Opis krzywych w przestrzeni 3D Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH
Krzywe Beziera W przypadku tych krzywych wektory styczne w punkach końcowych są określane bezpośrednio przez dwa punkt pośrednie, które nie leżą na krzywej. Wektory styczne początkowy i końcowy są określane przez wektory P 1 P 2 i P 3 P 4 i są związane z R 1 i R 2 zależnościami: R 1 = 3Q 0 = 3 P 2 P 1 R 4 = 3Q 1 = 3 P 4 P 3
Krzywe Beziera Przy tworzeniu krzywych Beziera wykorzystujących wielomiany trzeciego stopnia często korzysta się z faktu, ze proste przechodzące przez punkty: początkowy i następujący po nim końcowy i poprzedzający go są prostymi stycznymi do krzywej. Odcinki łączące punkt początkowy i następujący po nim oraz punkt końcowy i poprzedzający go często nazywa się kierownicami
Relacja pomiędzy macierzami geometrii Hermite a i Beziera Krzywa Beziera interpoluje więc dwa końcowe punkty kontrolne i aproksymuje dwa pozostałe. Macierz geometrii Beziera wygląda następująco: G B = P 1, P 2, P 3, P 4 Aby krzywe były identyczne bez względu na reprezentację musi zachodzić warunek: G H = P 1, P 4, R 1, R 4 = P 1, P 2, P 3, P 4 M HB Macierz M HB jest maciertzą łączącą reprezentacje Hermite a i Beziera.
Relacja pomiędzy macierzami geometrii Hermite a i Beziera Stąd: P 1 = P 1, P 2, P 3, P 4 1, 0, 0, 0 T P 4 = P 1, P 2, P 3, P 4 0 0, 0, 1 T R 1 = 3 P 2 P 1 = P 1, P 2, P 3, P 4 3, 3, 0, 0 T R 4 = 3 P 4 P 3 = P 1, P 2, P 3, P 4 T 0, 0, 3, 3, Równania te można zastąpić jednym macierzowym z macierzą M HB o rozmiarze 4 4: G H = G B M HB = P 1, P 2, P 3, P 4 0 0 3 0 0 0 0 3 1 0 3 0 0 1 0 3
Relacja pomiędzy macierzami geometrii Hermite a i Beziera W celu znalezienia macierzy bazowej Beziera M B korzystamy z równania: Q t = x t, y t, z t T = G H M H T dla postaci Hermite a i podstawiamy G H = G B M HB Stąd Q t = G H M H T = G B M HB M H T = G B M HB M H T = G B M B T przy czym: M B = M HB M H
Relacja pomiędzy macierzami geometrii Hermite a i Beziera Wykonując mnożenie: M B = M HB M H = 1 3 3 1 3 6 3 0 3 3 0 0 1 0 0 0 Zatem krzywa Beziera jest opisana równaniem: Q t = G B M B T = = 1 t 3 P 1 + 3t 1 t 2 P 2 + 3t 2 1 t P 3 + t 3 P 4 Cztery wielomiany 1 t 3, 3t 1 t 2, 3t 2 1 t oraz t 3, które są wagami powyższego równania są nazywane wielomianami Bersteina.
Wielomiany Bernsteina Wielomiany Bernsteina są funkcjami wagowymi krzywych Beziera
Łączenie krzywych Beziera Dwie krzywe Beziera łączące się w punkcie P4. Punkty P3, P4, P5 są współliniowe
Łączenie krzywych Beziera Jeżeli segment lewy oznaczymy przez x l a prawy przez x r to warunki dla ciągłości C 0 i C 1 w punkcie połączenia są następujące: x l 1 = x r 0 dx l dt 1 = dxr 0 dt Stąd dla współrzędnej x otrzymamy x l 1 = x r 0 = P 4x dx l dt 1 = 3 P 4 x P 3x dx r dt 0 = 3 P 5x P 4x
Krzywe Beziera Typowe krzywe Beziera wraz z łamaną łączącą punkty charakterystyczne
Krzywe Beziera Konstrukcja punktu należącego do płaskiej krzywej Beziera
Rzutowaniem ośrodkowe współrzędne jednorodne krzywe wymierne Wybierzmy punkt, w którym prosta l = c ( - wektor w przestrzeni d+1- wymiarowej ) przebija sferę jednostkową S d+1 w przestrzeni euklidesowej E d+1. Zauważmy, że S d+1 jest rozmaitością d+1-wymiarową, czyli jej punkty można zidentyfikować za pomocą d+1 parametrów na rysunku d = 2). Ograniczmy naszą uwagę do kierunku wektora, pomijając jego długość dwa współliniowe wektory i c (c 0) są uważane za równoważne.
Rzutowaniem ośrodkowe współrzędne jednorodne Jeśli dobierzemy taką wartość c, dla której ostatni składnik c jest równy 1, to otrzymamy punkt, w którym prosta l przebija hiperpłaszczyznę x d+1 = 1 (rysunek pokazuje tę sytuację dla d = 2). Taką wzajemną odpowiedniość nazywamy rzutowaniem ośrodkowym (o środku w początku układu współrzędnych E d+1 ). Zauważmy, że hiperpłaszczyzna x d+1 = 1 sama jest przestrzenią E d o współrzędnych x 1,, x d. Tak więc zinterpretowaliśmy przyłożony do początku układu współrzędnych E d+1 wektor 1,, d, d+1 przy czym d+1 0 jako punkt x 1,, x d przestrzeni E d taki, że x j = j / d+1.
Rzutowaniem ośrodkowe współrzędne jednorodne Jeśli zapiszemy punkt za pomocą (d+1) składowych wektora, otrzymamy klasyczny zapis punktu we współrzędnych jednorodnych, które umożliwiają zapisanie punktów w nieskończoności przy zgodzie na d+1 = 0. Liczne pakiety graficzne i procesory wyświetlania korzystają ze współrzędnych i przekształceń jednorodnych. We współrzędnych jednorodnych rozważamy więc trzecią współrzędną. Dowolny punkt określony parą liczb (x, y) we współrzędnych jednorodnych jest dany przez trójkę (x, y, w).
Rzutowaniem ośrodkowe współrzędne jednorodne Jeżeli współrzędna w jest różna od zera, to (x, y, w) reprezentuje we współrzędnych jednorodnych ten sam punkt co (x/ w, y/w, 1) położony na płaszczyźnie x 3 = 1. Wtedy liczby x/w i y/w są nazywane współrzędnymi kartezjańskimi punktu jednorodnego. Tak więc jeżeli w = 1, to pierwsze dwie współrzędne są współrzędnymi kartezjańskimi Trójki współrzędnych na ogół reprezentują punkty w przestrzeni trójwymiarowej, tutaj natomiast używamy ich do reprezentowania punktów w przestrzeni dwuwymiarowej. Punkty jednorodne tworzą płaszczyznę zdefiniowaną równaniem w = 1 w przestrzeni (x, y, w).
Wymierne krzywe Beziera Wymierna krzywa Béziera to krzywa zdefiniowana we współrzędnych jednorodnych. Podczas gdy krzywa Béziera jest krzywą wielomianową, tzn. jej współrzędne opisują wielomiany, to współrzędne krzywej wymiernej są opisywane przez wyrażenia wymierne. Najczęściej stosuje się wymierne krzywe Beziera będące rezultatem rzutu środkowego wielomianowej krzywej Béziera na płaszczyznę: W = 1
Krzywe Beziera Jeśli wielomianowa krzywa Béziera zostanie określona we współrzędnych jednorodnych, w przestrzeni k + 1 wymiarowej, to do jej opisu potrzebne jest k + 1 wielomianów Dowolny punkt krzywej wielomianowej (wielomian dowolnego stopnia) jest dany jako P(t) = x t, y t, z t, w t Po przejściu na współrzędne kartezjańskie powstaje wymierna krzywa Béziera opisywana przez k wyrażeń wymiernych: x t y t z t p t =,, w t w t w t, Jeśli w t = const to krzywa wymierna jest wielomianowa - mówiąc nieformalnie wymierne krzywe wielomianowe, to specjalny przypadek krzywych wymiernych
Wymierne krzywe Beziera Dowolny punkt krzywej wymiernej jest dany jako: p t = i=0 n w i P i B n i t i=0 n w i B n ; t 0, 1 i t n pomniejszona o 1 liczba punktów kontrolnych (punkty kontrolne liczone są od zera p 0,, p n ) p i i-ty punkt kontrolny w i waga i-tego punktu kontrolnego (dowolna liczba rzeczywista) jeśli w = 0 punkt kontrolny nie jest brany pod uwagę B n i wielomiany bazowe Bernsteina Punkt p(t) można także wyznaczyć obliczając współrzędne punktu P(t) w przestrzeni jednorodnej, a następnie przejść na współrzędne kartezjańskie
Cechy wymiernej krzywej Beziera Krzywa ma nieskończenie wiele reprezentacji we współrzędnych jednorodnych. Konstrukcja krzywej jest niezmiennicza względem przekształceń afinicznych, tzn. krzywa wyznaczona z przekształconych punktów kontrolnych jest taka sama jak krzywa po tym przekształceniu. Jeśli wszystkie wagi są równe i niezerowe, to krzywa jest wielomianowa. Jeśli wszystkie wagi są niezerowe i tego samego znaku, to krzywa spełnia własność otoczki wypukłej, tzn. punkt p(t) leży w otoczce wypukłej punktów kontrolnych. Przemnożenie wszystkich wag przez tę samą liczbę różną od zera nie zmienia krzywej.
Cechy wymiernej krzywej Beziera Ponadto w stosunku do krzywych wielomianowych, wymierne krzywe Béziera mają następujące zalety: mogą reprezentować wszystkie krzywe stożkowe (co ma znaczenie w zastosowaniach CAD), rzut perspektywiczny krzywej wymiernej jest zawsze krzywą wymierną, podczas gdy rzut perspektywiczny krzywej wielomianowej nie musi być krzywą wielomianową (ma to ogromne znaczenie w grafice komputerowej), wagi w i pozwalają na lepszą kontrolę nad kształtem krzywej.
Krzywe stożkowe Jeśli dane są trzy niewspółliniowe punkty kontrolne krzywej p 0, p 1, p 2 i wagi w 0 = w 2 = 1, to waga w 1 określa rodzaj krzywej: w 1 > 1 łuk hiperboli w 1 = 1 łuk paraboli 0 < w 1 < 1 krótszy łuk elipsy lub okręgu w 1 = 0 sparametryzowany odcinek pomiędzy p 0 i p 2 1 < w 1 < 0 dłuższy łuk elipsy lub okręgu w 1 = 1 dwa łuki paraboli w 1 < 1 dwa łuki hiperboli
Krzywe stożkowe Okrąg zbudowany z dwóch krzywych tworzących dłuższy i krótszy łuk okręgu (po lewej); czterech krzywych tworzących cztery krótsze łuki okręgu (po prawej)
Algorytm de Casteljau Algorytm de Casteljau opracowany przez Paula de Casteljau pozwala na wyznaczenie punktów na wielomianowej krzywej Béziera, czyli obliczanie wartości wielomianów w bazie wielomianów Bernstaina. Dana jest dowolna łamana zdefiniowana przez n + 1 wierzchołków oraz liczba t 0, 1. Każdy odcinek łamanej jest dzielony w stosunku t/(1 t), czego wynikiem jest n wierzchołków, które wyznaczają nową łamaną. p 0 0 0 0 0 0 p 1 1 1 1 0 p 1 p 1 p p n 1 n 1 0 n 0 p 2 p 2 p 2 2 p 1 2 p p, 1 3 p( t),, p, n 1 p n
Algorytm de Casteljau Proces powtarzany jest do chwili, aż zostanie jeden punkt p(t), co wymaga wykonania n kroków. Ostatecznie otrzymuje się n + 1 ciągów punktów (indeks górny oznacza krok algorytmu): Punkt p t n leży na krzywej Béziera, której łamaną kontrolną tworzą wyjściowe punkty. Wykonując algorytm dla wielu t z przedziału 0,1 otrzymywane są punkty krzywej Béziera. p 0 0 0 0 0 0 p 1 1 1 1 0 p 1 p 1 p p n 1 n 1 0 n 0 p 2 p 2 p 2 2 p 1 2 p p, 1 3 p( t),, p, n 1 p n
Algorytm de Casteljau p 2 2 p 1 2
Algorytm de Casteljau Za pomocą algorytmu de Casteljau można również: Wyznaczyć punkty kontrolne dwóch krzywych, tak aby połączyć je z zadaną ciągłością geometryczną krzywa B- sklejana. Podzielić krzywą na dwie krzywe w punkcie p(t). Łamane kontrolne są wyznaczane przez punkty leżące na brzegach przedstawionego trójkąta punktów - łamaną kontrolną pierwszej krzywej opisują punkty: p 0 0, p 0 1, p 0 2,, p 0 n 1, p 0 n a drugą: p 0 n, p 1 n 1, p 2 n 2,, p n 1 n 1, p 0 Obie krzywe są tego samego stopnia co dzielona krzywa.
Dopasowanie krzywych do zbioru punktów Znak przedstawiony w postaci cyfrowej Oryginalny kształt, dopasowana krzywa i punkty kontrolne Beziera
Naturalne krzywe sklejane trzeciego stopnia Opisane na zbiorze n punktów kontrolnych mają dwie zasadnicze wady: Zmiana położenia jednego z nich wymaga obliczenia współczynników dla całej krzywej W tym celu należy rozwiązać układ n + 1 równań liniowych
Jednorodne nieułamkowe krzywe B- sklejane Krzywe B-sklejane nazwa użyta przez kreślarzy w odniesieniu do długiej elastycznej taśmy używanej do rysowania powierzchni samolotów, samochodów i statków. Matematyczny odpowiednik takich taśm krzywa sklejana trzeciego stopnia to wielomian trzeciego stopnia z ciągłością C 0, C 1 i C 2 Angielska nazwa krzywych B-sklejanych (B-spline) jest skrótem od basis spline function. Krzywe B-sklejane trzeciego stopnia aproksymują ciąg m + 1 punktów kontrolnych P 0, P 1,, P m, przy czym m > 3, krzywą składającą się z m 2 segmentów krzywych wielomianowych trzeciego stopnia oznaczanych zazwyczaj Q 3, Q 4,, Q m.
Krzywe sklejane Krzywa B-sklejana z segmentami: Q3 Q9
Krzywe B-sklejane Każdy z m 2 segmentów krzywej B-sklejanej jest określony przez cztery z m + 1 punktów kontrolnych. Segment Q i jest określony przez punkty P i 3, P i 2, P i 1 oraz P i. Stąd macierz geometrii krzywej B-sklejanej dla segmentu Q i jest dana w postaci G B Si = P i 3, P i 2, P i 1, P i, ; 3 i m
Krzywe B-sklejane Krzywa B-sklejana z przemieszczającym się punktem P4
Krzywe B-sklejane Jeżeli T i definujemy w postaci wektora kolumnowego, to i ty segment krzywej B- sklejanej można opisać następująco: Q t i = G B Si M B ST i T i = t t 3 i, t t 2 i, t t i, 1 t i t t i+1 Wektory kierunkowe dla końców segmentu są identyczne jak dla funkcji Beziera R 1 = Q 0 = 3 P 2 P 1 R 4 = Q 1 = 3 P 4 P 3
Krzywe B-sklejane Macierz bazowa krzywej B-sklejanej M BS wiąże geometryczne ograniczenia G BS z funkcjami bazowymi i współczynnikami wielomianu: M BS = 1 6 1 3 3 1 3 6 3 0 3 0 3 0 1 4 1 0
Krzywe B-sklejane Funkcje bazowe B BS jednorodnej krzywej B-sklejanej są identyczne dla każdego z przedziałów parametru t i zmieniają się od 0 dla t i do 1 dla t i+1 Ma to miejsce wtedy, gdy zastąpimy t t i przez t i przedział t i, t i+1 przez przedział 0, 1 B Bs = M Bs T = B Bs 3, B Bs 2, B Bs 1, B Bs T = = 1 6 t3 + 3t 2 3t + 1, 3t 3 6t 2 + 4, 3t 3 + 3t 2 + 3t + 1, t 3 T = = 1 6 1 + t 3, 3t 3 6t 2 + 4, 3t 3 + 3t 2 + 3t + 1, t 3 T 0 t 1
Krzywe B-sklejane Zastępując t t i przez t przy drugim znaku równości w poniższej równości otrzymujemy: t = t t i Q t t i = G Bsi M Bs T i = G Bsi M Bs T = G Bsi B Bs = = P i 3 B Bs 3 + P i 2 B Bs 2 + P i 1 B Bs 1 + P i B Bs = = 1+t 3 6 P i 3 + 3t3 +6t 2 +4 6 P i 2 + 3t3 +3t 2 +3t+1 6 P i 1 + t3 6 P i 0 t 1
Funkcje bazowe jednorodnej nieułamkowej funkcji B-sklejanej Cztery funkcje bazowe krzywej sklejanej. Dla t = 0 i dla t = 1 trzy funkcje są różne od zera. B Bs 3 = 1 6 1 + t 3 B Bs 2 = 1 6 3t3 6t 2 + 4 B Bs 1 = 1 6 3t3 + 3t 2 + 3t + 1 B Bs = 1 6 t3 0 t 1
Krzywe B-sklejane Można wykazać, że Q i i Q i+1 mają ciągłości C 0, C 1 i C 2 w punkcie łączenia, co jest dużą zaletą, ale usztywnia krzywą Można powielać punkty kontrolne nadając krzywej giętkości Powielając jakiś punkt kierujemy krzywą w jego stronę Jeżeli punkt kontrolny jest używany trzy razy, np. jeżeli P i 2 = P i 1 = P to poprzednie równanie przyjmuje postać: Q i t = B BS 3 P i 3 + B BS 2, B BS 1, B BS P i
Krzywe B-sklejane Wpływ wielokrotnych punktów kontrolnych na jednorodną krzywą sklejaną.
Niejednorodne nieułamkowe krzywe B-sklejane Dla niejednorodnych krzywych B-sklejanych przedział parametru między kolejnymi wartościami węzłowymi nie musi być równomierny funkcje tworzące są różne dla segmentów Zalety: Możliwość redukcji ciągłości z C 2 do C 1 i dalej do C 0 albo do braku ciągłości dla C 0 krzywa interpoluje pierwszy punkt kontrolny, ale segmenty otaczające punkt nie muszą być odcinkami linii prostej Łatwo zmienić kształt krzywej niejednorodnej poprzez dodanie dodatkowego węzła i punktu kontrolnego
Niejednorodne nieułamkowe krzywe B-sklejane Segment Q i krzywej jest określany przez punkty kontrolne P i 3, P i 2, P i 1, P i oraz przez funkcje bazowe B i 3,4 t, B i 2,4 t, B i 1,4 t, B i,4 t, jako suma ważona Q t = P i 3 B i 3,4 t + P i 2 B i 2,4 t + +P i 1 B i 1,4 t + P i B i,4 t 3 i m 0 t 1
Niejednorodne nieułamkowe krzywe B-sklejane Dla krzywej niejednorodnej funkcje bazowe i-tego rzędu muszą być określane rekurencyjnie wg. wzoru Mansfielda-de Boora-Coxa): B i,0 t = 1, u i t u i+1 0 B i,1 t = t u i B u i+1 u i,0 t + u i+2 t B i u i+2 u i+1,0 t i+1 B i,2 t = t u i B u i+1 u i,1 t + u i+2 t B i u i+2 u i+1,1 t i+1 B i,3 t = t u i B u i+2 u i,2 t + u i+3 t B i u i+3 u i+1,2 t i+1 B i,4 t = t u i B u i+3 u i,3 t + u i+4 t B i u i+4 u i+1,3 t i+1
NURBS: Non-Uniform Rational B-Splines Wyjaśnienie wyrażeń w angielskiej nazwie: B-spline krzywe NURBS to krzywe B-sklejane, a więc parametryczne krzywe, które są złożone z wycinków krzywych wielomianowych. Rational krzywe wymierne, ponieważ zdefiniowano je we współrzędnych jednorodnych- po przejściu na współrzędne kartezjańskie otrzymuje się funkcje wielomianowe gdy W = const. Rzecz ma się dokładnie tak samo jak w przypadku wymiernych krzywych Béziera. Non-uniform cecha krzywej B- sklejanej: węzły krzywej nie muszą być rozmieszczone równomiernie.
NURBS funkcje bazowe
NURBS Na kształt krzywej NURBS wpływają następujące elementy: punkty kontrolne p 0,, p m n 1 węzły u 0,, u m dzielące przedział zmienności t 0,1 na m 1 podprzedziałów wagi punktów kontrolnych w 0,, w m n 1 (liczby rzeczywiste) określające wpływ każdego z punktów kontrolnych na krzywą; n stopień sklejanych wielomianów. Dowolny punkt na krzywej dany jest wzorem: p t = i=0 m n 1 w i p i B n i t m n 1 w i B n i t i=0, t u n, u m n gdzie B i n (t) jest unormowaną bazową funkcją B-sklejaną.
NURBS Krzywe NURBS dla n = 3 określone na tych samych punktach kontrolnych górny rysunek - kontrola kształtu poprzez zmianę wartości węzłów - na osiach liczbowych zaznaczono rozkład węzłów) dolny rysunek - kontrola kształtu poprzez zmianę wagi punktu P 2
Niejednorodne ułamkowe wielomianowe krzywe trzeciego stopnia Ogólnie segmenty ułamkowej krzywej trzeciego stopnia są stosunkami wielomianów parametrycznych w jednorownym układzie współrzędnych x t = x j(t) w(t) y t = y j(t) w(t) z t = z j(t) w(t)
Niejednorodne ułamkowe segmenty wielomianowej krzywej trzeciego stopnia Zalety: niezmiennicze względem przekształceń elementarnych: skalowanie, obrót, przesunięcie dodatkowo względem perspektywy punktów kontrolnych inne krzywe nie są niezmiennicze w stosunku do perspektywy Mogą definiować dowolny przekrój stożka krzywe nieułamkowe mogą tylko aproksymować krzywe stożkowe.