UNIWERSYTET WROCŁAWSKI WYDZIAŁ FIZYKI I ASTRONOMII KIERUNEK: FIZYKA RAFAŁ JAKUBOWSKI DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH W UKŁADACH KLASYCZNYCH

UNIWERSYTET WROCŁAWSKI WYDZIAŁ FIZYKI I ASTRONOMII KIERUNEK: FIZYKA RAFAŁ JAKUBOWSKI DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH W UKŁADACH KLASYCZNYCH Praca magisterska napisana pod kierunkiem dr hab. Lecha Jakóbczyka Wrocław 00

SPIS TREŚCI WSTĘP...5 ROZDZIAŁ I DYNAMIKA KLASYCZNYCH UKŁADÓW STATYSTYCZNYCH...8. Opis statystyczny układów klasycznych...8. Przestrzeń z miarą...8. Stany statystyczne funkcje gęstości...9.3 Wartości średnie...9.4 Entropia Boltzmanna Gibbsa...9.5 Funkcje gęstości miary i wartości średniej...0. Dynamika układów statystycznych...0. Operatory Markowa...0. Gęstość stacjonarna....3 Entropia warunkowa...3 3. Własności ergodyczne dynamiki...5 3. Dynamika ergodyczna...5 3. Dynamika mieszająca...5 3.3 Dynamika dokładna...6 3.4 Twierdzenie Mackeya...6 ROZDZIAŁ II DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH DLA CZASÓW DYSKRETNYCH...7. Opis dynamiki stanów statystycznych...7. Przestrzeń fazowa...7. Stany statystyczne wektory...7.3 Macierze stochastyczne...8.4 Dynamika stanów statystycznych...8.5 Entropia stanów statystycznych...8 3

.6 Badanie dynamiki danego stanu statystycznego...8. Dynamika stanów statystycznych zadana przez macierze podwójnie stochastyczne...9. Macierze podwójnie stochastyczne...9.. Badanie dynamiki...0 3. Podsumowanie rozdziału... ROZDZIAŁ III DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH DLA CZASÓW CIĄGŁYCH.... Dynamika stanów statystycznych zadana przez generator stochastyczny.... Zbiór stanów statystycznych wektory.... Generator stochastyczny....3 Dynamika stanów statystycznych...3.4 Ogólne rozwiązanie ewolucji stanów statystycznych...3.5 Entropia stanów statystycznych...3.6 Badanie dynamiki stanów statystycznych...4. Dynamika stanów statystycznych zadana przez generator podwójnie stochastyczny...7. Generator podwójnie stochastyczny...7. Ewolucja stanów statystycznych...8 ZAKOŃCZENIE...3 BIBLIOGRAFIA...3 4

Wstęp Od wielu lat fizycy zastanawiają się jak sformułować prawa dynamiki aby ukazywały asymetrię ze względu na odwrócenie kierunku czasu. Prawa Newtona, ogólna teoria względności Einsteina, równania Hamiltona, Maxwella, Diraca, Schrödingera nie zmieniają się, gdy odwrócimy kierunek upływu czasu, zamieniając t na t. Nauka klasyczna traktowała podstawowe prawa przyrody jako deterministyczne i odwracalne, procesy zaś losowe i nieodwracalne jako wyjątki. Dziś uświadomiliśmy sobie, że nieodwracalność nie jest złudzeniem, że odgrywa podstawową rolę w przyrodzie i leży u źródeł większości procesów samoorganizacji. Ujrzeliśmy wokół siebie świat, w którym odwracalność i determinizm obowiązują jedynie w prostych, ograniczonych pewnymi warunkami przypadkach, natomiast nieodwracalność i losowość są prawem nadrzędnym. Ciągle nie znamy przyczyn procesów nieodwracalnych i nie rozumiemy problemu strzałki czasu. W swoich pracach, nieodwracalności poświęcił wiele uwagi Ilija Prigogine [], []. Próbuje on znaleźć mechanizm łamania symetrii w czasie. W kilku prostszych wypadkach udało mu się zdefiniować operator czasu wewnętrznego T, który działając na układ dokonuje jego podziału i przemieszczania części, a więc powoduje wzrost złożoności. Krótko mówiąc czas wewnętrzny mierzy wiek układu. Prigogine wierzy, że czas zdefiniowany przez tego rodzaju operatory zostanie kiedyś określony dla wszystkich układów znajdujących się z dala od stanów równowagi i odegra istotną rolę w rozumieniu powstawania nowych struktur we Wszechświecie. Pomiędzy czasem zewnętrznym czasem parametrem numerującym tylko kolejne chwile historii układu, a czasem wewnętrznym istnieją wzajemne Ilya Prigogine, Isabelle Stengers, Z chaosu ku porządkowi, str. Ibidem, str.3 5

związki. Czas zewnętrzny można traktować, w prostych przypadkach, jako pewnego rodzaju uśrednienie czasu wewnętrznego. Wyjaśnienie nieodwracalności w naturze jest ciągle problemem otwartym 3. Połączenie odwracalnych praw mechaniki ze statystyką Gibbsa nie prowadzi do nieodwracalności, a nieodwracalność musi być dodana jako specjalny składnik 4. Nieodwracalność często kojarzona jest z II prawem termodynamiki, ze wzrostem entropii. W tym kierunku swoje poszukiwania podjął Mackey [3], [4], [5]. W swoich pracach bada dynamiczne podstawy ewolucji stanów statystycznych do stanów o maksymalnej entropii. Poszukuje takiej dynamiki, która niezależnie od warunków początkowych prowadzi do stanu równowagi termodynamicznej. Na podstawie opracowań Mackeya powstał I rozdział pracy o dynamice klasycznych układów statystycznych. Punktem wyjścia opisu statystycznego jest przestrzeń z miarą. W tej terminologii scharakteryzowany jest układ statystyczny. Stan statystyczny został utożsamiony z gęstością miary. Dla danego stanu statystycznego została wprowadzona entropia Boltzmanna Gibbsa, i jej uogólnienie entropia warunkowa. Entropia warunkowa nigdy nie maleje, w przeciwieństwie do zwykłej entropii, która może w szczególnych warunkach maleć. Ewolucję gęstości opisują operatory Markowa. Są to liniowe operatory różniczkowe o własnościach podanych w I rozdziale. Wśród operatorów Markowa można wyróżnić dwie rodziny: operatorów odwracalnych i nieodwracalnych. Rodzina odwracalna jest jednoparametrową grupą przekształceń, a rodzina nieodwracalnych operatorów Markowa stanowi jedynie półgrupę przekształceń. Z operatorami Markowa związana jest gęstość stacjonarna, która nie zmienia swej wartości pod działaniem operatorów Markowa. Podana definicja entropii warunkowej pozwala prześledzić ewolucję dynamiki do stanów o maksymalnej entropii. 3 Michael C. Mackey, Time s Arrow: The origins of thermodynamic behavior 4 Ibidem 6

Okazuje się, że entropia dla układów odwracalnych jest stała, więcej z dynamiki odwracalnej nie dostaniemy wzrostu entropii. Najsłabszą własnością zachowań nieregularnych jest ergodyczność, która jest konieczna i wystarczająca aby zaistniał przynajmniej jeden stan równowagi. Ergodyczność jednak nie gwarantuje wzrostu entropii do wartości maksymalnej. Silniejszą własnością jest mieszanie, które również nie gwarantuje osiągnięcia równowagi. Jak się okaże, do tego aby stan początkowy osiągnął w trakcie ewolucji entropię maksymalną, potrzebna jest dynamika dokładna. Jednak problemem jest podanie przykładów takich dynamik. W rozdziale II i III zaproponuję konstrukcję układów dokładnych. Jest to jednak bardzo szczególna propozycja. Operatorami zadającymi dynamikę będą macierze stochastyczne i podwójnie stochastyczne a stanami statystycznymi wektory. Tylko macierze podwójnie stochastyczne zadają dynamiki gwarantujące wzrost entropii do stanów maksymalnych dla czasów dyskretnych. Dla czasów ciągłych równowagę termodynamiczną osiągają stany z dynamiką zadaną tylko przez generatory półgrupy podwójnie stochastycznej przedstawione w rozdziale III. 7

ROZDZIAŁ I DYNAMIKA KLASYCZNYCH UKŁADÓW STATYSTYCZNYCH. Opis statystyczny układów klasycznych. Przestrzeń z miarą W opisie statystycznym układów klasycznych punktem wyjścia jest przestrzeń z miarą. Wprowadzone zostanie kilka elementarnych definicji z teorii miary. Ogólnie przestrzenią z miarą jest trójka (X,, ), gdzie X jest pewną przestrzenią, rodziną podzbiorów mierzalnych przestrzeni X a miarą określoną na. Nie każdy podzbiór X jest mierzalny. Rodzina musi być - algebrą. Przykładem przestrzeni z miarą może być przestrzeń R d z miarą Lebesgue'a dx. Definicja.: Rodzina jest - algebrą jeżeli: () X, () A to X A, (3) A i dla i =,,... to i A i. Innymi słowy, - algebrą jest każda klasa podzbiorów przestrzeni X, która zawiera tę przestrzeń i jest zamknięta ze względu na sumę przeliczalną i różnicę. Definicja.: Funkcja o wartościach rzeczywistych określona na - algebrze jest miarą jeżeli: () (A) 0 dla A, () ()= 0, (3) jeżeli A i dla i =,,... są zbiorami rozłącznymi, to ( i A ) = ( ). i i A i 8

W tak zdefiniowanej przestrzeni z miarą można wprowadzić pojęcie stanu statystycznego.. Stany statystyczne funkcje gęstości Stany układu statystycznego utożsamia się z funkcjami gęstości miary (x), które spełniają następujące warunki: () L (tzn. jest funkcją całkowalną), () (x) 0, (3) = ( x) dx = X Zbiór funkcji gęstości będzie oznaczany L +, (czyli funkcja typu L, dodatnia i unormowana). W dalszych rozważaniach potrzebne będzie pojęcie funkcji mówiącej czy stan statystyczny osiągnął równowagę termodynamiczną czy też nie. Taką funkcję wprowadzili Boltzmann i Gibbs, którą nazwali entropią. Przed zdefiniowaniem entropii warto wprowadzić pojęcie wartości średnich..3 Wartości średnie Mając stan L +, można wyznaczyć wartość średnią (np. energię E) dowolnej obserwabli F (która jest w tym przypadku funkcją F na przestrzeni (X,, dx) ): F = F ( x ) ( x ) dx. X.4 Entropia Boltzmanna Gibbsa Definicja entropii Boltzmanna Gibbsa przedstawia się następująco: S () = - ( x ) log ( x ) dx. X Dla lepszego zobrazowania nowych pojęć, podane zostały przykłady funkcji gęstości i wartości średniej. 9

.5 Funkcje gęstości miary i wartości średniej Przykładem funkcji gęstości miary jest funkcja rozkładu zespołu kanonicznego: ( x) Z e E( x) gdzie Z X e E ( x) dx, =, k stała Boltzmanna kt a wartość średnia energii wynosi: E = Z X E ( x ) e E( x) dx.. Dynamika układów statystycznych Dynamikę układu można badać rozpatrując własności pojedynczej trajektorii. Dla układów o dużej liczbie cząstek jest to bardzo trudne zadanie. Należy wtedy znać warunki początkowe wszystkich cząstek. Można zastosować inną metodę, mianowicie badanie zachowania się gęstości.. Operatory Markowa Ponieważ stany układu statystycznego utożsamiamy z funkcjami gęstości miary L +,, dynamika takich układów jest zadana poprzez rodzinę przekształceń P t : L +, L +,, t R lub t R + transformujących funkcje gęstości w funkcje gęstości. Przekształcenie P t powinno spełniać: () jeżeli L oraz 0 to P t 0, () P t = dla 0. 0

Definicja.: Operator P t : L +, L +, spełniający powyższe własności nosi nazwę operatora Markowa. Operatory Markowa posiadają szereg użytecznych własności... Własności operatorów Markowa Do opisania własności wprowadzić należy następującą notację: + (x) = max(0, (x)) i - (x) = max(0, - (x)) () (P t (x)) + P t + (x), () (P t (x)) - P t - (x), (3) P t (x) P t (x), (4) P t dla wszystkich L. Operatory Markowa mogą tworzyć rodziny odwracalne i nieodwracalne... Odwracalna rodzina operatorów Markowa Definicja..: Rodzina {P t } tr operatorów Markowa jest odwracalna jeśli: () P 0 = i () P t (P t ) = P t + t dla wszystkich t, t R (lub Z). Uwaga: Odwracalna rodzina operatorów Markowa {P t } tr jest w istocie jednoparametrową grupą przekształceń L +, na L +,, ponieważ P t P t = P t + t podstawiając za t = -t otrzymamy:

P t P -t = P t - t = P 0 = id P t P -t = id P -t P t = id P t = (P t ) - Definicja rodziny nieodwracalnej operatorów Markowa wygląda następująco:..3 Nieodwracalna rodzina operatorów Markowa Definicja..3: Rodzina {P t } tr+ operatorów Markowa jest nieodwracalna jeśli: () P 0 = i () P t (P t ) = P t + t dla t, t R +. Uwaga: Nieodwracalna rodzina operatorów Markowa {P t } tr+ stanowi jedynie półgrupę przekształceń L +, na L +,, ponieważ nie istnieje (P t ). Ważnym pojęciem związanym z operatorami Markowa jest gęstość stacjonarna. Istnienie gęstości stacjonarnej może być związane z istnieniem stanu równowagi termodynamicznej.. Gęstość stacjonarna Definicja.: Funkcja gęstości * L +, jest gęstością stacjonarną dla ewolucji zadanej przez rodzinę operatorów Markowa {P t }, jeśli P t * = *. Innymi słowy, jeśli działając operatorem Markowa na funkcję gęstości nie zmienia się jej, to gęstość ta jest gęstością stacjonarną. Przed rozpoczęciem badania entropii gęstości wprowadzone zostanie uogólnienie entropii Boltzmanna Gibbsa, entropia warunkowa.

Zostanie wykazane, że entropia warunkowa nigdy nie maleje w przeciwieństwie do zwykłej entropii, która w szczególnych przypadkach może maleć..3 Entropia warunkowa Definicja.3: Jeśli i g są dwiema gęstościami, takimi że supp supp g (support oznacza nośnik funkcji g, tzn. zbiór wszystkich x, takich że g(x) 0), wtedy entropią warunkową gęstości związaną z gęstością g jest: S c (g) = - X ( x) ( x)log dx g x. ( ) Entropia warunkowa posiada dwie własności podane poniżej..3. Własności entropii warunkowej () Jeśli i g są gęstościami, to z nierówności całkowej Gibbsa - ( x ) log ( x ) dx - ( x ) log g ( x ) dx X X wynika, że S c (g) 0. Równość zachodzi tylko dla = g. () Jeśli g jest gęstością stałą g =, to S c () = S(). Tak więc entropia S c (g) jest uogólnieniem entropii S()..3. Twierdzenia dotyczące entropii warunkowej Voight [6] wykazał, że entropia warunkowa dla gęstości zmieniających się w czasie jest niemalejącą funkcją czasu t, a działając na gęstości nieodwracalnymi operatorami Markowa zgodnie ze wzorem t = P t, g t = P t g entropia może rosnąć. 3

Twierdzenie.3..(Voighta): Niech P będzie operatorem Markowa, wtedy S c ( t g t ) S c (g) dla, g L +,. Zauważmy, że jeżeli g jest gęstością stacjonarną g = *, wtedy S c (P t *) S c ( *). Entropia warunkowa dla odwracalnych operatorów Markowa jest stała i określona poprzez warunki początkowe. Mówiąc ściślej, dla odwracalnych operatorów Markowa zachodzi następujące twierdzenie: Twierdzenie.3..: Jeśli rodzina operatorów Markowa {P t } jest odwracalna, to entropia warunkowa jest stała dla wszystkich czasów t, i równa wartości początkowych gęstości i g, czyli: S c (P t P t g) = S c (g) dla t. Dowód: Niech P będzie operatorem odwracalnym, wtedy S c (P t + t' P t + t' g) = S c (P t' P t P t' P t g) S c (P t P t g) S c (g) dla t i t'. Weźmy t' = - t, tak więc dla wszystkich czasów t i ostatecznie S c (g) S c (P t P t g) S c (g) S c (P t P t g) = S c (g) dla wszystkich t. Z tego twierdzenia wynika, że dla każdego układu, którego ewolucja gęstości miary jest opisana przez odwracalne operatory Markowa, entropia jest stała i określona poprzez warunki początkowe. Podsumowując, entropia może rosnąć dla układów nieodwracalnych, co zostało udowodnione w twierdzeniu Voighta, a jest stała dla układów odwracalnych jak wynika z ostatniego twierdzenia. 4

3. Własności ergodyczne dynamiki W dalszym ciągu będziemy zakładać istnienie gęstości stacjonarnej * dla dynamiki zadanej poprzez rodzinę operatorów Markowa {P t }. Poniżej scharakteryzowane zostaną własności nieregularnych zachowań układów dynamicznych. Najsłabszą własnością dynamik jest ergodyczność, którą mogą posiadać układy odwracalne. Kolejną mocniejszą własnością jest mieszanie, charakteryzujące również układy odwracalne. Najsilniejsze własności zachowań nieregularnych posiadają układy z dynamiką dokładną. Pokazane będzie iż układy odwracalne nie mogą być dokładne. Definicje: 3. Dynamika {P t } jest ergodyczna jeśli L +, T t lim P, g dt *, T T T g dla dowolnych funkcji g L (funkcji ograniczonych) gdzie, g ( x) g( x) dx dla L i g L. X 3. Dynamika {P t } jest mieszająca jeśli L +, lim P t, g *, t g dla dowolnych funkcji g L. 5

3.3 Dynamika {P t } jest dokładna jeśli L t +, lim P 0. t * Uwaga: Jeśli dynamika jest dokładna to nie może być odwracalna. Warunkiem koniecznym dokładności jest nieodwracalność P t, ponieważ: lim P t t ( * ) 0 a z własności (4) operatorów Markowa wynika t P ( * ) * Gdyby P t był odwracalny to P t byłby operatorem Markowa = * t t ( P P )( *) t P ( * ) t P ( * ) = * Układy dynamiczne osiągają stan równowagi termodynamicznej jeśli ich dynamika jest dokładna. Dlatego w dalszych rozważaniach o układach nieodwracalnych pominięte zostaną dynamiki ergodyczne i mieszające, a brane pod uwagę zostaną tylko dynamikami dokładne. 3.4 Twierdzenie Mackeya Niech P t będzie operatorem Markowa w przestrzeni fazowej X t lim S ( P * ) 0 wtedy i tylko wtedy, gdy półgrupa P t jest dokładna. t c Trudno jest podać przykłady układów dokładnych. W następnych rozdziałach przedstawiona zostanie próba konstruowania układów dokładnych w szczególnych przypadkach dla czasów dyskretnych i ciągłych. 6

ROZDZIAŁ II DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH DLA CZASÓW DYSKRETNYCH W poprzednim rozdziale przedstawiono warunki jakie powinien spełniać układ dynamiczny, aby mógł osiągnąć stan równowagi termodynamicznej. W rozdziale II podana zostanie propozycja szczególnego przypadku dynamiki stanów statystycznych z czasem dyskretnym dla macierzy stochastycznych i podwójnie stochastycznych [7]. Gęstości zostaną zastąpione wektorami, a operatory Markowa operatorami w przestrzeni skończenie wymiarowej - macierzami stochastycznymi.. Opis dynamiki stanów statystycznych z czasem dyskretnym. Przestrzeń fazowa Przestrzeń fazowa ma skończoną ilość punktów (stanów mikroskopowych). X={e,...e n} gdzie ej jest mikrostanem. Jak wspomniano wyżej stanami statystycznymi będą nie gęstości a wektory.. Stany statystyczne wektory Zbiór stanów statystycznych tworzą wektory, których suma składowych wynosi : =... d gdzie : X R n, j 0 i j =. Stany statystyczne będące wektorami są szczególnym przypadkiem gęstości, wprowadzonych w rozdziale I. Spełniają podobne warunki: n j 7

warunek dla gęstości ( x) X dx =, został zastąpiony sumą j =. n j Jest to szczególny przypadek warunku unormowania gdy funkcja zostaje zastąpiona skończonym ciągiem. Mając stan statystyczny, zdefiniować można operatory zadające dynamikę tego stanu macierze stochastyczne. Definiujemy je następująco:.3 Macierze stochastyczne Macierz P, dla której suma każdej kolumny wynosi i elementy są większe bądź równe zero i mniejsze lub równe. P jest macierzą stochastyczną j p ij = dla 0 pij. Dla takich macierzy dynamika stanów statystycznych podana została poniżej..4 Dynamika stanów statystycznych (n) = P n (0). Podobnie jak w rozdziale I operatory Markowa zadawały dynamikę i zmieniały gęstości w gęstości, analogicznie teraz macierze, zmieniają wektory w wektory. Zdefiniujmy entropię..5 Entropia stanów statystycznych d S((n)) = - j ( n)log j ( n). j Można teraz przystąpić do badania dynamiki stanów statystycznych. Obliczenia zostały wykonane w programie Mathematica..6 Badanie dynamiki danego stanu statystycznego 8

Entropia S Badania zostały przeprowadzone na kilkunastu różnych wektorach i zadających ich dynamikę różnych macierzach stochastycznych. Spośród wielu stanów statystycznych i macierzy wybieram stan i operator P. 0 Stan statystyczny = 0, macierz stochastyczna P = 0 0 4 4 4 0 3 4 Zgodnie z zadaną dynamiką program wykonuje obliczenia i rysuje następujący wykres:.6. Wykres entropii stanów statystycznych 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 5 0 5 0 5 30 P n Z wykresu widać, że stan początkowy nie osiąga stanu równowagi termodynamicznej. Dla macierzy stochastycznej P entropia początkowo rośnie a później maleje. Macierze stochastyczne nie zadają dynamiki dokładnej. Sprawdźmy jak zachowują się macierze podwójnie stochastyczne.. Dynamika stanów statystycznych zadana przez macierze podwójnie stochastyczne 9

. Macierze podwójnie stochastyczne P jest macierzą podwójnie stochastyczną j p ij = i i p ij = dla 0 pij, czyli gdy sumy elementów każdej kolumny i każdego wiersza są równe, przy czym elementy muszą być większe lub równe zero i mniejsze lub równe. Uwaga!: W naszych rozważaniach będą brane pod uwagę tylko macierze podwójnie stochastyczne spełniające warunek: j p ij = i i p ij = dla 0 pij czyli macierze podwójnie stochastyczne o elementach mniejszych od. Powyższy warunek został nałożony gdyż z przeprowadzonych badań nad macierzami podwójnie stochastycznymi wynika, że istnieją macierze z elementami równymi nie wykazujące dążenia do równowagi termodynamicznej. Dynamikę macierzy podwójnie stochastycznych będziemy badali podobnie jak dla macierzy stochastycznych.. Badanie dynamiki stanu statystycznego Weźmy stan statystyczny = 0 0 i macierz podwójnie stochastyczną 0 0

Entropia S P = 0 0 0 0 0 0 0 0 Program w identyczny sposób jak dla macierzy stochastycznej kreśli wykres:.. Wykres entropii stanów statystycznych:.3863.386.386.3859 0 0 30 40.3858.3857 P n Dla macierzy podwójnie stochastycznej dynamika stanów statystycznych osiąga maksimum w punktach o wartości ln(4). 3. Podsumowanie rozdziału Z przeprowadzonych badań na macierzach stochastycznych i podwójnie stochastycznych wynika, że dynamikę dokładną zadają tylko macierze podwójnie stochastyczne o elementach mniejszych od. Entropia osiąga wartości maksymalne równe logarytmowi z wymiaru macierzy podwójnie stochastycznej.

ROZDZIAŁ III DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH DLA CZASÓW CIĄGŁYCH W tym rozdziale przedstawię ewolucję stanów statystycznych z czasem ciągłym. Zdefiniuję generatory stochastyczne i podwójnie stochastyczne półgrupy [8], by następnie zbadać ich ewolucje.. Dynamika stanów statystycznych zadana przez generator stochastyczny Stanami statystycznymi będą nadal wektory.. Zbiór stanów statystycznych - wektory =... d gdzie : X R n, j 0 i j =. n j Macierze stochastyczne zostaną zastąpione generatorami stochastycznymi.. Generator stochastyczny Macierz L nazywamy generatorem stochastycznym, jeżeli: () suma składowych kolumny równa jest 0 czyli lik 0 k, () lik 0 dla i k oraz lik 0 dla i = k. i Dynamika stanów statystycznych dla czasów ciągłych zostanie opisana równaniem różniczkowym.

.3 Dynamika stanów statystycznych d L dt Rozwiązanie tego równania jest następujące:.4 Ogólne rozwiązanie ewolucji stanów statystycznych (t) = e tl (0) Przepis obliczania entropii dla czasów ciągłych jest identyczny jak dla czasów dyskretnych..5 Entropia stanów statystycznych w przypadku ciągłym d S( (t)) = - j ( t)log j ( t) j.7 Badanie dynamiki stanów statystycznych Badania przeprowadzone zostały również dla kilkunastu różnych stanów statystycznych i kilkunastu generatorów. Dla pokazania ewolucji zostały wybrane trzy stany statystyczne a, b, c i generator L. Stany statystyczne: a = 3, b = 3 3 39 0 0, c = 0 3, 3 3

a generator stochastyczny jest następujący: L = 4 3 3 5.7. Ogólne rozwiązanie dla generatora L i stanu ogólnego (0) = : (t) = e tl (0).6. Składowe stanu statystycznego (t) wynoszą odpowiednio: 7t t 7t t t (t) = e ( 5 7e 8e 35 ( e ) 35( e )), 70 7t t 7t t t (t) = e ( 5 7e 3e 35 ( e ) 35 ( e )), 70 7t 7t 3 (t) = e (5 e 7 7 ). 7 Podstawiając odpowiednio stany a, b, c otrzymuję: a(t) = t 70 45e 63e 730 7 5t, a(t) = t 48 45e 63e 730 7 5t, 4

a3(t) = 83e 7t, 7 73 5 7t t b(t) = (9 5e e ), 35 5 7t t b(t) = (6 5e e ), 35 b3(t) = e 7t, 7 7 5 7t t c(t) = (54 5e 49e ), 0 5 7t t c(t) = (96 5e 49e ), 0 7t c3(t) = (6 e )..6.3 Entropie obliczone i wykreślone przez program Mathematica S(a) t 7t 7t 5 t (( 780 830e 730 7 83e )log[ 7 73 ] ( 48 45e 63e ) t 48 45e 63e log[ 730 ] e ( 45 63e 70e 7t 70 45e 63e )log[ 730 7 5t 5t 7t t 7t ]) S(b) = 7t 7t 7t t 7t 7t 5 t ( e 7 e )log[ 7 7 ] e 35 ((5 e t 7t 7t 5t (5 e 9e )log[ (9 5e e )]), 35 6e )log[ (6 5e 35 e )] 5

Entropia S S(c) = 7t 7t 7t 5t 7t 5 t ( 0(6 e 0 )log[ (6 e )] ( 54 5e 49e )log[ (54 5e 0 49e )] 7t 5t 7t 5t (96 5e 49e )log[ (96 5e 49e )]). 0 Wykresy entropii:(linie: ciągła =a, przerywana długa = b, przerywana krótka = c) Czas t S(a) a).08 3 4 S(b).06.04 S(c).0 Poniżej zostaną przedstawione zachowania się stanów statystycznych na wykresach rzutów na odpowiednie osie. Zostaną zmienione oznaczenia: na x, na y, 3 na z..6.4 Wykresy odpowiednich składowych x, y, z dla wektorów stanów a, b, c - składowe x, y: y 0.55 0.5 c 0.45 0.4 0.35 a b 0.5 0.3 0.35 x 6

- składowe x, z: z 0.3 0.3 a 0.9 0.5 0.3 0.35 x 0.8 0.7 c b - składowe y, z: z 0.44 0.46 0.48 y 0.88 0.86 a c 0.84 b Jak widać na wykresie entropii stany statystyczne nie osiągają stanów o maksymalnej entropii. Entropia początkowo rośnie, by następnie maleć i osiągnąć równowagę.. Dynamika stanów statystycznych zadana przez generator podwójnie stochastyczny. Generator podwójnie stochastyczny Macierz L p nazywamy generatorem podwójnie stochastycznym, jeżeli: 7

() suma składowych kolumny i wiersza równa jest 0 czyli i l 0 oraz l 0 i k ik k ik, () lik 0 dla i k oraz lik 0 dla i = k.. Ewolucja stanów statystycznych a, b, c dla generatora podwójnie stochastycznego L p = 5 0 5 4 6 6 7.. Ogólne rozwiązanie dla generatora L p i stanu (0) = (t) = e tlp (0) składowe stanu statystycznego (t) wynoszą odpowiednio: (t) = 3 e 9t ( cos(3t ) sin(3t )) e 3 3 9t 9t sin(3t ) e (cos(3 t) sin(3t )), (t) = 3 e 9t ( cos(3t ) sin(3t )) e 3 9t (cos(3 t) sin(3t )) e 9t sin(3t ), 3 (t) = 9t 9t cos(3 ) (cos(3 ) sin(3 )) 9 t t e t t e e 3 ( cos(3t ) sin(3t )). 3 3 8

Entropia S.. Entropia obliczona dla stanu ogólnego (t) i wykresy entropii dla stanów a, b, c S p( (t)) = e 3 9t ( log[ e 3 9t ( e 9t ( 3 3 )cos(3t ) ( 3 )sin(3t ))]( e 9t ( 3 3 ) 9t 9t cos( 3t) ( 3x)sin(3t )) log[ e ( e ( 3 )cos(3t ) 3( )sin(3t ))] 3 9t 9t 9t ( e ( 3 )cos(3t ) 3( )sin(3t )) log[ e ( e ( 3)cos(3t ) 3 9t ( 3 3 )sin(3t ))]( e ( 3)cos(3t ) ( 3 3 )sin(3t )) Do tak obliczonej entropii podstawiam odpowiednie składowe stanów i otrzymuję wykresy entropii stanów a, b, c:..075.05.05 a 0.975 0. 0. 0.3 0.4 0.95 0.95 c b Czas t Widać, że dla dynamiki zadanej przez generator podwójnie stochastyczny stany osiągają wartości o maksymalnej entropii. 9

..3 Wykresy rzutów stanów statystycznych odpowiednich składowych x, y, z (,, 3) dla wektorów stanów a, b, c - składowe x, y y 0.3338 0.3336 0.3334 0.333 0.333 0.338 a b c 0.336 x 0.338 0.333 0.333 0.3334 0.3336 0.3338 - składowe x, z z 0.34 0.34 0.338 0.336 a b 0.334 0.33 c x 0.35 0.35 0.33 0.335 0.34 0.345 0.38 - składowe y, z z 0.3338 0.3336 0.3334 0.333 b a 0.338 0.336 0.333 0.334 0.335 0.336 c y 30

Zakończenie Świat dynamiki, klasycznej czy kwantowej, to świat odwracalny 5. Termodynamika, teoria względności i mechanika kwantowa wszystkie wywodzą się z odkryć, że coś jest niemożliwe, z odkrycia granic aspiracji fizyki klasycznej. Druga zasada termodynamiki wyraża właśnie taką pewną niemożliwość 6. Gdybyśmy zechcieli, by czas płynął wstecz musielibyśmy pokonać nieskończenie wysoką barierę entropii. Nieodwracalność i towarzyszący jej wzrost entropii nie są ogólnym następstwem praw dynamiki. Teoria procesów nieodwracalnych wymaga ustalenia dodatkowych bardziej specyficznych warunków. Musimy uznać fakt, że żyjemy w świecie pluralistycznym, w którym współistnieją procesy odwracalne i nieodwracalne. Cóż, kiedy taki pluralistyczny świat wcale nie jest łatwo zaakceptować 7. Wśród fizyków istniały i istnieją nadal różne poglądy na temat nieodwracalności. Ciągle, jednym z najżywiej badanym obecnie zagadnień jest kwestia, jak wpisać nieodwracalność w budowę materii 8. W pracy zostały na początku przedstawione poglądy kanadyjskiego fizyka Mackeya, który wysuwa hipotezę, iż nieodwracalne układy dynamiczne zadają tylko ściśle określone i ustalone dynamiki dokładne. Idąc w ślad za tym stwierdzeniem, została w prostych przypadkach przedstawiona, dla czasów ciągłych i dyskretnych, konstrukcja dynamik ujawniających swój nieodwracalny charakter. Dla czasów dyskretnych znaleziono pewną klasę macierzy podwójnie stochastycznych, zadających stanom statystycznym dynamikę, która prowadzi do wzrostu entropii. W przypadku ciągłym, stany statystyczne osiągają maksymalną entropię, tylko wtedy gdy dynamika zadana jest przez generatory podwójnie stochastyczne. 5 Ilya Prigogine, Isabelle Stengers, Z chaosu ku porządkowi, str. 36 6 Ibidem, str. 33 7 Ibidem, str. 74 8 Ibidem, str. 304 3

Bibliografia [] Ilya Prigogine, Isabelle Strengers, Z chaosu ku porządkowi, Warszawa, 990 [] B. Misra and I. Prigogine, Time, probability, and dynamics, Brussels, 983 [3] Michael C. Mackey, Time s arrow: The origins of thermodynamic behavior, New York, 99 [4] Michael C. Mackey, The dynamic origin of increasing entropy Rev. Mod. Phys. 6 98 06, October 989 [5] Andrzej Lasota, Michael C. Mackey, Chaos, fractals, and noise, Stochastic aspects of dynamics, New York, 985 [6] Voight, J. 98. Stochastic operators, information, and entropy, Commun. Math. Phys. 8 3-38 [7] F. R. Gandmacher, Teoria matric, Moskwa, 953 [8] R. S. Ingarden, A. Jamiołkowski, R. Mrugała, Fizyka statystyczna i termodynamika, Warszawa, 990 3