 ). Czy funkcja f jest "1-1"? Odp. uzasadnić. Naszkicować zbiór f[a], dla A = {(1, y) y R}. Znaleźć zbiór f 1 [{(x, 1) x R + }]. 4. (8 pkt.) Niech R[x] = {a 0 + a 1 x +... + a n x n a i R, n N} będzie zbiorem wielomianów jednej zmiennej o rzeczywistych współczynnikach. Dla f, g R[x] definiujemy relację następująco: f g p R[x] f(x) g(x) = xp(x). Pokazać, że jest relacją równoważności. Znaleźć klasę abstrakcji wielomianu f(x) = 1. Jakiej mocy jest zbiór ilorazowy R[x]/? Odp. uzasadnić.
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10.. 5. 6. 7. 8.. 5. (8 pkt.) Przy pomocy wyłącznie symboli logicznych, kwantyfikatorów (tylko nieograniczonych), zmiennych przebiegających zbiór a) liczb naturalnych b) liczb rzeczywistych oraz znaków podanych w nawiasach zapisać wyrażenie: a) Istnieje liczba naturalna większa od b, której kwadrat jest liczbą parzystą. (, +, =,, b) b) Dowolna funkcja stała jest ograniczona z dołu w pewnym przedziale otwartym. (,, +, =) 6. (6 pkt.) Niech R X X będzie relacją równoważności. Podać definicję klasy abstrakcji relacji R. Podać i udowodnić co najmniej trzy własności klas abstrakcji relacji równoważności.
7. (7 pkt.) Skonstruować zbiór liczb naturalnych. Podać definicje dodawania i mnożenia w zbiorze liczb naturalnych. Udowodnić, na podstawie definicji łączność dodawania liczb naturalnych. 8. (7 pkt.) Sformułować i udowodnić twierdzenie o liczności podzbiorów zbioru przeliczalnego. Czy (i dlaczego) nieskończony zbiór co najwyżej przeliczalny jest przeliczalny?