SPIS TREŚCI 1. Równania II rzędu

Transkrypt

1 SPIS TREŚCI 1 Równania II rzędu Spis treści 1 Równania rzędu drugiego Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego Warunki początkowe Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego Metoda rozdzielania zmiennych Fouriera Szeregi Fouriera - repetytorium do ćwiczenia samodzielnego

2 1 Równania rzędu drugiego 2 1 Równania rzędu drugiego 1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego Zadanie 1.1. Określić typy poniższych równań. a)yu xx u yy =0. Równanie to można sklasyfikować dwiema metodami: za pomoca wyróżnika cześci głównej lub wartości własnych macierzy A oelementachbed acych współczynnikami cześci głównej. Zauważmy najpierw, że równanie to składa sie tylko z cześci głównej. Określmy macierz y Wtedy det(a λi )=(y λ)( 1 λ). Zatem wartościami własnymi sa λ 1 = y i λ 2 = 1. Wynika stad, że równanie jest hiperboliczne, gdy y > 0, eliptyczne dla y < 0 iparaboliczne dlay = 0, x R. Gdybyśmy policzyli natomiast wyróżnik cześci głównej: b 2 ac, to otrzymamy =0 2 y( 1) = y. Widać wiec, że znak zależy tylko od y i otrzymujemy ten sam wynik. b)4u xx +2u yy 6u zz +6u xy +10u xz +4u yz +2u =0. Zauważmy, że cześć główna, to 4u xx +2u yy 6u zz +6u xy +10u xz +4u yz,wiecmacierza ma postać: Wartościamiwłasnymisa rozwiazania równania det(a λi )=0,czyli 4 λ λ 2 =0, λ

3 1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego 3 Równanie to jest wi ec niesklasyfikowane. λ(66 λ 2 )=0, λ 1 =0, λ 2 = 66, λ 3 = 66. Zadanie 1.2. Sprowadzić poniższe równanie do postaci kanonicznej: u xx +2u xy +5u yy 32u =0. Łatwo zauważamy, że wyróżnik cześci głównej = = 1, wiec równanie jest eliptyczne. Równanie charakterystyk Fx 2 +2F xf y +5Fy 2 =0 nie posiada rozwiazań w dziedzinie rzeczywistej, bo = 16Fy 2, alemożemyjerozwiazać w dziedzinie zespolonej. Wtedy funkcja F spełniajaca F x = 2F y ± 4F y i 2 2 =( 1 ± 2i)F y jest funkjca zespolona F = φ + iψ, gdzieφ i ψ sa już rzeczywiste. Dostajemy wiec równanie F x +(1 2i)F y =0, dla którego szukamy zespolonej całki pierwszej układu: x = 1, y = 1 2i. Jest nia F (x, y) =( 1+2i)x + y, czyli φ(x, y) = x + y, ψ(x, y) =2x. Stosujemy wieczamian e zmiennych: ξ = φ(x, y) = x + y, η = ψ(x, y) =2x. Stad mamykolejno u x = v ξ ξ x + v η η x = v ξ ( 1) + v η 2=2v η v ξ, u y = v ξ ξ y + v η η y = v ξ 1+v η 0=v ξ, u xx =2v ηξ ξ x +2v ηη η x v ξξ ξ x v ξη η x = =2v ηξ ( 1) + 2v ηη 2 v ξξ ( 1) v ξη 2=4v ηη + v ξξ 4v ξη, u xy = v ξξ ξ x + v ξη η x = v ξξ ( 1) + v ξη 2=2v ξη v ξξ, u yy = v ξξ ξ y + v ξη η y = v ξξ.

4 1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego 4 Po wstawieniu do równania dostajemy: 4v ηη + v ξξ 4v ξη +2(2v ξη v ξξ )+5v ξξ 32u =0, 4v ξξ +4v ηη 32u =0, v ξξ + v ηη 8v =0 i jest to szukana postać kanoniczna. Zadanie 1.3. Znaleźć najprostsza postać kanoniczna dla równania: u xx 2u xy + u yy +9u x +9u y 9u =0. Ponieważ =0,wiec równanie jest w całej płaszczyźnie paraboliczne. Równaniem charakterystyk jest Fx 2 2F xf y + Fy 2 =0, (F x F y ) 2 =0, F x F y =0. Znajdziemy całke pierwsza układu: x = 1, y = 1. Jest nia φ(x, y) =x + y. Możemy teraz zastosować zamiane zmiennych ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y), gdzie ψ jest dowolna funkcja klasy C 2 owłasności: det φ x ψ x φ y ψ y 0. Możemy wiecwzi ać funkcje ψ(x, y) =x. Wtedy rzeczywiście det φ x φ y 1 1 = = ψ x ψ y

5 1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego 5 Zatem stosujemy zamiane zmiennych: ξ = x + y, η = x. W nowych zmiennych mamy u x = v ξ ξ x + v η η x = v η + v ξ, u y = v ξ ξ y + v η η y = v ξ, u xx =2v ηξ ξ x +2v ηη η x v ξξ ξ x v ξη η x = v ηη + v ξξ +2v ξη, u xy = v ξξ ξ x + v ξη η x = v ξη + v ξξ, u yy = v ξξ ξ y + v ξη η y = v ξξ, wiec równanie przyjmuje postać: v ηη +18v ξ +9v η 9v =0. (1) Jest to oczywiście postać kanoniczna, ale czasami można jeszcze wprowadzić nowa zamiane zmiennych, aby jeszcze bardziej te postać uprościć. Funkcja v przyjać możewtedypostać: v(ξ, η) =e λξ+µη w(ξ, η). Różniczkujemy kolejno: v ξ = e λξ+µη λ w + e λξ+µη w ξ, v η = e λξ+µη µ w + e λξ+µη w η, v ηη = µ 2 e λξ+µη w +2µe λξ+µη w η + e λξ+µη w ηη. Obliczone pochodne wstawiamy do równania (1) i otrzymujemy (po skróceniu przez e λξ+µη ): w ηη +(2µ +9)w η +18w ξ +(µ 2 +18λ +9µ 9)w =0. Należy teraz tak dobrać µ i λ, by jak najwiecej współczynników przy pochodnych czastkowych znikało. Rozwiazuj ac układ równań: 2µ +9=0, µ 2 +18λ +9µ 9=0, dostajemy: Zatem ostatecznie przy podstawieniu µ = 9 2, λ = v(ξ, η) =e 25 2 ξ 9 2 η otrzymujemy: w ηη +18w ξ =0 i to jest najprostsza postać wyjściowego równania.

6 1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego 6 Zadanie 1.4. Sprowadzić poniższe równanie do postaci kanonicznej i znaleźć jego rozwiazanie (o ile sie da): u xx +4cos2xu xy 4sin 2 2xu yy 4sin2xu y =0. Ponieważ wyróżnik > 0 w całej płaszczyźnie, wiec równanie jest hiperboliczne. Równanie charakterystyk: Fx 2 +4cos2xF xf y 4sin 2 2xFy 2 =0 można zapisać w postaci iloczynowej (F x +(2cos2x +2)F y )(F x (2 2cos2x)F y )=0. Wystarczy wiec znaleźć po jednej całce pierwszej dla układów: x = 1, x = 1, y = 2cos2x +2, y = (2 2cos2x). Te całki to: φ(x, y) =y sin 2x 2x i ψ(x, y) =y sin 2x +2x. Możemy zastosować zamiane zmiennych ξ = y sin 2x 2x i η = y sin 2x +2x. W tych nowych zmiennych pochodne czastkowe funkcji u sa nastepuj ace: u x = v ξ ξ x + v η η x = v η (2 2cos2x)+v ξ ( 2 2cos2x), u y = v ξ ξ y + v η η y = v ξ + v η, u xx =(v ξξ ξ x + v ξη η x )( 2 2cos2x)+v ξ (4 sin 2x)+(v ηξ ξ x + v ηη η x )(2 2cos2x)+ +v η (4 sin 2x) =v ξξ (2 + 2 cos 2x) 2 + v ξη ( 8+8cos 2 2x)+ +v ηη (2 2cos2x) 2 + v ξ (4 sin 2x)+v η (4 sin 2x), u yx = v ξξ ξ x + v ξη η x + v ηξ ξ x + v ηη η x = = v ξξ ( 2 2cos2x)+v ξη ( 4cos2x)+v ηη (2 2cos2x), u yy = v ξξ ξ y + v ξη η y + v ηξ ξ y + v ηη η y = v ξξ +2v ξη + v ηη. Po wstawieniu ich do równania i wykonaniu redukcji otrzymujemy prosta postać v ξη =0. Jego rozwiazaniem jest v(ξ, η) =f (ξ)+g(η). Aby v C 2, musi być f, g C 2. Ostatecznie, dowolne rozwiazanie wyjściowego równania ma postać: u(x, y) =f (y sin 2x 2x)+g(y sin 2x +2x).

7 1.2 Warunki początkowe Warunki początkowe Zadanie 1.5. Rozwiazać równanie z warunkami u xx +2cosxu xy sin x u yy sin xu y =0 u(x,sinx) =x +cosx, u y (x,sinx) =sinx. (2) Łatwo sprawdzamy, że równanie jest hiperboliczne, wi ec równanie charakterystyk: F 2 x +2cosxF xf y sin 2 xf 2 y =0 można zapisać w postaci iloczynowej (F x ( cos x 1)F y )(F x ( cos x 1)F y )=0. Wystarczy wi ec znaleźć po jednej całce pierwszej dla układów: x = 1, x = 1, y = cosx +1, y = cosx 1. Te całki to: φ(x, y) =y sin x x i ψ(x, y) =y sin x +x. Możemy zastosować zamiane zmiennych ξ = y sin x x i η = y sin x + x. W tych nowych zmiennych pochodne czastkowe funkcji u sa nastepuj ace: u x = v ξ ( cos x 1) + v η ( cos x +1), u y = v ξ + v η, u xx = v ξξ ( cos x 1) 2 + v ξη 2( 1+cos 2 x)+v ηη ( cos x +1) 2 + v ξ (sin x)+v η (sin x), u yx = v ξξ ( cos x 1) + v ξη ( 2cosx)+v ηη ( cos x +1), u yy = v ξξ +2v ξη + v ηη. Po wstawieniu do równania otrzymujemy v ξη =0, wiec v(ξ, η) =f (ξ)+g(η), gdzie f, g C 2, i po powrocie do zmiennych x, y u(x, y) =f (y sin x x)+g(y sin x + x).

8 1.2 Warunki początkowe 8 Wykorzystamy teraz warunki (2): x +cosx = u(x,sinx) =f (sin x sin x x)+g(sin x sin x + x) =f ( x)+g(x), sin x = u y (x,sinx) =1 f (sin x sin x x)+1 g (sin x sin x + x) =f ( x)+g (x). Dostajemy wi ecukład x +cosx = f ( x)+g(x), sin x = f ( x)+g (x). (3) Po zróżniczkowaniu pierwszego równania tego układu, otrzymujemy nowy z którego wyznaczamy 1 sin x = f ( x)+g (x), sin x = f ( x)+g (x), g (x) = 1 2, f ( x) = 1 2 2sinx. Po scałkowaniu, uzyskujemy poszukiwane funkcje f i g : 1 g(x) = 2 dx = 1 2 x + C 1, C 1 R, f ( x) = ( 1 ) 2 +sinx dx = 1 2 x cos x + C 2, C 2 R. Wykorzystamy teraz pierwsze równanie układu (3), aby wyznaczyć stałe C 1, C 2. Ponieważ f ( x)+g(x) =C 1 + C 2 cos x, wi ec C 1 + C 2 cos x = x +cosx, C 1 + C 2 = x +2cosx. Znalezione funkcje f i g wstawiamy teraz do rozwiazania u : u(x, y) = 1 2 (y sin x x) cos(y sin x x)+c (y sin x + x)+c 1, czyli jest szukana postacia funkcji u. u(x, y) =x + y +2cosx sin x cos(y sin x x)

9 1.2 Warunki początkowe y x Rozwiązanie problemu początkowego Zadanie 1.6. Rozwiazać równanie e y u xy u yy + u y =0 z warunkami poczatkowymi: u(x,0)= 1 2 x 2, (4) u y (x,0)= sin x. (5) Równanie to ma już praktycznie postać kanoniczna. Zatem,byjerozwiazać, wystarczy wykonać podstawienie u y = w. Wtedy dostajemy równanie e y w x w y + w =0, które jest pierwszego rz edu. Znajdziemy wi ec dwie całki pierwsze układu x = e y, y = 1, w = w. Całkujemy drugie równanie, aby uzyskać y(t) = t + A, A R. Uzyskany wynik wstawiamy do pierwszego równania i również całkujemy: x (t) =e t+a,

10 1.2 Warunki początkowe 10 Zotrzymanychx i y rugujemy parametr t: x(t) = e t+a + B, B R. x + e y = B, zatem szukana całka pierwsza jest ψ 1 (x, y, w) =x + e y. Rozwiażmy teraz trzecie równanie układu. Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych, a jego rozwiazaniem jest w(t) =Ce t, C R. Z w i uzyskanego poprzednio x znowu rugujemy parametr t: we y = Ce A, zatem druga całka pierwsza jest ψ 2 (x, y, w) =we y. Rozwiazaniedanejestwi ec w postaci uwikłanej Φ(ψ 1, ψ 2 )=0,czyli Φ(x + e y, we y )=0. Zauważmy, że spełnione sa założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej, wiec czyli we y = f (x + e y ), w = e y f (x + e y ), przy czym o funkcji f należy założyć, że jest klasy C 1. Ponieważ u y = w, to z warunku (5) mamy co daje postać funkcji f (t) = sin(t 1). Stad sin x = u y (x,0)=f (x +1), u y = e y sin(x 1+e y ). Całkujac ten wynik względem zmiennej y, otrzymamy u(x, y) =cos(x 1+e y )+D(x), D C 2. Postać funkcji D możemy wyznaczyć teraz z warunku (4): czyli Ostatecznie rozwiazaniem równania jest 1 2 x 2 = u(x,0)=cosx + D(x), D(x) = 1 2 x 2 cos x. u(x, y) =cos(x 1+e y ) cos x 1 2 x 2.

11 1.3 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego x 4 2 y Rozwiązanie problemu początkowego 1.3 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego 1. Sprowadzić nastȩpuja ce równania do najprostszej postaci kanonicznej: (i) u xx +4u xy +10u yy 24u x +42u y +2(x + y) =0, (ii) 9u xx 6u xy + u yy +10u x 15u y 50u + x 2y =0, (iii) u xx 4u xy +5u yy 3u x + u y + u =0, (iv) u xx 6u xy +9u yy u x +2u y =0, (v) 2u xy 4u yy + u x 2u y + u + x =0, (vi) u xy +2u yy u x +4u y + u =0, (vii) 2u xx +2u xy + u yy +4u x +4u y + u =0, (viii) u xx +2u xy + u yy +3u x 5u y +4u =0, (ix) 2 u +2 2 u 3 2 z +2 u x 2 x y x 2 x +6 u =0, y (x) 2 u 2cosx 2 u (3 + x 2 x y sin2 x) 2 z y u =0, x 2 y (xi) y 2 2 u +2xy 2 u +2x2 2 z + y u =0, x 2 x y x 2 y (xii) tg 2 x 2 u 2ytgx 2 u + y 2 2 z +tg 3 x u =0, x 2 x y x 2 x (xiii) y 2 u + 2 z =0, x 2 x 2 (xiv) x 2 2 u +2xy 2 u 3y 2 2 z 2x u u +4y +16x4 u =0, x 2 x y x 2 x y (xv) (1 + x 2 ) 2 u +(1+y 2 ) 2 z + x u + y u =0, x 2 x 2 x y (xvi) sin x 2 u 2y sin x 2 u + y 2 2 z =0. x 2 x y x 2

12 1.3 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego 12 Pierwsze dziewiȩć równań, to równania o stałych współczynnikach. 2. Znaleźć rozwia zania ogólne równań: (i) 2 u 2sinx 2 u x 2 x y cos2 x 2 z cos x u =0, x 2 y (ii) x 2 u y 2 z + 1( u u )=0, x > 0, y > 0, x 2 x 2 2 x y (iii) x 2 u xx y 2 u yy 2yu y =0, (iv) x 2 u xx 2xyu xy + y 2 u yy + xu x + yu y =0, (v) 2 u (x )=x2 2 z, x x x 2 (vi) (x y) 2 u u + u =0, x y x y (vii) ( ) x 2 2 u +2xy 2 u + y 2 2 z +2yz 2 u + z 2 2 u +2zx 2 u =0, x 2 x y x 2 y z z 2 z x (viii) ( ) 4 u 2 4 u + u =0. x 4 x 2 y 2 y 4 3. Znaleźć obszary hieperboliczności, eliptyczności i paraboliczności, a także ogólne (o ile istnieje) rozwia zanie równań: (i) (1 x 2 )u xx 2xyu yx (1 + y 2 )u yy 2xu x 2yu y =0, (ii) (x 2 1)u xx +2xyu xy +(1+y 2 )u yy +2xu x +2yu y =0. 4. ( ) Pokazać, że ogólne rozwia zanie równania: 1 2 u a 2 t = 2 u 2 x + 2 u 2 x x n(n +1) u x 2 ma postać: ( ) n ( ) 1 u = x n φ(x at)+θ(x + at), x x x gdzie φ i θ sa dowolnymi odpowiednimi (jednej zmiennej, odpowiedniej klasy) funkcjami. 5. Znaleźć ogólne rozwia zanie równania: 2 u x y 2 u x y x + 3 u x y y 3 (x y) u = Rozwia zać nastȩpuja ce zagadnienia Cauchy ego: (i) 4y 2 u xx +2(1 y 2 )u xy u yy 2y (2u 1+y 2 x u y )=0, u(x, y) y=0 = ϕ(x), u y (x, y) y=0 = ψ(x), (ii) u xx 2u xy +4e y =0, u(0, y) =ϕ(y), u x (0, y) =ψ(y), (iii) 3u xx 4u xy + u yy 3u x + u y =0, u(x,0)=ϕ(x), u y (x,0)=ψ(x), (iv) e y u xy u yy + u y =0, u(x,0)= 1x 2, u 2 y (x,0)= sin x, (v) u xx 2sinxu xy (3 + cos x )u yy cos xu y =0, u(x cos x) =sinx, u y (x,cosx) = 1 2 ex,

13 1.3 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego 13 (vi) u xx 2sinxu xy (3+cos 2 x)u yy +u x +(2 sin x cos x)u y =0, u(x,cosx) =0,u y (x,cosx) = e x 2 cos x, (vii) u xx +2 sin xu xy cos 2 xu yy +u x +(sin x+cos x+1)u y =0, u(x, cos x) =1+2sinx, u y (x, cos x) = sin x, (viii) 4y 2 u xx +2(1 y 2 )u xy u yy 2y (2u 1+y 2 x u y )=0, u(x,0)=ϕ 0 (x), u y (x,0)=ϕ 1 (x), (ix) u xx +4sinxu xy 4cos 2 xu yy +2cosxu y =0, u(x, 2cosx) =16x 3, u y (x, 2cosx) =16x. 7. Znaleźć wszystkie charaketrystyki równania drgań struny: u xx u tt =0. 8. Określić powierzchnie charakterystyczne drugiego rzȩdu dla równania drgań membrany: u x1 x 1 + u x2 x 2 u tt =0. 9. Znaleźć wszystkie płaszczyzny charakterystyczne równania falowego: u x1 x 1 + u x2 x 2 + u x3 x 3 u tt = Funkcja u(x, t) o cia głych pochodnych cza stkowych trzeciego rzȩdu jest rozwia zaniem równania Wykazać, że równanie to spełnia także funkcja: u XX u tt =0. v(x, t) = u u x t. 11. Wykazać, że wraz z funkcja u(x, t) rozwia zaniem równania u XX u tt =0 sa i funkcje: (i) xu x + tu t,

14 2 Metoda rozdzielania zmiennych Fouriera 14 (ii) ux 2 + ut 2, u (iii) t, u 2 ux 2 ut 2 x u2 t. 12. Wykazać, że najogólniejsze rozwia zanie równania zależne tylko od r i t ma postać: u x1 x 1 + u x2 x 2 + u x3 x 3 u tt =0 u(r, t) = f 1(r + t) r + f 2(r t), r 0, r gdzie r 2 = x1 2 + x2 2 + x3 2, a f 1 i f 2 sa dowolnymi funkcjami dwukrotnie różniczkowalnymi w sposób cia gły (rozwia zania te nazywamy falami sferycznymi). 2 Metoda rozdzielania zmiennych Fouriera 2.1 Szeregi Fouriera - repetytorium do ćwiczenia samodzielnego 13. Znaleźć szereg Fouriera funkcji 2π-okresowej, która na przedziale π, π) dana jest wzorem f (x) =x. Zbadać jej zbieżność. Obliczyć wartość szeregu dla x = π Znaleźć szereg Fouriera funkcji 2π-okresowej, która na przedziale 0, 2π) jest określona g(x) = ) 2. Zbadać jej zbieżność. ( π x Rozwina ć w szereg Fouriera funkcjȩ f (x) =sin3x na przedziale 0, 2π ). Zbadać zbieżność Funkcjȩ g(x) =sinx przedstawić w postaci sumy szeregu a 0 + n=1 a n cos nx na przedziale (0, π). 17. Co należy założyć o funkcji f :[0,l] R, aby można ja było przedłużyć do funkcji: (i) nieparzystej na przedział [ l, l], anastȩpnie okresowo (o okresie 2l) nar do funkcji klasy C 1, C 2, C k, (ii) parzystej i dalej j.w.

15 BIBLIOGRAFIA Załóżmy, że dana jest funkcja f C p (R) ookresie2a oraz a n = 1 a a a f (t)sin nπ a tdt, b n = 1 a a a f (t)cos nπ a tdt. (i) Wykazać, że: a n A, b n p n B, gdzie A, B sa pewnymistałymi. n p (ii) Wykazać, że szereg b n=1 (a n sin nπ t + b a n cos nπ t) jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na a przedziale ( a, a). Co trzeba założyć o p? (iii) Co trzeba założyć o p, aby szereg z poprzedniego podpunktu był dwukrotnie różniczkowalny wyraz po wyrazie, a tym samym funkcja wyrażona poprzez ten szereg była klasy C 2?Cotrzeba założyć o p, bytafunkcjabyłaklasyc p? Bibliografia [1] W. I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa [2] W. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa [3] W. I. Arnold, Teoria równań różniczkowych, PWN, Warszawa [4] A. W. Bicadze, Równania fizyki matematycznej, PWN, Warszawa [5] A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zadań z równań fizyki matematycznej, PWN, Warszawa [6] P. Biler Prof. dr hab.- redakcja naukowa, Warsztaty z równań różniczkowych czastkowych, Toruń [7] Birkholc A. Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa [8] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Partial Differential Equations, Chapman & Hall, Oxford [9] L. Evans, Równania różniczkowe czastkowe, PWN, Warszawa [10] Fichtenholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa [11] J. Jost, Postmodern Analysis, Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg-New York [12] W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa [13] H. Marcinkowska, Wstep do teorii równań różniczkowych czastkowych, PWN, Warszawa [14] J. Musielak, Wst ep do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa [15] Ockendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Applied Partial Differential Equations, Oxford University Press, 2003.

16 BIBLIOGRAFIA 16 [16] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo -Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków [17] B. Przeradzki, Równania różniczkowe czastkowe. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź [18] B. Przeradzki, Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź [19] M. M. Smirnow, Zadania z równań różniczkowych czastkowych, PWN, Warszawa [20] P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych czastkowych, Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa [21] B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa [22] Whitham G.B., Lecture notes on wave propagation, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York [23] Zauderer, Partial Differential Equations of Applied Mathemathics, John Wiley & Sons, Singapore-New York- Chichester-Brisbane-Toronto 1989.