Dr hab. inż. Waldemar Magda

Dr hab. inż. Waldemar Magda Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Geotechniki, Geologii i Budownictwa Morskiego e-mail: waldemar.magda@wilis.pg.gda.pl Fala stojaca Stokesa krytyczna analiza wzorów wynikajacych z aproksymacji 2 rzędu artykuł opublikowany w czasopiśmie Inżynieria Morska i Geotechnika, nr 6/2012, str. 727 738 Gdańsk, 9 kwietnia 2013

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 1 Fala stojaca Stokesa krytyczna analiza wzorów wynikajacych z aproksymacji 2 rzędu dr hab. inż. Waldemar Magda Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Ladowej i Środowiska Katedra Geotechniki, Geologii i Budownictwa Morskiego WPROWADZENIE (e-mail: waldemar.magda@wilis.pg.gda.pl) Znaczenie zjawiska fali stojącej jest oczywiste dla praktyki inżynierskiej z zakresu budownictwa morskiego i inżynierii brzegowej. Wartość obciążenia morskiej konstrukcji hydrotechnicznej (w tym przede wszystkim grawitacyjnych falochronów pionowościennych) falą stojącą zależy od charakterystyki samej konstrukcji (budowla niska, budowla wysoka, budowla na fundamencie narzutowym itp.), ale także od rodzaju falowania przyjętego do rozważań. O ile odpowiednie wzory dla rzędnej swobodnej powierzchni oraz ciśnienia hydrodynamicznego pod falą progresywną można znaleźć w wielu publikacjach polsko- i obcojęzycznych, o tyle w przypadku fali stojącej sprawa przedstawia się już dużo gorzej. Okazuje się bowiem, że poza wzorami wynikającym z liniowej teorii fali powierzchniowej (teorii fali Stokesa o aproksymacji 1 rzędu, zlinearyzowanej w przypadku ciśnienia hydrodynamicznego) trudno jest natrafić w literaturze fachowej na odpowiednie i do tego jeszcze poprawne wzory otrzymane na bazie teorii fali Stokesa wyższego rzędu. Uwaga ta odnosi się również do polskiej ogólnodostępnej literatury fachowej. Z tego przede wszystkim względu Autor niniejszego artykułu opublikował niedawno pracę [2], w której przedstawił m.in. odpowiednie wzory wynikającej z aproksymacji 2 rzędu fali stojącej Stokesa, opracowane na podstawie analitycznego rozwiązania uzyskanego metodą perturbacji (metodą małego błędu) przez profesora R.J. Sobeya z Imperial College w Londynie [3]. W pracy [3] przedstawiono współczynniki szeregów potęgowych umożliwiających otrzymanie rozwiązania dokładnego do 5 rzędu włącznie. Było to podstawą wykonania analizy porównawczej, której wyniki zaprezentowano w pracy [2], gdzie rozwiązania 2 i 5 rzędu porównano ze sobą ilościowo na przykładzie poziomej siły hydrodynamicznej obciążającej falochron pionowościenny w wyniku utworzenia się na jego przedpolu fali stojącej. Stosowanie rozwiązań dla fali stojącej Stokesa o aproksymacji (przybliżeniu) 2 rzędu stało się już powszechną praktyką projektową. Trzeba jednak zauważyć, że często projektanci stosują bezkrytycznie dostępne w literaturze fachowej wzory, zawierzając całkowicie autorom tych publikacji. Wśród bardzo skąpej pod tym względem fachowej literatury polskojęzycznej należy w tym miejscu wspomnieć o Poradniku hydrotechnika [7]. Praca ta jest bardzo bogata, jeśli chodzi o różnorodność tematów w niej poruszanych wraz z licznymi wzorcowymi przykładami obliczeniowymi. Biorąc jednak pod uwagę wyłącznie aproksymację 2 rzędu fali stojącej Stokesa, należy stwierdzić, że w pracy [7] znajdują się błędy wymagające starannej analizy zamieszczonych wzorów i ostrożnego podejścia do celów obliczeniowych na użytek inżynierów projektantów. Praca [7], chociaż wydana w 1992 roku, do dnia dzisiejszego nie doczekała się żadnego zrewidowanego wydania, nie mówiąc już o zwykłej erracie w odniesieniu do bardziej istotnych błędów w niej popełnionych. Niestety, błędne wzory, dotyczące aproksymacji fali stojącej Stokesa 2 rzędu i są do dnia dzisiejszego stosowane w różnych opracowaniach projektowych, a także w ekspertyzach naukowo-technicznych.

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 2 Biorąc powyższe pod uwagę, poniżej przedstawiono poprawne postaci rozwiązań opisujących: wzniesienie poziomu falowania (rzędną swobodnej powierzchni) dla fali stojącej, ciśnienie hydrodynamiczne pod falą stojącą, otrzymane dla fali stojącej Stokesa o aproksymacji 2 rzędu. Dodatkowo dla wybranych warunków wodno-falowych, opierając się na poprawnych rozwiązaniach i dokonując odpowiedniej analizy porównawczej, wykazano i przedyskutowano błędne rozwiązania zawarte w pracy [7]. W niniejszej pracy odniesiono się także do kilku publikacji obcojęzycznych. WZNIESIENIE POZIOMU FALOWANIA W artykule [2] omówiono bardzo eleganckie rozwiązanie, opublikowane w pracy [3], pozwalające na opis zmienności parametrów fali stojącej Stokesa. Rozwiązanie to uzyskano metodą perturbacji (metodą małego błędu). Metoda ta dąży do przedstawienia rozwiązania danego problemu za pomocą szeregu potęgowego z niewielkim parametrem określającym odchylenie (zaburzenie) od dokładnie rozwiązywalnego problemu. Odchylenie to oznaczane jest zwykle przezǫ. Dla małych wartościǫczynniki coraz wyższych rzędów stają się zaniedbywalne. Oto postać rozwiązania dla rzędnej swobodnej powierzchni fali stojącej (fr. clapotis) Stokesa względem poziomu spokoju, aproksymowanego następującym szeregiem potęgowym [3] η(x,t)= 1 N i i ǫ i b ijm cos(jkx)cos(mωt) (1) ki=1 j=0m=0 gdzie: η rzędna swobodnej powierzchni fali stojacej Stokesa [m], k liczba falowa (k=2π/l) [1/m], L długość fali [m], N rząd aproksymacji fali stojacej Stokesa [ ], ǫ parametr aproksymacji [ ], b ijm współczynniki aproksymacji [ ], h głębokość wody [m], ω częstość kołowa fali (ω = 2π/T ) [1/s], T okres fali [s], t czas [s], x współrzędna pozioma płaskiego prostokatnego układu odniesienia Oxz (oś Ox pokrywa się z poziomem spokoju; Rys. 1) [m] Parametr aproksymacji określony jest następująco [3] ǫ=k H s 2 (2) gdzie:h s wysokość fali stojacej przy pełnym odbiciu (współczynnik odbiciak r =1,0) [m], H wysokość fali progresywnej inicjujacej zjawisko fali stojącej [m],

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 3 z (+) Falochron Szczyt Grzbiet (+) Poziom falowania O Poziom spokoju (-) Dno Dolina h h x (+) Dno morskie z (-) Rys. 1: Schemat fali stojącej przed typową pionowościenna morska konstrukcja hydrotechniczna, jaką jest stawiany falochron grawitacyjny a długość fali należy dla każdego rzędu aproksymacji obliczać ze związku dyspersyjnego opisanego w metodzie perturbacji następującym szeregiem potęgowym [3] ω=(gk) 1/2 N ǫ i 1 C i (3) i=1 gdzie:c i współczynniki aproksymacji fali stojacej Stokesa [ ]. Poniżej podano wzory opisujące 5 współczynników aproksymacji niezbędnych dla określenia rzędnej swobodnej powierzchni fali stojącej Stokesa i długości fali do 2 rzędu (N = 2) włącznie [3]: b 1,1,1 =1 (4a) b 2,2,0 = 1 1+q 2 8 q b 2,2,2 = 1 q 2 3 8 q 3 C 1 = q (4b) (4c) (4d) w których C 2 =0 q=tg(kh) (4e) (4f)

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 4 Na podstawie rozwiązania przedstawionego w pracy [3], wyprowadzono następujący wzór opisujący rzędną swobodnej powierzchni fali stojącej Stokesa 2 rzędu η(x,t)=hcos(kx)cos(ωt)+ { [ ] } + kh2 cos(2kx) 1+tgh 2 3 (kh)+ 8 tgh(kh) tgh 2 (kh) 1 cos(2ωt) (5) Dla fazy szczytu (dolny indekss) fali stojącej (dlat=0 zachodzi:sin(ωt)=0icos(ωt)=1) w profilu ściany pionowej (dlax=0 zachodzi:sin(kx)=0icos(kx)=1) otrzymano η s =H+ kh2 8 3+tgh 4 (kh) tgh 3 (kh) (6) natomiast dla fazy dna (dolny indeksd) fali stojącej (dlat=t/2 zachodzi:sin(ωt)=0 icos(ωt)= 1) w profilu ściany pionowej (dlax=0 zachodzi:sin(kx)=0 icos(kx)=1) otrzymano η d = H+ kh2 8 3+tgh 4 (kh) tgh 3 (kh) Długość fali, L, wyznaczona ze związku dyspersyjnego (3) dla fali stojącej Stokesa 2 rzędu, jest opisana dobrze znaną zależnością w postaci równania nieliniowego gdzie:g przyspieszenie ziemskie (g=9,81 m/s 2 ), L 0 długość fali głębokowodnej [m]. L= gt2 2π tgh ( 2π L h ) =L 0 tgh(kh) (8) Wzór na długość fali,l, według aproksymacji 2 rzędu (N=2) jest identyczny ze wzorem wynikającym z aproksymacji 1 rzędu (N=1), czyli z teorii liniowej falowania. Warto w tym miejscu poświęcić chwilę na precyzyjne definicje pewnych określeń w odniesieniu do profilu fali (stojącej, ale nie tylko) (patrz Rys. 1). W Poradniku hydrotechnika [7] można znaleźć następujące definicje: grzbiet (szczyt) fali najwyższy punkt profilu fali względem poziomu spokoju, dolina (dno) fali najniższy punkt profilu fali względem poziomu spokoju. Wydaje się, że utożsamianie grzbietu fali z jej szczytem oraz doliny fali z jej dnem jest niewłaściwe. Terminem szczyt w ścisłym znaczeniu oznacza się najwyższy punkt pewnej wypukłej formy (np. terenu: góry, grzbietu, grani, wzgórza, wydmy itp.) i tylko zwyczajowo określenie to występuje jako synonim całej formy (np. góry, zwłaszcza o dużej wysokości względnej i stromych stokach). Grzbiet i dolina oznaczają pewien obszar (bryłę), natomiast szczyt i dno są punktami. Ponieważ najbardziej podstawowym poziomem odniesienia dla zjawisk (w tym także falowych) zachodzących na akwenie wodnym jest poziom spokoju, a dodatkowo rzędne: szczytu fali,η=η s, oraz dna fali,η=η d, mierzone są zwykle względem poziomu spokoju, proponuje się stosowanie następujących definicji (patrz Rys. 1): (7)

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 5 grzbiet fali część profilu fali znajdująca się powyżej poziomu spokoju, dolina fali część profilu fali znajdująca się poniżej poziomu spokoju, szczyt fali najwyższy punkt grzbietu fali, dno fali najniższy punkt doliny fali. Należy przy okazji zaznaczyć, że podane wyżej definicje szczytu i dna fali pozostają w zgodności z definicjami zaproponowanymi przez prof. S. Hueckla w pracy [1], chociaż nie wiadomo dlaczego grzbiet i dolina fali są tam słownie definiowane względem poziomu falowania, natomiast graficznie (Rys. 3.14 w pracy [1]) są odniesione do poziomu spokoju. W przypadku teorii falowych (np. teorii liniowej), w których tor ruchu cząstki wody jest torem zamkniętym (czyli orbitą), pionowa półoś orbity cząstki powierzchniowej jest równa połowie wysokości fali. Inaczej mówiąc, płaszczyzna dzieląca profil fali na połowę, czyli płaszczyzna tak samo oddalona od ekstremalnie położonych punktów (szczytu i dna) krzywej opisującej kształt fali, jest równocześnie miejscem geometrycznym środków orbit cząstek powierzchniowych i nosi nazwę płaszczyzny lub poziomu falowania [1]. Jednak według niektórych, bardziej zawansowanych teorii falowych, w tym także teorii fali Stokesa drugiego lub wyższego rzędu (tak progresywnej jak i stojącej), poziom falowania nie jest identyczny z poziomem spokoju, na jakim ułożyłaby się powierzchnia akwenu, gdyby tego falowania nie było, lecz jest wzniesiony ponad poziom spokoju o wysokość nazywaną wzniesieniem poziomu falowania lub w skrócie wzniesieniem falowania, h (patrz Rys. 1). Według fachowej terminologii anglojęzycznej (np. [4]), w odniesieniu do wzniesienia poziomu falowania używa się zwykle określenia clapotis set-up. Jak podaje S. Hueckel [1], takie wzajemne położenie obu poziomów wynika z asymetrii pól założonego profilu fali względem jej osi poziomej, odpowiadającej w rozpatrywanym wypadku poziomowi falowania. Takie stwierdzenie nie jest do końca jasne, gdyż w pracy [1] nie zostało zdefiniowane pojęcie asymetrii pól. Wydaje się, że lepiej jest mówić o równości pól powierzchni tych obszarów, co z resztą pokazano na Rys. 3.14 w pracy [1]. Pole powierzchni obszaru w profilu poprzecznym fali, zawarte między poziomem falowania a linią grzbietu fali jest poza przypadkiem teorii liniowej falowania (zwanej również teorią fali o małej amplitudzie, teorią Airy ego lub teorią fali sinusoidalnej) mniejsze od pola powierzchni obszaru zawartego między poziomem falowania a pozostałym odcinkiem linii profilu fali, czyli linii doliny fali. Jak to dalej uzasadnia S. Hueckel [1], ponieważ warunki fizyczne wymagają, aby w odniesieniu do poziomu spokoju, grzbiet fali zawierał tyle wody, ile jej ubyło w dolinie, poziom spokoju musi leżeć poniżej poziomu falowania. A swoją drogą ciekawe dlaczego progresywną falę regularną, której kształt swobodnej powierzchni przedstawia się w płaskim układzie współrzędnych prostokątnych w postaci funkcji kosinus (patrz np. [7]), nazywa się falą sinusoidalną a nie kosinusoidalną. A zatem, niezbędne w tym przypadku definicje mają następujące postaci: poziom (płaszczyzna) falowania miejsce geometryczne środków orbit cząstek powierzchniowych przy ruchu falowym, poziom spokoju poziom na jakim ułożyłaby się powierzchnia morza, gdyby nie było falowania, wzniesienie poziomu falowania (wzniesienie falowania) wzniesienie poziomu falowania nad poziom spokoju.

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 6 Konsekwencją tych definicji są następujące ogólnie zapisy (patrz Rys. 1): η s = h+h η d = h H (9a) (9b) gdzie:η s rzędna szczytu fali (względem poziomu spokoju) [m], η d rzędna dna fali [m], H wysokość fali podchodzacej (inicjujacej, progresywnej) [m], h wzniesienie poziomu falowania [m]. Biorąc pod uwagę wzory (6) i (7), można określić wartość wzniesienia poziomu falowania dla fali stojącej Stokesa 2 rzędu h= kh2 8 3+tgh 4 (kh) tgh 3 (kh) Warto w tym miejscu zadać sobie pytanie, czy bezpośrednia znajomość wartości wzniesienia poziomu falowania jest niezbędna. Odpowiedź brzmi: i tak i nie. Tak, jeżeli: zachodzi potrzeba przyjęcia fali opisanej teorią wyższego rzędu niż teoria liniowa (teoria fali Stokesa 1 rzędu) i jednocześnie rzędna swobodnej powierzchni w ruchu falowym jest określana w sposób przybliżony na podstawie prostego wzoru wynikającego właśnie z teorii liniowej. Jeżeli natomiast: zachodzi potrzeba przyjęcia fali opisanej teorią inną niż teoria liniowa i jednocześnie rzędna swobodnej powierzchni w ruchu falowym jest określana w sposób dokładny na podstawie wzoru wynikającego z danej teorii falowej (np. teorii fali Stokesa wyższego rzędu), to wówczas taki wzór uwzględnia już w swojej postaci wartość wzniesienia poziomu falowania. W pracy [6], wykorzystującej wyniki opisu teoretycznego fali według teorii falowej Miche a (Miche a-biesela), podano następujący wzór na wzniesienie poziomu falowania [ ] h 0 = πh2 L ctgh(kh) 3 1+ 4sinh 2 (kh) 1 4cosh 2 (kh) Należy w tym miejscu zaznaczyć, że rzędna swobodnej powierzchni fali Miche a 2 rzędu (w 2 przybliżeniu), zarówno w odniesieniu do fali progresywnej jak i stojącej, jest opisana wzorem identycznym ze wzorem wynikającym z teorii Stokesa 2 rzędu [1]. Ograniczając się wyłącznie do pierwszego (liniowego ze względu na funkcje hiperboliczne) członu wzoru (11), można zapisać [4, 6] lub, po uwzględnieniu wzoru (8), [6] ( ) h 0 = πh2 2πh L ctgh L (10) (11) (12) h 0 = πh2 L 0 L 2 (13)

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 7 Po uwzględnieniu zależności dla liczby falowej k = 2π/L we wzorze (11), wprowadzeniu oznaczenia h dlah 0 (patrz Rys. 1) i przekształceniu dla uzyskania postaci pierwszego członu identycznej z postacią pierwszego członu we wzorze (10), otrzymano h [6] =kh2 8 ctgh(kh) [ 4+ ] 3 sinh 2 (kh) 1 cosh 2 (kh) Po wykonaniu kilku operacji matematycznych można wykazać poniższą równość ctgh(kh) [ 4+ ] 3 sinh 2 (kh) 1 cosh 2 = 3+tgh4 (kh) (kh) tgh 3 (kh) a za tym idzie także i równoważność wzorów (10) i (14). Znacznie gorzej przedstawia się sprawa ze wzorem przedstawionym w pracy [7], w której rzędną swobodnej powierzchni w fazie szczytu fali stojącej względem poziomu spokoju (rzędną szczytu fali względem poziomu spokoju) opisano następującym wzorem (wzór (4.12) w pracy [7]) ( ) 2πh ( ) ξ g =H+ πh2 3 tgh 2 2πh L cosh L 1+ L ( ) 2πh 4sinh 2 L Po uwzględnieniu zależności dla liczby falowej k = 2π/L we wzorze (16) oraz wprowadzeniu oznaczeniaη s (dolny indekssdla szczytu fali) w zamian zaξ g (dolny indeksg dla grzbietu fali, patrz Rys. 1) otrzymano następującą równoważną postać wzoru (16) [ ] η s =H+ kh2 2 cosh(kh) 1+ 3 tgh2 (kh) 4sinh 2 (kh) co w powiązaniu ze wzorem (9a) prowadzi do zapisu h [7] =kh2 2 cosh(kh) [ 1+ 3 tgh2 (kh) 4sinh 2 (kh) W tym przypadku, po wykonaniu kilku operacji matematycznych, można wykazać następującą równość 4+ 3 sinh 2 (kh) 1 (kh) cosh 2 (kh) =1+3 tgh2 4sinh 2 (kh) która dotyczy wyrażeń ujętych w nawiasy kwadratowe we wzorach (14) i (18). Niestety różnica w członach występujących przed nawiasem kwadratowym w obu wzorach (coth(kh) we wzorze (14) orazcosh(kh) we wzorze (18)) powoduje, że wzór podany w pracy [7] należy uznać za błędny. Można pokazać, jak duży błąd zostanie popełniony w obliczeniach z wykorzystaniem tego wzoru w porównaniu do wyników obliczeń wykonanych przy użyciu wzoru poprawnego, tzn. wzoru (10) lub wzoru (14). Przyjmując stosunkowo szeroki zakres warunki wodno-falowe, obliczono wzniesienie poziomu falowania, korzystając ze wzoru poprawnego (10) oraz ze wzoru błędnego (18) i dodatkowo obliczone wartości porównano ze sobą stosując następujący parametr ] (14) (15) (16) (17) (18) (19) h= h wzór(18) h wzór(10) (20)

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 8 Wyniki analizy porównawczej zestawiono w Tabl. 1. Jak pokazują to wartości parametru h, błędne rozwiązanie może zarówno niedoszacowywać ( h < 1) jak i przeszacowywać ( h > 1) rozwiązanie poprawne, przy czym wartość błędna może różnić się wielokrotnie od wartości poprawnej. Różnice te mogą okazać się najbardziej dotkliwe w przypadkach, gdzie wartość dokładna wzniesienia poziomu falowania jest znaczna. Tak jest w sytuacji stosunkowo małej głębokości wody przy stosunkowo długiej fali (dużym okresie fali). Przykładowo, dla h=4 m it=12 s wzniesienie poziomu falowania obliczone błędnym wzorem (18) jest prawie trzykrotnie mniejsze ( h = 0,3153 m) od wartości poprawnej ( h = 0,9078 m) obliczonej wzorem (10). Natomiast dla znacznych głębokości wody błędne wyniki zaczynają tracić zupełnie sens. I tak, dlah=100 m orazt=6 s wzniesienie poziomu falowania, wyznaczone z użyciem błędnego wzoru (18), równa się absurdalnej wartości h=2000 km! Wzór opisujący wzniesienie falowania w obcojęzycznej pracy [8] stanowi szczególny przykład braku poszanowania dla elementarnych podstaw matematyki. Oto jego postać zaprezentowana w oryginalnym zapisie h= πh2 L coth2πd (21) L We wzorze tymhoznacza wzniesienie poziomu falowania (h h), adoznacza głębokość wody (d h). W tym miejscu należy wyraźnie zaznaczyć, że użyty symbol matematyczny cot jest często stosowanym w pracach angielsko- i niemieckojęzycznych oznaczeniem funkcji trygonometrycznej kotangens (ctg). Powyższy wzór, nie wiadomo dlaczego, podano w postaci funkcji uwikłanej. Trudno jest także zdecydować, co jest argumentem funkcji kotangens. Ale tak jest zawsze, gdy bagatelizuje się ujmowanie argumentu funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych w odpowiednie nawiasy. W znaczącej dla polskiego czytelnika pracy [5] zagadnienie wzniesienia poziomu falowania odniesiono wyłącznie do liniowej teorii falowania, dla której zachodzi h=0. Poza stosowaniem wyżej przedstawionych poprawnych wzorów, do obliczenia wzniesienia poziomu falowania można także wykorzystać nomogramy podane m.in. w pracach: [9] (Rys. 2; h 0 h,h i H,d h) i [7] (Rys. 3;H p H). Jak łatwo zauważyć, oba nomogramy są prawie identyczne. Nie jest oczywiście żadną tajemnicą, że spora część materiału przedstawionego w pracy [7] jest przetłumaczoną na język polski kalką odpowiedniego materiału zawartego w pracy [9]. Słowo prawie zostało tu użyte celowo, gdyż oba nomogramy różnią się zawartym w nich wzorem na wzniesienie poziomu falowania dla warunków głębokowodnych. I tak, w pracy [9] wzór ten przedstawia się następująco (zastosowano oznaczenia obowiązujące w niniejszym artykule) h H =2π2H gt 2 (22) Uwzględniając następujące zależności dla warunków głębokowodnych: k= 2π L 0 oraz L 0 = gt2 2π gdziel 0 oznacza długość fali głębokowodnej, można wykazać równoważność wzoru (22) z wcześniej wyprowadzonym poprawnym wzorem (10), czyli h= kh2 8 3+tgh 4 (kh) tgh 3 (kh) h= kh2 8 (23) dla kh (24) Po uwzględnieniu wartościπ 3,1416 we wzorze (22) można przedstawić ten wzór w postaci

Tabl. 1: Wartości wzniesienia poziomu falowania obliczone wzorami (10) i (18) Głębokość wody Okres fali kh h wg wzoru (10) h wg wzoru (18) h h [m] T [s] [ ] [m] [m] [ ] 3 0,1875 10 1 0,2583 10 0 0,8222 10 0 0,3183 10 1 4 6 0,7228 10 0 0,3002 10 0 0,2364 10 0 0,7874 10 0 9 0,4611 10 0 0,5462 10 0 0,2609 10 0 0,4776 10 0 12 0,3407 10 0 0,9078 10 0 0,3153 10 0 0,3473 10 0 3 0,3583 10 1 0,2246 10 0 0,4037 10 1 0,1797 10 2 8 6 0,1111 10 1 0,1140 10 0 0,1545 10 0 0,1355 10 1 9 0,6754 10 0 0,1615 10 0 0,1176 10 0 0,7279 10 0 12 0,4912 10 0 0,2477 10 0 0,1266 10 0 0,5112 10 0 3 0,5366 10 1 0,2236 10 0 0,2392 10 2 0,1070 10 3 12 6 0,1486 10 1 0,7713 10 1 0,1617 10 0 0,2097 10 1 9 0,8577 10 0 0,8603 10 1 0,8317 10 1 0,9668 10 0 12 0,6135 10 0 0,1209 10 0 0,7891 10 1 0,6528 10 0 3 0,4471 10 2 0,2236 10 0 0,2935 10 19 0,1313 10 20 100 6 0,1118 10 2 0,5589 10 1 0,2001 10 4 0,3579 10 5 9 0,4969 10 1 0,2485 10 1 0,1787 10 1 0,7192 10 2 12 0,2815 10 1 0,1428 10 1 0,1187 10 0 0,8315 10 1 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 9

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 10 Rys. 2: Wzniesienie średniego poziomu falowania nad poziom spokoju. Fala stojaca (nie załamana) K r =1 (wersja oryginalna nomogramu z pracy [9]) Rys. 3: Wzniesienie średniego poziomu falowania nad poziom spokoju. Fala stoj aca (nie załamana) K r =1 (wersja oryginalna nomogramu z pracy [7])

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 11 h H =19,74H gt 2 (25) Porównanie wartości współczynnika liczbowego w powyższym wzorze z wartością 18,08, podaną na Rys. 3, prowadzi do wniosku, że nomogram przedstawiony w pracy [7] jest błędny. Niczym nie uzasadniona zamiana poprawnej wartości 19,74 na wartość 18,08 powoduje zaniżenie wartości wzniesienia poziomu falowania głębokowodnego o prawie 8,5% wartości poprawnej. CIŚNIENIE HYDRODYNAMICZNE Na podstawie rozwiązania przedstawionego w pracy [3], a także wykorzystując erratę do tej pracy przedstawioną w artykule [2], wyprowadzono następujący wzór opisujący ciśnienie hydrodynamiczne pod falą stojącą Stokesa 2 rzędu [2] p ρg =Hcosh[k(h+z)] cos(kx) cos(ωt) cosh(kh) kh2 1 8 tgh(kh) tgh 2 (kh) 1+cos(2ωt) { } 1+3tgh 2 (kh)+ 3[tgh4 (kh) 1] cosh[2k(h+z)] tgh 2 cos(2kx) + (kh) cosh(2kh) + 4sin2 (ωt){ cosh 2 cosh 2 [k(h+z)]sin 2 (kx)+sinh 2 [k(h+z)]cos 2 (kx) } + (kh) + 3k2 H 3 tgh 4 (kh) 1 sin(ωt) sin(2ωt) 8 tgh 4 (kh) cosh(kh)cosh(2kh) {cosh[k(h+z)]cosh[2k(h+z)]sin(kx)sin(2kx)+ +sinh[k(h+z)]sinh[2k(h+z)]cos(kx)cos(2kx)} [ 9k3 H 4 tgh 4 (kh) 1 ] 2 sin 2 (2ωt) 128 tgh 7 (kh) cosh 2 (2kh) { cosh 2 [2k(h+z)]sin 2 (2kx)+sinh 2 [2k(h+z)]cos 2 (2kx) } (26) gdzie: p ciśnienie hydrodynamiczne pod falą stojac a Stokesa 2 rzędu [kpa], ρ gęstość wody morskiej [t/m 3 ], g przyspieszenie ziemskie [m/s 2 ], H wysokość fali podchodzacej (inicjujacej, progresywnej) [m], k liczba falowa (k=2π/l) [1/m], L długość fali [m], ω częstość kołowa fali (ω = 2π/T ) [1/s], T okres fali [s], h głębokość wody [m], x współrzędna pozioma płaskiego układu odniesienia Oxz (oś Ox pokrywa się z poziomem spokoju; patrz Rys. 1) [m], z współrzędna pionowaa płaskiego układu odniesienia Oxz (ujemna oś Oz skierowana jest w stronę dna morskiego; patrz Rys. 1) [m], t czas [s].

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 12 Linearyzacja równania Bernoulliego ze względu na prędkości orbitalne cząsteczki wody (u=w=0) prowadzi do następującego wzoru na ciśnienie hydrodynamiczne [2] p ρg =Hcosh[k(h+z)] cos(kx) cos(ωt) cosh(kh) kh2 8 { 1 tgh(kh) tgh 2 (kh) 1+cos(2ωt) 1+3tgh 2 (kh)+ 3[tgh4 (kh) 1] tgh 2 (kh) cosh[2k(h+z)] cosh(2kh) cos(2kx)} (27) Równanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane) (26) oraz równanie zlinearyzowane (27) przyjmują taką samą postać, gdy rozpatrywane są przypadki ekstremalnego położenia zwierciadła wody w profilu ściany pionowej. Jest to oczywiste, gdyż składowe prędkości orbitalnej cząsteczki wody w profilu pionowym pokrywającym się z profilem strzałki fali stojącej są zerowe dla faz szczytu i dna fali stojącej. I tak, dla fazy szczytu fali w profilu ściany pionowej oba równania (26) i (27) można uprościć do postaci [2] p s ρg =Hcosh[k(h+z)] cosh(kh) { kh2 8 4tgh(kh)+ 3[tgh4 (kh) 1] tgh 3 (kh) } (28) cosh[2k(h+z)] cosh(2kh) natomiast dla fazy dna fali w profilu ściany pionowej oba równania (26) i (27) można uprościć do postaci [2] p d ρg = Hcosh[k(h+z)] cosh(kh) { kh2 8 4tgh(kh)+ 3[tgh4 (kh) 1] tgh 3 (kh) } (29) cosh[2k(h+z)] cosh(2kh) W pracy [7] ciśnienie hydrodynamiczne pod falą stojącą w profilu ściany pionowej (x=0) zostało opisane następującą zależnością (patrz wzór (4.13) w pracy [7]) [ ] 2π(h+z) cosh ( ) p[n/m 2 L 2πt ]=γh ( ) sin 2πh T cosh L { [ ] } ( ) πh 4π(h+z) 2πt ( ) cosh 2 cos 2 + 2πh L T Lsinh L [ ] 4π(h+z) ( ) πh 2πh + L tgh 3πH cosh L ( ) 4πt ( ) ( ) cos L 2L 2πh 4πh sinh 2 T sinh L L (30)

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 13 Wyrażenie w nawiasie kwadratowym występujące po lewej stronie równania (30) to oczywiście wymiar parametru, jakim jest ciśnienie hydrodynamiczne obliczane ze wzoru (30). Tego rodzaju zapis należy uznać za dziwny i mało praktyczny. Oznacza on odgórne narzucenie jednostki miar parametru p w sytuacji, gdy wymiar ten jest przecież pochodną wymiarów niektórych parametrów występujących po prawej stronie równania (30), czyli: ciężaru właściwego wody morskiej, γ, oraz wysokości fali, H. Najczęściej parametry te wyraża się w następujących jednostkach: γ [kpa] i H [m]; wartości liczbowe tych parametrów, występujące w licznych przykładach obliczeniowych zawartych w pracy [7], podawane są przecież w takich właśnie jednostkach, a to oznacza, że ciśnienie hydrodynamiczne, p, obliczone ze wzoru (30), będzie wyrażone w [kpa] (lub w jednostce równoważnej [kn/m 2 ]) a nie w narzuconej jednostce [N/m 2 ]. Narzucenie przez autorów pracy [7] jednostki [N/m 2 ] jest mylące i może być powodem poważnych błędów obliczeniowych! Wieloletnie doświadczenie dydaktyczne Autora niniejszego artykułu pokazuje niezbicie, że kwestie przyjmowania i stosowania odpowiednich jednostek miar i wag w procedurach obliczeniowych jest niedoceniane przez studentów różnych kierunków nauczania na wyższych uczelniach, a to niestety jest niewątpliwie bardzo często pochodną bagatelizowania tej kwestii przez nauczycieli akademickich. Po wprowadzeniu parametru liczby falowej k = 2π/L do wzoru (30), a także po podzieleniu obustronnym przez γ = ρg i wymnożeniu członów prawej strony równania (30) przez wysokość fali podchodzącej,h, otrzymano bardziej zwarty zapis wzoru (30) w postaci p ρg =Hcosh[k(h+z)] sin(ωt) cosh(kh) kh2 1 2 sinh(kh) {cosh[2k(h+z)] 2}cos2 (ωt)+ { } kh 2 + 2 tgh(kh) 3kH2 4 cosh[2k(h+z)] sinh 2 (kh)sinh(2kh) cos(2ωt) (31) Jak już wspomniano, także w przypadku tego bardzo istotnego dla praktyki inżynierskiej wzoru autorzy pracy [7] nie sprostali zadaniu, o czym świadczyć może poniższa analiza porównawcza. W celu umożliwienia porównania wzoru poprawnego (26) ze wzorem błędnym (31) w procedurze obliczeniowej konieczne było dokonanie zrównania faz ruchu oscylacyjnego opisanego oboma wzorami, gdyż w pierwszym członie równania (26) występuje funkcja cos(ωt) natomiast we wzorze (31) funkcjasin(ωt). Obliczenia porównawcze Podobnie jak miało to miejsce w pracy [2], w celu przeprowadzenia analizy porównawczej posłużono się wykresem przedstawiającym zakresy stosowalności różnych teorii falowych (Rys. 4) i zaznaczono na nim cztery punkty obliczeniowe, przy czym wartości parametrów wodno-falowych, charakteryzujące te punkty, zestawiono w Tabl. 2.

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 14 H gt 2 h L = 0,04 h L = 0,5 h h = 0,00155 = 0,0792 gt 2 gt 2 Strefa Strefa p³ytkowodna Strefa ograniczonej g³êbokoœci g³êbokowodna Stromoœæ graniczna fali H 0 / L 0 = 0,14 Strefa fal za³amanych Teoria fal knoidalnych 2 L H 3 26 h Parametr Ursella Kryterium za³amania fali (teoria fali samotnej H/ h 0,78) P4 P3 Teoria liniowa fal (AIRY) STOKES 4-go rzêdu P2 STOKES 3-go rzêdu P1 Teoria 2-go rzêdu (STOKES) h gt 2 Rys. 4: Zakresy stosowalności teorii falowych [2] (wg [8, 9]) z zaznaczonymi punktami obliczeniowymi Tabl. 2: Wartości parametrów wodno-falowych dla wybranych punktów obliczeniowych (do obliczeń przyjętog=10 m/s 2 ) [2] Punkt (Rys. 4) h gt 2 [ ] H gt 2 [ ] Głębokość wody h [m] Okres fali T [s] Długość fali L [m] Wysokość fali H [m] Stromość fali δ [ ] P1 0,1 0,005 100 10,00 156,03 5,0 0,032 P2 0,1 0,02 100 10,00 156,03 20,0 0,128 P3 0,02 0,005 20 10,00 121,24 5,0 0,041 P4 0,02 0,01 8 6,32 48,45 4,0 0,083

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 15 Punkt P1 odpowiada warunkom wodno-falowym przyjętym w pracach [3] i [2]. Współrzędne punktu P1 wskazują na istnienie warunków głębokowodnych (patrz Rys. 4), a stromość fali wynosiδ=h/l=0,032. Kolejny punkt P2 wybrano tak, aby zachowując tę samą wartość okresu fali (T=10 s) znacznie wzrosła stromość fali (δ=0,128) poprzez czterokrotne zwiększenie wysokości fali (H = 20 m). Efekt pewnego zwiększenia stromości fali uzyskano także przechodząc z punktu P1 (δ=0,032) do punktu P3 (δ=0,041), zachowując tę samą wysokość fali (H=5 m) i zmniejszając głębokość wody doh=20 m. Punkt P3 znajduje się w strefie ograniczonej głębokości wody (patrz Rys. 4). Dodatkowo do analizy przyjęto także punkt P4, dla którego stromość fali wzrosła dwukrotnie (δ = 0,083) względem stromości fali dla punktu P3, co uzyskano poprzez zmniejszenie zarówno okresu fali (T=6,32 s), jak i głębokości wody (h = 8 m). Punkt P4 także znajduje się w strefie ograniczonej głębokości wody. Co więcej, warunki falowe charakteryzujące położenie punktów P3 i P4 na Rys. 4 można uznać za bliskie ekstremalnych dla pracy morskich budowli hydrotechnicznych, jakimi są masywne falochrony pionowościenne. Na kolejnych rysunkach od Rys. 5 do 8, odpowiednio dla punktów od P1 do P4 (patrz Rys. 4), przedstawiono przebiegi ciśnienia hydrodynamicznego w czasie (t = 0 1/2T ) w profilu ściany pionowej (x=0) pod falą stojącą Stokesa 2 rzędu na głębokościach: (a)z=0, (b) z= h/3 i (c)z= h. Obliczenia wykonano z krokiem czasowym t=1/32t. Ciśnienie hydrodynamiczne w postaci względnej (tzw. wysokość ciśnienia hydrodynamicznego),p/(ρg), obliczono według następujących trzech wzorów: wzoru (26) rozwiązanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane) 2 rzędu (oznaczenie w legendzie rysunku N=2), wzoru (27) rozwiązanie zlinearyzowane (po przyjęciu założenia u = w = 0 linearyzującego równanie Bernoulliego) 2 rzędu (oznaczenie w legendzie rysunku N=2L), wzoru (31) rozwiązanie 2 rzędu przedstawione w pracy [7] (oznaczenie w legendzie rysunku N = 2PH), pamiętając o potrzebie zrównania fazy oscylacji ciśnienia (ruchu falowego) z fazą oscylacji charakteryzującą wzory (26) i (27). Zaobserwowane różnice pomiędzy rozwiązaniem pełnym (tzn. nie zlinearyzowanym) aproksymacji fali stojącej Stokesa 2 rzędu (N = 2) a zlinearyzowaną wersją tego rozwiązania (N=2L) są stosunkowo niewielkie i często z praktycznego punktu widzenia mogą być pominięte. Kwestie wpływu linearyzacji na jakość uzyskiwanego rozwiązania dokładnie przeanalizowano w pracy [2] w odniesieniu do fali stojącej Stokesa w aproksymacji 2 i 5 rzędu. Wyniki obliczeń przedstawionych w niniejszym artykule pozwalają na sformułowanie dodatkowego spostrzeżenia. Chodzi mianowicie o to, że różnice pomiędzy rozwiązaniami (N = 2) i (N = 2L) są największe dla z = 0 i ulegają stopniowemu zanikowi wraz z głębokością. Oczywiście w punktach czasowycht=0 it=1/2t różnice nie występują i to bez względu na pozycję punktu obliczeniowego w profilu pionowym (z=0 h). Jest to spowodowane tym, że we wspomnianych punktach czasowych prędkość orbitalna cząsteczki wody w ruchu falowym jest zerowa (u=w=0). Zgodność rozwiązań zadanych wzorem (26) (N=2) i wzorem (31) (N=2PH), przedstawionym w pracy [9], występuje wyłącznie w dwóch charakterystycznych punktach czasowych badanego okresu, tzn. wt=0 it=1/2t. Dla wszystkich innych punktów czasowych występują różnice, czasami bardzo znaczne. W celu ilościowego zilustrowania różnic pomiędzy rozwiązaniami (N=2) oraz (N=2PH) posłużono się następującym wzorem porównawczym p= p N=2PH p N=2 P + N=2 100 (32)

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 16 (a) (b) Ciœnienie hydrodynamiczne, p /( g ) [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p/g [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p /( g ) [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p/g [m] 10 5 0-5 -10-15 -20-25 -30 1 0,5 0-0,5-1 -1,5 N = 22 N = 2L 2L "PH" N = 2PH (N=2) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Czas oscylacji, t [s] [s] N = 22 N = 2L 2L "PH" N = (N=2) 2PH -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Czas oscylacji, t t [s] (c) Ciœnienie hydrodynamiczne, p /( g ) [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p/g [m] 0,6 0,4 0,2 0-0,2-0,4-0,6 N = 22 N = 2L 2L "PH" N = 2PH (N=2) -0,8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Czas oscylacji, t [s] [s] Rys. 5: Rozkład w czasie (t=0 T) ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojac a Stokesa w profilu ściany pionowej (x=0), wyznaczony wg:n=2 aproksymacji 2 rzędu,n=2l aproksymacji 2 rzędu (zlinearyzowanej),n=2ph wzoru (4.13) z pracy [7]: (a)z=0, (b)z= h/3, (c)z= h (dane wodno-falowe: H = 5 m, T = 10 s, h = 100 m (punkt P1, patrz Tabl. 2))

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 17 (a) 100 (b) Ciœnienie hydrodynamiczne, p /( g ) [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p/g [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p /( g ) [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p/g [m] 0-100 -200-300 -400-500 10 5 0-5 -10-15 -20 N = 2 N = 2L "PH" N = 2PH (N=2) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Czas oscylacji, t [s] [s] N = 2 2 N = 2L 2L "PH" N = 2PH (N=2) -25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Czas oscylacji, t t [s] (c) Ciœnienie hydrodynamiczne, p /( g ) [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p/g [m] 10 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8 N = 2 N = 2L "PH" N = 2PH (N=2) -10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Czas oscylacji, t t [s] Rys. 6: Rozkład w czasie (t=0 T) ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojac a Stokesa w profilu ściany pionowej (x=0), wyznaczony wg:n=2 aproksymacji 2 rzędu,n=2l aproksymacji 2 rzędu (zlinearyzowanej),n=2ph wzoru (4.13) z pracy [7]: (a)z=0, (b)z= h/3, (c)z= h (dane wodno-falowe:h=20 m,t=10 s,h=100 m (punkt P2, patrz Tabl. 2))

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 18 (a) (b) Ciœnienie hydrodynamiczne, p /( g ) [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p/g [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p /( g ) [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p/g [m] 6 5 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-5 -6 6 5 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-5 -6 N = 22 N = 2L 2L "PH" N = 2PH (N=2) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Czas Czas oscylacji, t t [s] N = 2 N = 2L "PH" N = 2PH (N=2) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Czas oscylacji, t t[s] (c) Ciœnienie hydrodynamiczne, p /( g ) [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p/g [m] 6 5 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-5 N = 22 N = 2L "PH" N = 2PH (N=2) -6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Czas Czas oscylacji, t t [s] Rys. 7: Rozkład w czasie (t=0 T) ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojac a Stokesa w profilu ściany pionowej (x=0), wyznaczony wg:n=2 aproksymacji 2 rzędu,n=2l aproksymacji 2 rzędu (zlinearyzowanej),n=2ph wzoru (4.13) z pracy [7]: (a)z=0, (b)z= h/3, (c)z= h (dane wodno-falowe:h=5 m,t=10 s,h=20 m (punkt P3, patrz Tabl. 2))

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 19 (a) (b) Ciœnienie hydrodynamiczne, p /( g ) [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p/g [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p /( g ) [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p/g [m] 6 5 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-5 -6 6 5 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-5 -6 N = 22 N = 2L 2L "PH" N = 2PH (N=2) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 Czas Czas oscylacji, t t [s] N = 22 N = 2L 2L "PH" N = 2PH (N=2) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 Czas oscylacji, t t[s] [s] (c) Ciœnienie hydrodynamiczne, p /( g ) [m] Ciœnienie hydrodynamiczne, p/g [m] 6 5 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-5 N = 2 N = 2L "PH" N = 2PH (N=2) -6 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 Czas Czas oscylacji, t t [s] Rys. 8: Rozkład w czasie (t=0 T) ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojac a Stokesa w profilu ściany pionowej (x=0), wyznaczony wg:n=2 aproksymacji 2 rzędu,n=2l aproksymacji 2 rzędu (zlinearyzowanej),n=2ph wzoru (4.13) z pracy [7]: (a)z=0, (b)z= h/3, (c)z= h (dane wodno-falowe: H = 4 m, T = 6,32 s, h = 8 m (punkt P4, patrz Tabl. 2))

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 20 gdzie: p względna różnica wysokości ciśnienia hydrodynamicznego na głębokości z pod falą stojąca Stokesa 2 rzędu [%], p N=2PH wysokość ciśnienia hydrodynamicznego na głębokościzwedług aproksymacji 2 rzędu, przedstawionej w pracy [7], (patrz wzór (31)) [m]. p N=2 wysokość ciśnienia hydrodynamicznego na głębokościzwedług pełnej (tzn. nie zlinearyzowanej) aproksymacji 2 rzędu (patrz wzór (26)) [m], P N=2 + amplituda górna (tzn. dla wartości dodatnich) oscylacji wysokości ciśnienia hydrodynamicznego na głębokości z według pełnej (tzn. nie zlinearyzowanej) aproksymacji 2 rzędu [m], przy czym wysokość ciśnienia hydrodynamicznego wyrażono następującym związkiem p= p ρg =p γ (33) gdzie: p wysokość ciśnienia hydrodynamicznego [m], p ciśnienie hydrodynamiczne [kpa], ρ gęstość wody morskiej (ρ=1,025 t/m 3 ), g przyspieszenie ziemskie (g=9,81 m/s 2 ), γ ciężar właściwy wody morskiej (γ=10,06 kn/m 3 ). Dla warunków głębokowodnych (punkty P1 (patrz Rys. 5) i P2 (patrz Rys. 6)) różnice pomiędzy rozwiązaniem prawidłowym (wzór (26)) i rozwiązaniem błędnym (wzór (31)) są ogromne. W przypadku warunków wodno-falowych charakteryzujących punkt P1 dla z = 0 maksymalna różnica, obliczona ze wzoru (32), wynosi p max = 503,46% i występuje w punktach czasowycht=1/4t it=3/4t. Wraz ze wzrostem głębokości różnice pomiędzy oboma rozwiązaniami ulegają zmniejszeniu. Dlaz= h/3 maksymalna różnica wynosi p max = 102,36% (dla t = 1/4T i t = 3/4T ), a w poziomie dna (z = h) jest jeszcze mniejsza i wynosi p max =2,59% (dlat=1/4t it=3/4t ). Podobna analiza przeprowadzona dla punktu P2, dla którego stromość fali jest jeszcze większa (patrz Tabl. 2), dysproporcja pomiędzy rozwiązaniem prawidłowym i rozwiązaniem błędnym ulega spotęgowaniu; dlaz=0 p max = 1581,04% (dlat=1/4t it=3/4t ), przy czym nadal obserwuje się zjawisko zaniku różnic pomiędzy tymi rozwiązaniami dla coraz większych głębokości; dlaz= h p max =3,22% (dlat=1/4t it=3/4t ). Dlaz=0 rozwiązanie poprawne ma jedno ekstremum dodatnie (dlat=0) i jedno ekstremum ujemne (dlat=1/2t ). Natomiast w rozwiązaniu błędnym pojawiają się dwa ekstrema dodatnie (większe dlat=0 i mniejsze dlat=1/2t ) oraz dwa identyczne ekstrema ujemne (dlat=1/4t it=3/4t ). Dla pośredniej głębokości (z= h/3) oba rozwiązania mają po dwa ekstrema ujemne i dwa ekstrema dodatnie, przy czym oba rozwiązania nie mają żadnego ekstremum wspólnego. Co więcej, to co jest ekstremum dodatnim w jednym rozwiązaniu jest jednocześnie ekstremum ujemnym w rozwiązaniu drugim i na odwrót. Dopiero dla poziomu dna morskiego (z = h) daje się zauważyć stosunkowo duża i akceptowalna zgodność obu rozwiązań. Biorąc już tylko pod uwagę rozwiązanie prawidłowe, można zauważyć ciekawe zachowanie się oscylacji ciśnienia hydrodynamicznego. Chodzi mianowicie o to, że ekstremum ujemne występuje zawsze dla tego samego punktu czasowego (t=1/2t ) bez względu na wartość współrzędnej z = 0 h. Jeśli chodzi o ekstrema dodatnie to tylko jedno występuje dla z = 0 i to w chwilit=0. Zejście z poziomem obliczeniowym na większe głębokości powoduje pojawienie się drugiego identycznego ekstremum dodatniego, ale chwile ich występowania są już zależne od współrzędnej z. I tak, dla z = h/3 ekstrema dodatnie występują przy t = 4/32T

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 21 it=28/32t, natomiast dlaz= h miejsca występowania tych ekstremów ulegają dalszym przesunięciom i wynoszą odpowiednio t = 1/4T i t = 3/4T. Porównując wyniki obliczeń dla punktów P1 (Rys. 5) i P2 (Rys. 6) z wynikami otrzymanymi dla punktów P3 (Rys. 7) i P4 (Rys. 8), można przede wszystkim stwierdzić znacznie lepszą zgodność rozwiązań poprawnego i błędnego w przypadku warunków ograniczonej głębokości (punkty P1 i P2) niż ma to miejsce w sytuacji warunków głębokowodnych (punkty P3 i P4). W przypadku warunków wodno-falowych charakteryzujących punkt P3 dla z = 0 maksymalna różnica, obliczona ze wzoru (32), wynosi p max = 31,06% i występuje w punktach czasowycht=9/329t it=23/32t. Dla głębokości pośredniej (h= h/3) różnice pomiędzy oboma rozwiązaniami ulegają zmniejszeniu; maksymalna różnica wynosi p max = 1,61% (dla t=10/32t it=22/32t ), ale w poziomie dna (z= h) ponownie wzrastają; p max =10,32% (dla t=1/4t it=3/4t ). Podobnie jak było to w przypadku warunków głębokowodnych, analiza obliczeniowa przeprowadzona dla punktu P4, dla którego stromość fali jest jeszcze większa niż dla punktu P3 (patrz Tabl. 2), dysproporcja pomiędzy rozwiązaniem prawidłowym i rozwiązaniem błędnym ulega pewnemu (około dwukrotnemu) spotęgowaniu; dlaz=0 p max = 31,06% (dlat=9/32t it=23/32t ), dlaz= h/3 p max = 4,38% (dlat=10/32t it=22/32t ) a dlaz= h p max =18,80% (dlat=1/4t it=3/4t ). W przypadku błędnego rozwiązania dla punktu P4 należy zwrócić uwagę na jego jeszcze jedną ciekawą cechę. Chodzi mianowicie o miejsca występowania ekstremów. Nie wiadomo dlaczego, projektanci wykonujący obliczenia z wykorzystaniem błędnego wzoru (31) i poszukujący np. dodatniego ekstremum siły poziomej obciążającej pionową ścianę falochronu, dokonują tylko jednokrotnego obliczenia zakładając, że faza szczytu fali ciśnienia hydrodynamicznego pod falą stojącą występuje dla dowolnego poziomu obliczeniowego zawsze w chwili: t = 0, jeżeli bierze się pod uwagę niniejszą analizę obliczeniową i wyniki przedstawione na Rys. 5 do 8, lubt=1/4t, jeżeli korzysta się z wzoru (31) bez jego dodatkowej adaptacji w celu zrównania fazy oscylacji z fazą charakteryzującą wzór poprawny (26). Przecież, jak tego dowodzą wyniki obliczeń przedstawione na Rys. 8, na poziomie dna morskiego (z= h) dwa identyczne ekstrema dodatnie występują w punktacht=4/32t it=28/32t, a nie dlat=0! Podobnie ma się sprawa z przypadkiem poszukiwania ujemnego ekstremum siły poziomej obciążającej pionową ścianę falochronu. Tu, dla z = 0 dwa identyczne ekstrema ujemne występują w punktacht=14/32t it=18/32t, a nie dlat=1/2t, jak czyni to większość projektantów. Wydaje się, że powszechnie stosowaną normą w obliczeniach obciążeń hydrodynamicznych powodowanych falowaniem powinno być wykonywanie szerszych analiz, pozwalającej określić zachowanie się danego zjawiska np. w pełnym cyklu falowym a nie tylko dla jednego lub dwóch domniemanych charakterystycznych punktów czasowych. Pewnie czysty zbieg okoliczności spowodował, że co zostało wykazane dla każdego z czterech analizowanych przypadków (punkty P1, P2, P3 i P4) rozwiązania wynikające z poprawnego wzoru (26) i błędnego wzoru (31) są spójne tylko dla dwóch punktów czasowych, a mianowicie t = 0 i t = 1/2T. W wyniku przeprowadzonej analizy wykazano dodatkowo nieco lepszą zgodność obu rozwiązań dla przypadku punktów P3 i P4, leżących w strefie ograniczonej głębokości wody, niż dla punktów P1 i P2, położonych w strefie głębokowodnej (patrz Tabl. 2). Należy jeszcze raz wyraźnie podkreślić, że wzór (31), przedstawiony w pracy [7], jest błędny i jako taki nie może być wykorzystywany i nie można się na niego powoływać. Odnosi się to zarówno do działalności dydaktycznej, jak i profesjonalnych obliczeń inżyniersko-projektowych.

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 22 PODSUMOWANIE W artykule przedstawiono poprawne postaci wzorów, pozwalające obliczyć: rzędną swobodnej powierzchni,η, wzniesienie poziomu falowania, h, ciśnienie hydrodynamiczne, p, dla przypadku fali stojącej Stokesa o aproksymacji 2 rzędu. Przedstawione wzory skonfrontowano z istniejącymi wzorami, zawartymi m.in. w pracy pt. Poradnik hydrotechnika [7], powszechnie znanej na polskim rynku literatury fachowej. We wstępnej informacji zawartej w pracy [7] można przeczytać: Książka jest przeznaczona dla pracowników biur projektowych, pracowników naukowych z dziedziny hydrotechniki, oceanologii i okrętownictwa, studentów wyższych uczelni o tematyce morskiej. Niestety w odniesieniu do wyżej wspomnianych parametrów (η, h ip) praca [7] nie wnosi niczego nowego poza dezorientacją i wprowadzeniem czytelnika w błąd. Trudno jednak aby za każdym razem inżynier-projektant musiał analizować każdy stosowany przez siebie wzór pod względem poprawności jego formalnego zapisu. Trudno także każdorazowo wymagać od inżyniera-projektanta oceny poprawności podanego mu wzoru pod względem merytorycznym. Tego rodzaju zadanie powinno być wykonane przez specjalistów danej dziedziny naukowej, a przedmiotowy wzór powinien być przedstawiony w bezbłędnej i jednocześnie jak najbardziej przystępnej formie na potrzeby praktycznych zastosowań inżyniersko-projektowych. Należy tylko żałować, że błędne postaci istotnych dla praktycznych zastosowań i obliczeń projektowo-inżynierskich wzory doczekały się korekty dopiero po dwóch dekadach od ich oficjalnej publikacji. LITERATURA [1] Hueckel S. (1972): Budowle morskie, tom I, Wydawnictwo Morskie, Gdańsk 1972. [2] Magda W. (2012): Fala stojąca Stokesa aproksymacja ciśnienia hydrodynamicznego 2 czy 5 rzędu? Inżynieria Morska i Geotechnika, nr 2/2012, str. 150 158. [3] Sobey R.J. (2009): Analytical solutions for steep standing waves, Engineering and Computational Mechanics 162, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Issue EM4, December 2009, str. 185 197. [4] Maritime structures. Part1: Code of practice for general criteria. British Standard 6349, 2000. [5] Morskie budowle hydrotechniczne. Zalecenia do projektowania i wykonywania Z1 Z45. Zespół Roboczy Zasad Projektowania Budowli Morskich, wydanie IV, Fundacja Promocji Przemysłu Okrętowego i Gospodarki Morskiej, Gdańsk 2006. [6] OCE421: Marine Structure Designs. Lecture no. 17: Wave Forces on Walls. University of Rhode Island, Kingston, USA. [7] Poradnik hydrotechnika. Obciążenia budowli hydrotechnicznych wywołane przez środowisko morskie. Wydawnictwo Morskie Gdańsk, 1992. [8] Recommendations of the Committee for Waterfront Structures, Harbours and Waterways (EAU 1996).7 th English Edition, English Translation of the9 th German Edition, Issued by the Committee for Waterfront Structures of the Society for Harbour Engineering and the

artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotechnice, nr 6/2012, str. 727 738 23 German Society for Soil Mechanics and Foundation Engineering, ISBN 3-433-01790-5, Ernst & Sohn, Berlin, 2000. [9] Shore Protection Manual. Castal Engineering Research Center, Department of the Army, Waterways Experiment Station, Corps of Engineers, Vol. I i II, Vicksburg, Mississippi, USA, 1984.