Spis treści. Wstęp 7. Oznaczenia 9

Transkrypt

1 4

2 Spis treści Wstęp 7 Oznaczenia 9 Rozdział 1. Pierścienie i ideały 11 Pierścienie i homomorfizmy pierścieni 11 Ideały, pierścienie ilorazowe 12 Dzielniki zera, elementy nilpotentne, jedności 12 Ideały pierwsze i ideały maksymalne 13 Nilradykał oraz radykał Jacobsona 15 Operacje na ideałach 16 Rozszerzenie i zawężenie 19 Zadania 20 Rozdział 2. Moduły 29 Moduły i homomorfizmy modułów 29 Podmoduły i moduły ilorazowe 30 Operacje na podmodułach 31 Suma prosta i iloczyn prosty 32 Moduły skończenie generowane 32 Ciągi dokładne 34 Iloczyn tensorowy modułów 36 Zawężenie i rozszerzenie skalarów 39 Dokładne własności iloczynu tensorowego 39 Algebry 41 Iloczyny tensorowe algebr 42 Zadania 42 Rozdział 3. Pierścienie i moduły ułamków 49 Własności lokalne 53 Rozszerzenia i zawężenia ideałów w pierścieniach ułamków 54 Zadania 56 Rozdział 4. Rozkład prymarny 63 Zadania 68 Rozdział 5. Zależność całkowita i waluacje 73 Zależność całkowita 73 Twierdzenie going-up 75 Całkowicie domknięte pierścienie całkowite. Twierdzenie going-down 76

3 6 SPIS TREŚCI Pierścienie waluacyjne 79 Zadania 81 Rozdział 6. Warunki łańcuchowe 91 Zadania 95 Rozdział 7. Pierścienie noetherowskie 97 Rozkład prymarny w pierścieniach noetherowskich 99 Zadania 101 Rozdział 8. Pierścienie artinowskie 107 Zadania 109 Rozdział 9. Pierścienie dyskretnie waluacyjne i pierścienie Dedekinda 111 Pierścienie dyskretnie waluacyjne 112 Pierścienie Dedekinda 113 Ideały ułamkowe 114 Zadania 116 Rozdział 10. Uzupełnienia 119 Topologie i uzupełnienia 120 Filtracje 124 Pierścienie i moduły z gradacją 124 Stowarzyszony pierścień z gradacją 130 Zadania 132 Rozdział 11. Teoria wymiaru 135 Funkcja Hilberta 135 Teoria wymiaru lokalnych pierścieni noetherowskich 138 Regularne pierścienie lokalne 141 Wymiar przestępny 143 Zadania 144 Skorowidz 147

4 Wstęp Algebra komutatywna zajmuje się przede wszystkim badaniem pierścieni przemiennych. Ogólnie rzecz biorąc, wywodzi się ona z dwóch źródeł: (1) geometrii algebraicznej oraz (2) algebraicznej teorii liczb. W (1) prototypem badanych pierścieni jest pierścień k[x 1,..., x n ] wielomianów wielu zmiennych nad ciałem k; w (2) jest to pierścień Z liczb całkowitych. Z tych dwóch dziedzin przypadek występujący w geometrii algebraicznej ma szerszy zasięg oraz dzięki nowoczesnym metodom wprowadzonym przez Grothendiecka zawiera on znaczną część algebraicznej teorii liczb. Algebra komutatywna jest obecnie jednym z fundamentów współczesnej geometrii algebraicznej. Dostarcza ona narzędzi do badania własności lokalnych w bardzo podobny sposób, w jaki analiza różniczkowa dostarcza narzędzi geometrii różniczkowej. Książka ta powstała na bazie serii wykładów dla studentów trzeciego roku Uniwersytetu w Oksfordzie i ma na celu szybkie zapoznanie czytelnika z tematem. Jest ona przewidziana dla studentów, którzy uczęszczali wcześniej na podstawowy kurs z algebry. Z drugiej strony, nie ma ona zastępować bardziej obszernych książek z algebry komutatywnej autorów takich jak Zariski Samuel [4] lub Bourbaki [1]. Skoncentrowaliśmy się na kilku głównych tematach i niektóre działy, jak np. teoria ciał, nie są w ogóle omówione. Przedstawiamy raczej więcej materiału niż Northcott [3], a nasze podejście jest zasadniczo inne podążając za nowoczesnym trendem, kładziemy większy nacisk na moduły i lokalizację. Głównym pojęciem w algebrze komutatywnej jest pojęcie ideału pierwszego. Jest to uogólnienie pojęcia liczby pierwszej znanego z arytmetyki oraz punktu znanego z geometrii. Geometryczna koncepcja koncentrowania uwagi w pobliżu punktu ma swój odpowiednik algebraiczny. Jest to proces lokalizacji pierścienia względem ideału pierwszego. Nie jest zatem dziwne, iż pożyteczne może być myślenie o rezultatach dotyczących lokalizacji w terminach geometrycznych. Takim podejściem jest np. teoria schematów Grothendiecka. Częściowo jako wstęp do prac Grothendiecka [2], a częściowo ze względu na to, iż pomaga to w lepszym zrozumieniu aspektów geometrycznych, dodaliśmy, jako zadania i uwagi, odpowiedniki wielu twierdzeń w języku schematów. Książka ta powstała na bazie notatek z wykładów, przez co jej styl jest raczej zwięzły, z niedużą ilością ogólnych opisów, a raczej wieloma dowodami. Oparliśmy się pokusie rozbudowania książki w nadziei, iż zwięzłość naszej prezentacji przyczyni się do lepszego przedstawienia struktury matematycznej działu, który jest obecnie elegancką i interesującą teorią. Naszym celem było dotarcie do głównych twierdzeń poprzez serie prostych przejść. Staraliśmy się omijać rutynowe rachunki. Każdy, kto pisze obecnie na temat algebry komutatywnej, staje przed dylematem związanym z algebrą homologiczną, która odgrywa teraz bardzo istotną rolę w rozwoju. Właściwe omówienie algebry homologicznej jest niemożliwe do zrealizowania w małej książce: z drugiej strony, nie byłoby rozsądne całkowite ominięcie tematu.

5 8 WSTĘP Zdecydowaliśmy się na użycie elementarnych metod algebry homologicznej ciągów dokładnych, diagramów itd. lecz nie prezentowaliśmy wyników wymagających zaawansowanej wiedzy z teorii homologii. W ten sposób mamy nadzieję przygotować czytelnika do właściwego kursu z algebry homologicznej, który jest konieczny dla każdego pragnącego zajmować się geometrią algebraiczną. Przygotowaliśmy znaczną liczbę zadań pod koniec każdego rozdziału. Niektóre z nich są łatwe, a niektóre trudne. Zazwyczaj przy trudnych zadaniach znajdują się wskazówki lub kompletne rozwiązania. Jesteśmy wdzięczni Panu R.Y. Sharpowi, który rozwiązał je wszystkie i niejeden raz uchronił nas od błędu. Nie próbujemy opisać wkładu wielu matematyków, którzy pomogli rozwinąć teorię przedstawioną w tej książce. Pragnęlibyśmy jednakże wyrazić naszą wdzięczność J.-P. Serre owi oraz J. Tate owi, którzy przekazali nam swą wiedzę i których wpływ miał decydujące znaczenie przy sposobie przedstawienia i wyborze materiału. Bibliografia [1] N. Bourbaki, Algébre Commutative, Hermann, Paris [2] A. Grothendieck i J. Dieudonne, Éléments de Géometrie Algébrique, Publications Mathématiques de l I.H.E.S., Nos. 4, 8, 11,..., Paris [3] D.G. Northcott, Ideal Theory, Cambridge University Press, [4] O. Zariski i P. Samuel, Commutative Algebra I, II, Van Nostrand, Princeton 1958, 1960.

6 Oznaczenia Pierścienie i moduły oznaczane są dużymi pochyłymi literami, a ich elementy małymi pochyłymi literami. Ciało jest często oznaczane przez k. Ideały są oznaczane małymi gotyckimi literami. Z, Q, R, C odpowiadają kolejno pierścieniowi liczb całkowitych, ciału liczb wymiernych, ciału liczb rzeczywistych i ciału liczb zespolonych. Funkcje są zawsze pisane z lewej strony, tak więc wartość funkcji f na elemencie x jest dana przez f(x), a nie (x)f. Złożenie odwzorowań f : X Y, g : Y Z oznaczamy więc g f, a nie f g. Odwzorowanie f : X Y jest injekcją, gdy równość f(x 1 ) = f(x 2 ) implikuje x 1 = x 2 ; surjekcją, gdy f(x) = Y ; bijekcją, gdy jest zarówno injekcją, jak i surjekcją. Koniec dowodu (lub jego brak) jest oznaczany. Zawieranie się zbiorów jest oznaczane przez. Rezerwujemy znak dla silnego zawierania. Tak więc A B oznacza, iż A jest zawarty w B i nie jest równy B.

7

8 ROZDZIAŁ 1 Pierścienie i ideały Rozpoczniemy od szybkiego powtórzenia definicji i elementarnych własności pierścieni. To pokaże, ile będziemy wymagać od czytelnika, jak również pozwoli ustalić notację. Po tym przeglądzie przejdziemy do omówienia ideałów pierwszych i maksymalnych. Reszta rozdziału jest poświęcona wytłumaczeniu różnych elementarnych operacji, które mogą być wykonywane na ideałach. Językiem schematów Grothendiecka zajmujemy się w zadaniach na końcu. Pierścienie i homomorfizmy pierścieni Pierścień A jest zbiorem z dwiema binarnymi operacjami (dodawaniem i mnożeniem) spełniającymi poniższe warunki: 1) A jest grupą abelową ze względu na dodawanie (tak więc A posiada zerowy element, oznaczany przez 0, oraz dla każdego x A istnieje jego (addytywna) odwrotność x). 2) Mnożenie jest łączne ((xy)z = x(yz)) oraz rozdzielne ze względu na dodawanie (x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx). Będziemy rozważać jedynie pierścienie przemienne: 3) xy = yx dla dowolnych x, y A oraz posiadające jedynkę (oznaczaną przez 1): 4) 1 A takie, że x1 = 1x = x dla każdego x A. W pierścieniu może być tylko jedna jedynka. W całej książce pisząc pierścień, mamy na myśli pierścień przemienny z jedynką, tak więc spełniający aksjomaty od 1) do 4) wymienione powyżej. Uwaga. W 4) nie zakładamy, że 1 jest różne od 0. Jeśli tak jest, wtedy dla każdego x A mamy x = x1 = x0 = 0, a więc A posiada tylko jeden element: 0. W takim przypadku A jest pierścieniem zerowym, oznaczanym również przez 0. Homomorfizmem pierścieni nazywamy odwzorowanie f prowadzące z pierścienia A w pierścień B takie, że: i) f(x + y) = f(x) + f(y) (oznacza to, iż f jest homomorfizmem grup abelowych, więc również f(x y) = f(x) f(y), f( x) = f(x), f(0) = 0); ii) f(xy) = f(x)f(y); iii) f(1) = 1. Inaczej mówiąc, f jest addytywne, multiplikatywne i zachowuje jedynkę.

9 12 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY Podzbiór S pierścienia A nazywamy podpierścieniem A, gdy S jest zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie oraz zawiera jedynkę pierścienia A. Funkcja identycznościowa prowadząca z S w A jest wtedy homomorfizmem pierścieni. Jeśli f : A B, g : B C są homomorfizmami pierścieni, to wówczas ich złożenie g f : A C jest również homomorfizmem pierścieni. Ideały, pierścienie ilorazowe Ideałem a pierścienia A nazywamy podzbiór A, który jest podgrupą ze względu na dodawanie oraz Aa a (tzn. x A i y a implikuje xy a). W grupie ilorazowej A/a istnieje kanoniczne mnożenie indukowane z A, które tworzy z tej grupy pierścień, zwany pierścieniem ilorazowym A/a. Elementami A/a są klasy abstrakcji względem a elementów z A. Odwzorowanie φ: A A/a, które przypisuje każdemu x A jego klasę abstrakcji x + a, jest surjektywnym homomorfizmem pierścieni. Często będziemy wykorzystywać następujący fakt: Stwierdzenie 1.1. Istnieje wzajemnie jednoznaczne, zachowujące inkluzje odwzorowanie pomiędzy ideałami b pierścienia A, które zawierają a, a ideałami b pierścienia A/a, zadane przez b = φ 1 (b). Jeśli f : A B jest homomorfizmem pierścieni, to jądro f(= f 1 (0)) jest ideałem a w A, natomiast obraz f(= f(a)) jest podpierścieniem C pierścienia B; w takim przypadku f indukuje izomorfizm pierścieni A/a = C. Czasami będziemy używać zapisu x y (mod a), który oznacza, iż x y a. Dzielniki zera, elementy nilpotentne, jedności Dzielnikiem zera w pierścieniu A nazywamy element x, który dzieli 0, tzn. dla którego istnieje element y 0 pierścienia A taki, że xy = 0. Pierścień bez dzielników zera 0 (i taki w którym 1 0) nazywamy pierścieniem całkowitym. Na przykład Z i k[x 1,..., x n ] (k ciało, x i zmienne) są pierścieniami całkowitymi. Element x A jest nilpotentny 1, gdy x n = 0 dla pewnego n > 0. Element nilpotentny jest dzielnikiem zera (o ile A 0), lecz (w ogólnym przypadku) nie na odwrót. Jednością w A nazywamy element x, który dzieli 1, tzn. taki, że xy = 1 dla pewnego y A. W takim przypadku y jest jednoznacznie wyznaczony przez x i jest oznaczany x 1. Jedności pierścienia A tworzą (multiplikatywną) grupę abelową. Wielokrotności ax elementu x A tworzą ideał główny, oznaczany przez (x) lub Ax. Element x jest jednością (x) = A = (1). Ideał zerowy (0) jest standardowo oznaczany przez 0. Ciałem nazywamy pierścień A, w którym 1 0 oraz każdy niezerowy element jest jednością. Każde ciało jest pierścieniem całkowitym (lecz nie na odwrót: Z nie jest ciałem). Stwierdzenie 1.2. Niech A będzie pierścieniem 0. Następujące warunki są równoważne: i) Pierścień A jest ciałem; ii) Jedyne ideały w A to 0 i (1); iii) Każdy homomorfizm z pierścienia A w niezerowy pierścień B jest injektywny. 1 Czasami używa się też określenia nilpotent (przyp. tłum.).

10 IDEAŁY PIERWSZE I IDEAŁY MAKSYMALNE 13 Dowód. i) ii). Niech a 0 będzie ideałem A. W takim przypadku a zawiera niezerowy element x; x jest jednością, zatem a (x) = (1), a więc a = (1). ii) iii). Niech φ: A B będzie homomorfizmem pierścieni. W takim przypadku Ker(φ) jest ideałem (1) pierścienia A, a więc Ker(φ) = 0, zatem φ jest injektywne. iii) i). Niech x będzie dowolnym elementem A, który nie jest jednością. W takim przypadku (x) (1), a więc B = A/(x) jest niezerowym pierścieniem. Niech φ: A B będzie kanonicznym epimorfizmem A w B, którego jądrem jest (x). Z założenia φ jest injektywne, więc (x) = 0, a zatem x = 0. Ideały pierwsze i ideały maksymalne Ideał p pierścienia A nazywamy pierwszym, gdy p (1) oraz xy p x p lub y p. Ideał m pierścienia A nazywamy maksymalnym, gdy m (1) oraz nie istnieje ideał a taki, że m a (1) (silne inkluzje). Równoważnie: p jest pierwszy A/p jest pierścieniem całkowitym; m jest maksymalny A/m jest ciałem (z (1.1) i (1.2)). Tak więc każdy ideał maksymalny jest pierwszy (ale w ogólnym przypadku nie na odwrót). Ideał zerowy jest pierwszy A jest pierścieniem całkowitym. Jeśli f : A B jest homomorfizmem pierścieni i q jest ideałem pierwszym w B, to f 1 (q) jest ideałem pierwszym w A, gdyż A/f 1 (q) jest izomorficzny z podpierścieniem B/q, a więc nie posiada dzielników zera 0. Jeśli natomiast n jest ideałem maksymalnym pierścienia B, to f 1 (n) niekoniecznie jest maksymalny w A; jedyne, co możemy o nim stwierdzić, to to, że jest on pierwszy. (Przykład: A = Z, B = Q, n = 0.) Ideały pierwsze są kluczowymi obiektami w całej algebrze przemiennej. Następujące twierdzenie oraz wnioski z niego wynikające pokazują, iż istnieją one w dowolnym pierścieniu. Twierdzenie 1.3. Dowolny pierścień A 0 posiada przynajmniej jeden ideał maksymalny. (Pamiętajmy, iż pierścień oznacza pierścień przemienny z 1.) Dowód. Jest to standardowe zastosowanie lematu Kuratowskiego Zorna 2. Niech Σ będzie zbiorem wszystkich ideałów (1) pierścienia A. Na Σ wprowadzamy częściowy porządek zadany przez inkluzję. Zbiór Σ nie jest pusty, gdyż 0 Σ. Chcąc zastosować lemat Kuratowskiego Zorna, musimy wykazać, iż każdy łańcuch w Σ posiada majorantę należącą do Σ; jeśli (a α ) jest łańcuchem ideałów w Σ, to dla każdej pary indeksów α,β wiemy, że a α a β lub a β a α. Niech a = α a α. Otrzymany zbiór a jest ideałem (proszę sprawdzić) oraz 1 a, gdyż 1 a α dla każdego α. Stąd a Σ oraz oczywiście a jest majorantą danego łańcucha. Z lematu Kuratowskiego Zorna w Σ istnieje element maksymalny. 2 Niech S będzie niepustym, częściowo uporządkowanym zbiorem (tzn. na S zadana jest relacja x y, która jest zwrotna, przechodnia oraz słabo antysymetryczna, tj. x y i y x implikują y = x). Podzbiór T zbioru S nazywamy łańcuchem, jeśli dla każdej pary elementów x, y z T, x y lub y x. Lemat Kuratowskiego Zorna orzeka, iż: jeśli każdy łańcuch T w S ma majorantę (tzn. istnieje x S taki, że t x dla każdego t T ), to w S istnieje element maksymalny. Dowód równoważności lematu Kuratowskiego Zorna, pewnika wyboru, twierdzenia o istnieniu dobrego porządku itd. znajduje się np. w książce P.R. Halmosa pt. Naive Set Theory, Van Nostrand, 1960, Springer-Verlag, 1974.

11 14 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY Wniosek 1.4. Jeśli a (1) jest ideałem pierścienia A, to istnieje ideał maksymalny pierścienia A, zawierający a. Dowód. Wystarczy zastosować twierdzenie (1.3) do A/a, pamiętając o stwierdzeniu (1.1). Można również zmodyfikować dowód (1.3). Wniosek 1.5. Dowolny element niebędący jednością w A jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. Uwagi. 1) Jeśli A jest noetherowski (rozdział 7), możemy uniknąć odwoływania się do lematu Kuratowskiego Zorna: zbiór wszystkich ideałów (1) posiada element maksymalny. 2) Istnieją pierścienie z dokładnie jednym ideałem maksymalnym, np. ciała. Pierścień A z dokładnie jednym ideałem maksymalnym m nazywany jest pierścieniem lokalnym. Ciało k = A/m nazywane jest ciałem rezydualnym pierścienia A. Stwierdzenie 1.6. i) Niech A będzie pierścieniem, a m (1) ideałem A takim, że dowolny x A\m jest jednością pierścienia A. W takim przypadku A jest pierścieniem lokalnym, a m jego jedynym maksymalnym ideałem. ii) Niech A będzie pierścieniem z ideałem maksymalnym m takim, że dowolny element zbioru 1+m (tzn. dowolny element postaci 1+x, gdzie x m) jest jednością. Wtedy A jest pierścieniem lokalnym. Dowód. i) Każdy ideał (1) nie zawiera jedności, więc jest zawarty w m. To oczywiście implikuje, iż m jest jedynym ideałem maksymalnym pierścienia A. ii) Niech x A\m. Ideał m jest ideałem maksymalnym, a więc m + Ax = (1). Wiemy zatem, iż istnieją a A, y m takie, że ax + y = 1. Stąd ax = 1 y, więc ax 1+m, toteż, z założenia, ax jest jednością. Teza wynika teraz z podpunktu i). Pierścień w którym istnieje jedynie skończenie wiele ideałów maksymalnych, nazywamy semilokalnym. Przykłady. 1) A = k[x 1,..., x n ], k ciało. Niech f A będzie wielomianem nierozkładalnym. Z jednoznaczności rozkładu ideał (f) jest pierwszy. 2) A = Z. Każdy ideał w Z ma postać (m) dla pewnego m 0. Ideał (m) jest pierwszy m = 0 lub m jest liczbą pierwszą. Wszystkie ideały (p), gdzie p jest liczbą pierwszą, są maksymalne: Z/(p) jest ciałem p elementowym. To samo dotyczy przykładu 1) dla n = 1, lecz nie dla n > 1. Ideał m wszystkich wielomianów w A = k[x 1,..., x n ] o współczynniku wolnym równym zeru jest maksymalny (jest to jądro epimorfizmu A k, który przypisuje f A wartość f(0)). Jednak dla n > 1 ideał m nie jest główny: minimalny zbiór generatorów zawiera n elementów. 3) Dziedziną ideałów głównych nazywamy pierścień całkowity, w którym każdy ideał jest główny. W takim pierścieniu każdy niezerowy ideał pierwszy jest maksymalny, bo jeśli (x) (0) jest ideałem pierwszym oraz (y) (x), to x (y), czyli x = yz, a więc yz (x) i y (x), zatem z (x): powiedzmy z = tx. W takim przypadku x = yz = ytx, toteż yt = 1 i (y) = (1).

12 NILRADYKAŁ ORAZ RADYKAŁ JACOBSONA 15 Nilradykał oraz radykał Jacobsona Stwierdzenie 1.7. Zbiór R wszystkich elementów nilpotentnych pierścienia A jest ideałem. Ponadto jedynym elementem nilpotentnym pierścienia A/R jest 0. Dowód. Jeśli x R, to oczywiście ax R dla każdego a A. Niech x, y R: przyjmijmy x m = 0, y n = 0. Ze wzoru dwumianowego Newtona (prawdziwego w dowolnym pierścieniu przemiennym) (x + y) m+n 1 jest sumą iloczynów postaci x r y s, gdzie r + s = m + n 1, r, s 0; nie mogą zachodzić równocześnie nierówności r < m i s < n, a zatem każdy z iloczynów we wzorze wynosi 0, toteż (x+y) m+n 1 = 0. Mamy więc x + y R, a więc istotnie R jest ideałem. Niech x A będzie reprezentantem klasy równoważności x A/R. W takim przypadku x n jest reprezentowane przez x n, więc x n = 0 x n R (x n ) k = 0 dla pewnego k > 0 x R x = 0. Ideał R nazywany jest nilradykałem pierścienia A. Następne twierdzenie podaje alternatywną definicję R: Stwierdzenie 1.8. Nilradykał A jest równy przecięciu wszystkich ideałów pierwszych pierścienia A. Dowód. Niech R oznacza przecięcie wszystkich ideałów pierwszych pierścienia A. Jeśli f A jest nilpotentny oraz p jest ideałem pierwszym, to f n = 0 p dla pewnego n > 0, więc f p (bo p jest pierwszy), stąd f R. W celu wykazania inkluzji w drugą stronę przyjmijmy, iż f nie jest nilpotentny. Niech Σ będzie zbiorem ideałów a o własności n > 0 f n a. Zbiór Σ nie jest pusty, gdyż 0 Σ. Podobnie jak w (1.3) do zbioru Σ z porządkiem zadanym przez inkluzję możemy zastosować lemat Kuratowskiego Zorna. Wiemy więc, iż Σ posiada element maksymalny. Oznaczmy go przez p. Wykażemy, że p jest ideałem pierwszym. Niech x, y p. W takim przypadku ideały p + (x) oraz p + (y) silnie zawierają p, więc nie należą do Σ; stąd f m p + (x), f n p + (y) dla pewnych m, n. Wynika stąd, iż f m+n p + (xy), więc p + (xy) nie należy do Σ, a zatem xy p. Istnieje więc ideał pierwszy p taki, że f p, co pokazuje, iż f R. Radykał Jacobsona R pierścienia A definiujemy jako przecięcie wszystkich maksymalnych ideałów A. Można go również scharakteryzować w następujący sposób: Stwierdzenie 1.9. x R 1 xy jest jednością pierścienia A dla każdego y A. Dowód. : Przypuśćmy, że 1 xy nie jest jednością. Z wniosku (1.5) otrzymujemy, iż 1 xy m dla pewnego ideału maksymalnego m, lecz x R m, więc xy m, a zatem 1 m, co jest niemożliwe. : Przypuśćmy, iż x m dla pewnego ideału maksymalnego m. W takim przypadku m oraz x generują ideał (1), więc u + xy = 1 dla pewnego u m oraz pewnego y A. Stąd 1 xy m, więc nie jest jednością.

13 16 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY Operacje na ideałach Niech a, b będą ideałami pierścienia A. Definiujemy ich sumę a + b jako zbiór wszystkich elementów postaci x + y, gdzie x a i y b. Jest to najmniejszy ideał zawierający a i b. W ogólnym przypadku możemy zdefiniować sumę i I a i dowolnej (również nieskończonej) rodziny ideałów a i pierścienia A; jej elementami są wszystkie sumy postaci x i, gdzie x i a i dla i I oraz prawie wszystkie x i (tzn. wszystkie poza skończoną ilością) są równe zeru. Jest to najmniejszy ideał A zawierający wszystkie ideały a i. Przecięcie dowolnej rodziny (a i ) i I ideałów jest również ideałem, tak więc ideały A tworzą kratę zupełną ze względu na inkluzję. Iloczynem dwóch ideałów a, b w A nazywamy ideał ab generowany przez wszystkie iloczyny xy, gdzie x a i y b. Jest to zbiór wszystkich skończonych sum x i y i, gdzie wszystkie x i a i y i b. Analogicznie definiujemy iloczyn dowolnej skończonej rodziny ideałów. W szczególności definiujemy potęgi a n (n > 0) ideału a; przyjmujemy oznaczenie a 0 = (1). Widzimy więc, iż a n (n > 0) jest ideałem generowanym przez wszystkie iloczyny x 1 x 2... x n w których każdy czynnik x i należy do a. Przykłady. 1) Dla A = Z, a = (m), b = (n) ideał a + b jest generowany przez NWD(m, n); a b jest ideałem generowanym przez NWW(m, n); oraz ab = (mn). W takim przypadku ab = a b m, n są względnie pierwsze. 2) A = k[x 1,..., x n ], a = (x 1,..., x n ) = ideał generowany przez x 1,..., x n. Wtedy a m jest zbiorem wielomianów nieposiadających współczynników stopnia < m. Trzy działania na ideałach zdefiniowane do tej pory (suma, przecięcie i iloczyn) są przemienne i łączne. Iloczyn jest również rozdzielny względem sumy: a(b + c) = ab + ac. W pierścieniu Z działania oraz + są wzajemnie rozdzielne względem siebie. W ogólności nie jest to prawdą, a najbliższą zachodzącą własnością jest modularność: a (b + c) = a b + a c, gdy a b lub a c. W pierścieniu Z zachodzi również (a+b)(a b) = ab, jednak w ogólnym przypadku otrzymujemy jedynie (a+b)(a b) ab (gdyż (a+b)(a b) = a(a b) +b(a b) ab). Oczywiście ab a b, więc a b = ab, jeśli tylko a + b = (1). O dwóch ideałach a, b mówimy, że są względnie pierwsze, jeśli a + b = (1). Tak więc dla ideałów względnie pierwszych otrzymujemy a b = ab. Oczywiście dwa ideały a, b są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x a oraz y b takie, że x + y = 1. Niech A 1,..., A n będą pierścieniami. Ich produkt n A = i=1 to zbiór ciągów postaci x = (x 1,..., x n ), gdzie x i A i (1 i n) oraz dodawanie i mnożenie są zdefiniowane po współrzędnych. A jest pierścieniem przemiennym z jedynką daną przez (1, 1,..., 1). Istnieją rzutowania p i : A A i zdefiniowane jako p i (x) = x i ; są to homomorfizmy pierścieni. A i

14 OPERACJE NA IDEAŁACH 17 Niech A będzie pierścieniem, a a 1,..., a n ideałami pierścienia A. Zdefiniujmy homomorfizm n φ: A (A/a i ) dany wzorem φ(x) = (x + a 1,..., x + a n ). Stwierdzenie i) Jeśli a i, a j są względnie pierwsze dla i j, to a i = a i. ii) φ jest surjektywne a i, a j są względnie pierwsze dla i j. iii) φ jest injektywne a i = (0). i=1 Dowód. i) dowodzimy indukcyjnie ze względu na n. Przypadek n = 2 został rozpatrzony powyżej. Przypuśćmy, iż n > 2 oraz twierdzenie jest prawdziwe dla a 1,..., a n 1. Niech b = n 1 i=1 a i = n 1 i=1 a i. Z założenia a i + a n = (1) (1 i n 1), więc x i + y i = 1 (x i a i, y i a n ), skąd otrzymujemy n 1 i=1 n 1 x i = (1 y i ) 1(mod a n ). i=1 Widzimy więc, iż a n + b = (1), co daje nam n a i = ba n = b a n = i=1 n a i. ii) : Pokażmy dla przykładu, iż a 1, a 2 są względnie pierwsze. Istnieje x A takie, że φ(x) = (1, 0,..., 0); więc x 1 (mod a 1 ) oraz x 0 (mod a 2 ), co daje: i=1 1 = (1 x) + x a 1 + a 2. : Wystarczy oczywiście wykazać, iż istnieje x A taki, że φ(x) = (1, 0,..., 0) 3. Z założenia a 1 + a i = (1) (i > 1), więc mamy u i + v i = 1 (u i a 1, v i a i ). Niech x = n i=2 v i = n i=2 (1 u i). W takim przypadku x 1 (mod a 1 ) oraz x 0 (mod a i ) dla i > 1, więc φ(x) = (1, 0,..., 0). iii) Oczywiste, gdyż a i jest jądrem φ. Suma mnogościowa a b dwóch ideałów nie musi być ideałem. Stwierdzenie i) Niech p 1,..., p n będą ideałami pierwszymi i niech a będzie ideałem zawartym w n i=1 p i. Wtedy a p i dla pewnego i. ii) Niech a 1,..., a n będą ideałami oraz niech p będzie ideałem pierwszym zawierającym n i=1 a i. W takim przypadku p a i dla pewnego i. Ponadto, jeśli p = n i=1 a i, to p = a i dla pewnego i. Dowód. i) Przeprowadzimy dowód indukcyjny (ze względu na n) następującego faktu: n a p i dla (1 i n) a p i. Dla n = 1 stwierdzenie jest oczywiste. Jeśli n > 1 oraz twierdzenie jest prawdziwe dla n 1, to dla każdego i istnieje x i a taki, że x i p j dla j i. 3 Elementy A posiadające 1 na i-tej współrzędnej (1 i n) i 0 na pozostałych generują A (przyp. tłum.). i=1

15 18 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY Jeśli dla pewnego i mamy, że x i p i to dowód jest zakończony. W przeciwnym wypadku x i p i dla każdego i. Rozważmy element n y = x 1 x 2... x i 1 x i+1 x i+2... x n ; i=1 oczywiście y a oraz y p i (1 i n). Widzimy więc, że a n i=1 p i. ii) Przypuśćmy, że p a i dla każdego i. Istnieją więc x i a i, x i p (1 i n), skąd otrzymujemy, że x i a i a i ; lecz x i p (gdyż p jest pierwszy). Widzimy więc, iż p a i. Oczywiście, jeśli p = a i, to p a i (dla każdego i). Z pierwszej części twierdzenia otrzymujemy, że p = a i dla pewnego i. Dla ideałów a, b pierścienia A ich ideałem ilorazowym nazywamy ideał (a : b) = {x A : xb a}. W szczególności (0 : b) jest nazywany anihilatorem b i często jest oznaczany Ann(b): jest to zbiór wszystkich x A takich, że xb = 0. Przy powyższych oznaczeniach zbiór dzielników zera pierścienia A jest dany poprzez D = x 0 Ann(x). W przypadku gdy b jest ideałem głównym (x), będziemy stosować oznaczenie (a : x) zamiast (a : (x)). Przykład. Jeśli A = Z, a = (m), b = (n), gdzie m = p pµ p, n = p pν p, to (a : b) = (q), gdzie q = p pγ p oraz γ p = max(µ p ν p, 0) = µ p min(µ p, ν p ). W tym przypadku q = m/(m, n), gdzie (m, n) oznacza NWD(m, n). Ćwiczenie i) a (a : b); ii) (a : b)b a; iii) ((a : b) : c) = (a : bc) = ((a : c) : b); iv) ( i a i : b) = i (a i : b); v) (a : i b i) = i (a : b i). Niech a będzie ideałem pierścienia A. Radykałem ideału a nazywamy r(a) = {x A : x n a dla pewnego n > 0}. Jeśli φ: A A/a jest kanonicznym homomorfizmem, to r(a) = φ 1 (R A/a ), więc r(a), dzięki stwierdzeniu (1.7), jest ideałem. Ćwiczenie i) r(a) a; ii) r(r(a)) = r(a); iii) r(ab) = r(a b) = r(a) r(b); iv) r(a) = (1) a = (1); v) r(a + b) = r(r(a) + r(b)); vi) jeśli p jest ideałem pierwszym, to r(p n ) = p dla każdego n > 0. Stwierdzenie Radykał ideału a jest równy przecięciu wszystkich ideałów pierwszych zawierających a. Dowód. Wystarczy zastosować stwierdzenie (1.8) do A/a.

16 ROZSZERZENIE I ZAWĘŻENIE 19 W przypadku ogólnym możemy analogicznie zdefiniować radykał r(e) dla dowolnego podzbioru E pierścienia A. Nie zawsze jest to ideał. Zachodzi jednak r( α E α ) = α r(e α ) dla dowolnej rodziny podzbiorów E α pierścienia A. Stwierdzenie D = zbiór dzielników zera pierścienia A = x 0 r(ann(x)). Dowód. D = r(d) = r( x 0 Ann(x)) = x 0 r(ann(x)). Przykład. Dla A = Z, a = (m) niech p i (1 i r) będą wszystkimi różnymi dzielnikami pierwszymi liczby m. W takim przypadku r(a) = (p 1... p r ) = r i=1 (p i). Stwierdzenie Jeśli a, b są ideałami pierścienia A takimi, że r(a), r(b) są względnie pierwsze, to a, b są względnie pierwsze. Dowód. r(a + b) = r(r(a) + r(b)) = r(1) = (1), więc, na mocy (1.13), otrzymujemy, że a + b = (1). Rozszerzenie i zawężenie Niech f : A B będzie homomorfizmem pierścieni. Dla ideału a pierścienia A, zbiór f(a) nie musi być ideałem pierścienia B (np. dla f będącego zanurzeniem Z w Q oraz dowolnego niezerowego ideału a pierścienia Z). Rozszerzeniem a e ideału a nazywamy ideał Bf(a) generowany przez f(a) w pierścieniu B: dokładniej, a e jest zbiorem wszystkich skończonych sum postaci y i f(x i ) dla dowolnych x i a, y i B. Jeśli b jest ideałem pierścienia B, to f 1 (b) jest zawsze ideałem pierścienia A nazywanym zawężeniem ideału b i oznaczanym przez b c. Zawężenie ideału pierwszego jest również ideałem pierwszym. Rozszerzenie ideału pierwszego nie musi być ideałem pierwszym (np. f : Z Q, a 0; w takim przypadku a e = Q, który nie jest ideałem pierwszym). Homomorfizm f możemy rozłożyć w następujący sposób: A p f(a) j B, gdzie p jest surjekcją, a j injekcją. Dla odwzorowania p sytuacja jest bardzo prosta (1.1): istnieje bijekcja pomiędzy zbiorem ideałów pierścienia f(a) a ideałami pierścienia A zawierającymi Ker(f), przy czym ideały pierwsze odpowiadają ideałom pierwszym. Przypadek odwzorowania j może być znacznie bardziej skomplikowany. Klasycznego przykładu dostarcza nam algebraiczna teoria liczb. Przykład. Rozważmy zanurzenie Z Z[i], gdzie i = 1. Rozszerzenie ideału pierwszego (p) pierścienia Z może być lub nie być ideałem pierwszym w pierścieniu Z[i]. Pierścień Z[i] jest dziedziną ideałów głównych (jest to pierścień euklidesowy). Charakteryzacja rozszerzeń ideałów pierwszych przedstawia się następująco: i) (2) e = ((1 + i) 2 ) jest to kwadrat ideału pierwszego w Z[i]; ii) jeśli p 1 (mod 4), to (p) e jest iloczynem dwóch różnych ideałów pierwszych (np. (5) e = (2 + i)(2 i)); iii) jeśli p 3 (mod 4), to (p) e jest ideałem pierwszym pierścienia Z[i].

17 20 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY Z podanych wyżej faktów ii) nie jest trywialny. Jest on równoważny twierdzeniu Fermata mówiącemu, iż liczba pierwsza p 1 (mod 4) może być jednoznacznie przedstawiona jako suma kwadratów dwóch liczb naturalnych (np. 5 = , 97 = itd.) 4. W rzeczywistości badanie podobnych rozszerzeń ideałów pierwszych jest jednym z centralnych problemów algebraicznej teorii liczb. Niech f : A B, a oraz b jak wyżej. W takim przypadku: Stwierdzenie i) a a ec, b b ce. ii) b c = b cec, a = a ece. iii) Niech C będzie zbiorem ideałów pierścienia A będących zawężeniami pewnych ideałów pierścienia B, a E niech będzie zbiorem ideałów pierścienia B będących rozszerzeniami ideałów pierścienia A. W takim przypadku C = {a : a ec = a}, E = {b : b ce = b} oraz odwzorowanie a a e jest bijekcją z C na E, do której odwzorowaniem odwrotnym jest b b c. Dowód. i) jest oczywiste. ii) wynika bezpośrednio z i). iii) Jeśli a C, to a = b c = b cec = a ec. Odwrotnie, jeśli a = a ec, to a jest zawężeniem a e. Analogicznie dla E. Ćwiczenie Niech a 1, a 2 będą ideałami pierścienia A oraz b 1, b 2 będą ideałami pierścienia B. W takim przypadku: (a 1 + a 2 ) e = a e 1 + a e 2; (b 1 + b 2 ) c b c 1 + b c 2; (a 1 a 2 ) e a e 1 a e 2; (b 1 b 2 ) c = b c 1 b c 2; (a 1 a 2 ) e = a e 1a e 2; (b 1 b 2 ) c b c 1b c 2; (a 1 : a 2 ) e (a e 1 : a e 2); (b 1 : b 2 ) c (b c 1 : b c 2); r(a 1 ) e r(a e 1); r(b 1 ) c = r(b c 1). Zbiór ideałów E jest zamknięty za względu na sumę i iloczyn, natomiast C jest zamknięty za względu na trzy pozostałe operacje 5. Zadania (1) Niech x będzie elementem nilpotentnym pierścienia A. Wykazać, że 1 + x jest jednością pierścienia A. Następnie udowodnić, iż suma elementu nilpotentnego i jedności jest jednością. (2) Niech A będzie pierścieniem, a A[x] pierścieniem wielomianów zmiennej x o współczynnikach z pierścienia A. Niech f = a 0 + a 1 x + + a n x n A[x]. Udowodnić, że: i) f jest jednością pierścienia A[x] a 0 jest jednością pierścienia A oraz a 1,..., a n są nilpotentami. [Jeśli b 0 +b 1 x+ +b m x m jest odwrotnością f, to można udowodnić indukcyjnie ze względu na r, iż a r+1 n b m r = 0. Stąd a n jest elementem nilpotentnym i wystarczy skorzystać z zadania 1.] ii) f jest nilpotentny a 0, a 1,..., a n są nilpotentne. 4 Istnienie co najmniej jednego takiego przedstawienia jest faktem elementarnym, którego dowód można znaleźć w książce M. Aignera oraz G. M. Zieglera pt. Dowody z Księgi, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa Jednoznaczność wynika z faktorialności pierścienia Z[i] (przyp. tłum.). 5 Zbiór C jest zamknięty ze względu na iloraz, gdyż (b c 1 : b c 2 ) (bc 1 : bc 2 )ec (b ce 1 : bce 2 )c (b cec 1 : b cec 2 ) = (bc 1 : bc 2 ), więc wszędzie zachodzą równości.

18 ZADANIA 21 iii) f jest dzielnikiem zera istnieje a 0, a A takie, że af = 0. [Niech g = b 0 + b 1 x + + b m x m będzie wielomianem o najniższym możliwym stopniu takim, że fg = 0. Stąd a n b m = 0, więc a n g = 0 (a n g anihiluje f oraz ma niższy stopień niż wielomian g). Indukcyjnie ze względu na r można wykazać, iż a n r g = 0.] iv) f nazywamy wielomianem pierwotnym, gdy (a 0, a 1,..., a n ) = (1). Udowodnić, iż dla dowolnych f, g A[x] zachodzi: fg jest pierwotny f i g są pierwotne. (3) Uogólnić twierdzenie z zadania 2 na pierścień A[x 1,..., x r ] wielomianów wielu zmiennych. (4) Wykazać, iż w pierścieniu A[x] radykał Jacobsona jest równy nilradykałowi. (5) Niech A będzie pierścieniem oraz A[[x]] pierścieniem szeregów formalnych f = n=0 a nx n o współczynnikach z pierścienia A. Udowodnić, że: i) f jest jednością w A[[x]] a 0 jest jednością w A. ii) Jeśli f jest elementem nilpotentnym, to a n są elementami nilpotentnymi dla każdego n 0. Czy implikacja przeciwna zachodzi? (porównaj rozdział 7, zadanie 2) iii) f należy do radykału Jacobsona pierścienia A[[x]] a 0 należy do radykału Jacobsona pierścienia A. iv) Zawężenie ideału maksymalnego m pierścienia A[[x]] jest ideałem maksymalnym pierścienia A oraz m jest generowany przez m c i x. v) Każdy ideał pierwszy pierścienia A jest zawężeniem ideału pierwszego pierścienia A[[x]]. (6) Niech A będzie pierścieniem takim, że każdy ideał niezawarty w nilradykale zawiera niezerowy idempotent (element e taki, że e 2 = e 0). Wykazać, że w pierścieniu A nilradykał oraz radykał Jacobsona są sobie równe. (7) Niech A będzie pierścieniem, którego każdy element x spełnia x n = x dla pewnego n > 0 (n zależy od x). Udowodnić, że każdy ideał pierwszy pierścienia A jest maksymalny. (8) Niech A będzie niezerowym pierścieniem. Wykazać, że rodzina ideałów pierwszych posiada element minimalny ze względu na inkluzje. (9) Niech a (1) będzie ideałem pierścienia A. Wykazać, że a = r(a) a jest przecięciem pewnej rodziny ideałów pierwszych. (10) Niech A będzie pierścieniem o nilradykale R. Wykazać, że następujące warunki są równoważne: i) A posiada dokładnie jeden ideał pierwszy; ii) każdy element pierścienia A jest jednością lub nilpotentem; iii) A/R jest ciałem. (11) Pierścień A nazywamy pierścieniem Boole a, gdy x 2 = x dla każdego x A. Wykazać, że w pierścieniu Boole a zachodzą następujące fakty: i) 2x = 0 dla każdego x A; ii) Każdy ideał pierwszy p jest maksymalny oraz ciało A/p składa się z dwóch elementów; iii) Każdy skończenie generowany ideał pierścienia A jest główny. (12) Udowodnić, że pierścień lokalny nie posiada idempotentów różnych od 0 i 1.

19 22 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY Konstrukcja domknięcia algebraicznego ciała (E. Artin). (13) Niech K będzie ciałem oraz Σ zbiorem nierozkładalnych, unormowanych 6 wielomianów f jednej zmiennej o współczynnikach z ciała K. Niech A będzie pierścieniem wielomianów o współczynnikach z ciała K o zmiennych x f dla każdego f Σ. Niech a będzie ideałem pierścienia A wygenerowanym przez wielomiany f(x f ) dla każdego f Σ. Wykazać, że a (1). Niech m będzie ideałem maksymalnym pierścienia A zawierającym a oraz niech K 1 = A/m. W takim przypadku K 1 jest rozszerzeniem ciała K, w którym każdy wielomian f Σ ma pierwiastek. Analogicznie konstruujemy K 2, zastępując K ciałem K 1. Ogólnie otrzymujemy ciąg kolejnych ciał K n. Niech L = n=1 K n. Wtedy L jest ciałem, w którym każdy wielomian f Σ rozkłada się na czynniki liniowe. Niech K będzie zbiorem tych elementów L, które są algebraiczne nad K. Otrzymane ciało K jest domknięciem algebraicznym ciała K. (14) Niech A będzie pierścieniem, a Σ zbiorem wszystkich ideałów złożonych z samych dzielników zera. Wykazać, że Σ posiada elementy maksymalne oraz że każdy element maksymalny Σ jest ideałem pierwszym. Stąd wynika, iż zbiór dzielników zera pierścienia A jest sumą ideałów pierwszych. Spektrum pierścienia (15) Niech A będzie pierścieniem oraz X zbiorem ideałów pierwszych pierścienia A. Dla każdego podzbioru E pierścienia A, niech V (E) oznacza zbiór wszystkich ideałów pierwszych zawierających E. Udowodnić, że: i) Jeśli a jest ideałem generowanym przez E, to V (E) = V (a) = V (r(a)). ii) V (0) = X, V (1) =. iii) Dla dowolnej rodziny (E i ) i I podzbiorów A zachodzi wzór: V ( i I E i ) = i I V (E i ). iv) Dla dowolnych ideałów a, b pierścienia A zachodzi wzór V (a b) = V (ab) = V (a) V (b). Widać więc, iż zbiory V (E) spełniają aksjomaty zbiorów domkniętych w przestrzeni topologicznej. Otrzymaną topologię nazywamy topologią Zariskiego. Przestrzeń topologiczna X jest nazywana spektrum pierścienia A i oznaczana przez Spec(A). (16) Narysować Spec(Z), Spec(R), Spec(C [x]), Spec(R[x]), Spec(Z[x]). (17) Dla każdego f A niech X f oznacza dopełnienie zbioru V (f) 7 w przestrzeni X = Spec(A). Zbiory X f są oczywiście otwarte. Wykazać, iż stanowią one bazę dla topologii Zariskiego oraz że i) X f X g = X fg ; ii) X f = f jest nilpotentem; iii) X f = X f jest jednością; iv) X f = X g r((f)) = r((g)); 6 Posiadających współczynnik 1 przy najwyższej potędze (przyp. tłum.). 7 V(f)=V({f})=V((f)) (przyp. tłum.).

20 ZADANIA 23 v) X jest quasi-zwarta (tzn. z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone); vi) Ogólniej, każdy zbiór X f jest quasi-zwarty; vii) Otwarty podzbiór przestrzeni X jest quasi-zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończoną sumą zbiorów X f. Zbiory X f są nazywane głównymi zbiorami otwartymi przestrzeni X = Spec(A). [Aby udowodnić (v), wystarczy wpierw zauważyć, iż można rozważać tylko pokrycia składające się z głównych zbiorów otwartych X fi (i I). Następnie wykazać, iż f i generują ideał będący całym pierścieniem, więc 1 = g i f i (g i A), i J gdzie J jest pewnym skończonym podzbiorem I. Łatwo widać, iż X fi i J stanowią pokrycie X.] (18) Z przyczyn czysto psychologicznych czasami lepiej jest oznaczać ideał pierwszy pierścienia A literami, jak x lub y, gdy myślimy o nim jako o punkcie przestrzeni topologicznej X = Spec(A). W drugą stronę, gdy punkt x chcemy rozważać jako ideał pierścienia A, to wygodnie jest oznaczać go p x (oczywiście x i p x są tym samym ideałem pierwszym). Wykazać, że: i) Zbiór {x} jest domknięty (mówimy, że x jest punktem domkniętym) w przestrzeni Spec A p x jest maksymalny; ii) {x} = V (p x ); iii) y {x} p x p y ; iv) X jest przestrzenią T 0 (tzn. jeśli x, y są różnymi punktami X, to istnieje otoczenie punktu x, które nie zawiera punktu y, lub istnieje otoczenie punktu y, które nie zawiera punktu x) 8. (19) Przestrzeń topologiczna X jest nazywana nierozkładalną, gdy X oraz każda para niepustych, otwartych podzbiorów X przecina się niepusto. Równoważnie każdy niepusty, otwarty podzbiór X jest gęsty. Wykazać, że Spec(A) jest nierozkładalna wtedy i tylko wtedy, gdy nilradykał pierścienia A jest ideałem pierwszym. (20) Niech X będzie przestrzenią topologiczną. i) Jeśli Y jest nierozkładalną (zadanie 19) podprzestrzenią X, to domknięcie Y zbioru Y w X jest nierozkładalne. ii) Każda nierozkładalna podprzestrzeń X jest zawarta w maksymalnej nierozkładalnej podprzestrzeni. iii) Maksymalne nierozkładalne podprzestrzenie X są domknięte i pokrywają X. Są one nazywane nierozkładalnymi składowymi przestrzeni X. Jakie są składowe nierozkładalne przestrzeni Hausdorffa? iv) Niech A będzie pierścieniem oraz X = Spec(A). W takim przypadku składowe nierozkładalne X to zbiory domknięte postaci V (p), gdzie p jest minimalnym ideałem pierwszym pierścienia A (zadanie 8). (21) Niech φ: A B będzie homomorfizmem pierścieni. Niech X = Spec(A) oraz Y = Spec(B). Jeśli q Y, to φ 1 (q) jest ideałem pierwszym pierścienia 8 Ciekawym ćwiczeniem jest wykazanie, że jeśli X jest przestrzenią T1, to jest przestrzenią T 3 (przyp. tłum.).

21 24 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY A, czyli punktem przestrzeni X. Widać więc, iż φ indukuje odwzorowanie φ : Y X. Udowodnić, że i) Jeśli f A, to φ 1 (X f ) = Y φ(f), a zatem φ jest ciągłe. ii) Jeśli a jest ideałem pierścienia A, to φ 1 (V (a)) = V (a e ). iii) Jeśli b jest ideałem pierścienia B, to φ (V (b)) = V (b c ). iv) Jeśli φ jest surjekcją, to φ jest homeomorfizmem Y na domknięty podzbiór V (Ker(φ)) przestrzeni X. (W szczególności Spec(A) oraz Spec(A/R) (gdzie R oznacza nilradykał pierścienia A) są homeomorficzne.) v) Jeśli φ jest injektywne, to φ (Y ) jest gęstym podzbiorem X. Dokładniej, φ (Y ) jest gęstym podzbiorem X Ker(φ) R. vi) Jeśli ψ : B C jest również homomorfizmem pierścieni, to (ψ φ) = φ ψ. vii) Niech A będzie dziedziną całkowitości z dokładnie jednym niezerowym ideałem pierwszym p. Niech K będzie ciałem ułamków pierścienia A. Niech B = (A/p) K. Zdefiniujmy φ: A B wzorem φ(x) = (x, x), gdzie x jest obrazem x w pierścieniu A/p. Wykazać, że φ jest bijekcją, lecz nie jest homeomorfizmem. (22) Niech A = n i=1 A i będzie produktem prostym pierścieni A i. Wykazać, że Spec(A) jest rozłączną sumą otwartych (i równocześnie domkniętych) podprzestrzeni X i, gdzie X i jest kanonicznie homeomorficzna z Spec(A i ). Odwrotnie, niech A będzie dowolnym pierścieniem. Wykazać, że następujące warunki są równoważne: i) X = Spec(A) jest niespójna; ii) A = A 1 A 2 dla pewnych niezerowych pierścieni A 1, A 2 ; iii) A zawiera idempotent 0, 1. W szczególności spektrum pierścienia lokalnego jest zawsze spójne (zadanie 12). (23) Niech A będzie pierścieniem Boole a (zadanie 11) oraz X = Spec(A). i) Dla każdego f A zbiór X f (zadanie 17) jest równocześnie otwarty i domknięty w X. ii) Niech f 1,..., f n A. Wykazać, że X f1 X fn = X f dla pewnego f A. iii) Zbiory X f są jedynymi podzbiorami X, które są równocześnie otwarte i domknięte. [Niech Y X będzie zarówno domknięte, jak i otwarte. Y jest domkniętym podzbiorem zbioru quasi-zwartego X (zadanie 17), więc jest również quasi-zwarty. Stąd Y jest skończoną sumą głównych zbiorów otwartych. Teza wynika teraz z (ii).] iv) X jest zwarta 9. (24) Niech L będzie kratą, w której supremum i infimum dwóch elementów a, b oznaczamy odpowiednio przez a b oraz a b. Kratę L nazywamy kratą Boole a (lub algebrą Boole a), jeśli: i) Krata L posiada najmniejszy i największy element (oznaczane odpowiednio przez 0 i 1). ii) Działania i są wzajemnie rozdzielne. 9 Jest quasi-zwarta oraz jest przestrzenią Hausdorffa (przyp. tłum.).

22 ZADANIA 25 iii) Każdemu elementowi a L odpowiada jednoznacznie wyznaczone dopełnienie a L takie, że a a = 1 i a a = 0. (Np. rodzina wszystkich podzbiorów danego zbioru, z porządkiem wprowadzonym przez inkluzję, jest kratą Boole a.) Niech L będzie kratą Boole a. Definiujemy dodawanie i mnożenie w L przez: a + b = (a b ) (a b), ab = a b. Udowodnić, że tym sposobem otrzymujemy strukturę pierścienia Boole a na L. Otrzymany pierścień oznaczamy przez A(L). Odwrotnie, niech A będzie pierścieniem Boole a. Definiujemy porządek na A poprzez relację a b a = ab. Wykazać, że A z takim porządkiem jest kratą Boole a. [Supremum i infimum są zadane przez a b = a + b + ab, a b = ab, natomiast a = 1 a.] W ten sposób otrzymujemy wzajemną odpowiedniość pomiędzy pierścieniami Boole a a kratami Boole a. (25) Korzystając z dwóch poprzednich zadań, udowodnić twierdzenie Stone a: Każda krata Boole a jest izomorficzna z kratą otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej zwartej przestrzeni Hausdorffa. (26) Niech A będzie pierścieniem. Podprzestrzeń Spec(A) składającą się z wszystkich maksymalnych ideałów pierścienia A z topologią indukowaną nazywamy spektrum maksymalnym pierścienia A i oznaczamy Max(A). W ogólnym przypadku przestrzeń ta nie posiada własności funktorialnych Spec(A) (zadanie 21), ponieważ zawężenie ideału maksymalnego nie musi być ideałem maksymalnym. Niech X będzie przestrzenią zwartą oraz niech C(X) oznacza pierścień wszystkich ciągłych funkcji f : X R ((f + g)(x) = f(x) + g(x), (fg)(x) = f(x)g(x)). Dla każdego x X, niech m x będzie zbiorem wszystkich funkcji f C(X) takich, że f(x) = 0. Ideał m x jest maksymalny, gdyż jest jądrem (surjektywnego) homomorfizmu C(X) R, który f przyporządkowuje f(x). Niech X oznacza Max(C(X)). Otrzymujemy odwzorowanie µ : X X (µ(x) = m x ). Wykażemy, że µ jest homeomorfizmem X na X. i) Niech m będzie dowolnym ideałem maksymalnym pierścienia C(X) oraz niech V = V (m) będzie zbiorem wspólnych zer funkcji z ideału m, tzn: V = {x X : f(x) = 0 dla każdego f m}. Przypuśćmy, że V jest zbiorem pustym. W takim przypadku dla każdego x X istnieje f x m takie, że f x (x) 0. Korzystając z ciągłości f x, otrzymujemy otwarte otoczenie U x punktu x, na którym f x się nie zeruje. Przestrzeń X jest zwarta, więc istnieje skończona liczba zbiorów otwartych U x1,..., U xn pokrywających X. Niech f = f 2 x f 2 x n. W takim przypadku f(x) 0 dla każdego x X, więc f jest jednością pierścienia C(X). Stąd f nie należy do m i otrzymujemy sprzeczność, więc V jest niepusty. Niech x V. Wtedy m m x. Korzystając z maksymalności m, otrzymujemy m = m x, więc µ jest surjekcją.

23 26 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY ii) Korzystając z lematu Urysohna (jest to jedyny nietrywialny fakt wykorzystywany w rozumowaniu), funkcje ciągłe rozdzielają punkty X. Stąd x y m x m y, więc µ jest injekcją. iii) Niech f C(X) oraz niech U f = {x X : f(x) 0}, Ũ f = {m X : f m}. Wykazać, że µ(u f ) = Ũf. Zbiory otwarte U f (odpowiednio Ũf ) stanowią bazę topologii na X (odpowiednio X), więc µ jest homeomorfizmem. Wynika stąd, iż z pierścienia funkcji rzeczywistych C(X) możemy odtworzyć wyjściową przestrzeń X. Afiniczne rozmaitości algebraiczne (27) Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym oraz niech f α (t 1,..., t n ) = 0 będzie układem równań wielomianowych n zmiennych o współczynnikach z ciała k. Zbiór X wszystkich punktów x = (x 1,..., x n ) k n, które spełniają dany układ równań, nazywamy afiniczną rozmaitością algebraiczną. Rozważmy zbiór wszystkich wielomianów g k[t 1,..., t n ], dla których g(x) = 0 dla każdego x X. Zbiór ten jest ideałem I(X) pierścienia wielomianów i nazywany jest ideałem rozmaitości X. Pierścień ilorazowy P (X) = k[t 1,..., t n ]/I(X) jest (izomorficzny z) pierścieniem funkcji wielomianowych na X, gdyż dwa wielomiany g, h przyjmują te same wartości na X wtedy i tylko wtedy, gdy g h znika tożsamościowo na X, czyli dokładnie wtedy, gdy g h I(X). Niech ξ i będzie obrazem t i w pierścieniu P (X). Takie ξ i (1 i n) nazywamy układem współrzędnych na X: jeśli x X, to ξ i (x) jest i-tą współrzędną x. P (X) jest generowany jako k-algebra przez układ współrzędnych i jest nazywany pierścieniem współrzędnych (lub pierścieniem funkcji regularnych) na X. Analogicznie do zadania 26 dla każdego x X zdefiniujmy m x jako ideał składający się z wszystkich f P (X) takich, że f(x) = 0; jest to ideał maksymalny pierścienia P (X). Przyjmując X = Max(P (X)), możemy zdefiniować odwzorowanie µ : X X przypisujące elementowi x ideał m x. Łatwo jest wykazać injektywność odwzorowania µ: jeśli x y, to musi zachodzić x i y i dla pewnego i (1 i n), więc ξ i x i należy do m x, lecz nie należy do m y, skąd oczywiście wynika, iż m x m y. Mniej oczywistym faktem (lecz prawdziwym) jest to, iż µ jest surjekcją. Jest to jedna z możliwych wypowiedzi twierdzenia Hilberta o zerach (patrz również rozdział 7). (28) Niech f 1,..., f m będą elementami k[t 1,..., t n ]. Określają one odwzorowanie wielomianowe φ: k n k m w następujący sposób: dla x k n określamy φ(x) = (f 1 (x),..., f m (x)).

24 ZADANIA 27 Niech X i Y będą afinicznymi rozmaitościami algebraicznymi odpowiednio w k n i k m. Odwzorowanie ϕ: X Y nazywamy odwzorowaniem regularnym, gdy jest zawężeniem do X pewnego odwzorowania wielomianowego z k n w k m. Jeśli η jest funkcją wielomianową na Y, to η ϕ jest funkcją wielomianową na X. Wynika stąd, iż ϕ indukuje homomorfizm k-algebr P (Y ) P (X), który η przeprowadza w η ϕ. Udowodnić, że w ten sposób otrzymujemy wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy odwzorowaniami regularnymi X Y oraz homomorfizmami k-algebr P (Y ) P (X).

25

26 ROZDZIAŁ 2 Moduły Jedną z cech, które wyróżniają nowoczesne podejście do algebry przemiennej, jest położenie dużego nacisku na moduły, a nie tylko na ideały. Ta dodatkowa przestrzeń, którą dają, prowadzi do większej przejrzystości i prostoty rozumowań. Dla przykładu, zarówno ideał a oraz jego pierścień ilorazowy A/a są modułami, a więc, do pewnego stopnia, mogą być traktowane podobnie. W tym rozdziale podajemy definicję i elementarne własności modułów. Krótko charakteryzujemy też iloczyn tensorowy, włącznie z dyskusją na temat jego działania na ciągi dokładne. Moduły i homomorfizmy modułów Niech A będzie pierścieniem (przemiennym, jak zwykle). A-modułem nazywamy grupę abelową M (zapisywaną addytywnie), na której A działa liniowo: dokładniej, jest to para (M, µ), gdzie M jest grupą abelową, a µ jest odwzorowaniem A M w M takie, że będziemy pisać ax zamiast µ(a, x)(a A, x M), to spełnione są następujące aksjomaty: a(x + y) = ax + ay, (a + b)x = ax + bx, (ab)x = a(bx), 1x = x (a, b A; x, y M). (Równoważnie, M jest grupą abelową razem z homomorfizmem pierścieni A E(M), gdzie E(M) jest pierścieniem endomorfizmów grupy abelowej M.) Pojęcie modułu jest wspólną generalizacją kilku znanych pojęć, co pokazują poniższe przykłady: Przykłady. 1) Ideał a w A jest A-modułem. W szczególności A jest A-modułem. 2) Jeśli A jest ciałem k, to pojęcie A-modułu pokrywa się z pojęciem k-przestrzeni wektorowej. 3) A = Z, wtedy Z -moduł to grupa abelowa (definiujemy nx jako x + + x). 4) A = k[x], gdzie k jest ciałem; każdy A-moduł jest k-przestrzenią wektorową z transformacją liniową. 5) G = grupa skończona, A = k[g] = algebra grupy G nad ciałem k (a zatem A nie jest przemienna, jeśli G nie jest przemienna). Wtedy A-moduł = k-reprezentacja grupy G.

27 30 2. MODUŁY Niech M, N będą A-modułami. Odwzorowanie f : M N nazywamy homomorfizmem A-modułów (albo A-liniowym), jeśli: f(x + y) = f(x) + f(y), f(ax) = a f(x) dla wszystkich a A oraz wszystkich x, y M. A zatem F jest homomorfizmem grup abelowych, który jest przemienny z działaniem wszystkich a A. Jeśli A jest ciałem, homomorfizm A-modułów to to samo, co odwzorowanie liniowe przestrzeni wektorowych. Złożenie dwóch homomorfizmów A-modułów jest także homomorfizmem A-modułów. Zbiór wszystkich homomorfizmów A-modułów z M do N może być rozważany jako A-moduł, jeśli f + g oraz af zdefiniujemy jako: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (af)(x) = a f(x) dla wszystkich x M. W prosty sposób można sprawdzić, że spełnione są wtedy aksjomaty A-modułu. A-moduł ten oznaczamy Hom A (M, N) (lub po prostu Hom(M, N), jeśli nie ma wątpliwości, o jakim pierścieniu mówimy). Homomorfizmy u : M M i v : N N indukują odwzorowania ū: Hom(M, N) Hom(M, N) oraz v : Hom(M, N) Hom(M, N ) zdefiniowane jako: ū(f) = f u, v(f) = v f. Odwzorowania te są homomorfizmami A-modułów. Dla każdego modułu M istnieje naturalny izomorfizm Hom(A, M) = M: każdy homomorfizm A-modułów f : A M jest jednoznacznie wyznaczony przez zadanie wartości f(1), która może być dowolnym elementem M. Podmoduły i moduły ilorazowe Podmodułem M modułu M nazywamy podgrupę M, która jest zamknięta ze względu na mnożenie przez elementy z A. Grupa abelowa M/M dziedziczy strukturę A-modułu z M, zdefiniowaną jako a(x + M ) = ax + M. A-moduł M/M nazywamy ilorazem M przez M. Istnieje zachowująca porządek wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy podmodułami M zawierającymi M a podmodułami M/M (tak jak w przypadku ideałów; stwierdzenie dla ideałów jest przypadkiem szczególnym stwierdzenia powyższego). Jeśli f : M N jest homomorfizmem A-modułów, to jądrem f nazywamy zbiór Ker(f) = {x M : f(x) = 0} i jest on podmodułem M. Obrazem f nazywamy zbiór Im(f) = f(m) i jest on podmodułem N. Kojądrem f nazywamy będący modułem ilorazowym N. Coker(f) = N/ Im(f)