Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy now zmienn zale»nej za pomoc podstawienia: Ró»niczkuj c (2) i przeksztaªcaj c mamy: u(x) = ax + by + c (2) du = a + b Nast pnie podstawiamy (2) i (3) do równania () = = b du a b (3) b) Równanie jednorodne wzgl dem x i y Równanie postaci: ), (4) ( y = f x rozwi zujemy poprzez wprowadzenie nowej zmiennej niezale»nej za pomoc podstawienia: u(x) = y x Podstawiamy zale»no±ci (5) do równania (4) ( ) c) Równanie postaci y = f ax+b y+c a 2x+b 2y+c 2 Równanie postaci w zale»no±ci od przypadku y = ux = ( y a x + b y + c = f a 2 x + b 2 y + c 2 ), = xdu + u (5) Przypadek Je»eli wyznacznik a b a 2 b 2 0 stosujemy podstawienie { x = ξ + x 0, y = η + y 0, (6) gdzie x = x 0, y = y 0 speªnia ukªad { a x 0 + b y 0 = c a 2 x 0 + b 2 y 0 = c 2 Wówczas mamy: dη dξ = f ( ) a ξ + b η a 2 ξ + b 2 η Po wyª czeniu ξ i skróceniu mamy równanie jednorodne typu b) Przypadek 2 Je»eli wyznacznik a b a 2 b 2 = 0 dokonujemy podstawienia: z(x) = a x + b y (7)
d) Uogólnione równanie jednorodne Je»eli wprowadzenie nowej zmiennej: y(x) = z m (x) sprowadza rozpatrywane równanie do równania jednorodnego to nazywamy je uogólnionym równaniem jednorodnym Równanie liniowe pierwszego rz du: Równanie ró»niczkowe postaci + p(x)y = f(x), (8) gdzie funkcje p(x) i f(x) s ci gªe w pewnym wspólnym przedziale (a, b) nazywamy równaniem ró»niczkowym liniowym pierwszego rz du Caªki szczególnej ỹ(x) poszukujemy: a) metoda uzmienniania staªej: ỹ(x) = c(x) e p(x) (9) b) metoda przewiwa«(eulera): Twierdzenie Je»eli f(x) = P m (x)e µx oraz p(x) = p = const to rozwi zanie szczególne równania niejednorodnego poszukujemy w postaci: { Q m (x)e µx, je»eli µ p ỹ(x) = xq m (x)e µx, je»eli µ = p Równanie postaci rozwi zujemy poprzez podstawienie Równanie Bernulliego: Wówczas zostaje ono sprowadzone do równania liniowego Uwaga: Dla α > 0 caªk szczególn równania (0) b dzie zawsze y 0 + p(x)y = f(x)yα, (0) y α (x) = z(x) () Równanie ró»niczkowe Równanie ró»niczkowe zupeªne: nazywamy zupeªnym o ile speªniony jest warunek konieczny i dostateczny czynnik caªkuj cy µ(x, y): a) je»eli P x Q(x,y) b) je»eli Je»eli P (x, y) + Q(x, y) = 0 (2) P = x (3) jest funkcj zale»n tylko od zmiennej x, to µ(x, y) = µ(x) oraz µ(x) = e x P P (x,y) P x Q(x,y) jest funkcj zale»n tylko od zmiennej y, to µ(x, y) = µ(y) oraz µ(y) = e x P P (x,y) x c) je»eli P xp (x,y) yq(x,y) jest funkcj iloczynu xy, to µ(x, y) = µ(u) oraz µ(u) = e x P xp (x,y) yq(x,y) du, gdzie u = xy 2
Równanie rz du pierwszego nierozwi zywalne wzgl dem pochodnych a) równanie typu y = f(x, y ) Je»eli równanie nierozwi zywalne wzgl dem pochodnej mo»na przeksztaªci do postaci y = f(x, y ) (4) tzn równania rozwi zywalnego wzgl dem szukanej funkcji wówczas wprowadzamy parametru p : p = y tzn p = = p b) równanie typu y = f(y, y ) Natomiast je»eli równanie nierozwi zywalne wzgl dem pochodnej mo»na przeksztaªci do postaci x = f(y, y ) (5) tzn równania rozwi zywalnego wzgl dem zmiennej niezale»nej to równie» wprowadzamy parametr p : p = y tzn p = c) równanie Lagrange'a Równaniem Lagrange'a nazywamy równanie postaci = p gdzie funkcje f i g s klasy C w pewnym przedziale oraz f(y ) y W celu rozwi zania równania (6) równie» wprowadzamy parametr p : y = f(y )x + g(y ), (6) y = p = p (7) Uwaga: Równanie to po zró»niczkowaniu sprowadzamy do równanie liniowego (dzielimy przez dp) d) równanie Clairaunta Je»eli w równaniu Lagrange'a y = f(y ) wówczas otrzymujemy równanie postaci jest to tzw równanie Clairaunta Wprowadzamy parametr p tak jak w (7) Wówczas y = y x + g(y ), (8) y = px + g(p) = p + xdp + g (p)dp p = p + xdp + g (p)dp St d (x + g (p)) dp = 0 Równanie ró»niczkowe rz dów wy»szych sprowadzalne do równa«rz dów ni»szych a) równanie postaci F (x, y (k), y (k+),, y (n) ) = 0 Jest to równanie nie zawieraj ce szukanej funkcji oraz oraz jej kolejnych pierwszych pochodnych W równaniu tym k n oraz pochodna rz du k faktycznie wyst puje w równaniu W celu rozwi zania tego równania kªadziemy y (k) (x) = z(x), dalej y (k+) (x) = z (x), y (k+2) (x) = z (x), itd b) równanie postaci F (y, y, y,, y (n) ) = 0 Jest to równanie nie zawieraj ce zmiennej niezale»nej x W celu rozwi zania tego równania kªadziemy y (x) = p(y); y (x) = p p; y (x) = p p 2 + p 2 p; y (IV ) (x) = p p 3 + 4p p p 2 + p 3 p; 3
c) równanie jednorodne wzgl dem funkcji i pochodnych Jest to równanie postaci F (x, y, y, y, y,, y (n) ) = 0, (9) gdzie funkcja F jest jednorodna wzgl dem y, y,, y (n) to znaczy,»e F (x, ky, ky, ky,, ky (n) ) = k m F (x, y, y,, y, y (n) ), (20) gdzie k R \ {0}, a m to stopie«jednorodno±ci tej funkcji Równanie to rozwi zujemy poprzez poªo»enie y (x) = y(x)z(x) y = yz; y = y(z 2 + z ); y = y(z 3 + 3zz + z ); y (IV ) = y(z 4 + 6z 2 z + 3z 2 + 4zz + z ); (2) d) uogólnione równanie jednorodne Równanie nazywamy uogólnionym równaniem jednorodnym, je»eli kªad c: równanie to stanie si równaniem jednorodnym tzn F (x, y, y, y,, y (n) ) = 0 (22) x kx; y k m y; y k m y ; y k m 2 y ; y (n) k m n y (n) ; F (kx, k m y, k m y, k m 2 y,, k m n y (n) ) = k m F (x, y, y, y,, y (n) ) Je»eli ju» znamy warto± m, to równanie (22) rozwi zujemy stosuj c podstawienie: x =e t ; y =z(t)e mt (23) Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach a) Rozwi zanie równania jednorodnego: Stosujemy twierdzenia: a 0 y (n) (x) + a y (n ) (x) + a 2 y (n 2) (x) + + a n y (x) + a n y(x) = 0 (24) Twierdzenie 2 Niech wszystkie pierwiastki λ, λ 2,, λ n równania charakterystycznego s ró»ne tj λ i λ m dla ka»dego i m, i, m n Wte dowolne rozwi zanie równania jednorodnego (24) ma posta : y 0 (x) = n C k e λkx, (25) gdzie C,, C n = const Ponadto dowolna funkcja postaci (25) jest rozwi zaniem równania (24) k= 4
Twierdzenie 3 Niech λ, λ 2, λ s b d ró»nymi pierwiastkami równania charakterystycznego krotno±ci odpowiednio k, k 2,, k s, gdzie k, k 2,, k s < n oraz k + k 2 + + k s = n Wówczas dowolne rozwi zanie równania jednorodnego (24) ma posta : s y 0 (x) = P j (x)e λjx, (26) j= gdzie P j (x) jest wielomianem stopnia (k j ) Ponadto dowolna funkcja postaci (26) jest rozwi zaniem równania (24) b) Rozwi zanie równania niejednorodnego (metoda przewiwa«): y (n) (x) + a y (n ) (x) + a 2 y (n 2) (x) + + a n y (x) + a n y(x) = P m (x)e µx (27) Aby znale¹ (CSRN) ỹ(x) b dziemy stosowa metod przewiwa«opisan w nast puj cych dwóch twierdzeniach: Twierdzenie 4 (przypadek nierezonansowy) Je»eli µ nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego tzn µ {λ, λ 2,, λ n }, to (CSRN) równania (27) jest postaci: ỹ(x) = Q m (x)e µx Twierdzenie 5 (przypadek rezonansowy) Je»eli µ jest pierwiastkiem krotno±ci k (k n) równania charakterystycznego, to (CSRN) równania (27) jest postaci: ỹ(x) = x k Q m (x)e µx W powy»szych dwóch twierdzeniach Q m (x) oznacza wielomian stopnia m o nieoznaczonych wspóªczynnikach Podstawienie: Wówczas y = a ax + bẏ; y = Równanie Eulera a 0 (ax + b) n y (n) (x) + a (ax + b) n y (n ) (x) + + a n (ax + b)y (x) + a n y(x) = f(x), (28) Ze wzoru Liouville'a mamy: t = ln(ax + b) lub ax + b = e t ( ) 2 ( ) 3 a a (ÿ ẏ); y = ( ( ) 4 a y 3ÿ+2ẏ); y (IV ) = ( y 6 y +ÿ 6ẏ) ax + b ax + b ax + b [ y 2 (x) = y (x) ( )] C a (x) exp (x) a 0 (x) (29) y 2 Ukªa równa«ró»niczkowych: rozwi zanie ukªadu niejednorodnego postaci x = Ax + P m (t)e µt, µ C (30) Tutaj P m (t) oznacza wektor zªo»ony z wielomianów, o stopniach nie wi kszych od m Oznaczmy zbiór warto±ci wªasnych macierzy A przez Λ tzn Λ = {λ, λ 2,, λ n } Rozwi za«szczególnych ukªadu niejednorodnego (30) b dziemy poszukiwa stosuj c nast puj ce dwa twierdzenia (w zale»no±ci od przypadku): Twierdzenie 6 (przypadek nierezonansowy) Niech µ nie jest warto±ci wªasn macierzy A tj µ Λ Wówczas rozwi zanie szczególne ukªadu niejednorodnego ma posta : x(t) = Q m (t) e µt, (3) gdzie Q m (t) to wektor wielomianów stopnia co najwy»ej m o wspóªczynnikach nieoznaczonych Twierdzenie 7 (przypadek rezonansowy) Niech µ Λ tzn równa si pewnej warto±ci wªasnej macierzy A Wówczas x(t) = Q m+ (t) e µt, (32) gdzie Q m+ (t) to wektor wielomianów stopnia co najwy»ej m + o wspóªczynnikach nieoznaczonych 5
gdzie p to liczba zespolona Transformacja Laplace'a L{x(t)} = x(p) = L{x (t)} = p x(p) x(0) 0 x(t)e pt dt, (33) L{x (n) (t)} = p n x(p) p n x(0) p n 2 x (0) p n 3 x (0) px n 2 (0) x n (0) Przykªa transformat Laplace'a Niech x(t) = e at, a R, to x(p) = p a 2 Niech x(t) = t n, n N, to x(p) = n! p n+ 3 Niech x(t) = sin bt, b R, to x(p) = b p 2 +b 2 4 Niech x(t) = cos bt, b R, to x(p) = p p 2 +b 2 5 Niech x(t) = t n e at n!, a R, to x(p) = (p a) n+ 6 Niech x(t) = t sin bt, b R, to x(p) = 2bp (p 2 +b 2 ) 2 7 Niech x(t) = t cos bt, b R, to x(p) = p2 b 2 (p 2 +b 2 ) 2 a) Metoda uªamków prostych pierwszego rodzaju Je»eli x(p) = n A k p p k to wówczas x(t) = n A k e pkt k= k= b) Metoda residuów Niech nadal x(p) b dzie wyra»eniem wymiernym Pierwiastki licznika x(p) nazywamy zerami a pierwiastki mianownika biegunami Fundamentalnym wzorem tej meto jest (z twierdzenia Cauchy'ego o residuach): n x(t) = res [ x(p)e pt ], p k, (34) k= gdzie p k to bieguny funkcji x(p) Je»eli x(p) jest funkcj wymiern to dla biegunów p k m krotnych stosujemy wzór: res [ x(p)e pt, p k ] = (m )! lim p p k W przypadku biegunów pojenczych ze wzoru (35) dostajemy: d m dp m [ (p pk ) m x(p)e pt] (35) res [ x(p)e pt, p k ] = lim p p k [ (p pk ) x(p)e pt] (36) Regularna teoria zaburze«rozpatrujemy zagadnienie Cauchy'ego: { ẋ = f(t, x, ε), x(t 0 ) = x 0, gdzie 0 < ε nazywamy maªym parametrem Rozwi zania tego zagadnienia poszukujemy w formie: x ε (t) = x 0 (t) + εx (t) + ε 2 x 2 (t) + + ε n x n (t) + O(ε n ) i nazywamy asymptotycznym rozwini ciem wzgl dem maªego parametru ε dla x ε (t) Przykªa rozwini w szeregi pot gowe wybranych funkcji elementarnych: e x x n = n! = + x + x2 2! + x3 3! +, ( ) n+ x n ln( + x) = = x x2 n 2 + x3 3 x4 4 +, n= ( )x n ) ln( x) = = (x + x2 n 2 + x3 3 + x4 4 +, n= (37) 6
sin x = cos x = ( ) n x 2n+ (2n + )! ( ) n x 2n (2n)! = x x3 3! + x5 5! x7 7! +, = x2 2! + x4 4! x6 6! +, x = x n = + x + x 2 + x 3 +, o ile x <, + x = x n = x + x 2 x 3 +, o ile x <, ( ± x) 3 2 = 3 2 + 3 5 2 4 x2 3 5 7 2 4 6 x3 +, o ile x <, Lp Wzór Uwagi = x + c 2 a = ax + c 3 x α = α+ xα+ + c α R \ { } 4 sin x = cos x + c 5 cos x = sin x + c 6 tg x = ln cos x + c x π + kπ, k N 2 7 ctg x = ln sin x + c x kπ, k N 8 sinh x = cosh x + c 9 cosh x = sinh x + c 0 = tgh x + c cosh 2 x sinh = ctgh x + c 2 2 a x = ln a ax + c a > 0 3 e x = e x + c 4 = ln x + c x 0 x 5 = tg x + c x π + kπ, k N cos 2 x 2 6 = ctg x + c x kπ, k N sin 2 x 7 a = arcsin x + c a 0 2 x 2 a 8 = arctg x + c a 0 a 2 +x 2 a a 9 = ln x 2 +a x + x2 + a + c a R 20 = ln a+x a 2 x 2 2a a x + c a > 0, x a 2 f (x) = ln f(x) + c f(x) 22 = ln ax + b + c ax+b a 23 cos n x = sin x n cosn x + n n cos n 2 x n 2 24 sin n x = cos x n sinn x + n n sin n 2 x n 2 25 x2 + a = x x 2 2 + a + a ln x + x 2 2 + a + c 26 = x + 2n 3 n 2 (x 2 +) n 2n 2 (+x 2 ) n 2n 2 (+x 2 ) n 27 a2 x 2 = a2 arcsin x + x 2 a 2 a2 x 2 + c 7