Zadania o pierścieniach

Zadania o pierścieniach 18.1.2015 Zadania zawieraja odsy lacze do podre czników [AMcD] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction To Commutative Algebra (wiele wydań) [BB] A. Biaynicki-Birula, Zarys algebry, Bibl.Mat. 63, PWN, Warszawa 1987 [BT] A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I (skrypt) http://www.mimuw.edu.pl/%7eaboj/algebra/algfinv1.pdf [Br] J. Browkin, Teoria cia, Bibl.Mat.49, PWN, Warszawa 1977 [BJ] M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1 Sprawdzić, że splot funkcji na grupie jest la czny. 2 Sprawdzić, że odwzorowanie z pierścienia funkcji g ladkich do pierścienia szeregów formalnych polegaja ce na braniu szeregu Taylora jest homomorfizmem pierścieni. 3 Pokazać, że jeżeli a Z p nie nalży do ida lu generowanego przez p = p i=1 1, to a jest elementem odwracalnym. 4 Mówimy, że element a R jest nilpotentny, jeśli istnieje n N takie, że a n = 0. Udowodnić, że zbiór elementów nilpotentnych jest idea lem. 5 Udowodnić, że jeśli element u jest odwracalny, a n nilpotentny, to u + n jest odwracalny. 6 Przypuśćmy, że R < oraz R nie ma dzielników zera. Udowodnić, że R jest cia lem. 7 Niech R = Z[Z p ] be dzie pierścieniem grupowym. a) Czy R ma dzielniki zera? b) Czy R ma elementy nilpotentne? c) Jakie ma elementy odwracalne? 8 Pomie dzy którymi pierścieniami istnieja odwzorowania: Z, Z (p), Z (q), Z[1/p], Z [ 1/q], Z p, Z q, Z p n, Z q m, Q, R, C? (Zrobić tabelke ) 9 Wskazać idea ly pierwsze i maksymalne w 9d a) Z, b) Z (p), c)z[1/p], d) (pis) Z p. Opisać pierścienie ilorazowe. 10 Dla jakiego n idea l I =< x n + 1 > R[x] jest pierwszy? 11 Wykazać, że w R[x] każdy idea l pierwszy jest maksymalny. 12 Czy idea l < x 2 + y 2 1, (x + y) 2 1 > jest pierwszy w R[x, y]? 1

13 (pis) Czy idea l < x 2 + y 2 + 10y, x 2 y > Q[x, y] można przedstawić jako cze ść wspólna idea lów maksymalnych? 14 (pis) Oznaczmy przez ξ C pierwiastek pierwotny z 1 stopnia n. Niech generator grupy Z n dzia la na C[x, y] poprzez dzia lanie na zmiennych x ξx, y ξ 1 y. Udowodnić, że zbiór punktów sta lych dzia lania Z n jest podpierścieniem w C[x, y]. Przedstawić ten pierścien jako iloraz pierścienia wielomianów od 3 zmiennych. 15 (pis) Niech I, J R be idea lami, oraz I + J = R. a) Niech IJ oznacza podgrupe R rozpie ta przez iloczyny ab, gdzie a I, b J. Udowodnić, że zbiór (idea l) IJ jest równy I J. b) Udowodnić, że dla każdej pary a, b R istnieje element x R taki, że x a I oraz x b J. 16 Czy idea l < x 2 + y 2 + z 2 1, 4x 2 + 9y 2 1 > jest pierwszy w R[x, y, z]? 17 W każdym pierścieniu zachodzi R = R m maksymalny m 18 I = {a R n N a n I} jest idea lem. 19 Niech R dowolny pierścień. Jakie sa elementy odwracalne w R[x]. 20 R[x] jest DIG wtedy i tylko wtedy gdy R jest cia lem. 21 Udowodnić, że Z p [x]/(px 1) jest cia lem. Wie cej zadań [M. Reid, Undergraduate Commutative Algebra, http://dmat.cfm.cl/library/ac.pdf ]. 22 Czy idea l I = (x 2 + y 2 + z 2 1, 4x 2 + 9y 2 1) jest pierwszy w R = R[x, y, z]? Nie wiem jak rozwia zać to zadanie elmentarnie. Rozwia zanie nieelementarne: równania x 2 + y 2 + z 2 1, 4x 2 + 9y 2 1 opisuja g ladka krzywa K R R 3, która jest niespójna. Rozpatruja c rozwia zania zespolone dostajemy g ladka krzywa zespolona (powierzchnie Riemanna) K C C 3. Ta krzywa jest już spójna. Pierścień R C /I C = C[x, y, z]/(x 2 + y 2 + z 2 1, 4x 2 + 9y 2 1) jest pierścieniem funkcji wielomianowych na K C. Ponieważ K C jest spójna i g ladka, wie c ten pierścień jest bez dzielników zera. R C /I C, wie c też nie ma dzielników zera. A nasz pierścień ilorazowy R/I jest podpierścieniem w 23 R zawiera dok ladnie jeden idea l pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego element nieodwracalny jest nilpotentny. (wsk. podzielić przez nilradyka l) 24 (pis) Niech I = n k=1 m k, gdzie n > 1 i m k sa parami różnymi idea lami maksymalnymi. Udowodnić, że I nie jest pierwszy. 25 Czy jest praw, że: każdy element pierścienia jest odwracalny lub nilpotentny lub podzielny przez element pierwszy. 26 Udowodnić, że (x 2 2) Q[x] jest idea lem maksymalnym. 2

27 Idea l Jacobsona J = idea ly maksymalne. Wykazać, że x J y R element 1 xy jest odwracalny. 28 (pis) Niech R = Z[ 3]/(p), gdzie p jest liczba pierwsza. Udowodnić, że R jest izomorficzny z F p F p (produkt pierścieni) jeśli p 1 mod 6 lub F p 2 (cia lo o p 2 elementach) gdy p 5 mod 6. 29 (pis) Niech k be dzie cia lem (aby nie musieć wyjaśniać, co to sa pochodne za lóżmy, że k C). Dana funkcja wielomianowa f : k n k r, f(x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f r (x 1,..., x n )), gdzie f 1,..., f r k[x 1,..., x n ]. Przez f : k[y 1,... y r ] k[x 1,... x n ] oznaczmy przekszta lcenie zadane na generatorach f (y i ) = f i. Niech a = (a 1,..., a n ) k n be dzie dowolnym punktem oraz f(a) = (b 1,..., b r ) k r. Definiujemy m a = {g k[x 1,..., x n ] g(a) = 0} i analogicznie m b. Mamy f (m b ) m a, wie c dostajemy przekszta lcenie m b /m 2 b m a/m 2 a też oznaczane przez f. a) Wykazać, że f : m b /m 2 b m a/m 2 a jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy macierz ( ) fi Df(a) := (a) M r n (k) x j i=1,...,r, j=1,...,n ma rza d r. b) Zak ladaja c warunek a) wykazać, że m a /m 2 a coker(f : (m b /m 2 b ) m a/m 2 a)), gdzie m a jest obrazem idea lu m a w pierścieniu ilorazowym k[x 1,..., x n ]/(f 1 b 1,..., f r b r ). 30 (pis) Niech α i β be rozwia zaniami równania z lotego podzia lu x 2 = x + 1. Niech R = Z[α]. Definiujemy funkcje : v : R N, v(a + bα) = (a + bα)(a + bβ). Wykazać, że R jest pierścieniem euklidesowym z waluacja v. (Patrz zad 0.20 u Reida.) 31 Czy wielomian x p 1 1 rozk lada sie na czynniki liniowe w Z p? 32 Czy w Z p sa pierwiastki z 1 stopnia p? 33 Przypuśćmy, że R zawiera dok ladnie jeden idea l maksymalny m oraz k=1 mk = 0. Mówimy, że cia g elementów pierścienia spe lnia warunek Cauchy ego jeśli r N n 0 N m, n > n 0 a n a m m r Mówimy, że cia g elementów pierścienia jest zbieżny, jeśli istnieje b R takie, że r N n 0 N n > n 0 a n b m r Za lóżmy że w R jest spe lnione: każdy cia g Cauchy ego jest zbieżny. Udowodnić Lemat Hensela: Niech f = x n +b n 1 x n 1 + +b 0 R[x]. Przypuśćmy, że f 0 = [f] R/m[x] rozk lada sie na wielomiany f 0 = g 0 h 0 takie, że (g 0, h 0 ) = 1. Wtedy istnieja wielomiany g, h R[x], takie, że f = gh oraz [g] = g 0, [h] = h 0. 34 Zrobić powyższe zadanie w latwiejszej wersji, przy za lożeniu, że g 0 jest czynnikiem liniowym. 3

35 Niech I be dzie idea lem oraz S systemem multiplikatywnym, I S =. Wykazać, że istnieje idea l pierwszy P taki, że I P oraz P S =. Wykazać, że za P można wzia ć ι 1 (m), gdzie m R S jest pewnym idea lem maksymalnym, a ι : R R S kanonicznym homomorfizmem. 36 R DJR. Mówimy, że f = n i=0 a ix i R[x] jest prymitywny, jeśli a i nie maja wspólnych czynników. Udowodnić, że produkt wielomianów prymitywnych jest prymitywny. 37 Opisać grupe automorfizmów domknie cia algebraicznegp F p. 38 Niech K = (F p [x p ]) L = (F p [x]) be cia lami funkcji wymiernych. Czy istnieje wielomian f K[y], którego pierwiastkiem jednokrotnym w L jest x? 39 Czy Z 5 [X]/(X 2 + 2) jest cia lem? Znaleźć idea ly maksymalne pierścienia Z 5 [X]/(X 3 + 3X 2 + 2X + 1). 40 Sprawdzić, że pierścień Z 7 [X]/(X 3 + 2) jest cia lem. Znaleźć liczbe jego elementów. Korzystajac z algorytmu Euklidesa znaleźć w nim odwrotność elementu wyznaczonego przez wielomian X + 1. 41 W pierścieniu Z[i] znaleźć N W D(2+11i, 1+3i). Znaleźć rozk lad liczby 15 na czynniki nierozk ladalne. 42 a) Pokazać, że w rozk ladzie na czynniki pierwsze w Z liczby naturalnej be cej suma kwadratów l = m 2 + n 2 każdy czynnik postaci 4k 1 wyste puje w pote dze parzystej. b) Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4k + 1 oraz postaci 4k + 3. 43 Pokazać, że w pierścieniu Z[ 5] nie istnieje NW D(4, 2+2 5). Podać przyk lad elementu nierozk ladalnego w Z[ 5], który nie jest pierwszy. Podać przyk lad idea lu w Z[ 5], który nie jest g lówny. 44 Znaleźć wszystkie homomorfizmy pierścienia Z[ 5][X]/(X 2 + 4) w pierścień Z 10. 45 (pis) Udowodnić, że z dok ladnościa do stowarzyszenia elementami pierwszymi w Z[ 2] sa : (a) 2 (b) liczby pierwsze ca lkowite postaci 8n ± 3 (c) dzielniki a + b 2, b 0 liczb pierwszych ca lkowitych postaci 8n ± 1. 46 W pierścieniu Z[ 2] znaleźć: (a) NW D(a + b 2, a b 2) (b) NW D(6 + 4 2, 8 2 2). 47 (pis) Niech R be dzie dziedzina z jednoznacznościa rozk ladu, zaś K jej cia lem u lamków. Udowodnić, że jeżeli dla d R równanie a 2 = d ma rozwia zanie w K, to ma rozwia zanie w R. Znaleźć kontrprzyk lad jeżeli R nie jest dziedzina z jednoznacznościa rozk ladu. 48 W pierścieniu Q[X, Y ] zbadać nierozk ladalność wielomianu f(x, Y ) = X 5 Y 3 + 5Y 6 + 5X 5 + 2X 2 Y 3 + X 2 Y + X. 4

49 Korzystaja c z kryterium Eisensteina udowodnić, że f(x, Y ) = X 4 + 2Y 2 X 3 + 3Y 3 X 2 + 4Y X + 5Y + 6Y 2 jest nierozk ladalny w pierścieniu Z[X, Y ]. 50 (pis) Dla jakiego a Q pierścienie Q[X]/((X 2 + 2)(X 2)) oraz Q[X]/((X 2 + 2X + 3)(X + a)) sa izomorficzne? Podać izomorfizm (jeśli istnieje) dla a = 3 i a = 2. 51 Znaleźć wszystkie homomorfizmy pierścieni Z[X]/(X 2 + 7X + 6) Z 5. Udowodnić, że to sa faktycznie homomorfizmy i że to sa rzeczywiście wszystkie. Definicja uzupe lnienia w ideale maksymalnym: R m = lim n R/m n. 52 (pis) a) Niech R 1 = C[t] i R 2 = C[x, y]/(y 2 x(x 2 1)). Niech m 1 = (t) R 1 i m 2 = (x, y) R 2 be idea lami maksymalnymi. Wykazać, że (R 1 ) m 1 (R 2 ) m 2. b) Dla che tnych: czy lokalizacje w dope lnieniach tych idea lów sa izomorficzne? 53 Czy K[[X]] jest dziedzina Euklidesowa? (W tym zadaniu K jest cia lem.) 54 Pokazać, że dla pierścienia R naste puja ce warunki sa równoważne: a) suma elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym b) zbiór elementów nieodwracalnych jest idea lem c) R jest pierścieniem lokalnym (tzn. zawiera tylko jeden idea l maksymalny). 55 Za lóżmy, że jeżeli R jest pierścieniem Noetherowskim. Czy pierścień szeregów formalnych R[[X]] jest także noetherowski? 56 Rozstrzygna ć, czy jeżeli dla każdego idea lu pierwszego I R pierścień lokalny S 1 R, gdzie S = R\I, jest pierścieniem noetherowskim, to R musi być także pierścieniem noetherowskim. Definicja: Pierścieniem elementów ca lkowitych cia la Q[ d] nazywamy zbiór tych elementów, które sa pierwiastkami wielomianów postaci a o + a 1 X +... + a n 1 X n 1 + X n, a i Z. 57 Sprawdzić, że zdefiniowany pierścień elementów ca lkowitych jest istotnie podpierścieniem cia la Q[ d]. Pokazać, że jeżeli d 0, 1 i d nie jest kwadratem w Z, to podpierścień elementów ca lkowitych cia la Q[ d] jest równy: Spektrum pierścienia Z[ d] dla d 2, 3 (mod 4), Z[ 1+ d 2 ] dla d 1 (mod4). 58 Niech R be dzie pierścieniem i niech Spec R oznacza zbiór idea lów pierwszych R. Dla dowolnego podzbioru E R niech V (E) oznacza zbiór idea lów pierwszych zawieraja cych E. Dla a R oznaczamy V (a) = V ({a}). Sprawdzić, że: 5

a) V (E) = V ((E)), gdzie (E) oznacza idea l generowany przez zbiór E R. b) rodzina {V (E)} E R spe lnia aksjomaty rodziny podzbiorów domknie tych dla pewnej topologii na Spec R. Topologie te nazywamy topologia Zariskiego c) rodzina {U a } a R, gdzie U a = Spec R \ V (a) jest baza topologii Zariskiego. d) U a U b = U ab e) U a = Spec R a jest elementem odwracalnym f) U a = a jest elementem nilpotentym g) z każdego otwartego pokrycia Spec R można wybrać pokrycie skończone h) Spec R z topologia Zariskiego jest T 0 przestrzenia. 59 Domknie cie dowolnego punktu P Spec R w topologii Zariskiego to zbiór idea lów zawieraja cych P. Idea ly maksymalne sa domknie tymi punktami. (Zbiór idea lów maksymalnych oznaczamy SpecMax R.) 60 Homomorfizm pierścieni f : R R definiuje odwzorowanie cia g le f : Spec R Spec R. 61 Opisać odwzorowanie cia g le Spec C[x] Spec R[x] indukowane przez R C. 62 Niech R be dzie pierścieniem. Naste puja ce warunki sa równoważne: a) Spec R jest niespójne b) R = R 1 R 2, gdzie R 1 i R 2 sa pierścieniami niezerowymi. c) R zawiera element r R, taki że r 2 = r, r 0 i r 1. 63 Jeżeli R jest pierścieniem lokalnym, to Spec R jest spójne. 64 Niech S R be dzie systemem multyplikatywnym w R, zaś ι : R S 1 R homomorfizmem lokalizacji. a) ι : Spec S 1 R Spec R jest zanurzeniem homeomorficznym b) jeżeli S = {1, a, a 2,..} to ι (Spec R S ) = U a c) jeżeli S = R \ I, gdzie I jest idea lem pierwszym, to ι (Spec R S ) = I U U, gdzie U jest otwartym otoczeniem I w Spec R. 65 Niech X be dzie przestrzenia topologiczna zwarta Hausdorffa i niech C(X) be dzie pierścieniem rzeczywistych funkcji cia g lych na X. a) pokazać, że dla każdego punktu x X idea l I x = {f C(X) : f(x) = 0} jest maksymalny. b) (Gelfand) Udowodnić, że przekszta lcenie Φ : X SpecMax (C(X)), gdzie Φ(x) = I x jest homeomorfizmem. VERTE 6

Do domu pisemnie na środe 68, 70. Rozk lad prymarny 66 Niech R = k[x, y, z]. Czy idea l I = (zy 2 x 2, z 2 ) jest prymarny? 67 Niech R = k[x, y], I = (x 2 + y 2 1, (x 2 1)y 2 ). Znaleźć rozk lad prymarny I. 68 Niech R = k[x, y, z]/(xy z 2 ). Pokazać, że I = (x, z) jest pierwszy, ale I 2 nie jest prymarny. Znaleźć rozk lad prymarny I 2. 69 Niech R = k[x, y]. Podać dwa rozk lady prymarne idea lu (x 2, xy). 70 Niech R = k[x, y, z], P 1 = (x, y) P 2 = (x, z), I = P 1 P 2. Znaleźć rozk lad prymarny I. Rozk lad prymarny w pierścieniu wielomianów można znaleźć w programie Sage (http://sage.mimuw.edu.pl/). Trzeba napisać np: R.<x, y> = PolynomialRing(GF(7)) I=(x 2 +y 2-1,x)*R; print I.primary decomposition() print print I.associated primes() W odpowiedzi dostajemy rozk lad prymarny I = (x 2 + y 2 1, x) F 7 [x, y] i stowarzyszone idea ly pierwsze. Patrz http://sage.mimuw.edu.pl/home/pub/129 71 Z n Z m? 72 Niech R be dzie dowolnym pierścieniem. Niech A R B oznacza produkt tensorowy R-algebr (koprodukt w kategorii R-algebr). W szczególności Z =. k[x 1, x 2,..., x n ] k k[y 1, y 2,..., y m ]? C R C?. 73 a) Czy naturalne przekszta lcenie Spec(A R B) Spec(A) Spec(B) musi być przekszta lceniem,,na? b) To samo pytanie dla SpecM ax. (Rozpatrzeć przyk lady z poprzedniego zadania oraz Z Z.) 74 Czy idea l (x 2 yz, z 2 ) jest prymarny? (dokończyć z ćwiczeń). 75 Dany pierścień R. Dla a R przez R a oznaczmy lokalizacje R w systemie multiplikatywnym generowanym przez a. Ponadto dla a b niech r a b : R a R b oznacza naturalny homomorfizm likalizacji. Niech {a i } i I R be dzie takim zbiorem elementów, że Spec(R) = i I U a i. Za lóżmy, że dany jest zbiór elementów s i R ai spe lniaja cy: r a i a i a j (s i ) = r a j a i a j (s j ) R ai a j dla każdego i, j I. Wykazać, że istnieje dok ladnie jeden s R, taki, że r 1 a i (s) = s i. 76 Podać prymarny rozk lady idea lu (4) w Z[ 5]. 7