na p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s 1. (1.1) s 0 + t 1 t 0

Podobne dokumenty
Pierwiastki arytmetyczne n a

Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE.

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa

ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?

MATEMATYKA DZIELENIE LICZB Z RESZTA CECHY PODZIELNOṠCI

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Suma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE

Trigonometria. Funkcje trygonometryczne

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

FUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.

MATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE

0.1 Reprezentacja liczb w komputerze

Liczby naturalne i ca lkowite

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

FUNKCJE LICZBOWE. x 1

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS WARSZAWA UL. BAŻANCIA 16 SYSTEMY LICZBOWE POZYCYJNE DECYMALNY, BINARNY, OKTALNY. Warszawa pażdziernik 2017

Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza. Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

Wyk³ad INTERPOLACJA.

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

III. INTERPOLACJA Ogólne zadanie interpolacji. Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj.

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Przyk³adowe zdania. Wydawnictwo Szkolne OMEGA. Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5. Zadanie 6. Zadanie 7. Zadanie 8. Zadanie 9.

M10. Własności funkcji liniowej

POWTÓRKA ROZDZIAŁU III FUNKCJA LINIOWA

Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas

Funkcje IV. Wymagania egzaminacyjne:

0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze

Geometria odwzorowań inżynierskich. 1. Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F

System liczbowy binarny.

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe

Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

Funkcje wielu zmiennych

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut

=, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje z powtorzeniami.

Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

. c) do jej wykresu należą punkty A ( 3,2 3 3) oraz

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

Matematyka stosowana i metody numeryczne

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3

Interpolacja funkcji

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1

Interpolacja i aproksymacja, pojęcie modelu regresji

3) Naszkicuj wykres funkcji y=-xdo kwadratu+2x+1 i napisz równanie osi symetrii jej wykresu.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Grupy i cia la, liczby zespolone

Geometria przestrzenna. Stereometria

c a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

VII. WYKRESY Wprowadzenie

Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty..

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Funkcje wielu zmiennych

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

LOGIKA ALGORYTMICZNA

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wielu zmiennych

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej

Transkrypt:

Chapter 1 Interpolacja 1.1 Interpolacja liniowa Zacznijmy opis pojȩcia inter-polacji od prostego przyk ladu. Przyk lad 1.1 Oblicz ile kilometrȯw przejecha l samochȯd po 3 godzinach jazdy, jeżeli po jednej godzinie jazdy przejecha l 100km, a po 6 godzinach jazdy przejecha l 500km. Zatem mamy dane czas t t 0 = 1h t = 3h t 1 = 6h droga s s 0 = 100km s =? s 2 = 500km Mȯwimy inter-polacja, gdyż punkt t [t 0, t 1 ] w ktȯrym szukamy wartoṡci interpolowanej s leży pomiȩdzy danymi wȩz lami t 0 = 1 i t 1 = 6. Przez dwa punkty (t 0, s 0 ) = (1, 100), (t 1, s 1 ) = (6, 500) na p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s(t) = t t 1 s 0 t t 0 s 1. (1.1) Sprawdzamy, że prosta o rȯwnaniu (1.1) przechodzi przez dane punkty (t 0, s 0 ) i (t 1, s 1 ). Mianowicie dla t = t 0, obliczamy s(t 0 ) = s 0 t 0 t 0 t 2 t 0 s 1 = s 0, dla t = t 1, obliczamy s(t 1 ) = t 1 t 1 s 0 s 1 = s 1. Podstawiaj ac do rȯwnania (1.1) t 0 = 1, s 0 = 100 i t 1 = 6, s 1 = 500 1

2 otrzymamy rȯwnanie prostej interpolacji s(t) = t 6 1 6 100 t 1 6 1 500, s(t) = (t 6)20 (t 1)100, s(t) = 80t 20. }{{} prosta interpolacji (1.2) Teraz możemy obliczyċ ile kilometrȯw samochȯd przejecha l po 3 godzinach jazdy. s(3) = 80 3 20 = 240 20 = 220 Okaza lo siȩ, że kierowca przekroczy l prȩdkoṡċ, ktȯr a kamera zarejestrowa la i po 3 godzinach jazdy samochȯd przejecha l 230km o 10km wiȩcej niż interpolowana wartoṡċ 220km. Na rysunku zaznaczone s a interpolowana odleg loṡċ 220km i rzeczywista odleg loṡċ 230km po 3 godzinach jazdy (t = 3h). y 500 400 s 1 = 500m 300 200 Wysokoṡċ rzeczwista s = 230m Wysokoṡċ interpolowana s = 220m s = 220m 100 0 t 0 = 1 2 t = 3 4 5 t 1 = 6 x 1.2 Ekstra-polacja liniowa Ekstra-polacjȩ liniow a wyjaṡniamy w nastȩpnym przyk ladzie. Przyk lad 1.2 Oblicz ile kilometrȯw przejecha l samochȯd po 7 godzinach jazdy, jeżeli po jednej godzinie jazdy przejecha l 100km, a po 6 godzinach jazdy przejecha l 500km. Zatem mamy dane czas t t 0 = 1h t 1 = 6h t = 7h droga s s 0 = 100km s 1 = 500km s =? Mȯwimy ekstra-polacja, gdyż punkt t / [t 0, t 1 ] w ktȯrym szukamy wartoṡci ekstra-polowanej s leży poza danymi wȩz lami t 0 = 1 i t 1 = 6. Przez dwa dane punkty (t 0, s 0 ) = (1, 100) i (t 1, s 1 ) = (6, 500)

3 na p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a s(t) = t t 1 s 1 t t 0 s 2 (1.3) Sprawdzamy, że prosta o rȯwnaniu (1.3) przechodzi przez dane punkty (t 0, s 0 ) i (t 1, s 1 ) Podstawiaj ac do rȯwnania (1.3) s(t 0 ) = s 0 t 0 t 0 s 2 = s 0, s(t 1 ) = t 1 t 2 s 0 s 2 = s 1. t 0 = 1, s 0 = 100 i t 1 = 6, s 1 = 500 otrzymamy rȯwnanie prostej interpolacji s(t) = t 6 1 6 100 t 1 6 1 500, s(t) = (t 6)20 (t 1)100, (1.4) s(t) = 80t 20. }{{} Zatem po 7 godzinach jazdy samochȯd przejecha l s(3) = 80 7 20 = 560 20 = 540 Na rysunku zaznaczona jest ekstra-polowana odleg loṡċ 540km po 7 godzinach jazdy (t 1 = 7h). y 600 500 400 300 200 Wysokoṡċ ekstrapolowana s = 540m Wysokoṡċ dana s 1 = 500m s 2 = 500m s = 540m 100 0 t 0 = 1 2 3 4 5 t 1 = 6 t = 7 x 1.3 Interpolacja kwadratowa Interpolacja kwadratowa polega na znalezieniu trȯjmianu kwadratowwego, ktȯrego wykres przechodzi przez 3 dane wȩz ly interpolacyjne. Rozpatrzmy nastȩpuj acy przyk lad.

4 Przyk lad 1.3 Oblicz na ile metrȯw w gȯrȩ wzniesie siȩ samolot po 4 minutach lotu, jeżeli po 1 minucie lotu samolot osi agn a l wysokṡċ 1000m, a po 5 minutach samolot osi agn a l 10000m. Zatem mamy dane czas t t 0 = 0 min. t 1 = 1 min. t = 4 min. t 2 = 5 min. wysokoṡċ h h 0 = 0 m h 1 = 1000 h =? h 2 = 10000 m Mȯwimy inter-polacja, gdyż punkt t [t 0, t 2 ] w ktȯrym szukamy wartoṡci interpolowanej h leży pomiȩdzy danymi wȩz lami t 0 = 0 i t 2 = 5. Przez 3 dane punkty (t 0, h 0 ) = (0, 0), (t 1, h 2 ) = (1, 1000), (t 2, h 2 ) = (5, 10000) na p laszczyźnie kartezjaṅskiej przechodzi jeden trȯjmian kwadratowy h(t) = (t t 1)(t t 2 ) ( )(t 0 t 2 ) h 0 (t t 0)(t t 2 ) ( )(t 1 t 2 h 1 (t t 0)(t t 1 ) (t 2 t 0 )(t 2 t 1 ) h 2 (1.5) Sprawdzamy, że trȯjmian o rȯwnaniu (1.5) rzeczywiṡcie przechodzi przez dane punkty (t 0, s 0 ), (t 1, h 1 ) i (t 2, h 2 ) h(t 0 ) = ( )(t t 2 ) ( )(t 0 t 2 ) h 0 (t 0 t 0 )(t 0 t 2 ) ( )(t 1 t 2 h 1 (t 0 t 0 )( ) (t 2 t 0 )(t 2 t 1 ) h 2 = h 0, h(t 1 ) = (t 1 t 1 )(t 1 t 2 ) ( )(t 0 t 2 ) h 0 ( )(t 1 t 2 ) ( )(t 1 t 2 ) h 1 ( )(t 1 t 1 ) (t 2 t 0 )(t 2 t 1 ) h 2 = h 1, h(t 2 ) = (t 2 t 1 )(t 2 t 2 ) ( )(t 0 t 2 ) h 0 (t 2 t 0 )(t 2 t 2 ) ( )(t 1 t 2 h 1 (t 2 t 0 )(t 2 t 1 ) (t 2 t 0 )(t 2 t 1 ) h 2 = h 2. Po podstawieniu do rȯwnania (1.5) danych (t 0, h 0 ) = (0, 0), (t 1, h 1 ) = (1, 1000) (t 2, h 2 ) = (5, 10000) otrzymamy rȯwnanie trȯjmianu interpolacji (t 1)(t 5) (t 0)(t 5) (t 0)(t 1) h(t) = 0 1000 (0 1)(0 5) (1 0)(1 5) (5 0)(5 1) 10000 = t2 6t 5 0 (t2 5t 1000 t2 t 5 4 5 4 10000 h(t) = 250t 2 1250t 500 t 2 500t) = 250t 2 750t. }{{} trojmian interpolacji (1.6)

5 Teraz możemy obliczyċ na ile metrȯw samolot wniȯs l siȩ w gȯrȩ po 4 minutach lotu h(4) = 250 4 2 m 750m 4 = 4000m 3000m = 7000m Na rysunku zaznaczona jest interpolowana wysokoṡċ samolotu 7000m po 4 minutach (t = 4 min.) lotu. y 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 Wysokoṡċ interpolowana h = 7000m 4 5 x t 0 = 0 t 1 = 1 2 3 h = 7000m t = 4 t 2 = 5 h 2 = 10000m 1.4 Interpolacja kubiczna Podobnie jak interpolacja liniowa i kwadratowa, interpolacja kubiczna polega na wyznaczeniu wielomianu 3-go stopnia (n = 3), ktȯry w danych 4-ech wȩz lach interpolacyjnych t 0, t 1, t 2, t 3 przyjmuje zadane wartoṡci Rozpatrzmy nastȩpuj acy przyk lad. h 0, h 1, h 2, h 3. Przyk lad 1.4 Oblicz na ile metrȯw w gȯrȩ wzniesie siȩ samolot po 4 minutach lotu, jeżeli po 1-ej minucie lotu samolot osi agn a l wysokṡċ 1000m, po 3-ej minucie lotu samolot osi agn a l 3000m, i po 5-ciu minutach lotu samolot osi agn a l wysokoṡċ 10000m. Zatem mamy dane do wyznaczenia jedynego wielomianu kubicznego w niżej podanej tabeli czas t t 0 = 0 t 1 = 1 t 2 = 3 t = 4 t 3 = 5 droga s h 0 = 0m h 1 = 1000km h 2 = 3000m h =? h 3 = 10000m Mȯwimy inter-polacja, gdyż punkt t [t 0, t 3 ] w ktȯrym szukamy wartoṡci interpolowanej h leży pomiȩdzy danymi wȩz lami t 0 = 0 i t 3 = 5. Przez 4 dane punkty (t 0, h 0 ) = (0, 0), (t 1, h 2 ) = (1, 1000), (t 2, h 2 ) = (5, 3000), (t 3, h 3 ) = (5, 10000)

6 na p laszczyźnie kartezjaṅskiej przechodzi jedyny wielomian kubiczny h(t) = (t t 1 )(t t 2 )(t t 3 ) ( )(t 0 t 2 )(t 0 t 3 ) h 0 (t t 0 )(t t 2 )(t t 3 ) ( )(t 1 t 2 )(t 1 t 3 ) h 1 (t t 0 )(t t 1 )(t t 3 ) (t 2 t 0 )(t 2 t 1 )(t 2 t 3 ) h 2 (t t 0 )(t t 1 )(t t 2 ) (t 3 t 0 )(t 3 t 1 )(t 3 t 2 ) h 3 (1.7) Latwo sprawdziċ, że wielomian kubiczny o rȯwnaniu (1.7) przechodzi przez dane punkty (t 0, s 0 ), (t 1, h 1 ), (t 2, h 2 ), (t 3, h 3 ), to znaczy że h(t 0 ) = h 0, h(t 1 ) = h 1, h(t 2 ) = h 2,, h(t 3 ) = h 3. Po podstawieniu danych (t 0, h 0 ) = (0, 0), (t 1, h 1 ) = (1, 1000) (t 2, h 2 ) = (3, 3000) (t 3, h 3 ) = (5, 10000) do rȯwnania (1.7), otrzymamy rȯwnanie wielomianu kubicznego interpolacji h(t) = (t 1)(t 3)(t 5) 0 (t 0)(t 3)(t 5) 1000 (0 1)(0 3)(0 5) (1 0)(1 3)(1 5) (t 0)(t 1)(t 5) (t 0)(t 1)(t 3) 3000 10000 (3 0)(3 1)(3 5) (5 0)(5 1)(5 3) = t(t 3)(t 5) t(t 1)(t 5) 1000 3000 t(t 1)(t 3) 10000 1 ( 2)( 4) 3 2( 2) 5 4 2 = 125t(t 3)(t 5) 250t(t 1)(t 5) 250t(t 1)(t 3) (1.8) = 125t(t 2 4t 11) }{{} wielomian interpolacji Teraz możemy obliczyċ, że po t = 4 minutach lotu samolot wzniȯs l siȩ na interpolowan a wysokoṡċ h = 5500m. Mianowicie podstawiaj ac do rȯwnania (1.8) t = 4, otrzymamy h(4) = 125 (4 2 4 4 11) = 5500

7 Na rysunku zaznaczona jest interpolowana wysokoṡċ h minutach lotu samolotu. y = 5500m po 4-ech 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 t 0 = 0 t 1 = 1 Wysokoṡċ interpolowana = 5500m 2 t 2 = 3 h = 5500m 4 5 t = 4 t 3 = 5 h 3 = 10000m x 1.5 Iterpolacja wielomianem stopnia n 4 Ogȯlnie zagadnienie interpolacji polega na wyznaczeniu wielomianu, ktȯry w zadanych n 1 wȩz lach interpolacyjnych z przedzia lu [a, b] przyjmuje zadane wartoṡci a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b y 0, y 1, y 2,,y n. Dok ladniej zagadnienie interpolacji wielomianem formu lujemy w nastȩpuj acy sposȯb: Wyznacz wielomian stopnia co najwyżej n taki, że p n (x) = a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 p n (x i ) = y i dla i = 0, 1, 2,..., n. W każdym podrȩczniku Analyzy Numerycznej można znaleźċ dowȯd istenia jedynego wielomianu p n (x), ktȯry spe lnia wyżej sformu lowane warunki interpolacji. Takim wielomianem interpolacyjnym jest wielomian w postaci Lgrange a p n (x) = y n l n (x) y n 1 l n 1 (x) y n 2 l n 2 (x) y 1 l 1 (x) y 0 l 0 (x), gdzie wielomiany Lagrange a l i (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x x i 1 )(x x i1 ) (x x n ) x i x 0 )(x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i1 ) (x x n ) dla i = 0, 1, 2,..., n.

8 Latwo sprawdzamy, że wielomiany Lagrange a l i (x) spe lniaj a warunek l i (x k ) = { 1, gdy i = k, 0, gdy i k. Dlatego wielomian Lagrange a p n (x) spe lnia warunki interpolacji p n (x i ) = y i, i = 0, 1, 2,..., n. Przyk lad 1.5 W paragrafie interpolacja liniowa podaliṡmy wielomian Lagrange a s(t) = t t 1 s 0 t t 0 s 1. ktȯry dla zmiennej x = t, wȩz lȯw x 0 = t 0, x 1 = t 1 i wartoṡci y 0 = s 0, y 1 = s 1 przyjmuje postaċ wielomianu Lagrange a stopnia n = 1 p 1 (x) = x x 1 x 0 x 1 y 0 x x 0 x 1 x 0 y 1. (1.9) Latwo sprawdzamy, że wielomian p 1 (x) w wȩz lach x 0, x 1 przyjmuje wartoṡci y 0, y 1. Mianowicie, przez podstawienie do rȯwnoṡci (1.9) x = x 0 lub x = x 1, obliczamy p 1 (x 0 ) = y 0, p 1 (x 1 ) = y 1. Przyk lad 1.6 W paragrafie interpolacja kwadratowaa podaliṡmy wielomian Lagrange a h(t) = (t t 1)(t t 2 ) ( )(t 0 t 2 ) h 0 (t t 0)(t t 2 ) ( )(t 1 t 2 h 1 (t t 0)(t t 1 ) (t 2 t 0 )(t 2 t 1 ) h 2 ktȯry dla zmiennej x = t, wȩz lȯw x 0 = t 0, x 1 = t 1, x 2 = t 2 i wartoṡci y 0 = h 0, y 1 = h 1, y 2 = h 2 przyjmuje postaċ wielomianu Lagrange a stopnia n = 2 p 2 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) y 0 (x x 0)(x x 2 ) y 1 (x x 0)(x x 1 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) y 2 (1.10) Latwo sprawdzamy, że wielomian p 2 (x) w wȩz lach x 0, x 1, x 2 przyjmuje wartoṡci y 0, y 1, y 2. Mianowicie, przez podstawienie do rȯwnoṡci (1.10) x = x 0, x = x 1 lub x = x 2, obliczamy p 2 (x 0 ) = y 0, p 2 (x 1 ) = y 1, p 2 (x 2 ) = y 2.

9 Przyk lad 1.7 W paragrafie interpolacja kubiczna podaliṡmy wielomian Lagrange a (t t 1 )(t t 2 )(t t 3 ) h(t) = ( )(t 0 t 2 )(t 0 t 3 ) h 0 (t t 0 )(t t 2 )(t t 3 ) ( )(t 1 t 2 )(t 1 t 3 ) h 1 (1.11) (t t 0 )(t t 1 )(t t 3 ) (t 2 t 0 )(t 2 t 1 )(t 2 t 3 ) h 2 (t t 0 )(t t 1 )(t t 2 ) (t 3 t 0 )(t 3 t 1 )(t 3 t 2 ) h 3 ktȯry dla zmiennej x = t, wȩz lȯw x 0 = t 0, x 1 = t 1, x 2 = t 2, x 3 = t 3 i wartoṡci y 0 = h 0, y 1 = h 1, y 2 = h 2, y 3 = t 3 przyjmuje postaċ wielomianu Lagrange a stopnia n = 3 p 3 (x) = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 ) y 0 (x x 0 )(x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) y 1 (x x 0 )(x x 1 )(x x 3 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) y 2 (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) y 3 Latwo sprawdzamy, że wielomian p 3 (x) w wȩz lach x 0, x 1, x 2, x 3 przyjmuje wartoṡci y 0, y 1, y 2, y 3. Mianowicie, przez podstawienie do rȯwnoṡci (1.11) x = x 0, x = x 1 lub x = x 2, x = x 3, obliczamy Przyk lad 1.8. Rozpatrz funkcjȩ p 3 (x 0 ) = y 0, p 3 (x 1 ) = y 1, p 3 (x 2 ) = y 2, p 3 (x 3 ) = y 3. f(x) = x, dla x 0. (a) Znajdź prost a interpolacji y(x), ktȯra w punktach przyjmuje wartoṡci (b) y(0) = f(0), x = 0, x = 9 Oblicz wartoṡċ interpolowan a y(4). y(9) = f(9). (c) Podaj wykres prostej interpolacji y(x) i zaznacz na wykresie wartoṡċ interpolowan a y(4). Oblicz b l ad interpolacji ɛ = f(4) y(4)

10 Rozwi azanie. To (a). Rȯwnanie prostej przechodz acej przez punkty (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) dla x 0 = 0, y 0 = f(0)) = 0 = 0, x 1 = 9, y 1 = f(9) = 9 = 3 w postaci Lagrange a y(x) = x x 1 x 0 x 1 y 0 x x 0 x 1 x 0 y 1, y(x) = x 9 0 9 0 x 0 9 0 3, y(x) = x 9 9 0 x 9 3, y(x) = 1 3 x. }{{} prosta interpolacji To (b). Wartoṡċ interpolowana B l ad interpolacji y(4) 1 3 4 = 4 3. y ɛ = f(4) p 1 (4) = 4 1 3 4 = 2 4 3 = 2 3 Funkcja y(x) = x 4 3 1 3 Wartoṡċ y(9) = 9 = 3 y(9) = 9 = 3 4 = 2 2 b l ad interpolacji ɛ. y(4) = 4 Wartoṡċ interpolowana 3 t 0 = 0 1 2 3 t = 4 5 6 7 8 t 1 = 9 x 1.6 Zadania Zadanie 1.1. (a) Znajdź rȯwnanie prostej interpolacji y(x) dla danych w tabeli x 0 2 y 1 3 (b) Oblicz wartoṡċ interpolowan a y(1).

11 (c) Oblicz wartoṡċ ekstra-polowan a y(3). (d) Podaj wykres prostej interpolacji y(x). (e) Zaznacz wartoṡċ interpolowan a y(1) i wartoṡċ ekstra-polowan a y(3) na wykresie prostej interpolacji y(x). Zadanie 1.2. (a) Znajdź rȯwnanie trȯjmianu interpolacji y(x) dla danych w tabeli (b) x 0 2 3 y 1 5 10 Oblicz wartoṡċ interpolowan a y(1). (c) Zaznacz wartoṡċ interpolowan a y(1) na wykresie trȯjmianu interpolacji y(x). Zadanie 1.3. (a) Znajdź rȯwnanie wielomianu kubicznego interpolacji y(x) dla danych w tabeli (b) x 1 1 2 y 0 2 9 Oblicz wartoṡċ interpolowan a y(0). (c) Podaj wykres wielomianu kubicznego interpolacji y(x). (e) Zaznacz wartoṡċ interpolowan a y(0) na wykresie wielomianu kubicznego interpolacji y(x). Zadanie 1.4. Rozpatrz funkcjȩ f(x) = x 1, dla x 1. (a) Znajdź prost a interpolacji y(x), ktȯra w punktach x = 1, x = 10 przyjmuje wartoṡci y(0) = f(1), y(9) = f(10). (b) Oblicz wartoṡċ interpolowan a y(5). (c) Podaj wykres prostej interpolacji y(x) i zaznacz na wykresie wartoṡċ interpolowan a y(5). Oblicz b l ad interpolacji ɛ = f(5) y(5) Prof. dr Tadeusz STYŠ Warszawa 8 październik, 2018