V. Równanie przewodnictwa cieplnego

SPIS TREŚCI 1 V. Równanie przewodnictwa cieplnego Spis treści 1 Konstrukcja rozwiązania 2 2 Wykorzystanie transformaty Fouriera do konstrukcji rozwiązania 7 3 Zasada maksimum i jej konsekwencje 1 4 Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego 14 5 Przypadek ograniczonej dziedziny dla zmiennych przestrzennych 16 6 Dygresja probabilistyczna 2

1 Konstrukcja rozwiązania 2 Rozważmy zagdanienie początkowe Cauchy ego u t = x u dla x, t >, u = φ dla x, t =. (1) Zakładamy, że funkcja φ (poczatkowy rozkłąd temperatury) jest ograniczona i ciągła na. Rozwiązaniem zagadnienia (1) nazywamy funkcję u, która należy do przestrzeni C 2 ( (, + )) C ( [, + )) i spełnia warunki z (1), tzn. u jest ciągła na półprzestrzeni domkniętej, a jej obcięcie do półprzestrzeni otwartej jest funkcją klasy C 2. 1 Konstrukcja rozwiązania Dla x, t > określmy funkcję: E(x, t) = 1 2 n (πt) n 2 exp ( x 2 ). Lemat 1.1. Funkcja E ma nstępujace własności: 1. Rn E(x, t) dx =1dla każdego t > ; 2. lim t R ψ(x)e(x, t) dx = ψ() dla każdej funkcji ψ C 1 n ( ) (C 1 ( ) jest podzbiorem C 1 ( ) złożonym z tych funkcji, których nośniki są zbiorami zwartymi zawartmi w ); 3. E t = x E w (, ). Dowód. Niech y i = x i 2,dlai =1,2,...,n. Otrzymujemy wtedy t ( ) 1 E(x, t) dx = exp x 2 1 dx = (2 t) n exp( y 2 n (πt) n 2 2 n (πt) n 2 R 2 ) dy = n

1 Konstrukcja rozwiązania 3 = 2n t n 2 2 n (πt) n 2 e y 2 y 2 = y 2 1 + y 2 2 +... + y 2 n dy = 1 π n 2 e y 2 dy caki iterowane {}}{ = e y 2 = e y 2 1 e y 2 2... e y 2 n {}}{ = co dowodzi pierwszej własności. n i=1 1 π R e y 2 i dy i = n i=1 1 π π =1, Weźmy teraz dowolne ψ C 1(Rn ). Wtedy istnieje stała K (z tw. o wartości średniej =sup y ψ(y) )) taka, że ψ(x) ψ() K x dla x. Zatem możemy napisać z jednej strony ψ() = ψ() 1=ψ() E(x, t) dx = ψ()e(x, t) dx, a z drugiej strony ( ) R ψ() E(x, t)ψ(x) dx R = E(x, t)(ψ(x) ψ()) dx K exp x 2 x dx = n 2 n (πt) n 2 x=2y t {}}{ = K 2 n (πt) n 2 przy t, co daje własność drugą. (2 t) n (2 t) e y 2 y dy = K t e y 2 y dy skoczona caka {}}{ = K t Aby wykazać własność trzecią, zdefiniujmy Ẽ =2n π n 2 E. Wtedy ( ) Ẽ = t n 2 exp x 2, imamykolejno Ẽ t = n ( ) ( n 2 t 2 1 exp x 2 + t n2 exp ( Ẽ xi = t n 2 exp Ẽ xi x i = t n 2 exp ( Stąd ( ) Ẽ t x Ẽ = t n 2 exp x 2 ( ) = t n 2 exp x 2 a jednocześnie czyli zachodzi własność trzecia. ) x 2 [ n 2 [ n 2 1 ) x 2 2t + n t ] 1 t + x 2 2 1 t + x 2 2 2 exp ( n i=1 n i=1 x 2 x i 2t, x 2 ) ) x 2 2, ( ) xi 2. 2t ( ) [ t n 2 exp x 2 ] ( 1 ) 2t Ẽ t x Ẽ =2 n π n 2 (Et x E), n i=1 x 2 i 2 1 2t + x i 2 2 =, ] +

1 Konstrukcja rozwiązania 4 Wprowadźmy teraz nową przestrzeń funkcyjną L ( ),tzw.przestrzeń funkcji istotnie ograniczonych na,tzn. f L ( ) sup f (x) < dla µ( \ Ω) =, x Ω gdzie µ jest miarą Lebesque a. Oznacza to, że sup f (x) < prawie wszędzie na. Oznacza to również, że funkcje są określone prawie wszędzie na, przy czym utożsamaimy ze sobą każde dwie funkcje f i g, jeślif = g prawie wszędzie na. W przestrzeni tej wprowadzamy normę f := essup x f (x) =inf{k > : f (x) K p.w. w } Możemy teraz sformułować twierdzenie. Twierdzenie 1.1. (o postaci rozwiązania) Jeśli φ C ( ) L ( ),to Rn φ(y)e(x y, t) dy dla t >, u(x, t) = φ(x) dla t = (2) jestfunkcjąciągłąna [, + ), klasyc na (, + ) i spełnia zagadnienie Cauchy ego (1). Uwaga 1.1. Całkę w powyższym wzorze, tzn. u(x, t) = Rn φ(y)e(x y, t) dy dla t > nazywa się splotem i oznacza symbolem φ E i odtąd będziemy dalej pisali u = φ E, mając na myśli ten wzór. Dowód. Dowód twierdzenia. Na podstawie lematu 1.1 wnioskujemy, że całka jest dobrze określona, a ponadto mamy u(x, t) φ(y) E(x y, t) dy φ E(x y, t) dy =

1 Konstrukcja rozwiązania 5 = φ E(x y, t) dy = φ 1= φ dla t > i u(x, t) φ dla t =. Ponadto funkcja podcałkowa zależy od (x, t) w sposób gładki, a ze względu na szybko gasnący czynnik exp ( ) x 2, który uzbieżnia całkę, można pod znakiem całki wykonać różniczkowanie dowolną ilość razy (sprawdzić to!), czyli u C ( (, )). Pozostaje sprawdzić ciągłość u w punktach postaci (a,),gdziea, czyli wykazać, że u(x, t) u(a,)=φ(a) dla (x, t) (a,). Ponieważ φ jest ciągłe, ograniczymy się do przypadku t. Mamy więc z jednej strony φ(a) =φ(a) 1=φ(a) E(x y, t) dy = φ(a)e(x y, t) dy, a z drugiej strony u(x, t) φ(a) φ(y) φ(a) E(x y, t) dy = φ(x z) φ(a) E(z, t) dz = = φ(x z) φ(a) E(z, t) dz + φ(x z) φ(a) E(z, t) dz = I 1 + I 2 z δ z >δ Szacujemy I 1 : Weźmy ɛ> i δ dobierzmy tak, by φ(ξ) φ(a) < ɛ dla ξ a < 2δ. Wtedy dla x a <δi 2 z <δmamy (x z) a < 2δ, więc φ(x z) φ(a) ɛ. Stąd 2 ɛ I 1 z δ 2 E(z, t) dz ɛ 2 1= ɛ 2. Szacujemy I 2 : 2 φ I 2 z >δ z >δ 1 =2 φ 2 n t n 2 n (πt) n 2 2 φ(x z) E(z, t) dz + E(z, t) dz =2 φ y > δ 2 t z >δ 1 2 n (πt) n 2 z >δ exp( y 2 ) dy = 2 φ π n 2 φ(a) E(z, t) dz ( ) exp z 2 z=2 ty, dz=2 n t n 2 dy {}}{ dz = exp( y 2 ) dy. y > δ 2 t

1 Konstrukcja rozwiązania 6 Ponieważ ostatnia całka jest zbieżna po całym i e y 2 jest funkcją klasy L 1 ( ),todladostatecznie małego t + ta całka zbiega do (całkujemy po zewnętrzu kuli o r ). Zatem I 2 przy t +, więc możemy napisać I 2 ɛ 2. Z tych dwóch oszacowań wynika, że jeśli (x, t) (a,),to u(x, t) u(x,) = u(x, t) φ(a) <ɛ. Na koniec mamy jeszcze u(x,)=φ(x) z definicji, a spełnienie równania u t = x u dla t > wynika z ostatniej własności w lemacie 1.1 Z rozważań tych widać, że zagadnienie Cauchy ego dla równania przewodnictwa cieplnego zawsze ma przynajmniej jedno rozwiązanie i jest ono klasy C. Przypomnijmy tutaj, że dla równań falowych rozwiązanie było jedynie klasy C 2 i potrzebne były mocniejsze założenia o danych początkowych. Ponadto uzyskaliśmy oszacowanie u(x, t) φ, ale łatwo zauważyć, że u(x, t) sup φ, co oznacza fizycznie, że w żadnym punkcie i w żadnej chwili temperatura nie może być większa niż maksymalna temperatura w chwili początkowej. Zauważmy dodatkowo, że jeśli φ jest nieujemną funkcją ciągłą o zwartym nośniku i φ> wpewnej kuli B, to dla dowolnego t > i dowolnego x,mamy u(x, t) = φ(y)e(x y, t) dy B φ(y)e(x y, t) dy > (bo funkcja podcałkowa jest dodatnia). Nierównośc ta zachodzi nawet dla bardzo małych t > i nawet dla tych x, które leżą bardzo daleko od nośnika φ (tzn. od miejsca, gdzie na początku nie ma mrozu ). Zatem równanie u t x u =przewiduje, że ciepło rozprzestrzenia się z nieskończona prędkością! Z punktu widzenia fizyka jest to poważna wada tego modelu, więc w zastosowaniach rozpatruje się bardziej zawiłe równania nieliniowe, dla których prędkość propagacji zaburzeń jest skończona.

2 Wykorzystanie transformaty Fouriera do konstrukcji rozwiązania 7 2 Wykorzystanie transformaty Fouriera do konstrukcji rozwiązania Skąd się wzięła funkcja E, służąca do konstrukcji rozwiązania? Rachunki wykonane w poprzednim paragrafie są wprawdzie elementarne, ale nie są oczywiste. Funkcja E pojawia się znikąd. Jeśli jednak umie się wykorzystać transformatę Fouriera, to postać rozwiązania można uzyskać bezpośrednio (przy okazji dostając postać funkcji E). Niemniej jednak, ponieważ ten wykład nie jest poświęcony teorii transformaty, więc ograniczymy się tutaj tylko do niezbędnego minimum - wszystkie rachunki będą przedstawione niezbyt rygorystycznie. Określmy najpierw transformatę. Jeśli f jest ciągłą całkowalną funkcją, to transformata Fouriera funkcji f jest zdefiniowana formułą: F[f ](ω) = 1 2π f (x)e iωx dx, gdzie i jest liczbą urojoną. Aby skrócić ten może nieco przydługi zapis będziemy pisać: F[f ]=ˆf. Tak określona transformata posiada następujące własności: F jest przekształceniem różnowartościowym i na, zatem można je odwrócić. Przekształcenie odwrotne F 1 [f ] będziemy krótko oznaczać symbolem ˇf. Jeśli f znika w ±, to całkując przez części, dostajemy F[f x ](ω) = 1 2π f x (x)e iωx dx = 1 2π f (x)e iωx + iω 2π f (x)e iωx dx = iωf[f ](ω). Jeśli również pochodne f względem x znikają w ±, to całkując dwa razy przez części, dostajemy F[f xx ](ω) = ω 2 F[f ](ω). Widzimy więc, że transformata przekształca różniczkowanie do prostszej postaci - mnożenia transformaty przez liczbę. Przypomnijmy teraz, że jeśli f i g są dwiema całkowalnymi funkcjami takimi, że f (x)g(y x) jest całkowalne dla dowolnego y, to splotem tych dwóch funkcji nazywamy (f g)(y) = f (x)g(y x) dx = f (y x)g(x) dx.

2 Wykorzystanie transformaty Fouriera do konstrukcji rozwiązania 8 Jak przy różniczkowaniu, transformata Fouriera przekształca splot do prostszej operacji, mianowicie algebraicznego mnożenia transformat Fouriera dwóch funkcji. Istotnie, policzmy: F[f g](ω) = 1 ( ) f (x)g(y x) dx e iωy dy = 2π = 1 2π = 1 2π ( ) f (x) g(y x)e iωy dy dx = f (x)e iωx ( ) g(y x)e iω(y x) dy dx = y x=z {}}{ = ( 1 2π f (x)e iωx 1 dx 2π 2π = 2πF[f ](ω)f[g](ω). ) g(z)e iωz dz = Stąd oczywiście F 1 [ˆf ĝ] = 1 2π f g. Ostatnią własnością transformaty Fouriera, której potrzebujemy, jest transformata Fouriera funkcji e ax 2, a >. Policzmy w tym celu F[e ax 2 ](ω) = 1 2π e ax 2 e iωx dx = e ω 2 4a 2π ( ax+ ) 2 e iω ax=t 2 a {}}{ dx = e ω 2 4a 2πa ( ) 2 e t+ iω 2 a dt. Ostatnia całka wygląda podobnie do całki e p2 dp, która jest równa π, ale mamy w niej zmienną zespoloną, a nie rzeczywistą. Nie wiemy, czy obie całki sa równe. Aby się o tym przekonać rozważmy następującą całkę I R = dz, γ R e z 2 gdzie z jest zmienną zespoloną i γ R obiega prostokąt o bokach zbudowanych z dwóch poziomych odcinków: części osi rzeczywistej R < t < R, częścit + iω 2 i dwóch pionowych odcinków: z = a ±R + it dla < t < ω 2,gdzieR jest liczbą całkowitą. Obieganie prostokąta przebiega w kierunku a przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (brzeg prostokąta jest dodatnio zorientowany).

2 Wykorzystanie transformaty Fouriera do konstrukcji rozwiązania 9 Ponieważ z e z 2 jest funkcją całkowitą (zobacz [7]), to z twierdzenia Cauchy ego dla prostokąta mamy z jednej strony, że =I R, a z drugiej strony, wykonując elemeentarne rachunki, mamy =I R = R R e t2 dt Następnie zauważmy, że ω 2 a e (±R+it)2 dt R R ω 2 a ( ) 2 e t+ iω 2 ω a 2 dt a e R2 e ±2iRt e t2 dt e R 2 e ( R+it)2 dt + ω 2 a ω 2 a e (R+it)2 dt. (3) 1 dt = e ω R R2 2 {}}{, a bo e t2 1 i e ±2iRt =1. Przechodząc w (3) do granicy przy R dostajemy ( ) 2 = e t2 dt e t+ iω 2 a dt, co daje równość całek po prawej stronie, więc w efekcie ( ) 2 e t+ iω 2 a dt = π. Stąd ostatecznie istądrównież F[e ax 2 ](ω) = e ω 2 4a 2πa ( ) 2 e t+ iω 2 a dt = F 1 [e aω2 ](x) = 1 2a e x2 4a. ω2 e 4a e ω 2 4a π = 2πa 2a Po tych wstępach rozważmy jednowymiarowy problem u t = u xx dla x R, t >, u = φ dla x R, t =. Zastosujemy transformatę Fouriera do obu równań w tym układzie. Dostaniemy wtedy z pierwszego kolejno F[u t ](ω) = 1 2π u t (x, t)e iωx dx = 1 u(x, t)e iωx dx = 2π t t F[u](ω), F[u xx ](ω) = ω 2 F[u](ω), czyli t F[u](ω) =F[u xx](ω),

3 Zasada maksimum i jej konsekwencje 1 a to oznacza, że û t = ω 2 û,czyliû t + ω 2 û =dla ω R, t >. Natomiast z drugiej równości dostajemy Zbierając te wyniki razem, mamy û(ω,)= ˆφ(ω). û t + ω 2 û =, û(ω,)= ˆφ(ω). Pierwsze równanie jest równaniem I rzędu o rozdzielonych zmiennych, czyli jego rozwiązanie jest postaci û(ω, t) =C(ω)e ω2 t i z warunku początkowego C(ω) = ˆφ(ω), więcmamy û(ω, t) = ˆφ(ω)e ω2t. Aby mieć więc teraz rozwiązanie na u, należy zapisać u = F 1 [û], czyli = 1 2 πt φ e x 2 = 1 2 πt dla t >, w przypadku jednowymiarowym. u(x, t) =F 1 [ ˆφ(ω)e ω2t ]= 2πF 1 [ ˆφ] F 1 [e ω2t ]= e (x y)2 φ(y) dy = φ(y)e(x y, t) dy 3 Zasada maksimum i jej konsekwencje W rozdziale tym spróbujemy odpowiedzieć na pytanie, czy rozwiązanie równania przewodnictwa cieplnego jest jednoznaczne. Lemat 3.1. (Słaba zasada maksimum) Niech Ω T := (, T ). Załóżmy,żeu C 2 (Ω T ) C ( Ω T ) L (Ω T ) spełnia w Ω T u t = x u.wtedy równanie sup (x,t) Ω T u(x, t) = sup x u(x,) (4)

3 Zasada maksimum i jej konsekwencje 11 Dowód. Niech M := sup u, N := sup u. Ω T {} Wtedy oczywiście M N. Przypuśćmy zatem, że teza jest fałszywa i M > N. Weźmyɛ>, ɛ< 1 (M N). Z definicji kresu górnego wynika, że istnieje taki punkt (a, t 3 ) Ω T, że u(a, t ) > N +3ɛ dla t < T. Rozpatrzmy funkcję w(x, t) =u(x, t) α(2nt + x 2 ), α>. Ustalmy następnie α> na tyle małe, by w(a, t ) > N +2ɛ. Mamy wtedy w(x, t) M α x 2 N dla x 2 M N. (5) α Oznaczmy R = x izałóżmy,żea B(, R) (w razie potrzeby powiększamy R). Z definicji w wynika, że Ponadto różniczkując w, dostajemy kolejno: w(x,)=u(x,) α x 2. (6) w t = u t 2αn, x w = x u 2αn, więc w t = x w. Niech teraz K bedzie walcem B(, R) [, T 1 ], gdzie T 1 (t, T ) i niech Σ:=(B(, R) {}) ( B(, R) [, T 1 ]) oznacza sumę dolnego denka i powierzchni bocznej walca K. Wtedy z (5) i (6) wynika, że sup w N. Σ Połóżmy h(x, t) =w(x, t)+β x 2. Jeśli β jest dostatecznie małą liczbą dodatnią, to sup h N + ɛ. Σ Funkcja h : K R osiąga swój kres górny. Ponieważ h(a, t ) w(a, t ) > N +2ɛ, toalboh osiaga kres górny w pewnym punkcie wnętrza K, albonagórnymdenkub(, R) {T 1 } (na zbiorze Σ jej wartości są zbyt małe). W pierwszym przypadku w punkcie maksimum lokalnego mamy h t = w t =, x h (z warunku koniecznego i warunku wystarczajacego maksimum), a stąd x w = x h 2nβ <=w t,

3 Zasada maksimum i jej konsekwencje 12 co przeczy temu, że w spełnia równanie przewodnictwa cieplnego. W drugim przypadku rozumujemy podobnie, z jedna różnicą: mamy tylko h t = w t, ale to i tak wystarczy, by (jak poprzednio) uzyskać sprzeczność. Lemat 3.2. (Słaba zasada minimum) Niech Ω T := (, T ). Załóżmy,żeu C 2 (Ω T ) C ( Ω T ) L (Ω T ) spełnia w Ω T u t = x u.wtedy równanie inf u(x, t) = inf u(x,). (7) (x,t) Ω T x Rn Dowód. Wystarczy do tezy lematu o słabej zasadzie maksimum podstawić u wmiejsceu (jeśli u jest rozwiązaniem, to u też). Twierdzenie 3.1. Rozwiązanie zagadnienia Cauchy ego u t = x u dla x, t >, u = φ dla x, t =, φ C ( ) L ( ) istnieje, jest funkcją gładką i jest jednoznaczne w klasie tych u C 2 ( (, )) C (,[, )), które spełniają warunek T >, sup u < + (8) [,T ] Dowód. Dowodu wymaga tylko jednoznaczność, ale wystarczy zastosować lemat o słabej zasadzie maksimum do różnicy dwóch rozwiązań.

3 Zasada maksimum i jej konsekwencje 13 Uwaga 3.1. W istocie jednoznaczność można udowodnić przy nieco słabszych założeniach, tzn. wystarczy przyjąć, że dla dowolnego T > istnieją stałe C T, α T > takie, że u(x, t) C T exp ( α T x 2) dla (x, t) [, T ]. Jeśli nie zakłada się nic prócz gładkości rozwiązań (tzn. nie narzuca się żadnych ograniczeń na wzrost u dla x ), to wtedy jednoznaczności rozwiązań nie ma. (Przykładpodał Tichonow, np. w T. Körner: Fourier Analysis ). Tak naprawdę zagadnienie Cauchy ego ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale każde z nich oprócz funkcji u rośnie bardzo szybko dla x. Zasada maksimum pozwala również uzyskać stabilność rozwiązania zagadnienia Cauchy ego (czyli jedną z cech zagadnienia dobrze postawionego), mówiącą o tym, że mała zmiana danych początkowych implikuje małą zmianę rozwiązania. Twierdzenie 3.2. Niech u 1, u 2 oznaczają dwa rozwiązania zagadnienia Cauchy ego z danymi φ 1, φ 2 odpowiednio. Wtedy dla dowolnego T > zachodzi sup u 1 (x, t) u 2 (x, t) =sup φ 1 (x) φ 2 (x). (x,t) Ω T x Dowód. Z założenia wynika, że różnica u 1 u 2 spełnia zagadnienie Cauchy ego z warunkiem φ = φ 1 φ 2.Z zasady maksimum dostajemy sup (x,t) Ω T u 1 (x, t) u 2 (x, t) =sup x u 1 (x,) u 2 (x,) =sup x φ 1 (x) φ 2 (x).

4 Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego 14 4 Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego Rozważmy zagadnienie u t = x u + h dla x, t >, u = φ dla x, t =. (9) Zakładamy, że φ jest ciągła i ograniczona na,ah jest ciągła i ograniczona na [, ). Jak w przypadku poprzednich równań niejednorodnych, rozwiązania poszukamy w postaci sumy u = v + w, gdziev i w spełniają odpowiednio: v t = x v dla x, t >, v = φ dla x, t =, w t = x w + h dla x, t >, w = dla x, t =. (1) Wiemy już, jak znaleźć v. Wystarczy przyjąć v = φ E. Zdefiniujmy teraz funkcję t w(x, t) := h(y, s)e(x y, t s) dyds. (11) Sprawdzimy, że w spełnia równanie w t x w = h dla t >. Zatemdlat > policzymy kolejne pochodne. t w t (x, t) = h(y, s)e t (x y, t s) dyds + lim τ h(y, t)e(x y, τ) dy = lemat 1.1 {}}{ t = h(y, s)e t (x y, t s) dyds + h(x, t). Dalej t x w(x, t) = h(y, s) x E(x y, t s) dyds, więc w t (x, t) x w(x, t) = t t = h(y, s)e t (x y, t s) dyds + h(x, t) h(y, s) x E(x y, t s) dyds = t lemat 1.1 {}}{ = h(x, t)+ h(y, s)(e t (x y, t s) x E(x y, t s)) dyds = h(x, t) +=h(x, t) dla t >, x. Wystarczy sprawdzić jeszcze, że w określone równaniem (11) jest funkcją ciągłą w punktach {}. Policzmy zatem t w(x, t) w(x,) = w(x, t) = h(y, s)e(x y, t s) dyds

4 Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego 15 t lemat 1.1 {}}{ sup h E(x y, t s) dyds = t sup h przy t. Dostajemy stąd natychmiast lemat. Lemat 4.1. Funkcja w określona równaniem (11) jest rozwiązaniem drugiego zagadnienia w (1). Pozostaje pytanie, skąd w ogóle wzięła się postać w w (11)? Możemy tutaj również stosować zasadę Duhamela i rozważać funkcję t w(x, t) = w(x, t s, s) ds, która spełnia w t x w = h, w(x,)=, o ile w(x, t, s) jest rozwiązaniem zagadnienia w t = x w dla x, t >, w(x,,s) = h(x, s) dla x, t = s. Istotnie, w(x,)= jest oczywiste, a różniczkując w = w(x, t), dostajemy kolejno: Stąd w t (x, t) =w(x,,t)+ t x w(x, t) = w t (x, t s, s) ds = h(x, t)+ t x w(x, t s, s) ds. w t (x, t) x w(x, t) =h(x, t) t w t (x, t s, s) ds, dla wszystkich x, t. A więc, jak w przypadku równania falowego, tutaj też wystarczy rozwiązać nieskończoną rodzinę zagadnień Cauchy ego dla powyższego jednorodnego równania przewodnictwa cieplnego, indeksowaną parametrem s. Jej rozwiązaniem jest w(x, t, s) = h(y, s)e(x y, t) dy, czyli w(x, t s, s) = h(y, s)e(x y, t s) dy i stąd dostajemy w(x, t) := t h(y, s)e(x y, t s) dyds,

5 Przypadek ograniczonej dziedziny dla zmiennych przestrzennych 16 czyli postać (11). Możemy zatem przedstawić ogólną postać rozwiązania równania niejednorodnego jako: u(x, t) = φ(y)e(x y, t) dy + t h(y, s)e(x y, t s) dyds. Uwaga 4.1. Jednoznaczność rozwiązania zagadnienia (9) w klasie funkcji opisanej w twierdzeniu 3.1, tzn. w klasie takich funkcji u, żeu C 2 ( (, )) C (,[, )), które spełniają warunek (8), wynika natychmiast z jednoznaczności rozwiązań dla h. Stabilność natomiast wynika z faktu, że u 1 u 2 spełnia zagadnienie Cauchy ego z funkcjami h i φ = φ 1 φ 2. 5 Przypadek ograniczonej dziedziny dla zmiennych przestrzennych Niech Ω będzie teraz ograniczonym otwartym podzbiorem, a Ω T =Ω (, T ) dla pewnego T > bedzie dziedziną przestrzenno-czasową. Wprowadźmy następujace oznaczenia: Ω T = { (x, t) : x Ω, t T }, Γ T = ( Ω ) {t =} ( Ω [, T ]). Jak poprzednio, rozważać będziemy równanie u t = x u. (12) Możemy sformułować, jak poprzednio, słabą własność maksimum i minimum. Różnica jest taka, że nie jest nam teraz potrzebne żadne ograniczenie na wzrost funkcji u.

5 Przypadek ograniczonej dziedziny dla zmiennych przestrzennych 17 Lemat 5.1. (Słaba zasada maksimum (minimum)) Załóżmy, że u C 2 (Ω T ) C ( Ω T ) spełnia w Ω T równanie (12). Wtedy max u(x, t) = max u(x, t). (13) (x,t) Ω T (x,t) Γ T Jeśli max zastąpimy przez min, to uzyskamy słabą zasadę minimum. Dowód. Dowód można przeprowadzić podobnie, jak poprzednio (jest nawet łatwiejszy, bo zbiór jest ograniczony, więc funkcja w osiąga minimum (maksimum))- zostawiam, to jako ćwiczenie. Lemat 5.2. (Mocna zasada maksimum (minimum)) Załóżmy, że u C 2 (Ω T ) C ( Ω T ) spełnia w Ω T równanie (12). Wtedy, jeśli Ω jest zbiorem spójnym i istnieje punkt (x, t ) Ω T taki że u(x, t )=max (x,t) ΩT u(x, t), to u jest stała w Ω t. Jeśli max zastąpimy przez min, to uzyskamy mocną zasadę minimum. Lemat ten mówi, że jeśli u osiąga swą wartość największą (albo najmniejszą) w punkcie wewnętrznym, to dla wszystkich mniejszych t funkcja u jest stała. Dowód. W dowodzie tego twierdzenia wykorzystywać będziemy tzw. własność wartości średniej dla równania przewodnictwa cieplnego. Mówi ona tyle, że jeśli u C 2 (Ω T ) C ( Ω T ) spełnia w Ω T równanie (12), to u(x, t) = 1 x y 2 u(y, s) dyds (14) 4r n Ê(x,t;r) (t s) 2 dla każdego Ê(x, t; r) Ω T,gdzie Ê(x, t; r) := { (y, s) +1 : s t, E(x y, t s) 1 } r n dla ustalonych x, t R i r >. Zbiór Ê(x, t; r) nazywany jest czasem kulą cieplną (por. [8]). Zauważmy, że punkt (x, t) znajduje się na brzegu kuli cieplnej. Dowód równości (14) omijamy, można go znaleźć w [8] na str. 65-67.

5 Przypadek ograniczonej dziedziny dla zmiennych przestrzennych 18 Kula cieplna Zajmiemy się teraz wykorzystaniem (14) do dowodu mocnej zasady maksimum. Krok1. Przypuśćmy, że istnieje punkt (x, t ) Ω T taki, że u(x, t )=M := max ΩT u. Wtedy dla wszystkich, dostatecznie małych r >, Ê (x, t ; r) Ω T. Zatem z własności wartości średniej dostajemy M = u(x, t )= 1 4r n Ê(x,t ;r) u(y, s) x y 2 dyds (t s) 2 1 4r max x y 2 u(y, s) dyds = M 1=M. n Ω T Ê(x,t ;r) (t s) 2 gdyż 1 y 2 y 2 dyds = dyds =4 r n Ê(,;r) s 2 Ê(,;1) s 2 (rachunki omijamy). Równość (= M) zachodzi tylko wtedy, gdy u jest tożsamościowo równa M we wnętrzu Ê(x, t ; r). Zatem u(y, s) =M

5 Przypadek ograniczonej dziedziny dla zmiennych przestrzennych 19 dla wszystkich (y, s) Ê(x, t ; r). Możemy teraz poprowadzić w Ω T dowolny odcinek L, łączący (x, t ) z jakimś innym punktem (y, s ) Ω T o współrzędnej s < t. Niech r := min {s s : u(x, t) =M dla wszystkich (x, t) L, s t t }. Ponieważ u jest ciągła, więc minimum jest osiągane. Przypuśćmy, że r > s.wtedyu(z, r )=M dla pewnego punktu (z, r ) L Ω T,awięcu M na Ē(z, r ; r) dla dostatecznie małych r >. Dla dostatecznie małego σ>zbiór Ē(z, r ; r) zawiera odcinek L {r σ t t }, więc mamy sprzeczność. Zatem r = s, co oznacza, że u M na L. Krok 2. Ustalmy teraz dowolny punkt x Ω i dowolną chwilę t < t. Istnieją wtedy punkty x, x 1,..., x m = x takie, że odcinki, które w łączą x i 1 z x i, są zawarte w Ω dla i = 1,..., m (ze spójności zbioru Ω). Wybierzmy teraz t > t 1 >... > t m = t. Wtedy odcinki w +1, łączące punkty (x i 1, t i 1 ) z (x i, t i ) dla i = 1,..., m są zawarte w Ω T.Namocykroku1,u M na każdym takim odcinku, a więc u(x, t) =M. Z mocnej zasady maksimum wynika, że jeśli zbiór Ω jest spójny, a u C 2 (Ω T ) C ( Ω T ) spełnia w Ω T zagadnienie początkowo-brzegowe u t = x u + h dla x Ω, t [, T ], u(x, t) = dla x Ω, t [, T ], u(x,) = φ(x) dla x Ω, gdzie φ, tou jest dodatnia wszędzie w Ω T, o ile φ jest dodatnia na pewnym podzbiorze zbioru Ω. Jest to ilustracja tego, że zaburzenia rozchodzą się z nieskończona prędkością. Jak poprzednio, własność maksimum (minimum) stosuje się do udowodnienia jednoznaczności i stabilności rozwiązania zagadnienia początkowo-brzegowego u t = x u + h dla x Ω, t >, u(x, t) = g(t) dla x Ω, t >, (15) u(x,) = φ(x) dla x Ω. Twierdzenie 5.1. (o jednoznaczności) Jeśli Ω jest zbiorem ograniczonym, to istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie u C 2 (Ω T ) C ( Ω T ) zagadnienia (15).

6 Dygresja probabilistyczna 2 Dowód. Gdyby istniały dwa rozwiązania u 1 i u 2,tou = u 1 u 2 spełniałoby (15) z h = φ =,czyliu =na Γ T dla dowolnego T >. Stąd i z zasady maksimum i minimum, mamy = max u(x, t) = max u(x, t) (x,t) Γ T (x,t) Ω T i jednocześnie = min u(x, t) = min u(x, t). (x,t) Γ T (x,t) Ω T Zatem u =na Ω T dla dowolnego T >. Twierdzenie 5.2. (o stabilności) Niech u 1, u 2 oznaczają dwa rozwiązania zagadnienia Cauchy ego z danymi φ 1, φ 2 i g 1, g 2 odpowiednio. Wtedy dla dowolnego T > zachodzi max u 1 (x, t) u 2 (x, t) max φ 1(x) φ 2 (x) + max g 1(x, t) g 2 (x, t). (x,t) Ω T x (x,t) Ω [,T ] Dowód. Z założenia wynika, że różnica u 1 u 2 spełnia zagadnienie Cauchy ego z warunkami h =, g = g 1 g 2, φ = φ 1 φ 2. Z zasady maksimum dostajemy max u 1 (x, t) u 2 (x, t) = max u 1 (x, t) u 2 (x, t) (x,t) Ω T (x,t) Γ T max u 1(x,) u 2 (x,) + max u 1(x, t) u 2 (x, t) = x Ω (x,t) Ω [,T ] =max φ 1(x) φ 2 (x) + max g 1(x, t) g 2 (x, t). x Ω (x,t) Ω [,T ] 6 Dygresja probabilistyczna Wzór (2)narozwiązaniezagadnieniaCauchy egomaciekawą interpretację probabilistyczną. Opiszemy ją krótko w najprostszym przypadku n =1(cytując właściwie [15]).

6 Dygresja probabilistyczna 21 Zauważmy, że funkcja E, służąca do produkowania rozwiązań u z wartości początkowych φ, jest gęstością rozkładu normalnego, tzn. E(z, t) = 1 e z2 4πt jest gęstością rozkładu N(, σ) dla σ = 2t. Weźmy pewną przestrzeń probabilistyczną (Ω, F, P) (gdzie Ω jest zbiorem mierzalnym, F -zbiorem funkcji mierzalnych, P -miarą), i rodzinę zmiennych losowych (W t ) t, indeksowaną nieujemnym parametrem t, który będziemy interpretować jako czas. Załóżmy, że spełnione są następujące warunki: 1. W =z prawdopodobieństwem 1 (tzn. prawie wszędzie na Ω względem miary P). 2. W t ma, dla każdego t >, rozkład normalny N(, σ) zparametremσ = 2t. 3. Jeśli odcinki (s i, t i ) są rozłączne, i = 1,2,...,m, toprzyrostyw ti W si są niezależnymi zmiennymi losowymi (w szczególności dla t > s zmienne W t W s i W s są niezależne). 4. Dla P-prawie wszystkich ω Ω trajektorie t W t (ω) są ciągłymi funkcjami zmiennej t [, + ). Taką rodzinę zmiennych losowych nazywamy ruchem Browna lub procesem Wienera. Różnorodne konstrukcje odpowiedniej przestrzeni probabilistycznej i zmiennych W t można znaleźć w wielu podręcznikach rachunku prawdopodobieństwa. Na wykładzie rachunku prawdopodobieństwa dowodzi się, że jeśli zmienna losowa ξ :Ω Rma rozkład z gęstością g, towówczas g(z)φ(z) dz = φ(ξ(ω))dp(ω) =E(φ(ξ)) R Ω dla φ : R R ciągłych i ograniczonych, gdzie E oznacza wartość oczekiwaną. Zatem, w naszej sytuacji, gdy g = E(, t) jest gęstością odpowiedniego rozkładu normalnego, mamy u(x, t) = R E(z, t)φ(x + z) dz = E(φ(x + W t )). Ten wzór ma nastepującą interpretację: aby określić temperaturę w chwili t w punkcie x, należywypuścić z x ruch Browna, odczekać czas t, złożyć otrzymaną zmienną losową x + W t zpoczątkowym rozkładem temperatury φ i wziąć wartość oczekiwaną. Można przyjmować, że jest to matematyczne uzasadnienie zgodności dwóch modeli zjawiska rozprzestrzeniania się ciepła: modelu w skali makroskopowej (odwołującego się do równania różniczkowego, w którym przyjmujemy, że substancja stanowi jednorodne continuum) i modelu w skali mikro (w którym uznaje się, że powodem przekazywania ciepła są losowe zderzenia wielu cząsteczek, podlegających dyfuzji).

BIBLIOGRAFIA 22 Bibliografia [1] W. I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa 1981. [2] W.I.Arnold,Lectures on Partial Differential Equations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg and PHASIS Moscow 24 (tłumaczenie z rosyjskiego). [3] A. W. Bicadze, Równania fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984. [4] A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zadań z równań fizyki matematycznej, PWN,Warszawa 1984. [5] Birkholc A. Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 22. [6] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Partial Differential Equations, Chapman & Hall, Oxford 1995. [7] J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 199 (lub następne wydania). [8] L. Ewans, Równania różniczkowe czastkowe, PWN, Warszawa 22. [9] Fichtenholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 198. [1] W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982. [11] H. Marcinkowska, Wstep do teorii równań różniczkowych czastkowych, PWN, Warszawa 1972. [12] Ockendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Applied Partial Differential Equations, Oxford University Press, 23. [13] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo -Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1999. [14] B. Przeradzki, Równania różniczkowe czastkowe. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2. [15] P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych czastkowych, WydawnictwoUniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 27. [16] Zauderer, Partial Differential Equations of Applied Mathemathics, John Wiley & Sons, Singapore-New York-Chichester-Brisbane-Toronto 1989.