GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne

GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne 5 kwietnia 2018 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej 1 Przestrzenie Afiniczne [Kos roz 4, 1] 11 Definicja przestrzeni afinicznej: (E, V, ω), gdzie E zbiór, V przestrzeń liniowa, ω : E E V odwzorowanie, które spe lnia 1 ω(p, q) + ω(q, r) = ω(p, r) 2 p E α V!q E : v = ω(p, q) tzn p E odwzorowanie ω(p, ) : E V jest bijekcja Przestrzeń V nazywamy przestrzenia styczna i oznaczamy przez T E 12 Czasami wektor ω(p, q) jest oznaczany pq 13 Naczelny przyk lad: V przestrzeń wektorowa, ( E = V, V, ω(p, q) = q p ) 14 Operacja : E V E zdefiniowana przez warunek p ω(p, q) = q: 1 ) (p v) w = p (v + w) dla p E, v, w V 2 ) p E, V v p v E jest bijekcja 15 Ćwiczenie: (p v) w = p (v + w) 16 Mamy ω(p, p) = 0, ω(p, q) = ω(q, p) oraz p 0 = p dla p, q E 17 Kombinacje afiniczne, czyli środki cie żkości (barycentry) k i=0 a i p i := q k i=1 a i = 1 Niezależność od q E ( k i=0 a i ω(q, p i )) dla (W dalszej cze ści nie be dziemy już używać specjalnego, tylko zwyk ly +) 2 Bazy punktowe, podprzestrzenie adiniczne 21 Uk lady rozpinaja ce, niezależne uk lady punktów, bazy punktowe 22 p 0, p 1,, p n jest niezależny/rozpinaja cy/jest baza E wtedy i tylko wtedy gdy ω(p 0, p 1 ), ω(p 0, p 2 ), ω(p 0, p n ) jest niezależny/rozpinaja cy/jest baza V 23 Wniosek: Trzy warunki równoważne p 0, p 1,, p n jest baza punktowa p 0, p 1,, p n to minimalnym uk ladem rozpinaja cym, p 0, p 1,, p n to maksymalnym uk ladem niezależnym 24 Wspó lrze dne baryczentryczne w bazie punktowej 1

25 Maja ć baze punktowa p 0, p 1,, p n można utożsamiać E z podzbiorem K n+1 {(,,, x n ) K n+1 + + + x n = 1} 26 Definicja: Niech F E, W V, ω = ω F F Trójka (F, W, ω ) jest podprzestrzenia (E, V, ω) gdy p, q F ω(pq) W p F funkcja ω(p, ) : F W, q ω(p, q) jest bijekcja 27 Podzbiór F E jest podprzestrzenia (a ściślej: istnieje W V takie, że (F, W, ω F F ) jest podprzestrzenia ) wtedy i tylko wtedy, gdy F jest zamknie ty ze wzgle du na branie kombinacji afinicznych Dow ( ): Definiujemy W = {ω(p, q) p, q F } Sprawdzamy, że W jest podprzestrzenia liniowa aω(p, q) = ω(p, q ) dla q = (1 a)p + aq, ω(p, q) + ω(r, s) = ω(p, q) + ω(r, p) + ω(p, s) = ω(p, q) ω(p, r) + ω(p, s) = ω(p, q ) dla q = 1 q + ( 1)r + 1 s Przy okazji zauważamy, że dla ustalonego p, k lada c p = q, przestrzeń {ω(p, q ) q F } jest równa W Zatem przekszta lcenie F W, q ω(p, q) jest,,na i oczywiście jest różnowartościowe 28 Za lóżmy char(k) 2 Zbiór zamknie ty ze wzgle du na dwuelementowe kombinacje afiniczne jest podprzestrzenia 29 Każda podprzestrzeń F E jest postaci p + W, gdzie W jest podprzestrzenia liniowa w T E Przestrzeń liniowa W nie zależy od wyboru p F 210 Każda podprzestrzeń afiniczna w E jest postaci p + W, gdzie p E, W V = T E 211 Parametryczne przedstawienie: np prosta L(p, q) = {p + tω(p, q) t K} 212 Każda podprzestrzeń afiniczna w K n jest opisana niejednorodnym uk ladem równań liniowych 213 Cze ść wspólna rodziny podprzestrzeni jest pusta lub jest podprzestrzenia 214 Istnieje najmniejsza podprzestrzeń af(a) zawieraja ca dany zbiór A Sk lada sie ona z kombinacji afinicznych punktów z A 215 Równoloegóść: F 1 jest s labo równole le do F 2 gdy T F 1 T F 2 (to jest relacja kwaziporza dku) F 1 jest silnie równole le do F 2 gdy T F 1 = T F 2 (to jest relacja równoważności) 216 Podprzestrzenie F 1 i F 2 sa skośne jeśli F 1 F 2 = i T F 1 T F 2 = {0} 217 Ćwiczenie: jeśli F 1 i F 2 sa skośne to dim(f 1 ) + dim(f 2 ) < dim(e) 218 Ćwiczenie: Jeśli F 1 jest s labo równole le do F 2, oraz F 1 F 2 to F 1 F 2 = 2

3 Afiniczne przekszta lcenia 31 Definicja 1 Przekszta lcenie przestrzeni afinicznych (E, V, ω E ) (F, W, ω F ) to para przekszta lceń φ : E F Dφ : V W (przekszta lcenie zbiorów) (przekszta lcenie liniowe) takie, że ω F (φ(p), φ(q)) = Dφ(ω E (p, q)) 32 Definicja 2/Twierdzenie: Przekszta lcenie φ : E F jest afiniczne jeśli przeprowadza kombinacje afiniczne na kombinacje afiniczne obrazów Dow Trzeba skonstruować przekszta lcenie liniowe przestrzeni stycznychh φ = Dφ : T E T F Dφ(v) := ω(φ(p), φ(p + v)) (Sprawdzamy, że definicja nie zależy od wyboru p E, oraz że Dφ jest liniowe kombinacja 1p + 1(p + v) + ( 1)p) Wsk: p + v jest 33 Przekszta lcenie styczne (pochodna) Dφ i wybór φ(p) F dla ustalonego p E definiuje przekszta lcenie afiniczne, tzn jeśli dane jest przekszta lacenie liniowe φ 0 : T E T F oraz dowolne punkty p E, q F, to istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie φ : E F takie, że φ(p) = q oraz Dφ = φ 0 34 Przekszta lcenie afiniczne jest zadane przez wybór obrazów bazy punktowej 35 We dnych: przekszta lcenia afiniczne K n K m sa postaci φ(, x 2,, x n ) = (f 1 (, x 2,, x n ) + b 1, f 2 (, x 2,, x n ) + b 2,, f m (, x 2,, x n ) + b m ) gdzie Dφ = (f 1, f 2,, f m ) : K n K m jest przekszta lceniem liniowym, φ(0, 0,, 0) = (b 1, b 2,, b m ) 36 Przekszta lcenie afiniczne φ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy Dφ jest izomorfizmem liniowym 37 Wybieramy p E i p F Wtedy przekszta lcenia afiniczne(e, F ) T F L(T E, T F ), φ (ω(p, φ(p)), Dφ) ( q p + v + Dφ(ω(p, q)) ) (v, Dφ) 38 Dany wektor v V = T E Przez T v oznaczamy przesunie cie T v (p) = p + v 39 Każde przekszta lcenie afiniczne jest z lożeniem przekszta lcenia liniowego i przesunie cia 3

310 Jeśli Dφ jest izomorfizmem, to φ jest izomorfizmem Każde dwie przestrzenie tego samego wymiaru sa izomorficzne W szczeglnoci jeśli dim E = n, to E K n Izomorfizm zależy od wyboru punktu p E i wyboru bazy w T E 311 Przeciwobraz podprzestrzeni afinicznej przy przekszta lceniu afinicznym jest podprzestrzenia Każda podprzestrzeń w K n jest przeciwobrazem 0 przy pewnym przekszta lceniu afinicznym K n K m 312 Sk ladanie przekszta lceń Wybieramy p E E, p F F oraz w p G G co pozwala nam utożsamić E T E, F T F i G T G T F L(T E, T F ) Aff(E, F ) = przekszta lcenia afiniczne(e, F ), (v, Dφ) = T v Dφ T G L(T F, T G) Aff(F, G) = przekszta lcenia afiniczne(f, G), (w, Dψ) = T w Dψ T G L(T E, T G) Aff(E, G) = przekszta lcenia afiniczne(e, G), (w, Dψ) (v, Dφ) = T w Dψ T v Dφ u Dφ(u) + v Dψ(Dφ(u) + v) + w = Dψ(Dφ(u)) + (Dψ(v) + w) Zatem z lożeniu o dpowiada para 313 Wniosek: D(ψ φ) = Dψ Dφ (w, Dψ) (v, Dφ) = (w + Dψ(v), Dψ Dφ) Odsy lacz do grupy przekszta lceń: Kostrikin Roz 4, 3 314 Grupa izomorfizmów afinicznych Aff o (E) Aff(E, E) Odwzorowanie D : Aff o (E) GL(T E) jest homomorfizmem, tzn 315 Odwzorowanie D jest epimorfizmem Mamy cia g przekszta lceń D(φ ψ) = D(φ) D(ψ), D(Id E ) = Id T E ker(d) = {φ Aff o (E) Dφ = Id T E } = {T v v T E} T E v mono i Aff(E) epi GL(T E) T v φ Dφ Mówimy, że ten cia g jest dok ladny (warunek im(i) = ker(d)) 316 Jeśli utożsamić Aff(E) z T E GL(T E) (wybieraja c punkt bazowy w E) to sk ladanie zadane jest wzorem (w, ψ 0 ) (v, φ 0 ) = (w + ψ 0 (v), ψ 0 φ 0 ) Grupa z takim dzia laniem sk ladania jest szczególnym przypadkiem tzw produktu pó lprostego T E GL(T E) 4

317 Niezmienniki przekszta lceń afinicznych: - wspó lliniowość (koplanarność, etc) punktów - równoleg lość podprzestrzeni (s laba i silna) - proporcje podzia lu odcinka - np przecinanie sie trzech prostych L(p i, q i ), i = 1, 2, 3 w jednym punkcie 4 Różne rachunki w przestrzeniach afinicznych 41 Dane punkty [p 1, p 2, p 3 ], [q 1, q 2, q 3 ], [r 1, r 2, r 3 ] K 3, które sa afinicznie niezależne Wzór na powierzchnnie af(p, q, r) 1 1 1 1 det p 1 q 1 r 1 p 2 q 2 r 2 x 2 = 0 p 3 q 3 r 3 x 3 Można traktować ten wzór jako otrzymany ze wzoru na przestrzeń liniowa w K 4 rozpie ta przez wektory (1, p 1, p 2, p 3 ), (1, q 1, q 2, q 3 ), (1, r 1, r 2, r 3 ) 42 Pe k p laszczyzn: każda p laszczyzna zawieraja ca proste L = {x K 3 a 0 + a 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0, b 0 + b 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = 0} ma równanie postaci {x K 3 λ(a 0 + a 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 ) + µ(b 0 + b 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 ) = 0} dla pewnych (λ, µ) (0, 0) Można wykorzystać to szukaja c równania p laszczyzny zawieraja cej dany punkt p oraz L 43 Czy każde dwie trójki prostych w K 3 parami skośnych sa afinicznie równoważne? TAK, jeśli ich przestrzenie styczne rozpinaja przestrzeń liniowa K 3 44 Przyk lad przekszta lcenia: rzutownie afiniczne Niech F E, T E = T F V Istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie afiniczne φ, które jest sta le na F oraz Dφ jest rzutowaniem wzgle dem T F wzd luż V Przestrzenie rzutowe 45 Dana przestrzeń wektorowa V nad cia lem K Zbiór prostych (przechodza cych przez 0) w V oznaczamy przez P(V ) Mamy P(V ) = (V \ {0})/, gdzie v w gdy istnieje λ K, λ 0, v = λw 46 Oznaczenie P(K n+1 ) = P n (K) Elementy przestrzeni rzutowej sa oznaczane przez [ : : : x n ] (to jest klasa wektora (,,, x n ), czyli prosta rozpie ta przez ten wektor, albo inaczej wektor z dok ladnościa do proporcjonalności) 5

47 Niech K n K n+1 be dzie podprzestrzenia liniowa rozpie ta przez ostatnie n dnych Niech E = (1, 0, 0, 0,, 0) + K n, Każda prosta nie zawarta w K n przecina E w dok ladnie jednym punkcie To daje utożsamienie P(K n+1 ) \ P(K n ) z E Swoja droga E K n 48 Ogólniej Niech E V be dzie podprzestrzenia, 0 E, dim V dim E = 1 Dope lnienie P(V ) \ P(T E) można utożsamić z E 49 P n (K) = (K n+1 \{0})/ można pokryć zbiorami U i = {x i 0} W zbiorze U i mamy wspóżze dne 410 Przyk lad P 1 (K): u = dna w U 0, v = dna w U 1 Mamy u = 1/v (tam gdzie to ma sens) 411 Przyk lad P 2 (K): u 1 =, u 2 = x 2 dne w U 0, v 0 =, v 2 = x 2 dne w U 1, w 0 = x 2, w 1 = x 2 dne w U 2 Mamy (tam gdzie to ma sens) u 0 = x i, u 1 = x i,, bez u i, u n = xn x i u 1 = 1 v 0 = w 1 w 0, u 2 = v 2 v 0 = 1 w 0 412 Zobaczyć jak wygla da okra g (u 1 ) 2 + (u 2 ) 2 = 1 we dnych v 0, v 2 oraz we dnych w 0, w 1 5 Przestrzenie rzutowe 51 Przygla damy sie krzywym na p laszczyźnie rzutowej P 2 (K) w różnych uk ladach dnych Dana parabola u 2 = u 2 1 (tzn = ( ) 2 ) Zobaczyć jakie jest jej przecie cie z,,prosta w nieskończoności zadanaa przez równanie = 0 we dnych v 0 =, v 2 = x 2 Ćw: Dane proste w K2 ze dnymi u 1, u 2 zadane równaniami u 2 = a i u 2 = b, a b Jako proste afiniczne sa równoleg le (nie przecinaja sie ) Utożsamiamy K 2 z U 0 P 2 (K) Zobaczyć jak wygla daja te proste we dnych v 0 = 1/u 1, v 2 = u 2 /u 1 52 Przekszta lcenia rzutowe przestrzeni rzutowej: [ : : : x n ] [f 0 (x) : f 1 (x) : : f n (x)], gdzie x = (,,, x n ) oraz f = (f 0, f 1, f n ) : K n+1 K n+1 jest izomorfizmem liniowym 53 Przekszta lcenia rzutowe przestrzeni afinicznej K n utożsamianej z U 0 (jest nie wsze dzie określone): (u 1, u 2,, u n ) ( f 1 f 0, f 2 f 0,, f n f0 ), gdzie f i : K n K, i = 0, 1,, n sa funkcjami afinicznymi powsta lymi z funkcji liniowych f i : K n+1 K przez podstawienie = 1 w (52)) 6

54 Przyk lad: φ(u 1, u 2 ) = (1/u 1, u 2 /u 1 ), przeciwobraz okre gu (u 1 )2 + (u 2 )2 = 1 jest hiperbola 55 Przekszta lcenia przestrzeni rzutowej zadane izomorfizmem liniowym przestrzeni V sa oznaczane przez P GL(V ), lub gdy V = K n+1 przez P GL n+1 (K) Mamy P GL(V ) = GL(V )/, gdzie φ ψ gdy φψ 1 = λid V 56 Przekszta lcenie (u 1, u 2 ) ( 2u 1 1+u 2, 1 u 2 1+u 2 ) przekszta laca parabole u 2 = u 2 1 na okra g 57 Przekszta lcenia rzutowe P n (K) zachowuja ce U 0 = { 0}, sa indukowane przez φ GL(K n+1 ), φ(,,, x n ) = (f 0 (,,, x n ), f 1 (,,, x n ),, f n (,,, x n )) takie, że f 0 (1,,, x n ) 0 Czyli takie, że f 0 (1,,, x n ) = a 0,0 Tzn macierz φ ma w,,zerowym wierszu tylko,,zerowy wyraz różny od zera Takie przekszta lcenie rzutowe ma wzór we spó lrze dnych afinicznych (, x 2,, x n ) Zatem jest przekszta lceniem afinicznym (Inna charakteryzacja: φ({ = 0}) = { = 0}, tzn zachowuje hiperp laszczyzne w nieskończoności) 58 Mamy {φ Aff(K n ) φ(0) = 0} = GL(K n ) ( f0 (1,, x 2,, x n ), f 1(1,, x 2,, x n ),, f ) n(1,, x 2,, x n ), a 0,0 a 0,0 a 0,0 {φ Przekszta lcenia rzutowe φ({ = 0}) = { = 0} } = Aff(K n ) 59 Przekszta lcenie prostej rzutowej: x a 10+a 11 x a 00 +a 11 x można przedstawić jako z lożenie przekszta lceń afinicznych i x 1/x bo a 10+a 11 x a 00 +a 11 x = α(1 + β 1 x+γ ) dla pewnych α, β, γ K (Przekszta lcenia postaci a ax+b cx+d (ad bc 0) nazywamy homografiami) 510 Przekszta lcenia liniowe zachowuja proporcje a := α/β, dla α = aβ Przekszta lcenia afiniczne zachowuja stosunek λ(p, q, r) := λ = p r p q gdy r = (1 λ)p + λq 511 Niech L P(V ) be dzie prosta w przestrzeni rzutowej Wprowadzamy wspó lre dna na prostej, tzn utożsamić L z K { } Dla p, q, r, s K definiujemy dwustosunek: (p, q; r, s) := λ(p, s, r) λ(q, s, r) = p r p s q s q r K 512 Tw: Przekszta lcenia rzutowe zachowuja dwustosunek (Dw: Bo przekszta lcenia afiniczne zachowuja stosunek trzech punktów na prostej Wystarczy sprawdzić dla x 1/x) 513 Przekszta lcenie liniowe jest wyznaczone przez wartośći na n wektorach liniowo niezależnych (n = dim(v )) 514 Przekszta lcenie afiniczne jest wyznaczone przez wartośći na n+1 punktach afinicznie niezależnych (n = dim(e)) 7

515 Niecv dim V = n + 1 Punkty p 0, p 1,, p n+1 P(V ) sa w po lożeniu ogólnym, gdy żadne n + 1 z nich nie leży w przestrzeni rzutowej mniejszego wymiaru (Warunek na po lożenie ogólne w je zyku przestrzeni liniowych: Niech L i = lin{v i }, i = 0, 1, n + 1; zak ladamy, że każde n + 1 wektorów v i jest liniowo niezależnych) 516 Tw: Przekszta lcenie rzutowe P n (K) jest wyznaczone przez wartości na n+2 punktach po lożeniu ogólnym 6 cd Dowód: niech p i = [ε i ] P n (K) dla 0 i n be dzie prosta rozpie ta przez standardowy i-ty wektor bazowy K n+1 oraz p n+1 = [1 : 1 : : 1] Dany q i = [w i ] inny uk lad prostych, takich, że każde n + 1 spośród wektorów w i sa liniowo niezależne Istnieje przekszta lcenie liniowe K n+1 przekszta lcaja ce ε i na w i dla i n Dlatego można za lożyć, że w i = ε i dla i n Niech (a 0, a 1,, a n ) be da dnymi wektora w n+1 Przekszta lcenie o macierzy diagonalnej z a 0, a 1,, a n na przeka tnej przeprowadza (1, 1,, 1) na w n+1 Z dok ladnościa do proporcjonalności przekszta lcenie to jest jedyne, jeśli ma zachowywać osie w K n+1, a obraz (1, 1,, 1) ma być proporcjonalny do w n+1 61 Dla n = 1, tzn dla P 1 (K) = P(K 2 ), w jezyku przestrzeni liniowych: przekszta lcenie liniowe K 2 jest wyznaczone jednoznacznie z dok ladnościa do skalara przez warunek na trójce prostych: φ(k) = K, φ(l) = L, φ(m) = M (pod warunkiem, że K, L, M sa parami różne) 62 Twierdzenie Pappusa Aleksandryjskiego 290 350 ne (patrz wyk lad Hitchina poniżej) (Dowód stosuja cy Tw 516) 63 Wie cej o przestrzeniach rzutowych Wyk lad Hitchina https://peoplemathsoxacuk/hitchin/hitchinnotes/projective geometry/chapter 1 Projective geometrypdf 64 Ćwiczenie: P2 (R) = Sfera/antypodyzm = dysk wte ga Möbusa 65 Zbiory algebraiczne 1) w przestrzeni afiniczniej K n, 2) w przestrzeni rzutowej P n (K) Podstawianie = 1 w równaniu pozwala przechodzić z 2) do 1) Przejście 1) do 2): operacja ujednoradniania równań 66 Suma i cze ść wspólna zbiorów algebraicznych jest zbiorem algebraicznym 67 Przyk lady: krzywe stożkowe, krzywe eliptczne w postaci Weierstrassa y 2 = x 3 +px+q (postać rzutowa x 2 2 (x3 1 +px2 0 +qx 3 0 ) = 0) 68 Ćwiczenie: dana jest krzywa Q P2 (K) zadana równaniem x 2 1 + x2 2 x2 0 = 0 (czyli afinicznie równanie okre gu) Podać przekszta lcenie wielomianowe P 1 (K) P 2 (K) zadaja ce bijekcje P 1 (K) Q (Nad dowolnym cia lem!!!) 8

69 Formy jednorodne Formy kwadratowe = formy jednorodne stopnia 2 610 Twierdzenie: Zak ladamy, że charakterystyka cia la jest różna od 2 Dana forma kwadratow f w K n Istnieje liniowa zamiana zmiennych w K n taka, że f(, x 2,, x n ) = r a i x 2 i i=1 przy czym a i 0 611 Wniosek: Jeśli cia lo jest algebraicznie domknie te (wystarczy, że można wycia gać pierwiastki), to f(, x 2,, x n ) = w pewnych dnych Liczba r to rza d formy Ta liczba w pe lni charakteryzuje forme r i=1 x 2 i 612 613 Wniosek: Jeśli cia lo K = R, to f(, x 2,, x n ) = r + i=1 x 2 i r i=1+r + x 2 i w pewnych dnych Liczba r i r + w pe lni charakteryzuja forme (To jest twierdzenie o bezw ladności, be dzie później) 614 Uwaga: dla odmiany klasyfikacja form trzeciego stopnia (dla trzech zmienych) jest o wiele bardziej skomplikowana Patrz,,j-invariant dla krzywej eliptycznej Dla postaci Weierstrassa j = 1728 4p 3 4p 3 +27q 2 615 Zadania o przestrzeniach rzutowych: http://wwwmimuwedupl/ aweber/zadania/gal2017gw/przestrzenie rzutowe-zadaniapdf Do zrobienia na ćwiczeniach: zadania 533, 534, 5314, 5316, 5322(!!!) 9