II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2

II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 1 / 34

1 Funkcje logarytmiczne 2 Funkcje cyklometryczne 3 Dziedzina funkcji elementarnej - podsumowanie 4 Wklęsłość i wypukłość funkcji 5 Rzeczywiste funkcje nieelementarne 6 Funkcje wielu zmiennych - przykłady rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 2 / 34

Funkcje logarytmiczne Naturalnym przykładem funkcji odwrotnej jest funkcja logarytmiczna log a x, jako odwrotna do funkcji wykładniczej a x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 3 / 34

Funkcje logarytmiczne Naturalnym przykładem funkcji odwrotnej jest funkcja logarytmiczna log a x, jako odwrotna do funkcji wykładniczej a x. Powinni Państwo sobie przypomnieć wszystko o definicji, wykresie i własnościach (różnowartościowość, monotoniczność, dziedzina, zbiór wartości) funkcji logarytmicznej. Ponadto wzory związane z logarytmami (logarytm iloczynu, logarytm potęgi, wartość logarytmu w 1 i w a) oraz rozwiązywanie równań i nierówności logarytmicznych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 3 / 34

Liczba Eulera i logarytm naturalny Szczególną funkcją logarytmiczną jest ln x. ln, czyli logarytm naturalny, jest to logarytm, którego podstawą jest tzw. liczba Eulera - liczba niewymierna (tak jak π), oznaczana przez e 2, 72. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 4 / 34

Liczba Eulera i logarytm naturalny Szczególną funkcją logarytmiczną jest ln x. ln, czyli logarytm naturalny, jest to logarytm, którego podstawą jest tzw. liczba Eulera - liczba niewymierna (tak jak π), oznaczana przez e 2, 72. Wkrótce poznamy ciekawe - zarówno z punktu widzenia zarówno matematyki, jak i zastosowań, własności tej liczby, oraz funkcji e x i ln x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 4 / 34

Funkcje logarytmiczne - zastosowanie Zadanie Na lokacie o stopie procentowej 5% rocznie i kapitalizacji rocznej umieszczono 5000 PLN. Po ilu latach będzie można wyciągnąć z konta 8000 PLN? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 5 / 34

Funkcje logarytmiczne - zastosowanie Zadanie Na lokacie o stopie procentowej 5% rocznie i kapitalizacji rocznej umieszczono 5000 PLN. Po ilu latach będzie można wyciągnąć z konta 8000 PLN? Rozwiązanie: Kapitał K N po N latach na lokacie można obliczyć ze wzoru: K N = 5000 (1 + 0, 05) N. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 5 / 34

Funkcje logarytmiczne - zastosowanie Zadanie Na lokacie o stopie procentowej 5% rocznie i kapitalizacji rocznej umieszczono 5000 PLN. Po ilu latach będzie można wyciągnąć z konta 8000 PLN? Rozwiązanie: Kapitał K N po N latach na lokacie można obliczyć ze wzoru: K N = 5000 (1 + 0, 05) N. Zatem rozwiązujemy równanie 8000 = 5000(1, 05) N Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 5 / 34

Funkcje logarytmiczne - zastosowanie Zadanie Na lokacie o stopie procentowej 5% rocznie i kapitalizacji rocznej umieszczono 5000 PLN. Po ilu latach będzie można wyciągnąć z konta 8000 PLN? Rozwiązanie: Kapitał K N po N latach na lokacie można obliczyć ze wzoru: K N = 5000 (1 + 0, 05) N. Zatem rozwiązujemy równanie 8000 = 5000(1, 05) N 1, 6 = (1, 05) N Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 5 / 34

Funkcje logarytmiczne - zastosowanie Zadanie Na lokacie o stopie procentowej 5% rocznie i kapitalizacji rocznej umieszczono 5000 PLN. Po ilu latach będzie można wyciągnąć z konta 8000 PLN? Rozwiązanie: Kapitał K N po N latach na lokacie można obliczyć ze wzoru: K N = 5000 (1 + 0, 05) N. Zatem rozwiązujemy równanie 8000 = 5000(1, 05) N 1, 6 = (1, 05) N N = log 1,05 1, 6 9, 6. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 5 / 34

Funkcje logarytmiczne - zastosowanie Zadanie Na lokacie o stopie procentowej 5% rocznie i kapitalizacji rocznej umieszczono 5000 PLN. Po ilu latach będzie można wyciągnąć z konta 8000 PLN? Rozwiązanie: Kapitał K N po N latach na lokacie można obliczyć ze wzoru: K N = 5000 (1 + 0, 05) N. Zatem rozwiązujemy równanie 8000 = 5000(1, 05) N 1, 6 = (1, 05) N N = log 1,05 1, 6 9, 6. Stąd wniosek, że 8000 będzie na koncie dopiero po 10 latach (po 9 jest jeszcze za mało, a pomiędzy nie ma kapitalizacji). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 5 / 34

Odwracalność funkcji trygonometrycznych Generalnie, funkcje trygonometryczne nie są odwracalne: skoro są okresowe, nie mogą być różnowartościowe. Dlatego, zanim skonstruujemy funkcje odwrotne do nich, musimy zawęzić ich dziedziny. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 6 / 34

Konstrukcja funkcji arkus sinus Funkcją odwrotną do sin [ π/2,π/2] jest arc sin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 7 / 34

Konstrukcja funkcji arkus sinus Funkcją odwrotną do sin [ π/2,π/2] jest arc sin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ]. Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie z zasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyli arc sin x = y sin y = x y [ π 2, π 2 ]. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 7 / 34

Konstrukcja funkcji arkus sinus Na przykład arc sin( 1) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 8 / 34

Konstrukcja funkcji arkus sinus Na przykład arc sin( 1) = π 2, bo sin( π 2 ) = 1, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 8 / 34

Konstrukcja funkcji arkus sinus Na przykład arc sin( 1) = π 2, bo sin( π 2 ) = 1, arc sin 1 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 8 / 34

Konstrukcja funkcji arkus sinus Na przykład arc sin( 1) = π 2, bo sin( π 2 ) = 1, arc sin 1 2 = π 6, bo sin π 6 = 1 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 8 / 34

Konstrukcja funkcji arkus kosinus Funkcją odwrotną do cos [0,π] jest arc cos : [ 1, 1] [0, π]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 9 / 34

Konstrukcja funkcji arkus kosinus Funkcją odwrotną do cos [0,π] jest arc cos : [ 1, 1] [0, π]. Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie z zasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyli arc cos x = y cos y = x y [0, π]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 9 / 34

Konstrukcja funkcji arkus kosinus Na przykład arc cos( 1) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 10 / 34

Konstrukcja funkcji arkus kosinus Na przykład arc cos( 1) = π, bo cos π = 1, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 10 / 34

Konstrukcja funkcji arkus kosinus Na przykład arc cos( 1) = π, bo cos π = 1,arc cos 1 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 10 / 34

Konstrukcja funkcji arkus kosinus Na przykład arc cos( 1) = π, bo cos π = 1,arc cos 1 2 = π 3, bo cos π 3 = 1 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 10 / 34

Konstrukcja funkcji arkus tangens Funkcją odwrotną do tg ( π/2,π/2) jest arctg : R ( π 2, π 2 ) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 11 / 34

Konstrukcja funkcji arkus tangens Funkcją odwrotną do tg ( π/2,π/2) jest arctg : R ( π 2, π 2 ) Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie z zasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyli arctg x = y tg y = x y ( π 2, π 2 ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 11 / 34

Konstrukcja funkcji arkus tangens Na przykład arctg( 1) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 12 / 34

Konstrukcja funkcji arkus tangens Na przykład arctg( 1) = π 4, bo tg( π 4 ) = 1, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 12 / 34

Konstrukcja funkcji arkus tangens Na przykład arctg( 1) = π 4, bo tg( π 4 ) = 1,arctg 3 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 12 / 34

Konstrukcja funkcji arkus tangens Na przykład arctg( 1) = π 4, bo tg( π 4 ) = 1,arctg 3 = π 3, bo tg π 3 = 3. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 12 / 34

Funkcja arctg - potencjalne zastosowania Funkcja arctg jest o tyle ciekawa, że choć jest stale rosnąca, to nie rośnie do nieskończoności, lecz jest ograniczona od góry. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 13 / 34

Funkcja arctg - potencjalne zastosowania Funkcja arctg jest o tyle ciekawa, że choć jest stale rosnąca, to nie rośnie do nieskończoności, lecz jest ograniczona od góry. Dlatego np. lepiej niż funkcja wykładnicza nadawałaby się do ulepszonego modelu Malthusa jako model wzrostu populacji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 13 / 34

Konstrukcja funkcji arkus kotangens Funkcją odwrotną do ctg (0,π) jest arcctg : R (0, π) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 14 / 34

Konstrukcja funkcji arkus kotangens Funkcją odwrotną do ctg (0,π) jest arcctg : R (0, π) Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie z zasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyli arcctg x = y ctg y = x y (0, π). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 14 / 34

Konstrukcja funkcji arkus kotangens Na przykład arcctg( 1) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 15 / 34

Konstrukcja funkcji arkus kotangens Na przykład arcctg( 1) = 3π 4, bo ctg 3π 4 = 1, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 15 / 34

Konstrukcja funkcji arkus kotangens Na przykład arcctg( 1) = 3π 4, bo ctg 3π 4 = 1,arcctg 3 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 15 / 34

Konstrukcja funkcji arkus kotangens Na przykład arcctg( 1) = 3π, bo ctg 3π 4 4 ctg π = 3. 6 = 1,arcctg 3 = π 6, bo rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 15 / 34

Własności funkcji cyklometrycznych Funkcje arkus, czyli odwrotne do trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi. Warto zapamiętać ich następujące własności: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 16 / 34

Własności funkcji cyklometrycznych Funkcje arkus, czyli odwrotne do trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi. Warto zapamiętać ich następujące własności: Dziedzina: Dla funkcji arctg i arcctg dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a dziedziną arc sin i arc cos jest zbiór [ 1, 1]. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 16 / 34

Własności funkcji cyklometrycznych Funkcje arkus, czyli odwrotne do trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi. Warto zapamiętać ich następujące własności: Dziedzina: Dla funkcji arctg i arcctg dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a dziedziną arc sin i arc cos jest zbiór [ 1, 1]. Zbiór wartości: Dla funkcji arc sin zbiorem wartości jest [ π, π], 2 2 dla funkcji arc cos zbiorem wartości jest [0, π], dla arctg zbiorem wartości jest ( π, π ), dla arcctg zbiorem wartości jest (0, π). 2 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 16 / 34

Własności funkcji cyklometrycznych Funkcje arkus, czyli odwrotne do trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi. Warto zapamiętać ich następujące własności: Dziedzina: Dla funkcji arctg i arcctg dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a dziedziną arc sin i arc cos jest zbiór [ 1, 1]. Zbiór wartości: Dla funkcji arc sin zbiorem wartości jest [ π, π], 2 2 dla funkcji arc cos zbiorem wartości jest [0, π], dla arctg zbiorem wartości jest ( π, π ), dla arcctg zbiorem wartości jest (0, π). 2 2 Funkcje arc sin i arctg są nieparzyste. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 16 / 34

Własności funkcji cyklometrycznych Funkcje arkus, czyli odwrotne do trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi. Warto zapamiętać ich następujące własności: Dziedzina: Dla funkcji arctg i arcctg dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a dziedziną arc sin i arc cos jest zbiór [ 1, 1]. Zbiór wartości: Dla funkcji arc sin zbiorem wartości jest [ π, π], 2 2 dla funkcji arc cos zbiorem wartości jest [0, π], dla arctg zbiorem wartości jest ( π, π ), dla arcctg zbiorem wartości jest (0, π). 2 2 Funkcje arc sin i arctg są nieparzyste. Funkcje arc sin i arctg są rosnące, a arc cos i arcctg są malejące w swojej dziedzinie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 16 / 34

Własności funkcji cyklometrycznych Funkcje arkus, czyli odwrotne do trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi. Warto zapamiętać ich następujące własności: Dziedzina: Dla funkcji arctg i arcctg dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a dziedziną arc sin i arc cos jest zbiór [ 1, 1]. Zbiór wartości: Dla funkcji arc sin zbiorem wartości jest [ π, π], 2 2 dla funkcji arc cos zbiorem wartości jest [0, π], dla arctg zbiorem wartości jest ( π, π ), dla arcctg zbiorem wartości jest (0, π). 2 2 Funkcje arc sin i arctg są nieparzyste. Funkcje arc sin i arctg są rosnące, a arc cos i arcctg są malejące w swojej dziedzinie. Wszystkie te funkcje są różnowartościowe (więc są bijekcjami na swój obraz) i odwracalne. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 16 / 34

Równości cyklometryczne Dodatkowo mamy przydatne równości: Równości cyklometryczne arc sin x + arc cos x = π 2 ; arctg x + arcctg x = π 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 17 / 34

Dziedzina - wstęp Wszystkie do tej pory przedstawione funkcje rzeczywiste oraz ich sumy, iloczyny, złożenia itp. są tzw. funkcjami elementarnymi. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 18 / 34

Dziedzina - wstęp Wszystkie do tej pory przedstawione funkcje rzeczywiste oraz ich sumy, iloczyny, złożenia itp. są tzw. funkcjami elementarnymi. Dużą część kursu analizy przeznaczymy na metody badania zachowania się takich funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 18 / 34

Dziedzina - wstęp Wszystkie do tej pory przedstawione funkcje rzeczywiste oraz ich sumy, iloczyny, złożenia itp. są tzw. funkcjami elementarnymi. Dużą część kursu analizy przeznaczymy na metody badania zachowania się takich funkcji. Prawie zawsze (a przynajmniej, jeśli nie jest powiedziane inaczej), takie badanie musi być poprzedzone obliczeniem dziedziny odpowiedniej funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 18 / 34

Badanie dziedziny - kryteria Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniu dziedziny: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 19 / 34

Badanie dziedziny - kryteria Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniu dziedziny: Ułamki (mogą być zakamuflowane jako funkcje potęgowe ujemnych stopni). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 19 / 34

Badanie dziedziny - kryteria Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniu dziedziny: Ułamki (mogą być zakamuflowane jako funkcje potęgowe ujemnych stopni). Pierwiastki parzystych stopni lub funkcje potęgowe o parzystych mianownikach wykładników. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 19 / 34

Badanie dziedziny - kryteria Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniu dziedziny: Ułamki (mogą być zakamuflowane jako funkcje potęgowe ujemnych stopni). Pierwiastki parzystych stopni lub funkcje potęgowe o parzystych mianownikach wykładników. Funkcje trygonometryczne (tangens i kotangens). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 19 / 34

Badanie dziedziny - kryteria Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniu dziedziny: Ułamki (mogą być zakamuflowane jako funkcje potęgowe ujemnych stopni). Pierwiastki parzystych stopni lub funkcje potęgowe o parzystych mianownikach wykładników. Funkcje trygonometryczne (tangens i kotangens). Funkcje logarytmiczne. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 19 / 34

Badanie dziedziny - kryteria Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniu dziedziny: Ułamki (mogą być zakamuflowane jako funkcje potęgowe ujemnych stopni). Pierwiastki parzystych stopni lub funkcje potęgowe o parzystych mianownikach wykładników. Funkcje trygonometryczne (tangens i kotangens). Funkcje logarytmiczne. Funkcje cyklometryczne (arkus sinus i arkus kosinus). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 19 / 34

Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34

Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34

Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34

Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1 zatem musi być x + 1 0, czyli x 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34

Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1 zatem musi być x + 1 0, czyli x 1. Następnie widzimy logarytm: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34

Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1 zatem musi być x + 1 0, czyli x 1. Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1 x, zatem 1 x > 0, czyli x < 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34

Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1 zatem musi być x + 1 0, czyli x 1. Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1 x, zatem 1 x > 0, czyli x < 1. W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34

Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1 zatem musi być x + 1 0, czyli x 1. Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1 x, zatem 1 x > 0, czyli x < 1. W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1 x) 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34

Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1 zatem musi być x + 1 0, czyli x 1. Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1 x, zatem 1 x > 0, czyli x < 1. W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1 x) 0,stąd ln(1 x) ln 1, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34

Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1 zatem musi być x + 1 0, czyli x 1. Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1 x, zatem 1 x > 0, czyli x < 1. W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1 x) 0,stąd ln(1 x) ln 1,czyli (na podstawie faktu, że ln jest funkcją rosnącą) 1 x 1, czyli x 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34

Badanie dziedziny - przykład Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Wiemy już, że x 1, x < 1, x 0. Do rozważenia pozostał jeszcze arc sin. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 21 / 34

Badanie dziedziny - przykład Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Wiemy już, że x 1, x < 1, x 0. Do rozważenia pozostał jeszcze arc sin. Argumenty arc sin są z przedziału [ 1, 1] zatem musimy rozwiązać 1 ln(1 x) 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 21 / 34

Badanie dziedziny - przykład Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Wiemy już, że x 1, x < 1, x 0. Do rozważenia pozostał jeszcze arc sin. Argumenty arc sin są z przedziału [ 1, 1] zatem musimy rozwiązać 1 ln(1 x) 1. Pierwiastek kwadratowy (jeśli ma sens) jest zawsze większy od 1, zatem rozważamy tylko ln(1 x) 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 21 / 34

Badanie dziedziny - przykład Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Wiemy już, że x 1, x < 1, x 0. Do rozważenia pozostał jeszcze arc sin. Argumenty arc sin są z przedziału [ 1, 1] zatem musimy rozwiązać 1 ln(1 x) 1. Pierwiastek kwadratowy (jeśli ma sens) jest zawsze większy od 1, zatem rozważamy tylko ln(1 x) 1. Z monotoniczności pierwiastka mamy ln(1 x) 1, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 21 / 34

Badanie dziedziny - przykład Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Wiemy już, że x 1, x < 1, x 0. Do rozważenia pozostał jeszcze arc sin. Argumenty arc sin są z przedziału [ 1, 1] zatem musimy rozwiązać 1 ln(1 x) 1. Pierwiastek kwadratowy (jeśli ma sens) jest zawsze większy od 1, zatem rozważamy tylko ln(1 x) 1. Z monotoniczności pierwiastka mamy ln(1 x) 1,a z monotoniczności logarytmu 1 x e, czyli x 1 e. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 21 / 34

Badanie dziedziny - przykład Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Wiemy już, że x 1, x < 1, x 0. Do rozważenia pozostał jeszcze arc sin. Argumenty arc sin są z przedziału [ 1, 1] zatem musimy rozwiązać 1 ln(1 x) 1. Pierwiastek kwadratowy (jeśli ma sens) jest zawsze większy od 1, zatem rozważamy tylko ln(1 x) 1. Z monotoniczności pierwiastka mamy ln(1 x) 1,a z monotoniczności logarytmu 1 x e, czyli x 1 e. Podsumowując wszystkie założenia o x jakie znaleźliśmy otrzymujemy D f = [1 e, 0] \ { 1}. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 21 / 34

Wklęsłość i wypukłość - definicja Kolejna, bardzo istotna w modelowaniu matematycznym zagadnień ekonomicznych własność to wypukłość/wklęsłość. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 22 / 34

Wklęsłość i wypukłość - definicja Kolejna, bardzo istotna w modelowaniu matematycznym zagadnień ekonomicznych własność to wypukłość/wklęsłość. Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 22 / 34

Wklęsłość i wypukłość - definicja Kolejna, bardzo istotna w modelowaniu matematycznym zagadnień ekonomicznych własność to wypukłość/wklęsłość. Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) > αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 22 / 34

Wklęsłość i wypukłość - definicja Kolejna, bardzo istotna w modelowaniu matematycznym zagadnień ekonomicznych własność to wypukłość/wklęsłość. Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) > αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Jeśli w powyższych definicjach mamy do czynienia ze słabymi nierównościami, mówimy o słabej wypukłości/wklęsłości. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 22 / 34

Wklęsłość i wypukłość - interpretacja geometryczna Dla funkcji wypukłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży ponad wykresem. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 23 / 34

Wklęsłość i wypukłość - interpretacja geometryczna Dla funkcji wypukłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży ponad wykresem. Dla funkcji wklęsłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży pod wykresem. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 23 / 34

Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 24 / 34

Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: otóż wypukłość oznacza, że funkcja ma tendencję wzrostową, a wklęsłość, że ma tendencję spadkową. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 24 / 34

Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: otóż wypukłość oznacza, że funkcja ma tendencję wzrostową, a wklęsłość, że ma tendencję spadkową. Innymi słowy: jeśli funkcja jest rosnąca i wypukła, to znaczy, że rośnie coraz szybciej, jeśli jest rosnąca i wklęsła, to rośnie coraz wolniej, jeśli jest malejąca i wypukła to maleje coraz wolniej, a jeśli jest malejąca i wklęsła to maleje coraz szybciej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 24 / 34

Wklęsłość i wypukłość - przykłady f (x) = x 2 jest wypukła w całej dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 25 / 34

Wklęsłość i wypukłość - przykłady f (x) = x 2 jest wypukła w całej dziedzinie. f (x) = x jest wklęsła w całej dziedzinie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 25 / 34

Wklęsłość i wypukłość - przykłady f (x) = x 3 jest wklęsła w (, 0], wypukła w [0, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 26 / 34

Wklęsłość i wypukłość - przykłady f (x) = x 3 jest wklęsła w (, 0], wypukła w [0, + ). Punkt zmiany funkcji wypukłej we wklęsłą (lub na odwrót) - w tym przypadku x = 0 nazywa się punktem przegięcia. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 26 / 34

Funkcje elementarne i wklęsłość/wypukłość rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 27 / 34

Funkcje elementarne i wklęsłość/wypukłość Jeśli funkcja f jest wypukła, to funkcja ( f ) jest wklęsła. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 27 / 34

Funkcje elementarne i wklęsłość/wypukłość Jeśli funkcja f jest wypukła, to funkcja ( f ) jest wklęsła. Wielomiany i funkcje wymierne nie są zazwyczaj wklęsłe ani wypukłe w całej dziedzinie (jedynie przedziałami), choć czasem się to zdarza (x 2 ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 27 / 34

Funkcje elementarne i wklęsłość/wypukłość Jeśli funkcja f jest wypukła, to funkcja ( f ) jest wklęsła. Wielomiany i funkcje wymierne nie są zazwyczaj wklęsłe ani wypukłe w całej dziedzinie (jedynie przedziałami), choć czasem się to zdarza (x 2 ). Funkcje wykładnicze są wypukłe. Funkcje logarytmiczne są wklęsłe, jeśli podstawa logarytmu jest większa od 1, a w przeciwnym wypadku są wypukłe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 27 / 34

Funkcje elementarne i wklęsłość/wypukłość Jeśli funkcja f jest wypukła, to funkcja ( f ) jest wklęsła. Wielomiany i funkcje wymierne nie są zazwyczaj wklęsłe ani wypukłe w całej dziedzinie (jedynie przedziałami), choć czasem się to zdarza (x 2 ). Funkcje wykładnicze są wypukłe. Funkcje logarytmiczne są wklęsłe, jeśli podstawa logarytmu jest większa od 1, a w przeciwnym wypadku są wypukłe. Funkcje cyklometryczne i trygonometryczne nie są wklęsłe ani wypukłe w całej dziedzinie (jedynie przedziałami). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 27 / 34

Wklęsłość/wypukłość - znaczenie ekonomiczne Warunek wypukłości pojawia się często w modelach ekonomicznych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 28 / 34

Wklęsłość/wypukłość - znaczenie ekonomiczne Warunek wypukłości pojawia się często w modelach ekonomicznych. Zazwyczaj, dla funkcji rosnących, zakłada się, że są one wypukłe, jeśli są niekorzystne (np. często funkcja kosztu wydobycia surowców) i wklęsłe, jeśli są korzystne (funkcja przychodu od nakładów). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 28 / 34

Wklęsłość/wypukłość - znaczenie ekonomiczne Warunek wypukłości pojawia się często w modelach ekonomicznych. Zazwyczaj, dla funkcji rosnących, zakłada się, że są one wypukłe, jeśli są niekorzystne (np. często funkcja kosztu wydobycia surowców) i wklęsłe, jeśli są korzystne (funkcja przychodu od nakładów). Wynika to z różnych ekonomicznych praw takich jak prawo malejącej użyteczności krańcowej, prawo malejącej produktywności krańcowej itp. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 28 / 34

Sklejenia funkcji Najbardziej popularne (i chyba jedyne pojawiające się na tym kursie) funkcje, które nie są ani funkcjami elementarnymi, ani nie powstają za pomocą przedstawionych w podrozdziale VI działań na funkcjach, to tzw. sklejenia funkcji, które polegają na tym, że funkcja jest zdefiniowana różnymi wzorami elementarnymi na różnych przedziałach. Czasem funkcje tego typu są na tyle użyteczne, że uzyskują własne oznaczenie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 29 / 34

Wartość bezwzględna i signum f (x) = x : funkcja modułu (wartości bezwzględnej). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 30 / 34

Wartość bezwzględna i signum f (x) = x : funkcja modułu (wartości bezwzględnej). g(x) = sgn x: funkcja signum (wartość 1 dla liczb dodatnich, 1 dla ujemnych i 0 w zerze). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 30 / 34

Funkcje wielu zmiennych Żeby Państwa nie przyzwyczajać zanadto do myśli, że wszystkie funkcje muszą zależeć od jednej zmiennej, przedstawię kilka przykładów, że tak nie jest. W istocie, nieczęsto się zdarza, by jakiekolwiek zjawisko, ekonomiczne, czy inne, było zależne tylko od jednego bodźca. Dlatego używanie funkcji wielu zmiennych jest często konieczne, by stworzyć właściwy model. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 31 / 34

Kanoniczny iloczyn skalarny Zapewne pojawił się już na wykładzie z algebry. Kanoniczny iloczyn skalarny Rozważmy dwa wektory w przestrzeni R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) i y = (y 1, y 2,..., y n ). Definiujemy odwzorowanie <, >: R n R n R zdefiniowane wzorem < x, y >= x 1 y 1 + x 2 y 2 +... + x n y n nazywamy kanonicznym iloczynem skalarnym. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 32 / 34

Kanoniczny iloczyn skalarny w ekonomii Iloczyn skalarny jest często wykorzystywany w ekonomii. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 33 / 34

Kanoniczny iloczyn skalarny w ekonomii Iloczyn skalarny jest często wykorzystywany w ekonomii. Najbardziej trywialna interpretacja, to wartość koszyka dóbr. Załóżmy, że pewien gracz rynkowy posiada następujące zasoby: x 1 jednostek dobra 1, x 2 jednostek dobra 2 itd. (liczby te mogą być ujemne, gdyż uwzględniamy możliwe zadłużenie). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 33 / 34

Kanoniczny iloczyn skalarny w ekonomii Iloczyn skalarny jest często wykorzystywany w ekonomii. Najbardziej trywialna interpretacja, to wartość koszyka dóbr. Załóżmy, że pewien gracz rynkowy posiada następujące zasoby: x 1 jednostek dobra 1, x 2 jednostek dobra 2 itd. (liczby te mogą być ujemne, gdyż uwzględniamy możliwe zadłużenie). Ceny tych dóbr to: y 1 za jednostkę dobra 1, y 2 za jednostkę dobra 2 itd. (ceny mogą być ujemne, jeśli dobro jest niepożądane np. odpady produkcyjne). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 33 / 34

Kanoniczny iloczyn skalarny w ekonomii Iloczyn skalarny jest często wykorzystywany w ekonomii. Najbardziej trywialna interpretacja, to wartość koszyka dóbr. Załóżmy, że pewien gracz rynkowy posiada następujące zasoby: x 1 jednostek dobra 1, x 2 jednostek dobra 2 itd. (liczby te mogą być ujemne, gdyż uwzględniamy możliwe zadłużenie). Ceny tych dóbr to: y 1 za jednostkę dobra 1, y 2 za jednostkę dobra 2 itd. (ceny mogą być ujemne, jeśli dobro jest niepożądane np. odpady produkcyjne). Wtedy wartość wszystkich zasobów gracza rynkowego (jego koszyka dóbr) wynosi < x, y >. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 33 / 34

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa Funkcje Cobba-Douglasa oryginalnie dotyczyły relacji między produkcją, a jej nakładami: kapitałem i pracą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 34 / 34

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa Funkcje Cobba-Douglasa oryginalnie dotyczyły relacji między produkcją, a jej nakładami: kapitałem i pracą. Są one postaci: F (K, L) = ak α L β, gdzie K to nakład kapitału, a L to nakład pracy prowadzące do wyprodukowania F (K, L) jednostek produktu. a, α i β są liczbami rzeczywistymi. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 34 / 34

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa Funkcje Cobba-Douglasa oryginalnie dotyczyły relacji między produkcją, a jej nakładami: kapitałem i pracą. Są one postaci: F (K, L) = ak α L β, gdzie K to nakład kapitału, a L to nakład pracy prowadzące do wyprodukowania F (K, L) jednostek produktu. a, α i β są liczbami rzeczywistymi. Jak widać: F : R + R + R. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 34 / 34

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa Funkcje Cobba-Douglasa oryginalnie dotyczyły relacji między produkcją, a jej nakładami: kapitałem i pracą. Są one postaci: F (K, L) = ak α L β, gdzie K to nakład kapitału, a L to nakład pracy prowadzące do wyprodukowania F (K, L) jednostek produktu. a, α i β są liczbami rzeczywistymi. Jak widać: F : R + R + R. Obecnie funkcje tej postaci rozważa się w wielu kontekstach, niekoniecznie związanych z nakładami pracy i kapitału oraz produkcją. Często też uogólnia się tę funkcję na więcej niż dwie zmienne. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 34 / 34