napisał Michał Wierzbicki Fala elektromagnetyczna prowadzona wzdłuż pojedynczego przewodu Problem rozchodzenia się fali elektromagnetycznej wzdłuż pojedynczego przewodu został rozwiązany w sposób ścisły po raz pierwszy przez Arnolda Sommerfelda 1. W języku niemieckim taką falę nazywa się Drahtwelle. Zakładamy, że mamy do czynienia z modem TM, w którym pole magnetyczne ma tylko jedną składową B ϕ w układzie cylindrycznym. Pole elektryczne ma składowe E ρ i E z, to znaczy linie sił pola elektrycznego leżą w płaszczyznie zawierającej oś z. Symetria cylindryczna pozwala nam założyć, że pole elektromagnetyczne nie zależy od współrzędnej ϕ. Zależność składowych pól od współrzędnej z w postaci: B ϕ, E ρ, E z e i(kz ωt) (1) oznacza, że fala propaguje się wzdłuż osi z. Prawo Faradaya: E= B t wyrażone we współrzędnych cylindrycznych, można zapisać w postaci (2) ( E ) ϕ = E ρ E z z ρ = iωb ϕ (3) ike ρ gdzie pochodną po z można zastąpić mnożeniem przez czynnik ik, a pochodną po czasie mnożeniem przez czynnik iω. Prawo Ampera z prądem przesunięcia wynosi B=µµ 0 j+ǫǫ 0 E t =α E (4) Gęstość prądu można wyrazić przez różniczkowe prawo Ohma: j=σ E, gdzieσ jest przewodnością własciwą materiału przewodnika. Zamieniając pochodną po czasie przez czynnik iω, prawą stronę prawa Ampera można uprościć, wprowadzając oznaczenie: α=µµ 0 σ iωµµ 0 ǫǫ 0. Równanie (4) zapisane w układzie cylindrycznym dla składowych z iρprzyjmuje postać: 1 A. Sommerfeld, Ueber die Fortpflanzung elektrodynamischer Wellen längs eines Drahtes, Annalen der Physik und Chemie 67 (1899) 233. A. Sommerfeld, Vorlesungen über theoretische Physik, Band III Elektrodynamik, 22. 1
( B ) z = 1 ( ) ρbϕ =αez (5) ρ ρ ( B ) ρ = B ϕ z ikb ϕ = αe ρ (6) Elektryczne prawo Gaussa w układzie cylindrycznym wynosi E= 1 ρ ρ ( ) E z ρeϕ + z = 0 (7) ike z Z powodu symetrii cylindrycznej magnetyczne prawo Gaussa jest spełnione tożsamościowo: B= 1 B ϕ ρ ϕ = 0 (8) Korzystając z równania (6) można wyrazić składową E ρ przez B ϕ : Równanie (3) można przepisać w postaci: E ρ = ik α B ϕ (9) Stąd E z ρ = ike ρ iωb ϕ (10) B ϕ = α E z (k 2 iωα) ρ Wstawiając powyższe wyrażenie na B ϕ do równania (5) otrzymujemy nastepujące równanie różniczkowe dla składowej podłużnej E z : 2 E z ρ 2 + 1 ρ (11) E z ρ +κ2 E z = 0 (12) gdzie κ 2 = iωα k 2. Jest to równanie Bessela rzędu 0. Jego rozwiązaniem jest kombinacja liniowa funkcji Bessela pierwszego rodzaju J 0 i drugiego rodzaju Y 0 : E z (ρ)= A J 0 (κρ)+ B Y 0 (κρ) (13) 2
Umawiamy się, że przy wyciąganiu pierwiastka zκ 2 wielkośćκ ma część urojoną większą od zera. Zgodnie z równaniami (9) i (11) składowe B ϕ i E ρ są proporcjonalne do pochodnej składowej podłużnej E z : B ϕ = α E z κ 2 ρ, E ρ= ik E z (14) κ 2 ρ Można zauważyć, że elektryczne prawo Gaussa (7) jest automatycznie spełnione. Ponieważ posługujemy się zespoloną reprezentacją pola elektromagnetycznego to możemy zastosować alternatywny zapis dla funkcji Bessela w postaci funkcji Hankela pierwszego i drugiego rodzaju: E z (ρ)= A H (1) 0 (κρ)+ B H(2) 0 (κρ) (15) gdzie funkcje Hankela zdefiniowane są jako: H (1,2) 0 (x)= J 0 (x)±iy 0 (x) (16) Funkcja Bessela drugiego rodzaju Y 0 dla argumentu rzeczywistego lub zespolonego jest rozbieżna wρ=0. Nie ma fizycznego powodu aby na osi przewodu pole elektryczne było nieskończenie duże. Z tego względu wewnątrz przewodu o promieniu R, dlaρ<r wybieramy rozwiązanie równania (12) w postaci E int z (ρ)= A J 0 (κρ) (17) Na zewnątrz przewodu mamy próżnię, dla której przewodnictwo właściwe σ = 0, a względne stałe dielektryczneµ=ǫ= 1. Stałaα dla próżni wynosi: a stała κ przyjmuje wartość: α 0 = iωµ 0 ǫ 0 = iω c 2 (18) ω 2 κ 0 = c 2 k2 (19) Na zewnątrz przewodu (dlaρ>r) składową podłużną E z wyraźmy w postaci (15) kombinacji liniowej funkcji Hankela E z (ρ)= A H (1) 0 (κ 0ρ)+ B H (2) 0 (κ 0ρ) (20) Mogą zachodzić dwa przypadki: 1) k<ω/c stałaκ rzeczywista 2) k>ω/c stałaκ zespolona 2 2 Zgodnie z wcześniejszą umową zakładamy, że jej część urojona jest większa od zera. 3
W przypadku pierwszym funkcje Bessela pierwszego J 0 i drugiego rodzaju Y 0 dla argumentu rzeczywistego dążą do zera w nieskończoności. Fizyczny warunek znikania pól w nieskończoności jest więc spełniony przez obie funkcje. Aby zmniejszyć liczbę stałych nieoznaczonych, musimy zastosować silniejszy warunek promieniowania. Zakładamy, że fala elektromagnetyczna prowadzona wzdłuż przewodu przenosi energię tylko wzdłuż przewodu to znaczy że energia nie jest wypromieniowywana radialnie. Składowa radialna zespolonego wektora Poyntinga: ( S ) ρ = 1 2µ 0 Re ( E B ) ρ = 1 2µ 0 Re (E z B ϕ ) (21) wycałkowana po obwodzie okręgu o promieniuρdaje średnią w czasie moc P wypromieniowaną radialnie od przewodu. P(ρ)=2πρ S ρ (ρ) (22) Aby w granicy dlaρ moc P dążyła do zera, składowa S ρ powinna zmierzać do zera szybciej niż 1/ρ. Zgodnie z równaniem (14) składowa B ϕ jest proporcjonalna do pochodnej poρskładowej E z. Okazuje się, że w przypadku 1) warunek promieniowania, dla E z danego równaniem (20) zκ 0 rzeczywistym, nie jest spełniony, co łatwo sprawdzić w programie Mathematica, obliczając pierwszy wyraz rozwinięcia w szereg względem nieskończoności funkcji E z (r) E z(r), gdzie r= κ 0 ρ: f [r ]= A HankelH1[0, r]+ B HankelH2[0, r]; (Series[f [r] Conjugate[f [r]],{r,, 1}]//Normal//Re//ComplexExpand)/.{Arg[r] 0} //PowerExpand//Simplify 4ABCos[2r] πr Pozostaje więc nam przypadek 2) gdyκ 0 jest zespolone. W tym przypadku funkcja Hankela drugiego rodzaju H (2) 0 dla argumentu zespolonego o dodatniej części urojonej jest rozbieżna w nieskończoności: q=1+i; Series[HankelH1[0, q r],{r,, 1}]//Normal//Abs//ComplexExpand 2 1/4 e r π ( r 2 ) 1/4 4
Series[HankelH2[0, q r],{r,, 1}]//Normal//Abs//ComplexExpand 2 1/4 e r π ( r 2 ) 1/4 W wyrażeniu (20) pozostawiamy tylko funkcję Hankela pierwszego rodzaju H (1) 0. Dalej przez H m będziemy rozumieć funkcję pierwszego rodzaju H m (1). Łatwo sprawdzić, że funkcja Hankela pierwszego rodzaju spełnia warunek promieniowania: f [r ]=HankelH1[0, q r] Conjugate[q HankelH1[1, q r]]//abs; (Series[ f [r],{r,, 1}]//Normal//ComplexExpand)/.{Arg[r] 0}//Simplify//PowerExpand 2e 2r πr gdzie skorzystaliśmy ze wzoru na pochodną funkcji Hankela: H 0 (x)= H 1(x). Ostatecznie, warunek promieniowania wymaga, aby składowa podłużna pola elektrycznego na zewnątrz przewodu dlaρ>rmiała postać: E ext z (ρ)= B H 0 (κ 0 ρ) (23) gdzie κ 0 zespolone dane jest wzorem (19). Zgodnie ze wzorami (14) składowe B ϕ i E ρ pola elektromagnetycznego wewnątrz przewodu dla ρ < R (int) i na zewnątrz przewodu dlaρ>r(ext) wynoszą odpowiednio oraz B int ϕ (ρ)= α κ A J 1(κρ), E int ρ (ρ)= ik κ A J 1(κρ) (24) B ext ϕ (ρ)= α 0 B H 1 (κ 0 ρ), Eρ ext κ 0 (ρ)= ik κ 0 B H 1 (κ 0 ρ) (25) gdzie skorzystaliśmy ze wzoru na pochodną funkcji Bessela: J 0 (x)= J 1(x). Na powierzchni przewodu muszą być spełnione następujące warunki brzegowe: 1) ciągłość składowej natężenia pola elektrycznego stycznej do powierzchni granicznej: E int z = E ext z (26) oraz 2) ciągłość składowej natężenia pola magnetycznego do powierzchni granicznej: H int ϕ = H ext ϕ (27) 5
Ściśle rzecz biorąc, w ogólnym przypadku składowa styczna natężenia pola magnetycznego powinna doznawać skoku równego natężeniu swobodnego prądu powierzchniowegoκ sw płynącego po powierzchni granicznej. W przypadku przewodnika spełniającego różniczkowe prawo Ohma: j = σ E mamy do czynienia tylko z prądem objętościowym. Korzystając z równania materiałowego, natężenie pola magnetycznego H można wyrazić przez indukcję B. Warunki (26) i (27) na powierzchni przewodnika o promieniu R oznaczają więc: E int z (R)= Ez ext (R), 1 µ Bint ϕ (R)= Bext ϕ (R) (28) Korzystając z równań (24) i (25) otrzymujemy układ dwóch równań liniowych jednorodnych z niewiadomymi amplitudami pola elektrycznego A i B wewnątrz i na zewnątrz przewodnika: 1 µ A J 0 (κ R)= B H 0 (κ R) α κ A J 1(κ R)= α 0 B H 1 (κ 0 R) κ 0 Warunkiem koniecznym rozwiązalności układu równań (29) jest znikanie jego wyznacznika µκ R J 0 (κ R) α J 1 (κ R) = κ 0 R H 0 (κ 0 R) (30) α 0 H 1 (κ 0 R) Jest to uwikłane równanie zawierające w sobie relację dyspersji k(ω) dla fali elektromagnetycznej prowadzonej wzdłuż przewodnika. Do obliczeń numerycznych dla konkretnych wartości stałych materiałowych wygodnie jest wprowadzić pewne oznaczenia. Zespolony współczynnik załamania materiału z którego wykonany jest przewód wynosi 3 n 2 =µǫ+ iµσ (31) ǫ 0 ω Parametry α i κ materiału przewodnika, występujące w równaniach można wówczas zapisać jako: α= iω ( ω n ) 2 n 2, κ 2 = k 2 (32) c 2 c Próżnia na zewnątrz przewodu ma oczywiście współczynnik załamania n = 1, stąd α 0 = iω ( ω ) 2, κ 2 c 2 0 = k 2 (33) c Można zauważyć, żeα/α 0 = n 2. Jeśli wprowadzimy następujące oznaczenia bezwymiarowe: 3 Patrz temat: płaska fala elektromagnetyczna w ośrodku przewodzącym (29) 6
bezwymiarowa częstość drgań: q = ωr/c bezwymiarowy wektor falowy: h = kr to parametryκ iκ 0 będziemy mogli zastąpić ich bezwymiarowymi odpowiednikami: X 2 = n 2 q 2 h 2, X 2 0 = q2 h 2 (34) Uwikłane równanie (30) można wówczas zapisać w postaci bezwymiarowej jako µ X J 0 (X) n 2 J 1 (X) = X 0 H 0 (X 0 ) H 1 (X 0 ) (35) Gruby przewód miedziany Niech promień przewodu wynosi: R = 1 mm, częstotliwość drgań fali: f = 1 GHz. Przewód jest wykonany z miedzi, dla której przewodnictwo właściwe wynosi σ = 5,57 10 7 (Ω m) 1, a względna przenikalność magnetyczna:µ=1. Zespolony współczynnik załamania (31) ma wówczas dominującą bardzo dużą część urojoną 4 : Bezwymiarowa częstość drgań: n 2 σ i ǫ 0 ω = i 1,0 109 q= ωr = 2, 1 10 2 c Szukamy rozwiązania równania (35) dla h q. Argument lewej strony równania (35) jest wówczas bardzo duży X nq=469,0 (1+i) i praktycznie nie zależy od h. Argument prawej strony jest natomiast bardzo mały X 0 q<1. Dokładne rozwiązanie 5 znalezione w Mathematice za pomocą funkcjifindroot wynosi h=q+δ, gdzie δ=(1,62+i 0,78) 10 6. Wówczas X 0 = (0, 61+i2,67) 10 4. Bezwymiarowy wektor falowy h ma niewielką część urojoną, co oznacza słabe tłumienie fali. Prędkość fazowa v f =ω/k wyrażona przez wielkości bezwymiarowe wynosi v f c = q Re(h) = 0,999923 i jest mniejsza od prędkości światła jedynie o 7,7 10 5 c. Zmiana amplitudy fali na długości R=1 mm wynosi e Im(h) 1 Im(h), co w przeliczeniu daje znikomą wartość 4 Określenie stałej dielektrycznejǫ materiału przewodzącego jest dość problematyczne z punktu widzenia eksperymentalnego, gdyż fala elektromagnetyczna odbija się od przewodnika. 5 Rozwiązanie przybliżone można otrzymać stosując wyrażenia dla przybliżonej wartości funkcji Bessela dla dużych argumentów i funkcji Hankela dla małych argumentów. 7
współczynnika tłumienia 6 fali równą 3,4 db/km. Fala TM prowadzona wzdłuż przewodu porusza się praktycznie bez tłumienia z prędkością światła. Wprowadzając odległość od przewodu mierzoną w jego promieniach: u = ρ/r, możemy napisać następujące wyrażenia bezwymiarowe na składowe pola elektromagnetycznego. Wewnątrz przewodu dla u<1mamy: Ez int (u)= A J 0 (X u) Bϕ int (u)= qn2 cx A J 1(X u) Na zewnątrz przewodu dla u>1 mamy: E int ρ (u)= ih X A J 1(X u) Ez ext (u)= B H 0 (X 0 u) Eρ ext ih (u)= B H 1 (X 0 u) X 0 B ext ϕ (u)= qn2 cx 0 B H 1 (X 0 u) Za wartość stałej A możemy przyjąć 1/J 0 (X), wówczas formalnie wartość składowej pola elektrycznego na powierzchni przewodu 7 wynosi E z (R) = 1. Stała B zgodnie z równaniem (29) będzie wówczas równa B=1/H 0 (X). Zależność między amplitudami składowych poprzecznych pola elektrycznego i magnetycznego fali jest następująca: E ρ = B ϕ hc qn 2 c n 2 Na zewnątrz przewodu współczynnik załamania n=1, stąd stosunek amplitud pól E i B wynosi c, tak jak dla płaskiej fali elektromagnetycznej w próżni. Z analizy numerycznych wartości składowych pól, którą łatwo przeprowadzić w programie Mathematica wynika, że dominujące znaczenie ma składowa E ρ na zewnątrz przewodnika. Na zewnętrznej powierzchni przewodnika, dla podanych wyżej wartości parametrów, wynosi ona Eρ ext(r)=3,4 104. Na wewnętrznej powierzchni przewodnika Eρ int(r)=3,2 10 5, a więc praktycznie zero. Mamy więc do czynienia prawie dokładnie z falą poprzeczną TEM. Cała energia przenoszona jest przez falę wzdłuż i na zewnątrz przewodnika. Jak widać na rysunku 2 wewnątrz przewodu mamy do czynienia z silnym efektem naskórkowym. Składowa E z a co za tym idzie i indukowany prąd są różne od zera praktycznie w bardzo cienkiej warstwie przy powierzchni przewodu dla 0,99 R<ρ<R. 6 Fizycznym mechanizmem tłumienia jest przemiana energii fali na ciepło Joule a-lenza wydzielające się w przewodzie 7 Ta składowa jest ciągła na powierzchni przewodu. 8
Rysunek 1: Rozkład pola elektromagnetycznego fali wokół przewodnika. Możliwość praktycznego zastosowania fali prowadzonej wzdłuż pojedynczego przewodu ogranicza niestety fakt, iż pole elektromagnetyczne fali rozciąga się daleko poza przewodem. Jak widać z rysunku 3 natężenie pola elektrycznego maleje praktycznie jak 1/ρ wraz z rosnącą odległością od przewodu. 9
Rysunek 2: Rozkład pola elektromagnetycznego wewnątrz przewodnika. Rysunek 3: Zależność natężenia pola elektrycznego od odległości od przewodu. 10