}, gdzie a = t (n) )(f(t(n) k. ) f(t(n) k 1 ) 1+δ = 0,

Zadania z Procesów Stochastycznych II - 1 1. Niech π n = {t (n), t(n) 1,..., t(n) k n }, gdzie a = t (n) < t (n) 1 <... < t (n) k n będzie ciągiem podziałów odcinka [a, b] oraz diam(π n ) = max k t (n) oznacza średnicę π n. Udowodnij, że S(π n ) := k n k=1 W t (n) k k = b t(n) k 1 W (n) t 2 b a przy n w L 2 (Ω, F, P), k 1 jeśli diam(π n ) oraz S(π n ) b a p.n., jeśli n diam(π n) <. 2. Jeśli funkcja f jest ciągła na [a, b] i ma wahanie ograniczone, to lim k n n k=1 jeśli δ > oraz diam(π n ). f(t (n) k ) f(t(n) k 1 ) 1+δ =, 3. Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera mają nieskończone wahanie na każdym przedziale. 4** Wykaż, że jeśli M jest ciągłym martyngałem na [, T ] takim, że M = p.n. to trajektorie M mają p.n. wahanie skończone na [, T ] wtedy i tylko wtedy gdy M. (Wskazówka rozpatrzeć najpierw przypadek gdy sup t M t C oraz Wah [,T ] (M) C p.n. korzystając z tożsamości M 2 t = n n M kt/n M (k 1)t/n 2 + 2 M (k 1)t/n (M (kt/n M (k 1)t/n ).) k=1 5. Wykaż, że jeśli f ma wahanie skończone na [a, b], to f(t) = f(a) + f 1 (t) f 2 (t), gdzie f 1 i f 2 są funkcjami niemalejącymi takimi, że f i (a) =. 6. Niech f C 1 [a, b]. Wykaż, że f ma wahanie ograniczone oraz b a h(t)df(t) = b a h(t)f (t)dt dla h ciagłych na [a, b]. k=1 7* Niech π n będzie ciągiem podziałów jak w zadaniu 1 takim, że diam(π n ). Wykaż, że jeśli dla dowolnej funkcji g C[a, b] istnieje granica lim k n n k=1 g(t (n) k )(f(t(n) k ) f(t(n) k 1 )) i jest skończona, to f ma wahanie ograniczone na [a, b]. 8. Jaki rozkład ma zmienna h(t)dw t dla h L 2 [, T ]? 9. Oblicz Cov( h 1(t)dW t, h 2(t)dW t ) dla h 1, h 2 L 2 [, T ]. 1

1. Niech C p := (E W 1 p ) 1/p. Wykaż, że dla < p <, przekształcenie h Cp 1 h(t)dw t jest izometrycznym włożeniem L 2 ([, T ]) w L p (Ω). 11. Wykaż, że dla < t < T i h L 2 ([, T ]) zachodzi h(s)dw s = 12. Wykaż, że dla h C 1 [, T ], T < zachodzi 13. Wykaż, że proces hi [,t] (s)dw s p.n. h(t)dw t = h(t )W T h (t)w t dt p.n. { (1 t) 1 Y t = 1 s dw s t < 1 t = 1 ma takie same rozkłady skończenie wymiarowe co proces Z t = W t tw 1 (most Browna). 14* Załóżmy, że X = (X t ) t jest procesem o przyrostach niezależnych takim, że X = i X t X s Cauchy(t s) dla t s. Przeprowadź konstrukcję analogiczną do całki Paleya-Wienera i zdefiniuj h(t)dx t dla h L 1 [, T ]. (Uwaga: E X t = dla t > ). 2

Zadania z Procesów Stochastycznych II - 2 1. Wykaż, że dla dowolnej funkcji ciągłej f o wahaniu skończonym na [a, b] zachodzi b a f(s)df(s) = 1 2 (f 2 (b) f 2 (a)). 2. Oblicz granice w L 2 (Ω) przy n a) n 1 k= W tk/n(w t(k+1)/n W tk/n ) b) n 1 k= W t(k+1)/n(w t(k+1)/n W tk/n ). 3. Dla procesu stochastycznego X = (X t ) t [,T ] oraz momentu zatrzymania τ określamy X τ = (Xt τ ) t [,T ] wzorem Xt τ := X τ t. Udowodnij, że i) Jeśli X ma trajektorie (prawostronnie)ciągłe, to X τ też ma trajektorie (prawostronnie)ciągłe. ii) Jeśli X jest procesem adaptowalnym i prawostronnie ciągłym, to X τ jest F τ t F t adaptowalny. iii) Jeśli M jest prawostronnie ciągłym martyngałem, to M τ jest martyngałem zarówno względem filtracji F t, jak i F τ t. 4. Niech (X n ) n= będzie ciągiem zmiennych F n adaptowalnych. Wykaż, że istnieje dokładnie jeden rozkład X n = Y n + Z n taki, że (Y n, F n ) jest martyngałem, zaś Z = oraz Z n jest ciągiem prognozowalnym (tzn. F n 1 adaptowalnym). Ponadto X n jest podmartyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg Y n jest niemalejący. W szczególności, jeśli X n jest martyngałem względem F n, to istnieje dokładnie jeden niemalejący ciąg Z n zmiennych prognozowalnych taki, że Z = oraz X 2 n Z n jest martyngałem. 5. Wykaż, że każdy proces prognozowalny jest progresywnie mierzalny. 3

Zadania z Procesów Stochastycznych II - 3 1. Wykaż, że jeśli X L 2 T, t s T oraz ξ jest ograniczoną zmienną losową F t mierzalną to ξxi (t,s] L 2 T oraz s t ξxdw = ξ s XdW (Uwaga: t s t XdW definiujemy jako I (s,t]xdw ). 2. Wykaż, że jeśli < t 1 <... < t m < T oraz ξ k są zmiennymi losowymi w L 2 (Ω), F tk mierzalnymi to proces X := m 1 k=1 ξ ki (tk,t k+1 ] należy do L 2 T oraz XdW = m 1 k=1 ξ k(w tk+1 t W tk t). 3. Załóżmy, że X jest procesem prognozowalnym, ciągłym w L 2 (tzn. t X t jest ciągła z [, T ] w L 2 (Ω)). Wykaż, że wówczas X L 2 T oraz dla dowolnego ciągu podziałów = t (n) t (n) 1... t (n) k n = T o średnicy zbiegającej do zera zachodzi dla t T k n 1 k= w L 2 (Ω) przy n. 4. Oblicz W sdw s. X (n) t (W (n) k t k+1 W (n) t ) XdW k 5. Niech τ będzie momentem zatrzymania takim, że Eτ <. Wykaż, że I [,τ] L 2 oraz I [,τ] (s)dw s = W τ. Wywnioskuj stąd, że EW τ = oraz EWτ 2 = Eτ. 6. Dla a, b > określmy τ := inf{t : W t = a b + t}. Wykaż, że τ < p.n. oraz Eτ < wtedy i tylko wtedy gdy a < 1. Ponadto dla a < 1, Eτ = a2 b 1 a 2. 7. Niech ξ będzie zmienną losową o skończonej wariancji taką, że Eξ =. Wykaż, że istnieje moment zatrzymania τ taki, że W τ ma ten sam rozkład co ξ oraz Eτ = Eξ 2. 8. Niech X Λ 2 T, t < s T oraz ξ będzie zmienną losową F t 1 mierzalną (niekoniecznie ograniczoną). Wykaż, że ξxi (t,s] Λ 2 T oraz s t ξxdw = ξ s t XdW. 9. Znajdź proces X Λ 2 T taki, że X sdw s nie jest martyngałem. 4

Zadania z Procesów Stochastycznych II - 4 1. Niech I t = I M (X) t = XdM, gdzie M M2,c oraz X E. Wykaż, że I jest ciągłym martyngałem, I = oraz E I T 2 = E X2 s d M s. 2. Wykaż, że M τ = M τ dla M M 2,c i dowolnego momentu zatrzymania τ. 3. Wykaż, że dla M, N M 2,c loc oraz dowolnego momentu zatrzymania τ zachodzi M τ, N τ = M τ, N = M, N τ = M, N τ. 4. Niech h będzie dowolną funkcją o wahaniu ograniczonym na przedziale [a, b], zaś f, g funkcjami ciągłymi na [a, b]. Określmy G(s) = s a g(t)dh(t) dla a t b. Wykaż, że G ma wahanie ograniczone oraz b a f(s)dg(s) = b a f(s)g(s)dh(s). 5. Niech M t = W t 3 dw t. Jak wyglądają przestrzenie L 2 (M) i Λ 2 (M)? Niech X t := 1 W t dm t. Uzasadnij, że proces X jest dobrze określony. Oblicz wartość oczekiwaną i funkcję kowariancji X. 6. Niech A będzie pewną klasą procesów adaptowalnych na [, T ) taką, że jeśli X A to X τ A dla dowolnego momentu zatrzymania τ. Przez A loc oznaczamy wówczas klasę tych procesów adaptowalnych na [, T ) dla których istnieje rosnący ciąg momentów zatrzymania τ n taki, że τ n T oraz X τn A dla wszystkich n. a) Wykaż, że jeśli X A loc to X τ A loc dla dowolnego momentu zatrzymania τ b) Wykaż, że (A loc ) loc = A loc c) Wykaż, że jeśli A jest liniowa to A loc też jest liniowa. 7. Wykaż, że M c loc = M2,c loc. 8. a) Wykaż, że każdy ograniczony ciągły martyngał lokalny jest martyngałem. b) Wykaż, że każdy nieujemny całkowalny ciągły martyngał lokalny jest nadmartyngałem. c) Podaj przykład nieujemnego całkowalnego ciągłego martyngału lokalnego, który nie jest martyngałem. 9. Niech M, N M 2,c loc oraz X Λ2 T (M) Λ2 T (N). Udowodnij, że X Λ 2 T (M + N) oraz Xd(M + N) = XdM + XdN. 1. Niech M M 2,c loc oraz X Λ2 T (M). Wykaż, że dla dowolnego momentu zatrzymania τ zachodzi ( XdM) τ = XdM τ = XI [,τ] dm = XI [,τ] dm τ. W szczególności jeśli procesy X i Y pokrywają się na przedziale [, τ], to ( XdM) τ = ( Y dm) τ. 5

Zadania z Procesów Stochastycznych II - 5 1. Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części przedstaw W 2 s dw s jako wyrażenie nie zawierające całek stochastycznych. 2. Oblicz W 1, W 2, gdzie W 1, W 2 niezależne procesy Wienera. 3. Niech X będzie martyngałem lokalnym takim, że X t Y dla wszystkich t oraz EY <. Wykaż, że X jest martyngałem. 4. Niech f będzie funkcją klasy C 2 na R 2, korzystając z wzoru Ito oblicz df(t, W t ). 5. Niech Z t = exp(λw t λ 2 t/2). Wykaż, że dz t = λz t dw t tzn. Z t = 1 + λ Z sdw s. 6. Niech σ = (σ i,j ) 1 i m,1 j d będzie macierzą procesów z Λ 2. Określamy wówczas σdw jako m wymiarowy proces ( d j=1 σ 1jdW j,..., d j=1 σ mjdw j ). Niech Z = (Z 1,..., Z m ) = σdw + bdt, gdzie b = (b 1 (t),..., b m (t)) proces m wymiarowy ciągły, adaptowalny. Dla f : R d R klasy C 2 oblicz korzystając z wzoru Ito df(z). 6

Zadania z Procesów Stochastycznych II - 6 1. Niech g : R d R będzie funkcją klasy C 2, G zbiorem otwartym ograniczonym w R d oraz x G. Określmy τ := inf{t: W t + x / G}. Korzystając ze wzoru Ito wykaż, że jeśli g jest harmoniczna w G to h(wt τ + x) jest martyngałem. Pokaż, że wystarczy zakładać, iż g jest C 2 w pewnym otoczeniu domknięcia G. 2. Wykaż, że dla 3-wymiarowego ruchu Browna W t i a R 3, a proces X t = W t a 1 jest martyngałem lokalnym, ale nie jest martyngałem. Ponadto X t jest nadmartyngałem oraz zbiega do w L 1 i prawie na pewno. 3. Wykaż, że 2-wymiarowego ruchu Browna W t i a R 2, a proces X t = ln W t a jest martyngałem lokalnym. Wywnioskuj stąd, że z prawdopodobieństwem 1 proces W t omija punkt a, ale trajektoria procesu jest dowolnie bliska punktu a. 4. Wykaż, że d-wymiarowy proces X startujący z zera o trajektoriach ciągłych jest procesem Wienera względem filtracji F s wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego u R d oraz s < t zachodzi E(exp(i u, X t X s ) F s ) = exp( (t s) u 2 /2) p.n.. 5. Załóżmy, że M 1, M 2,..., M d są ciągłymi martyngałami lokalnymi startującymi z zera takimi, że M j, M k = δ j,k t. Wykaż, że M = (M 1, M 2,..., M d ) jest d-wymiarowym procesem Wienera. 6. Wykaż, że d-wymiarowy proces X startujący z zera o trajektoriach ciągłych jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego λ R d proces exp( λ, X t λ 2 t/2) jest martyngałem lokalnym. 7* Niech T < oraz X = (X t ) t<t będzie procesem prognozowalnym takim, że dla pewnej liczby całkowitej m 1 zachodzi E X 2m (s)ds <. Wykaż, że X L 2 T oraz M = XdW jest martyngałem takim, że EM 2m T (m(2m 1)) m T m 1 E (Wsk. Wzór Ito i nierówność Höldera) Xs 2m ds 8. Niech W = (W 1,..., W d ) będzie d-wymiarowym ruchem Browna, a R t = W t. Wykaż, że a) B t := d b) R t = j=1 W (i) s R s dws i jest jednowymiarowym procesem Wienera; d 1 2R s ds + B t (R t jest nazywane procesem Bessela.) 7

Zadania z Procesów Stochastycznych II - 7 1. Wykaż, że dla a > proces X t = ξe bt + a eb(t s) dw s jest jedynym rozwiązaniem równania dx t = bx t dt+ adw t z warunkiem początkowym X = ξ. Jeśli b < oraz ξ ma rozkład N (, a 2b ) to X t jest procesem stacjonarnym (proces Ornsteina-Uhlenbecka) 2. Załóżmy, że A(t) jest ciągłą funkcją na [, T ] o wartościach w macierzach m m, σ(t) jest ciągłą funkcją na [, T ] o wartościach w macierzach m d zaś a(t) jest ciągłą funkcją na [, T ] o wartościach w R m. Niech S(t) będzie jedynym rozwiązaniem równania ds(t) dt = A(t)S(t); S() = I. Ponadto niech W będzie d-wymiarowym procesem Wienera, a ξ zmienną losową niezależną od W. Wykaż, że a) ξ(t) := S(t)(ξ+ S 1 (s)a(s)ds) jest rozwiązaniem równania deterministycznego dξ(t) dt b) X(t) = S(t)(ξ+ = A(t)ξ(t) + a(t); ξ() = ξ, S 1 (s)a(s)ds+ S 1 (s)σ(s)dw s ) jest jedynym rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego dx t = (A(t)X t + a(t))dt + σ(t)dw t ; X = ξ. 3. Niech σ będzie funkcją ciągłą na R d o wartościach w macierzach d d, a b(x) funkcją ciągłą z R d w R d, ponadto niech a = σσ T. Niech Lf(x) = d j=1 b j (x) f x j + 1 2 d 2 f a ij (x) x i x j i,j=1 oraz D będzie otwartym pozdbiorem R d. Rozpatrzmy równanie dx t = b(x t )dt + σ(x t )dw t, X = x. Dla x D oraz procesu X t będącego rozwiązaniem powyższego równania określmy τ := inf{t : X t / D}. Wykaż, że jeśli istnieje funkcja f klasy C 2 określona na pewnym otoczeniu domknięcia D oraz c > takie, że f na D oraz Lf c na D to Eτ <. 8

4. Przy założeniach i oznaczeniach z zadania 2 załóżmy, że D jest pozbiorem pasa {y : y 1 R}, b 1 jest funkcją ograniczoną na D oraz a 1,1 (y) α >. Wykaż, że Eτ <. (Wsk. Rozpatrzyć funkcję f(x) = cosh rr cosh rx 1. 5. Niech D będzie wnętrzem kąta w R 2 o rozwartości α, X t = W t + x dla pewnego x D, a τ oznacza pierwszy moment wyjścia przez X z D. Udowodnij, że a) Jeśli α < π/2 to Eτ <, b) jeśli α π/2 to Eτ =. Wsk. a) rozpatrzyć funkcję f(r, ϕ) = r 2 sin(ρ(α + ε ϕ)) we wsp. biegunowych, b) Przyjąć α = π/2 i obliczyć ogon τ z zasady odbicia. 6. Przy oznaczeniach i założeniach zadania 2 załóżmy dodatkowo, że D jest obszarem ograniczonym oraz X t = Xt x i τ = τ x. Niech g będzie funkcją ciągłą w D, a h ciągłą na D oraz v(x) będzie rozwiązaniem równania { Lv(x) = g(x) x D v(x) = h(x) x D. Załóżmy, że v przedłuża się do funkcji klasy C 2 na otoczeniu domknięcia zbioru D. Wykaż, że v(x) = Eh(X x τ x ) τx g(x x s )ds. 7. Załóżmy, że d = 1, D = (α, β) oraz a(x) = σ 2 (x) > δ > dla x (α, β). Oblicz P(Xτ x x = α) dla x (α, β). 8* Niech M będzie ciągłym martyngałem lokalnym takim, że lim t M, t = p.n. Dla t < definiujemy czasy zatrzymania τ(t) wzorem τ(t) := inf{s : M s > t}. Wykaż, że proces B t := M τ(t) jest jednowymiarowym procesem Wienera. 9* Załóżmy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym na [, T ). Wykaż, że a) na zbiorze { M T < } istnieje p.n. skończona granica lim t T M t b) na zbiorze { M T = } p.n. zachodzi lim sup t T M t = oraz lim inf t T M t =. 9

Zadania z Procesów Stochastycznych II - 8 1. Znajdź taką miarę probabilistyczną Q na (Ω, F W 1 ), by proces (W t+2t 4 ) t 1 był procesem Wienera względem Q. 2. Niech Z = Z +A+M, Y = Y +B +N będą ciągłymi semimartyngałami. Definiujemy całkę Stratonowicza wzorem Y s dz s := Y s dz s + 1 M, N. 2 Pokazać, że jeśli f jest funkcją klasy C 3 na R to j=1 f(z t ) = f(z ) + f (Z s ) dz s. 3. Pokazać, że przy oznaczeniach poprzedniego zadania oraz dowolnym ciągu π n = {t (n), t(n) 1,..., t(n) k n } podziałów odcinka [, t] takim, że diam(π n ) zachodzi k n Y (n) t + Y (n) t j+1 t j (Z (n) 2 t Z (n) j+1 t ) Y s dz s j przy n według prawdopodobieństwa. 4. Niech µ oznacza miarę Wienera na C([, 1]) (tzn. rozkład wyznaczony przez proces Wienera na [, 1]). Dla h C([, 1]) określamy nową miarę µ h wzorem µ h (A) := µ(h + A). a) Wykaż, że jeśli h(t) = g(s)ds dla t 1 oraz g L2 [, 1] to miara µ h jest absolutnie ciągła względem µ oraz znaleźć gęstość. b*) Jeśli h nie ma powyższej postaci to µ i µ h są wzajemnie singularne. 1

Zadania z Procesów Stochastycznych II - 9 1. DLa T < rozpatrzmy równanie dx t = b(t, X t )dt + dw t, t T, X =. (1) Niech U będzie procesem Wienera na (Ω, F, P), Z t = exp( b(s, U s)du s b2 (s, U s )ds/2), W t := U t b(s, U s)ds. Stosując twierdzenie Girsanowa wykaż, że jeśli EZ T = 1 to istnieje miara probabilistyczna Q T taka, że para (U, W ) jest słabym rozwiązaniem (1) na (Ω, F, Q T ) (z X = U). 2. a) Załóżmy, że f n C 2 (R) spełniają warunki f n () = f n() =, f n n, f n (x) = n dla x n 2 (n 1) oraz f n (x) = dla x n 2 (n + 1). Niech Y (n) t := 1 2 f n(w s )dw s. Wykaż, że jeśli α jest odpowiednio duże, to Y (kα ) t L t p.n. przy k oraz zbieżność jest jednostajna na każdym przedziale ograniczonym. b) Wywnioskuj stąd, że c) Wykaż, że 1 lim k 2 kα {s [, t]: W s k α } = L t p.n.. 1 L t = lim ε + 2ε {s [, t]: W s ε} p.n.. i zbieżność jest jednostajna na przedziałach ograniczonych. 3. Wykaż, że dla a R istnieje proces L a t ciągły, niemalejący, nieujemny taki, że Ponadto 4. Udowodnij, że W t a = a + sgn(w t a)dw t + L a t p.n.. L a 1 t = lim ε + 2ε {s [, t]: W s a ε} p.n.. 1 2 La t = (W t a) + a = (W t a) a + + I [a, ) (W s )dw s I (,a] (W s )dw s p.n.. 5* Wykaż, że da się wybrać taką wersję czasów lokalnych L a t, by proces (t, a) L a t był ciągły względem pary parametrów (a, t) R R +. 11

Zadania z Procesów Stochastycznych II - 1 1. Wykaż, że d-wymiarowy proces X = (X (1),..., X (d) ) jest procesem Wienera względem ustalonej filtracji F t wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnej funkcji f C 2 (R d ) proces (X t 1 t 2 f(x s)ds, F t ) jest martyngałem lokalnym. 2. Niech M = (M (1),..., M (d) ) będzie taki, że M =, M (i) M c loc oraz dla 1 i, j d, M (i), M (j) t = z s (i,j) ds. i) Wykaż, że macierz Z s = (z s (i,j) ) i,j d jest symetryczna i nieujemnie określona. Wywnisokuj stąd, że istnieje macierz procesów Q s = (q s (i,j) ) i,j d taka, że Q 1 s = Q T s oraz Λ s = Q 1 s Z s Q s jest macierzą diagonalną. Niech Q s = diag(λ (1) s ii) Zdefiniujmy N (i) t,..., λ (d) s ). := d k=1 q(i,k) s N (i), N (j) t = δ i,j dm s (k). Wykaż, że λ s (i) ds. iii) Niech B = (B (1),..., B (d) ) będzie d-wymiarowym procesem Wienera niezależnym od N. Określmy W (i) t := I (i) {λ s >} 1 λ (i) s dn (i) s + Wykaż, że W jest procesem Wienera oraz N (i) t iv) Określmy X (i,j) t := q s (i,j) λ (j) s, udowodnij, że M (i) t = d j= X (i,j) s dw s. I (i) {λ s =} db(i) s. = t λ (i) s dw (i) s. 12