Wykła 4 Optyka geometrycza Wimo i atura światła Optyka to auka o falach elektromagetyczych, ich wytwarzaiu, rozchozeiu się w różych ośrokach, i oziaływaiu z tymi ośrokami. Różice mięzy falami elektromagetyczymi o różych częstościach przejawiają się wyraźie w sposobach ich wytwarzaia i wykrywaia oraz oziaływaiu ich z materią. Stą poział całego wima elektromagetyczego a szereg zakresów: fale raiowe: ługie, śreie, krótkie i ultrakrótkie (ν < 5 9 Hz lub λ > cm); mikrofale (5 9 Hz < ν < 8 Hz lub mm < λ < cm); poczerwień (8 Hz < ν < 5 4 Hz lub 7 m < λ < mm); fale wiziale (5 4 Hz < ν < 5 Hz lub 35 m < λ < 7 m); afiolet ( 5 Hz < ν < 8 6 Hz lub m < λ < 35 m); promieiowaie Roetgea (8 6 Hz < ν < 5 Hz lub pm < λ < m); promieiowaie gamma (5 Hz < ν lub λ < pm). Najkrótsze obecie otrzymae promieiowaie gamma ma ługość fali rówą, A ( A - m). Chociaż wiemy, że światło jest falą elektromagetyczą, wieza ta ie jest zbytio przyata o opisu i zrozumieia szeregu zjawisk związaych ze światłem, z ziałaiem różych przyrząów optyczych it. Okazuje się, że w wielu przypakach całkowicie wystarczający jest zaczie prostszy opis światła, który powstał a ługo prze sformułowaiem rówań Mawella. Opis te oparty jest a iei promiei światła. Wykorzystuje o prawa, które opisują ich zachowaie się w różych sytuacjach. W szczególości mechaizm wizeia, ściśle związay z uziałem światła; może być wytłumaczoy bez owoływaia się o teorii Mawella. Jest la as oczywiste, że wizeie obiektów świecących możliwe jest zięki światłu wytworzoemu przez te obiekty, które ociera o aszych oczu. Wizeie obiektów ieświecących jest możliwe zięki rozpraszaiu przez te obiekty światła wytworzoego przez ie obiekty, takie jak Słońce (które zapewia, zięki rozpraszaiu w atmosferze, także oświetleie w i pochmure), czy źróła światła sztuczego (lampy, świetlówki it). Z cozieych obserwacji wiemy także, że światło rozchozi się, z barzo użą prękością i prostoliiowo, w ośrokach materialych o 4
opowieich własościach (przeźroczystych) takich jak powietrze, szkło, ale także w próżi. Obecie stosują trzy postawowe moele, które opisują światło uwzglęiając w różym stopiu jego cechy:. Moel promiei (moel przybliżoy), który jest postawowym moelem optyki geometryczej. Zaletą tego moelu jest prostota i uża efektywość. Moel promiei uwzglęia oziaływaie światła z obiektami makroskopowymi w zakresie wystarczającym o opisu ziałaia ukłaów optyczych, chociaż pewe ograiczeia tych ukłaów mogą wymagać uwzglęieia falowej atury światła. oieważ w ośrokach jeoroych światło rozchozi się prostoliiowo moża wyzaczyć eksperymetalie, używając opowieich przesło i otworków, kieruki rozchozeia się światła. Kieruki te są prostopałe o powierzchi falowych rozchozącej się fali elektromagetyczej (o tych powierzchiach więcej powiemy późiej, przy okazji omawiaia optyki falowej). Liie w przestrzei, wyzaczoe przez kieruki rozchozeia się światła azywamy promieiami świetlymi. Jeśli otworki ie są zbyt małe (ie ma ugięcia), to promieie świetle są także torami fotoów, cząstek (korpuskuł) reprezetujących światło w moelu 3. rzeciające się promieie świetle ie przeszkazają sobie awzajem i ie wpływają a siebie w żae sposób.. Moel falowy (przybliżoy, kłazie acisk a falowe aspekty światła). Moel falowy jest iezbęy o opisu oziaływaia światła z obiektami o rozmiarach rzęu ługości fali światła (rzęu 5 m), w tym zjawisk iterferecji i yfrakcji. Daje iterpretację koloru (ługość fali). Uzasaia moel promiei i aje iterpretację promiei (liie wyzaczoe przez kieruki prostopałe o powierzchi falowych). W prostym ujęciu falę świetlą traktujemy jako falę skalarą (moel sprze teorii elektromagetyczej światła), w barziej zaawasowaym uwzglęiamy jej poprzeczy i wektorowy charakter (takie poejście jest koiecze la opisu zjawisk związaych z polaryzacją światła). 3. Moel korpuskulary (korpuskuły Newtoa, w ujęciu współczesym fotoy). Niezbęy o opisu oziaływaia światła z ukłaami atomowymi (o wymiarach rzęu m). Eergia pojeyczego fotou wyosi h ν (gzie h to stała lacka a ν częstość związaej z im fali elektromagetyczej), a jego pę jest rówy p k, gzie h π, a k to wektor falowy tej fali. Tylko całe fotoy mogą być absorbowae; iaczej mówiąc wymiaa eergii pomięzy polem elektromagetyczym, a ukłaami materialymi obywa się porcjami eergii (kwatami), których wartość wyosi h ν. Z grubsza optykę moża pozielić a optykę geometryczą, która zajmuje się mięzy 5
iymi przyrząami optyczymi (wymiary makroskopowe), falową (wymiary ukłaów porówywale z ługością fali; przyaje się m.i. o ocey iektórych ograiczeń i błęów ukłaów optyczych) i spektroskopię. Z wielu zastosowań optyki warto wymieić przyrząy optycze, różego typu lasery, telekomuikację (włóka), optycze przetwarzaie iformacji (obrazu), sprzęt o moitorowaia śroowiska, całą wielką ziezię związaą z oświetleiem, it., itp. Optyka geometrycza. Zasaa Fermata W optyce geometryczej przy opisie światła stosujemy pojęcie promieia świetlego i zakłaamy, że światło rozchozi się wzłuż prostych liii, które azywamy promieiami. Warukiem stosowalości optyki geometryczej jest aby wymiary liiowe wszystkich obiektów (soczewek, pryzmatów, szczeli itp.) były o wiele większe o ługości fali świetlej. ostawą optyki geometryczej jest zasaa, którą w roku 65 okrył ierre Fermat: promień świetly biegący z jeego puktu o rugiego przebywa rogę, a której przebycie trzeba zużyć w porówaiu z iymi, sąsieimi rogami, miimum albo maksimum czasu. Z zasay Fermata atychmiast wyika, że w próżi albo w jeoroym ośroku światło rozchozi się wzłuż prostej. Z zasay Fermata łatwo wyprowazić też prawa obicia i załamaia światła. a A θ θ θ - θ B b Na rysuku są przestawioe wa pukty A i B oraz łączący je promień AB. Całkowita ługość rogi promieia wyosi l a + + b + ( ), (XXIV.) gzie jest zmieą zależą o położeia puktu (pukt obicia promieia). Zgoie z zasaą Fermata pukt wybieraamy tak, żeby czas przebycia rogi AB był miimaly. Matematyczie waruek te ma postać: l Różiczkując (XXIV.) wzglęem otrzymujemy. (XXIV.) l ( a + ) + [ b + ( ) ] ( )( ), 6
lub przekształcając, zajujemy a + b + ( ). (XXII.3) Z rysuku wiać, że a + cos( 9 θ ) siθ, b + ( ) cos(9 θ ) siθ. (XXII.4) A zatem la obicia światła otrzymujemy prawo - kąt paającego promieia świetlego jest rówy kątowi promieia obitego θ. (XXII.5) θ oobie postępujemy w celu wyprowazeia prawa załamaia światła. Czas t, który potrzebuje światło aby przejść z puktu A o puktu B ay jest wzorem a A θ l - l θ θ l θ b B v v l t + l. υ υ Uwzglęiając, że c υ możemy przepisać to rówaie w postaci l + l t c Wielkość l l + l azywamy rogą optyczą promieia (ie mylić z rogą geometryczą rówą l + l ). Teraz poowie obieramy (pukt ), aby roga optycza l była miimala czyli, aby. oieważ roga optycza wyosi l c. l, l + l a + + b + ( ) otrzymujemy l ( a + ) + [ b + ( ) ] ( )( ) o przekształceiu tego wzoru zajujemy. a + b + ( ). (XXIV.6) 7
Z rysuku wyika, że a + siθ, b + ( ) siθ. (XXIV.7) o postawieiu (XXIV.7) o wzoru (XXIV.6) otrzymujemy prawo załamaia światła θ. (XXIV.8) siθ si Zwierciała płaskie, wklęsłe, wypukłe Zwierciało płaskie Zwierciało płaskie jest ajprostszym przyrząem optyczym, z którym stykamy się cozieie. By zrozumieć jak powstaje obraz w zwierciale płaskim możemy owołać się o moelu promiei. Wiązka promiei świetlych rozproszoych o jeego wybraego puktu przemiotu poruszających się w kieruku zwierciała obija się o jego powierzchi. rzełużeia promiei obitych przeciają się w jeym pukcie O, który bęzie obrazem opowiaającego mu puktu przemiotu. oieważ zieje się tak la każego puktu przemiotu, powstaje zatem wrażeie, że za zwierciałem, okłaie w tej samej oległości ale po przeciwej stroie, zajuje się opowieik przemiotu, czyli zbiór puktów, każy z których jest (pozorie) źrółem promiei światła rozproszoego. Obserwujemy obraz jest obrazem pozorym, gyż w przeciwieństwie o obrazu rzeczywistego, w puktach, z których skłaa się obraz, przeciają się przełużeia promiei, a ie oe same. Nie moglibyśmy zatem przestawić tego obrazu p a ekraie. Uowoimy, że obraz zajuje się za zwierciałem w tej samej o iego oległości jak przemiot. Dla uproszczeia rozważmy jee pukt przemiotu i z ieskończoej liczby promiei, wychozących z tego puktu wybierzmy wa: jee prostopały o powierzchi zwierciała (promień A ) i rugi promień poruszający się w stroę zwierciała po kątem θ o ormalej. rzełużeie promieia obitego o zwierciała w pukcie B tworzy z przełużeiem promieia A kąt θ O. oieważ kąty θ i θ O są rówe, pukt O leży w tej 8
samej oległości o powierzchi zwierciała ( AO ) jak przemiot ( A ) iezależie o tego, jaką wartość przyjmuje kąt θ. To ozacza, że wszystkie promieie wychozące z puktu i paające a zwierciało azą promieie obite, których przełużeia przetą się w pukcie O. Zauważmy, że chociaż asze obicie w zwierciale wygląa zajomo, obraz jeak ma serce z prawej stroy. Zwierciała wypukłe i wklęsłe. Rówaie zwierciała Zwierciała staowią waży elemet wielu ukłaów optyczych. Rozważmy tworzeie obrazu a przykłazie wklęsłego zwierciała sferyczego, chociaż rówaie, które zajziemy bęzie moża stosować także o zwierciaeł wypukłych. rzyjmujemy zatem, że promień zwierciała sferyczego wyosi R i że przemiot (pukt ), zajuje się w oległości o zwierciała. Umieścimy przemiot (pukt ) a osi optyczej (prosta przechoząca przez śroek krzywizy zwierciała) i chcemy zaleźć oległość O obrazu o zwierciała. Wybieramy wa promieie: pierwszy porusza się po osi optyczej i po obiciu wraca tą samą rogą, rugi paa a powierzchię zwierciała w pukcie B i po obiciu przecia pierwszy promień (i oś optyczą) wyzaczając położeie puktu O, który jest obrazem puktu. oieważ kąt paaia rówa się kątowi obicia SBO BS, promień SB jest wusieczą kąta BO. Wobec tego możemy zapisać: Tu pukt A jest rzutem puktu B a oś optyczą. Z rysuku wyika, że AB + AOB ASB. (XXIV.9) AB tg AB, A AB tg AOB, OA AB tg ASB. (XXIV.) SA Założymy teraz, że ociek AB < < R. rzybliżeie to osi azwę przybliżeia promiei przyosiowych i ozacza, że wykorzystujemy tylko iewielką część powierzchi kuli. A zatem możemy uważać, że wyprowazamy wzór la właściwie owolej powierzchi wklęsłej o 9
symetrii osiowej (osią symetrii bęzie oś optycza) i że stosujemy obre przybliżeie tej powierzchi używając powierzchi sferyczej. rzybliżeie promiei przyosiowych aje możliwość przyjąć, że wszystkie występujące wyżej kąty są małe. W przybliżeiu małych kątów, z (XXIV.) mamy: AB AB AB tg AB, A AB AB AOB tg AO, OA AB AB ASB tg ASB. (XXIV.) SA R o postawieiu (XXIV.) o (XXIV.9) zajujemy ostateczie rówaie zwierciała wklęsłego O +, (XXIV.) R f O gzie wielkość f R azywa się ogiskową. Ogisko Z rówaia (XXIV.) wyika, że jeżeli osuwamy przemiot coraz alej o zwierciała wklęsłego, czyli zwiększamy, oległość obrazu o zwierciała ąży o ogiskowej f. Ozacza to, że rzeczywisty obraz przemiotu umieszczoego w barzo użej oległości o zwierciała powstaje w oległości f o tego zwierciała. Jeżeli przemiot zajuje się ieskończeie aleko o zwierciała ( ), to wygląa o jako pojeyczy pukt umieszczoy a osi optyczej. Wiązka promiei rozproszoych przez te pukt w kieruku zwierciała bęzie wtey wiązką prawie rówoległej o osi optyczej. Obraz tego puktu bęzie pojeyczym puktem położoym a osi optyczej w oległości f o zwierciała. Te szczególy pukt, w którym skupioa zostaje wiązka rówoległych promiei, bęziemy azywać ogiskiem zwierciała. Warto zauważyć, że owróceie biegu promiei prowazi o wiosku, że promieie wysyłae w kieruku zwierciała przez puktowe źróło światła umieszczoe w ogisku zwierciała wklęsłego po obiciu wytworzą wiązkę rówoległą. Moel promiei pozwala zaleźć obraz la owolej kofiguracji przemiotu i zwierciała;
wystarczy wybrać przyajmiej wa promieie rozproszoe w kieruku zwierciała la każego puktu przemiotu i wytyczyć bieg promiei obitych o zwierciała stosując prawo obicia. rzecięcie promiei obitych wyzaczy obraz puktu, z którego poprowaziliśmy promieie rozproszoe. Moża ułatwić sobie zaaie obierając takie promieie, których bieg jest ajłatwiej wytyczyć. romień główy, przechozący przez śroek krzywizy jest prostopały o powierzchi zwierciała, a więc tor promieia obitego bęzie się pokrywał z torem promieia paającego. oieważ wszystkie promieie rówoległe zostają skupioe w ogisku, zatem promień rówoległy (wychozący z puktu i rówoległy o osi optyczej) po obiciu bęzie także przechoził przez ogisko F. Iym promieiem łatwym o wytyczeia jest promień ogiskowy; promień te prowazimy z puktu o ogiska F, tor promieia obitego bęzie rówoległy o osi optyczej. m h h W pooby sposób moża wytyczyć bieg promiei i, po zalezieiu przecięcia, położeie obrazu la owolej liczby puktów przemiotu pozwalającej a otworzeie obrazu, jak pokazao a rysuku. owiększeie (jeśli wyjzie miejsze o to bęzie to pomiejszeie ) obrazu określamy wzorem: O. (XXIV.3) Ostatie rówaie w (XXIV.3) wyika z poobieństwa trójkątów ABC i A B C. Zwróćmy uwagę, że la obrazu prostego m bęzie oatie, la owrócoego, ujeme. Kowecja zaków Chociaż rówaie (XXIV.) otrzymaliśmy la przypaku obrazu rzeczywistego utworzoego przez zwierciało wklęsłe, moża je stosować także o obrazów pozorych otrzymaych zięki zwierciałom wklęsłym i wypukłym. ozwala a to tzw kowecja zaków:
. Ogiskowa f jest oatia la zwierciaeł wklęsłych i ujema la wypukłych.. Wszystkie oległości mierzoe po stroie przemiotu są oatie, po stroie przeciwej ujeme (a więc oległości o zwierciała la obrazów pozorych są ujeme). Ukłay ogiskujące oparte a załamaiu światła Dotychczas rozważaliśmy własości ogiskujące sferyczych powierzchi obijających. Okazuje się, że własości takie posiaają także sferycze powierzchie załamujące, rozzielające wa przeźroczyste ośroki o różych współczyikach załamaia, chociaż w tym przypaku chozi o ogiskowaie promiei załamaych, a ie obitych. Własości ogiskujące takich powierzchi mają barzo uże zaczeie praktycze w optyczych ukłaach owzorowujących; ajprostszego przykłau ostarcza zwykła soczewka, która skłaa się przecież z wóch sferyczych powierzchi łamiących (wklęsłych lub wypukłych), rozzielających koleje ośroki (ajczęściej powietrze, szkło, powietrze). Uowoimy ajpierw, że pojeycza powierzchia sferycza o promieiu krzywizy R jest rzeczywiście w staie skupić wiązkę rozbieżych promiei; a więc, że może utworzyć obraz. Rozważając załamaie światła a takiej powierzchi zajziemy także rówaie, opisujące związek pomięzy promieiem krzywizy i oległościami przemiotu i obrazu o powierzchi. Bęziemy rozważały zów promiei przyosiowe, wtey prawa załamaia światła ( siθ siθ ) możemy zapisać si α α, si β β i z α β, (XXIV.4) gzie α jest kątem paaia (utworzoym przez promień paający A i ormalą o powierzchi OA ), a β jest kątem załamaia (pomięzy promieiem załamaym A i ormalą OA ). oieważ w trójkącie AO kąt α jest katem zewętrzym, a w trójkącie AO kątem zewętrzym jest kąt ε, możemy zapisać o postawieiu (XXIV.5) o (XXIV.4) zajujemy α γ + ε i ε β + δ. (XXIV.5) γ + ε ) ( ε ). (XXIV.6) ( δ W przybliżeiu małych kątów (promieie przyosiowe)
h h γ tgγ, B s h h ε tgε, BO R h h δ tgδ (XXIV.7) B s gzie s i s - oległości przemiotu i obrazu o powierzchi, a R - promień krzywizy powierzchi. o postawieiu (XXIV.7) o wzoru (XXIV.6) otrzymujemy astępujące rówaie pojeyczej powierzchi łamiącej W przybliżeiu małych kątów (promieie przyosiowe) s +. (XXIV.8) s R h h γ tgγ, B s h h ε tgε, BO R h h δ tgδ (XXIV.7) B s gzie s i s - oległości przemiotu i obrazu o powierzchi, a R - promień krzywizy powierzchi łamiącej. o postawieiu (XXIV.7) o wzoru (XXIV.6) otrzymujemy astępujące rówaie pojeyczej powierzchi łamiącej s +. (XXIV.8) s R Warto zwrócić uwagę, że poieważ wartość s ie zależy o h (a więc także o kąta γ ), uowoiliśmy, że wszystkie promieie wychozące z puktu w kieruku powierzchi sferyczej zostaą skupioe w pukcie ; zatem pukt jest obrazem puktu (mówimy także, że pukty i są puktami sprzężoymi). Z rówaia (XXIV.8) wyika, że suma wóch wyrazów, pierwszego zależego o s i rugiego o s, jest stała. Wyika stą, że jeśli przybliżamy przemiot o powierzchi łamiącej to jego obraz musi się o iej oalać. Dla s R ( ) rugi wyraz, s musi być rówy zero, a zatem s. Ozacza to, że obraz zajuje się w ieskończoości, czyli wiązka staje się wiązką rówoległą o osi optyczej po przejściu przez powierzchię łamiącą. Taka specjala oległość f s R ( ) azywa się ogiskową przemiotową (ozaczamy ją f ) albo pierwszą ogiskową. Dla s R ( ) O z f rówaia (XXIV.8) wyika, że s. Ozacza to, że w pukcie f O skupioa zostaje 3
wiązka rówoległych o osi optyczej promiei. Te pukt azywamy ogiskową obrazową albo rugą ogiskową. Iteresująca sytuacja powstaje, gy oległość przemiotu o powierzchi s < f. Jeyą szasą otrzymaia rówości w rówaiu pojeyczej powierzchi (XXIV.8) jest wtey by wyraz s był ujemy (ujema oległość obrazowa). Ozacza to, że po załamaiu wiązki powstaje wiązka rozbieżą. rzełużeie promiei tej wiązki prowazi o puktu przecięcia po lewej stroie ukłau optyczego czyli obrazu pozorego. Obraz rzeczywisty leży zawsze po prawej stroie ukłau (przemiot jest po lewej), a oległość o powierzchi załamującej jest wtey oatia. oieważ moża zapisać astępująco: ( ) R f f O, rówaie pojeyczej powierzchi załamującej +, (XXIV.9) s s R f f O gzie f i f O to zefiiowae wyżej ogiskowe, przemiotowa i obrazowa. Kowecja zaków la sferyczej powierzchi załamującej Rozważając szczególe przypaki la przemiotu zajującego się w różej oległości o sferyczej powierzchi załamującej musimy, poobie jak la zwierciaeł, stosować astępującą kowecją zaków:. Oległość przemiotowa s jest oatia la przemiotu rzeczywistego, a ujema la pozorego (sytuacja taka może powstać p. wtey, gy rozważamy kilka kolejych powierzchi załamujących).. Oległość obrazowa s jest oatia la obrazu rzeczywistego, a ujema la pozorego (tak jak la oległości przemiotowej, z tą różicą, że rzeczywisty przemiot jest po stroie lewej, a rzeczywisty obraz po prawej; owrotie la przemiotu i obrazu pozorego). 3. Obie ogiskowe (przemiotowa i obrazowa) są oatie la powierzchi skupiających (wypukłych la > ), a ujeme la powierzchi rozpraszających. 4. romieie krzywizy la powierzchi wypukłych czyli, la > skupiających, (wypukłych gy patrzymy o stroy paającej wiązki światła), są oatie, a la powierzchi wklęsłych (rozpraszających) - ujeme. 5. Doatkowo przyjmujemy, że przemiot rzeczywisty zajuje się po lewej stroie 4
rysuku, a obraz rzeczywisty po prawej (owrotie la przemiotu i obrazu pozorego). Warto zauważyć, że wprowazeie ujemych oległości przemiotowych i obrazowych prowazi o poszerzeia przestrzei przemiotowej i obrazowej a całą przestrzeń po obu stroach powierzchi. Często wprowaza się oatkowo pojęcia skolimowaia zreukowaego i mocy optyczej. Skolimowaie zreukowae wiązki przemiotowej rozbieżej efiiujemy jako V. (XIV.) s Skolimowaie zreukowae wiązki obrazowej zbieżej efiiujemy jako s V O, (XIV.) a więc bęzie oo oatie ( >, s > ) la wiązki zbieżej tworzącej obraz rzeczywisty, V O a ujeme la wiązki rozbieżej tworzącej obraz pozory ( V <, s < O ). Moc optyczą powierzchi załamującej określamy w astępujący sposób Moc optyczą mierzymy w m. m osi azwę ioptrii. +. (XXIV.) s s R f f O Moc optycza bęzie zatem oatia la powierzchi skupiających, a ujema la rozpraszających. rzez V, V rówaie pojeyczej powierzchi załamującej (XXIV.9) O, możemy wtey zapisać w postaci: V O V albo V O + V. (XXIV.3) Wzór te staowi ilościowe sformułowaie zasay zgoej z ituicją, a miaowicie skupiająca powierzchia ( > ) zmiejsza rozbieżość (czyli zwiększa skolimowaie) przechozącej przez ią wiązki promiei świetlych. 5