M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz x i y. Określmy (E x = { y : (x, y E } oraz (E y = { x : (x, y E }. Zbiór (E x (odpowiednio (E y nazywamy przekrojem zbioru E wyznaczonym przez x (odpowiednio y. Ponieważ (E x = ϕ 1 x (E, gdzie ϕ x :, ϕ x (y = (x, y, więc dla E i, i 1 mamy (7.1 (E 1 \ E 2 x = (E 1 x \ (E 2 x, ( E i = (E i x, i 1 x i 1 ( E i = (E i x. i 1 x i 1 W szczególności zauważmy, że dla E mamy (7.2 (E x = ( \ E x = ( x \ (E x = \ (E x = (E x. Analogiczne własności mamy również dla zbiorów (E y. Niech (, A oraz (, B będą przestrzeniami mierzalnymi. Określimy teraz σ-algebrę na produkcie kartezjańskim wzorem A B = σ({ A B : A A, B B }. Nazywamy ją σ-algebrą produktową na. Lemat 7.1 Niech E A B. Wówczas (E x B dla każdego x oraz (E y A dla każdego y. Dowód. Określmy rodzinę G = { E A B : (E x B dla każdego x }. Ponieważ ( x = dla dowolnego x oraz stosując wzory (7.1 i (7.2 dostajemy, że G jest σ-algebrą. Ponadto G zawiera wszystkie zbiory postaci A B, gdzie A A i B B, bo (A B x = B, gdy x A oraz (A B x =, gdy x A. Zatem G = A B co dowodzi pierwszą część lematu. Dowód drugiej części jest analogiczny.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 11 Niech f : IR. Dla ustalonego x rozważmy funkcję f(x, : IR, y f(x, y. Podobnie dla ustalonego y rozważmy f(, y : IR, x f(x, y. Lemat 7.2 Niech f : IR będzie funkcją A B-mierzalną. Wówczas dla każdego x funkcja f(x, jest B-mierzalna, a dla każdego y, funkcja f(, y jest A- mierzalna. Dowód. Niech A B(IR. Zauważmy, że (7.3 f(x, 1 (A = (f 1 (A x oraz f(, y 1 (A = (f 1 (A y. Reczywiście, pierwsza równość wynika z następujących równoważności: y f(x, 1 (A f(x, y A (x, y f 1 (A y (f 1 (A x. Dowód drugiej jest analogiczny. Teza lematu wynika teraz z (7.3 oraz z Lematu 7.1. Lemat 7.3 Niech (, A, µ oraz (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Niech E A B. Wówczas funkcja jest A-mierzalna, a funkcja jest B-mierzalna. x ν ( (E x [, ] y µ ( (E y [, ] Dowód. Załóżmy najpierw, że ν( < i określmy G = { E A B : x ν((e x jest A-mierzalna }. Zauważmy, że klasa G zawiera zbiory postaci A B, gdzie A A i B B. Rzeczywiście, ν((a B x = ν(b I A (x, x, bo (A B x = B, gdy x A oraz (A B x =, gdy x A. Ponadto zbiory postaci A B, gdzie A A i B B tworzą π-układ, co wynika z tożsamości (A 1 B 1 (A 2 B 2 = (A 1 A 2 (B 1 B 2, A 1, A 2, B 1, B 2. Zatem na mocy Twierdzenia 2.2 wystarczy wykazać, że rodzina G jest λ-układem.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 111 (i Zauważmy, że G, bo ( x = i funkcja x ν( jest (jako funkcja stała A-mierzalna. (ii Niech E, F G oraz E F. Ponieważ wtedy (E x (F x oraz miara ν jest skończona, więc stosując wzory (7.1 dostajemy ν ( (F \ E x = ν ( (F x \ (E x = ν ( (F x ν ( (Ex. Stąd wynika, że funkcja x ν ( (F \E x jest A-mierzalna (jako różnica dwóch funkcji mierzalnych. Zatem F \ E G. (iii Niech E n G oraz E n E n+1 dla n 1. Ponieważ wtedy (E n x (E n+1 x dla n 1. Stosując więc wzory (7.1 i korzystając z ciągłości miary względem ciągów wstępujących, otrzymujemy (( ( ν E i = ν (E n x = lim ν( (E n x. n n 1 x n 1 Ponieważ granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną, zatem (( x ν E i n 1 jest funkcją A mierzalną, a stąd n 1 E n G. Stosując teraz Twierdzenie 2.2 dostajemy G = A B co kończy dowód w przypadku, gdy ν jest miarą skończoną. Załóżmy teraz, że miara ν jest σ-skończona. Wtedy jak wiadomo istnieją: n B, ν( n <, n n+1 dla n 1 oraz = n 1 n. x Dla każdego n 1 rozważmy miarę ν n : B [, ] daną wzorem ν n (B = ν(b n, B B. Niech E A B. Na mocy poprzedniego przypadku dla każdego n 1 funkcja x ν n ((E x [, ] jest A-mierzalna. Zatem na mocy ciągłości miary względem ciągów wstępujących otrzymujemy ν ( (E x = lim ν( (E x n = lim ν ( n (Ex. n n Stąd funkcja x ν ( (E x jako granica funkcji A-mierzalnych jest A-mierzalna. Dowód pierwszej części lematu zastał zakończony. Stosując analogiczne argumenty można udowodnić, że funkcja y µ ( (E y jest B-mierzalna.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 112 Twierdzenie 7.4 Niech (, A, µ, (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Wówczas istnieje jedyna miara na A B oznaczana symbolem µ ν (nazywana miarą produktową taka, że (7.4 (µ ν(a B = µ(aν(b, A A, B B. Ponadto dla każdego E A B (7.5 (µ ν(e = ν ( (E x dµ(x = µ ( (E y dν(y. Dowód. Wykażemy najpierw istnienie miary na A B spełniajacej warunek (7.4. Określmy m 1 (E = ν ( (E x dµ(x, E A B. Z Lematu 7.3 oraz Wniosku 6.25 wynika, że m 1 jest miarą na A B (zauważmy, że w definicji miary m 1 mogliśmy użyć równoważnie drugiej całki w (7.5. Rozważmy rodzinę zbiorów C = { A B : A A, B B }. Jak już wiemy jest ona π-układem. Ponadto dla A B C mamy m 1 (A B = ν ( (A B x dµ(x (7.6 = ν(bi A (x dµ(x = ν(b dµ(x = µ(aν(b. Ponieważ miary µ i ν są σ-skończone, więc m 1 też jest miarą σ-skończoną (na C. Rzeczywiście, jeśli A n A, µ(a n <, n 1 oraz A n =, to z (7.6 mamy B n A, ν(b n <, n 1 oraz A k B n C, m 1 (A k B n < k, n 1 oraz Jeśli teraz m 2 jest inną miarą na A B taką, że A n 1 B n =, n 1 k 1 n 1 m 1 (A B = m 2 (A B, A B C, A k B n =. to z powyższej równości wynika, że m 2 jest również σ-skończona na C. Twierdzenie 3.7 dostajemy m 1 = m 2 co kończy dowód twierdzenia. Stosując teraz
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 113 Uwaga. Produkt przestrzeni z miarami zupełnymi nie musi być przestrzenią z miarą zupełną. Istotnie rozważmy przestrzeń (IR 2, L(IR L(IR, λ λ. Niech F = {x } [, 1], gdzie x IR. Wtedy F L(IR L(IR oraz (λ λ(f = λ({x }λ([, 1] =. Niech A [, 1] będzie zbiorem niemierzalnym w sensie Lebesgue a. Rozważmy zbiór E = {x } A. Oczywiste jest zawieranie E F. Ponieważ (E x = A, więc na mocy Lematu 7.1 E L(IR L(IR, czyli λ λ nie jest zupełna na L(IR L(IR. Na zakończenie tej uwagi warto zaznaczyć, że miara λ λ jest zupełna na L(IR 2. 7.2 Całki na produkcie przestrzeni Zaczniemy od podstawowego lematu (nazywanego czasami pierwszym twierdzeniem Fubiniego Lemat 7.5 Niech (, A, µ oraz (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Niech f : [, ] będzie funkcją A B-mierzalną. Wówczas funkcja (7.7 x f(x, y dν(y jest A-mierzalna, a funkcja (7.8 y jest B-mierzalna. Ponadto (7.9 f d(µ ν = ( f(x, y dµ(x ( f(x, y dµ(x dν(y = f(x, y dν(y dµ(x. Dowód. Na mocy Lematu 7.2 dla każdego x funkcja f(x, jest B-mierzalna, a dla każdego y funkcja f(, y jest A-mierzalna. Zatem całki (7.7 i (7.7 mają sens. Dowód rozbijemy na parę kroków. Załóżmy najpierw, że f = I E, gdzie E A B. Wtedy f(x, = I (Ex (, f(, y = I (E y(, (bo f(x, y = I E (x, y = I (Ex (y oraz f(x, y dν(y = I (Ex (y dν(y = ν ( (E x, (7.1 f(x, y dµ(x = I (E y(x dµ(x = µ ( (E y.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 114 Stąd z Lematu 7.3 wynika, że w tym przypadku funkcje dane wzorami (7.7 i (7.8 są (odpowiednio A i B-mierzalne. Ponadto z Twierdzenia 7.4 i wzorów (7.1 otrzymujemy f d(µ ν = I E d(µ ν = (µ ν(e = ν ( (E x dµ(x = µ ( (E y dν(y = ( f(x, y dν(y dµ(x = ( f(x, y dµ(x dν(y. Z liniowości całek oraz z tego co już udowodniliśmy wynika, że lemat jest prawdziwy dla dowolnej funkcji prostej m f = a i I Ei. i=1 Niech teraz f : [, ] będzie funkcją A B-mierzalną i niech {ϕ n } będzie niemalejącym ciągiem funkcji prostych zbieżnym punktowo do f. Oczywiście dla dowolnego x, {ϕ n (x, } jest niemalejącym ciągiem funkcji prostych zbieżnym punktowo do f(x,, a dla dowolnego y, {ϕ n (, y} jest niemalejącym ciągiem funkcji prostych zbieżnym punktowo do f(, y. Teza lematu wynika teraz z poprzedniego przypadku oraz Twierdzenia Beppo-Levi o zbieżności monotonicznej. Twierdzenie 7.6 (Fubiniego Niech (, A, µ, (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Niech f : IR będzie funkcją skończenie µ ν-całkowalną. Wówczas dla µ prawie wszystkich x, funkcja f(x, jest skończenie ν-całkowalna i dla ν-prawie wszystkich y, funkcja f(, y jest skończenie µ-całkowalna. Ponadto funkcja Φ : x IR, dana wzorem { f(x, y dν(y, jeśli funkcja f(x, jest ν skończenie całkowalna, Φ(x =, dla pozostałych x, jest skończenie µ - całkowalna, a funkcja Ψ : x IR, dana wzorem { f(x, y dµ(x, jeśli funkcja f(, y jest µ skończenie całkowalna, Ψ(y =, dla pozostałych y, jest skończenie ν-całkowalna oraz mamy równości f d(µ ν = Φ(x dµ(x = Ψ(y dν(y. Dowód. Połóżmy: f = f + f, f(x, = f + (x, f (x,.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 115 Na mocy Lematu 7.2 dla dowolnego x funkcje f(x,, f + (x,, f (x, są B-mierzalne. Z lematu 7.5 funkcje x f + (x, y dν(y, x f (x, y dν(y są skończenie µ-całkowalne (bo są nieujemne i f jest µ ν-całkowalna. Na mocy Twierdzenia 6.17 zbiór { } N = x : f + (x, y dν(y = + f (x, y dν(y = + ma µ-miarę zero. Określmy { Φ 1 (x = f + (x, y dν(y, x \ N,, x N, Φ 2 (x = { f (x, y dν(y, x \ N,, x N. Na mocy Lematu 7.5 i Wniosku 6.12 funkcje Φ 1 i Φ 2 są skończenie µ-całkowalne. Stąd, z definicji całki i Lematu 7.5 mamy f d(µ ν = f + d(µ ν f d(µ ν ( ( = f + (x, y dν(y dµ(x f (x, y dν(y dµ(x = Φ 1 (x dµ(x Φ 2 (x dµ(x = Φ(x dµ(x. Analogiczna argumentacja zastosowana do funkcji f(, y kończy dowód twierdzenia. Uwaga. Często tezę twierdzenia Fubiniego zapisuje się w postaci ( ( f d(µ ν = f dµ dν = f dν dµ, mając na uwadze fakt, że całki wewnętrzne w całkach iterowanych nie są poprawnie określone na całej przestrzeni ( i odpowiednio tylko na zbiorach, których dopełnienie ma miarę zero. Przyjmujemy wtedy, że ich wartość na tych zbiorach jest dowolną ustaloną liczbą (np. zero. Twierdzenie Fubiniego mówi, że całkę podwójną względem miary produktowej możemy policzyć za pomocą całek pojedynczych. Metodę tę nazywamy często zamianą na całki iterowane.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 116 Twierdzenie 7.7 (Tonelliego Niech (, A, µ, (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Niech f : IR będzie funkcją A B-mierzalną. załóżmy, że jest skończona przynajmniej jedna z całek: ( ( (7.11 f(x, y dµ(x dν(y, f(x, y dν(y dµ(x. Wówczas f jest skończenie µ ν - całkowalna oraz ( f d(µ ν = f dµ dν = ( f dν dµ. Dowód. Załóżmy, że pierwsza z całek iterowanych jest skończona, wtedy z lematu 7.5 ( f(x, y d(µ ν(x, y = f(x, y dµ(x dν(y < + Stąd f jest skończenie µ ν - całkowalna. Z twierdzenia Fubiniego dostajemy tezę. Uwaga. Zauważmy, że z faktu istnienia skończonych całek: ( ( f dµ dν, f dν dµ. nie wynika, że funkcja f jest skończenie µ ν-całkowalna. Istotnie, rozważmy funkcję f : [ 1, 1] [ 1, 1] IR daną wzorem xy f(x, y = (x 2 + y 2, gdy (x, y (,, 2, gdy (x, y = (,. Prosty rachunek daje: 1 1 Z drugiej strony dλ(y 1 1 [ 1,1] [ 1,1] f(x, y dλ(x =, 1 1 f + (x, y d(λ λ(x, y 1 dλ(x f(x, y dλ(y =. 1 D f + (x, y d(λ λ(x, y = π/2 1 f + cos ϕ sin ϕ (x, y dxdy = dϕ dr = +, D r gdzie D = { (x, y IR 2 : x 2 + y 2 1, x, y }. Podobnie możemy pokazać, że f (x, y d(λ λ(x, y = +. [ 1,1] [ 1,1] Podkreślmy jeszcze raz fakt, iż w twierdzeniu Fubiniego istotne jest założenie, że funkcja f jest skończenie µ ν-całkowalna, a w twierdzeniu Tonelliego, że całka iterowana jest skończona dla funkcji f. Jak pokazuje powyższy przykład, założeń tych nie można pominąć.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 117 7.3 Zadania Zad. 7.1. Niech (, A i (, D będą przestrzeniami mierzalnymi. Wykazać, że rodzina zawierająca skończone sumy zbiorów postaci A B, gdzie A A, B D jest algebrą. Zad. 7.2. Niech (, A i (, D będą przestrzeniami mierzalnymi. miarami skończonymi na (, A D spełniającymi warunek Niech µ i ν będą µ(a B = ν(a B, dla A A, B D. Wykazać, że µ = ν. Zad. 7.3. Rozważmy funkcję f : [, 1] [, 1] IR daną wzorem x 2 y 2, gdy (x, y (,, (x f(x, y = 2 +y 2 2, gdy (x, y = (,. Sprawdzić, że: 1 dλ(y 1 f(x, y dλ(x = π 1 4, dλ(x 1 f(x, y dλ(y = π 4. Wyjaśnić, dlaczego przykład ten nie jest sprzeczny z twierdzeniem Fubiniego. Zad. 7.4. Niech funkcja f : IR 2 IR będzie dana wzorem 1, jeśli x, x y < x + 1, f(x, y = 1, jeśli x, x + 1 y < x + 2,, dla pozostałych x, y. Sprawdzić, że dλ(y f(x, y dλ(x λ(x f(x, y dλ(y. R R R R Wyjaśnić, dlaczego przykład ten nie jest sprzeczny z twierdzeniem Fubiniego. Zad. 7.5. Niech = = [, 1]. (, 2, µ, gdzie Rozważmy przestrzenie z miarą (, L(, λ oraz µ = x δ x. jest miarą liczącą. Niech f : IR będzie dane wzorem f(x, y = I (x, y, gdzie = { (x, y IR 2 ; x = y }. Sprawdzić, że f(, y dλ =, f(x, dµ = 1
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 118 dla dowolnych x, y [, 1], a w konsekwencji ( f(x, y dλ(x dµ(y =, ( f(x, y dµ(y dλ(x = 1. Zad. 7.6. Niech (, A, µ będzie przestrzenią z miarą skończoną. Niech f : [, ] będzie funkcją mierzalną. Wykazać, że zbiór E = { (x, y [, ] : x, y < f(x } jest A B(IR - mierzalny. Obliczyć (µ λ(e. Zad. 7.7. Niech (, A, µ będzie przestrzenią z miarą σ - skończoną i niech f, g : [, ] będą funkcjami mierzalnymi takimi, że µ ( { x : f(x > t } µ ( { x : g(x > t } dla dowolnego t >. Wykazać, że f dµ g dµ. Zad. 7.8. Stosując twierdzenie Tonelliego wykazać, że r sin(x x dx = ( r a następnie przechodząc z r do wykazać, że e xy sin(x dλ(x dλ(y, r >, sin(x x dx = π 2.