1. LISTA 6 1 1 Lista 6 1.1 Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci 3000. Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%. 1.2 Obliczy JSN dla nast puj cej renty dla (30)-latka: je±li»yje on pod koniec pierwszego roku wypªata wynosi 1000, je±li»yje pod koniec drugiego roku wypªata wynosi 3000, je±li»yje on pod koniec trzeciego roku wypªata wynosi 5000. Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%. Porówna z wynikiem zadania 1.1. 1.3 Poda wzór na aktuarialn obecn warto± dla (30)-latka dla nast puj cego ubezpieczenia rentowego: (i) 1000 na koniec ka»dego miesi ca w wieku 30 do 40 lat, (ii) 2000 na koniec ka»dego miesi ca w wieku 40 do 50 lat, (iii) 5000 na koniec ka»dego miesi ca w wieku 50 do 60 lat, Poda dokªadny wynik dla TT -PL97m oraz i = 4%. 1.4 Zakªadaj c HU, obliczy Ā45, wiedz c,»e ä 45 = 19.864 oraz A 45 = 0.42143. 1.5 Pokaza,»e ā x:n obliczone dla staªego nat»enie ±miertelno±ci µ i sile stopy procentowej δ jest równe ā n obliczone przy sile stopy procentowej δ + µ. 1.6 Zaªó»my,»e Y jest obecn warto±ci renty ci gªej na caªe»ycie wypªacaj c 1 na rok dla (x)-latka. Dane jest ä x = 10 przy i = 1/24 = e δ 1, ä x = 6 przy i = e 2δ 1. Oblicz wariancj Y. 1.7 Udowodni nast puj ce zwi zki dotycz ce jednorazowej skªadki netto terminowej renty z doªu a x:n = ä x:n 1 + A 1 x:n, ä x:n = 1 + a x:n 1, a x:n = vä x:n A1 x:n,
2 1.8 Niech Y b dzie obecn warto±ci renty do»ywotniej dla 70-latka, gwarantuj cej mu wypªat 100 na pocz tku ka»dego roku. Obliczy Var(Y ) je±li wiadomo,»e A 69 = 0.55211, 2 A 69 = 0.34022, p 69 = 0.97, v = 0.95. 1.9 x-latek kupuje ubezpieczenia na»ycie pªatne na koniec roku ±mierci na 2-lata. Przy zawarciu umowy pªaci Π, a jesli prze»yje pierwszy ro pªaci Π/2. Zakªadaj c,»e skªadka jest netto, oblicz Π, wiedz c,»e: przyszªy czas»ycia ma rozkªad de Moivre'a z ω = 100, i = 4 oraz x = 40. 1.10 Udowodni P (Āx) = δāx. 1 Āx 1.11 Oblicz P x, je±li T 0 ma rozkªad wykªadniczy z g sto±ci (1/100)e x/100, x 0 oraz x = 40 i δ = 3%.. 1.12 W przypadku jednostkowej polisy na caªe»ycie opªacanej skªadk o staªej intensyno±ci (powiedzmy Π), caªkowita strata ubezpieczyciela gdy ubezpieczony umrze w chwili t wynosi l(t) = v t Πā t. Wykaza,»e l(0) = 1, jest funkcja malej c i lim t l(t) = Π/δ. Wywnioskowa st d,»e istnieje dokªadnie jeden moment t 0, taki,»e caªkowita strata ubezpieczyciela wynosi 0, przed tym momentem jest dodatnia a po nim ujemna.
2. LISTA 7 3 2 Lista 7 2.1 Deniujemy nast puj ce modele dla ryzyka X. [1] Rozkªad»ycia osoby nowourodzonej ma dystrybuant : 0, x < 0, F 1 (x) = 0.01x, 0 x < 100, 1, x 100. Wsk. Rozwa»y najpierw zmienn losow Y o rozkªadzie jednostajnym U(0,1). Zastanowi si jak ztego skrzysta przy liczneiu charakterystyk X. [2] Kwota odszkodowania pªacona w dolarach za szkod automobilow ma dystrybuant : { F 2 (x) = 0, x < 0, 1 ( x+2000) 3, x 0. [3] Liczba szkód na polis w jednym roku ma dystrybuant : F 3 (x) = 0, x < 0, 0.5, 0 x < 1, 0.75, 1 x < 2, 0.87, 2 x < 3, 0.95, 3 x < 4, 1, x 4. [4] Wielko± odszkodowania za bª dy lekarskie ma rozkªad { F 4 (x) = 0, x < 0, 1 0.3e 0.00001x, x 0. [5] Alternatywny model przyszªego czasu»ycia z [1]. Funkcja prze-»ycia jest dana wzorem S 5 (x) = { 1 0.01x, 0 x < 50, 1.5 0.02x, 50 x < 75
4 Podada funkcje g sto±ci (lub funkcj prawdopoobie«stwa) dla rozkªadów z modeli [1] do [3] i [5]. Co mo»na powiedzie o F 4. Obliczy ±redni, odchylenie standardowe, sko±no± i kurtoz dla rozkªadu z modelu [1][5]. 2.2 Rozkªad szkody w ubezpieczeniu samochodowym jest dany (wielko± szkody i w nawiasie prawdopodobie«stwo): 100 (0.4), 500 (0.2), 1000 (0.2), 2500 (0.1), 10000 (0.1). Obliczy funkcj prawdopodobie«stwa oraz warto± oczekiwan nadwy»ki straty (excess of loss) i wielko±ci Y L stop loss (lub cenzorowana z lewej po przesuni ciu) je±li d = 750. Wsk. e(d) = E (X d X > d) oraz E Y L = E (X d) +. 2.3 Oblicz e(x) i E Y L dla modelu [1]. 2.4 Próba prosta rozmiaru 10 ma dwie szkody w wysoko±ci 400, siedem szkód 800, jedna 1600. Oszacowa empiryczn sko±no± pojedynczej szkody. 2.5 Wielko±ci szkód s 100, 200, 300, 400, 500 odpowiednio z prawdopodobie«stwami: 0.05, 0.20, 0.50, 0.20 i 0.05. Obliczy sko±no± i kurtoz. 2.6 Dla modelu [2] obliczy Q 0.5 and Q 0.8. 2.7 Dla dystrybuanty F (x) = 1 x 2, x 1 obliczy wielko± modaln, ±redni i median. 2.8 Wielko± szkody po»arowej zale»y od czasu T = t trwania po»aru, i wyra»a si wzorem a(e bt 1). Pokaza,»e jesli T ma rozkªad wykªadniczy, to wielko± szkody ma rozkªad Pareto. Poda wspóªczynniki rozkªadu. 2.9 Z próby 1000 polis zdrowotnych oszacowano,»e 1300 jest ±redni rocznych korzy±ci wypªaconych z polisy, z odchyleniem standardowym 400. Na nast pny rok spodziewane jest,»e zostanie podpisanych 2500 kontraktów. Przy u»yciu centralnego twierdzenia granicznego oszacowa prawdopodobie«stwo,»e wypªacone korzy±ci b d wi ksze ni» 101% oszacowanej ±redniej. Zadania teoretyczne 2.10 Je±li X N (µ, σ 2 ), to VaR α (X) = µ + σφ 1 (α) oraz TVaR α (X) = µ + σ φ(φ 1 (α)) 1 α.
2. LISTA 7 5 2.11 Policzy VaR α (X) oraz TVaR α (X) dla rozkªadu wykªadniczego oraz Pareto. 2.12 Pokaza,»e VaR α (X) ma nast puj ce wªasno±ci: monotoniczno± X Y implikuje VaR α (X) VaR α (Y ). dodatnia jednorodno± VaR α (cx)= c VaR α (X). niezmienniczo± na przesuni cia VaR α (X + c)= VaR α (X) + c. 2.13 Pokaza,»e je±li ryzyko X ma g sto± f, to TVaR α (X) = 1 α Q s ds 1 α. Czy jest prawd,»e wzór powy»szy jest prawdziwy dla wszystkich rozkªadów? 2.14 Niech X ma zero obci ty rozkªad geometryczny (TGeo(β) z Pr(X = k) = 1 β, gdzie (!) k = 1, 2,.... Poda funkcj VaR 1+β 1+β α(x) i TVaR α (X). 2.15 Pokaza,»e rozkªady: Poissona, dwumianowy i ujemny dwumianowy nale» do klasy (a, b, 0). Dla ka»dego z nich pokaza p 0, a, b. 2.16 Napisa funkcje charakterystyczn rozkªadu normalnego N (µ, σ 2 ). 2.17 Pokaza,»e oraz µ 3 = µ 3 3µ 2 2µ + 2µ 3 = µ 3 3σ 2 µ µ 3, µ 4 = µ 4 4µµ 3 +6µ 2µ 2 + 3µ 3 = µ 4 4µµ 3 + 6µ 2 σ 2 + µ 4.
6 3 Lista 8 3.1 W 100 szkodach w 1995 r. byªo: 42 których wielko±ci byªy pomi dzy 0-300, 3 pomi dzy 300-350, 5 pomi dzy 350400, 5 pomi dzy 400450, 0 pomi dzy 450500, 5 pomi dzy 500600 i pozostaªych 40-stu ponad 600. W nast pnych 3 latach przewiduje sie inacje na poziomie 10%. W oparciu o dane z roku 1995, okre±li w przybli»eniu prawdopodobie«stwo,»e w 1998 r. szkoda przekroczy 500. 3.2 Ryzyko X ma rozkªad Pareto (α, θ). Jaki rozkªad ma zmienna losowa Y = log(1 + X/θ). 3.3 Niech N ma rozkªad Poissona ze ±redni Λ. Jesli Λ ma rozkªad jednostajny w odcinku (0, 5), to ile wynosi przwdopdobie«stwo,»e N 2. 3.4 W mieszance 2-ch rozkªadów: z prawdopodobie«stwem p mamy rozkªad dwumianowych z m = 2, q = 0.5 i z prawdopodobie«stwem 1 p rozkªad dwumianowych z m = 4, q = 0.5. Poda jako funkcj p prawdopdobie«stwo,»e zmienna losowa przyjmuje warto± 2. 3.5 Ryzyko 1 ma rozkªad Pareto z parametrami α > 2 i θ. Ryzyko 2 ma rozkªad Pareto z parametrami 0.8α i θ. Na ka»de ryzyko jest wystawiona polisa z wspóªpªaceniem (deductible) wielko±ci k. Okresli oczekiwany koszt na strat dla ryzyka 1. Zbada granic gdy k ilorazu ±redniego kosztu na strat dla ryzyka 2 do ilorazu ±redniego kosztu na strat dla ryzyka 1. 3.6 Prawdopodobienstwo szkody w okresie ubezpieczenia wynosi 0.1. Je±li jest szkoda to benet ma rozkªad jednostajny od 500 do 1000. A wi c ryzyko jest postaci X = IB, gdzie I orac B s niezale»ne, I przyjmuje 1 z prawdopdobie«stwem 0.1 oraz 0 z prawdopdbie«stwm 0.9, oraz B ma odpowiedni rozkªad jednostajny. Oblicz ±redni, odchylenie standardowe ryzyka X. 3.7 75% szkód ma rozkªad normalny z µ = 3000 i σ 2 = 1000000 oraz 25% szkód ma rozkªad normalny z µ = 4000 i σ 2 = 1000000. Jakie jest prawdopodobie«stwo, ze losowo wybrana szkoda jest wieksza ni» 5000. 3.8 Dla modelu [4] oblicz E Y L i E Y P oraz oczekiwan wielko± sraty ubezpieczyciela przy franczyzie redukcyjnej. Przyj c d = 5000.
3. LISTA 8 7 3.9 Dla ryzyka X zaprojektowano ubezpiecznie maj ce wkªad wªasny wraz z wspóªpªacenie i dopuszczalnym limitem w postaci 0 X < 10, Y = β(x d) d X < 60, β(x d) 60 X. Obliczy oczekiwan strat na szkod oraz oczekiwan strat na pªatno±, je±li X ma rozkªad wykªadniczy Exp(50), i Pareto (α, θ), gdzie α = 2 i θ = 50. Porówna otrzymane wyniki z odpowiednimi ±rednimi. 3.10 Dla ryzyka z modelu [2] z listy 7 obliczy oczekiwan wypªat na szkod i na pªatno±, jesli jest wkªad wªasny w wysoko±ci d = 500 oraz wspóªplacenie w wysoko±ci 20% przez ubezpiecznowgo (α = 0.8). 3.11 Dla ryzyka z modelu [4] z listy 7 obliczy oczekiwan wypªat na szkod je±li jest wspóªpªacenie w wysoko±ci 20% przez ubezpieczonego i dopuszczalny limit w wysoko±ci 20000. Zadania teoretyczne. 3.12 Niech X 1,..., X n b d niezale»nymi szkodami o jednakowym rozkªadzie, maj ce 3-ci moment. Niech A = n j=1 X j. Obliczy ±redni, odchylenie standardowe, wspóªczynnik zmienno±ci, sko±no± oraz kurtoz A. 3.13 Rozpatrzy logarytm funkcji generuj cej momenty M X (t) = E e tx. Kolejne pochodne w zerze wyznaczaj tzw. kumulanty zmiennej losowej X; pierwsza kumulanta jest ±redni, druga jest wariancj a trzecia jest 3-cim momentem centralnym. Korzystaj c z tego wyznaczy ±redni, odchylenie standardowe, wspóªczynnik zmienno±ci, sko±no± rozkªadu gamma. 3.14 Rozkªad odwrotny gaussowski, inverse gaussian µ, θ ma g sto± ( ) 1/2 ) θ f(x) = exp ( θz2, x > 0 2πx 3 2x gdzie z = (x µ)/µ, ma funkcj tworz c moment [ ( )] θ M(t) = exp 1 1 2µ2 µ θ z.
8 Przez podstawienie β = µ 2 /θ przepisa ] µ (x µ)2 f(x) = exp [. (2πβx 3 ) 1/3 2βx Pokaza,»e przy tej parametryzacji { M(t) = exp µ } β [(1 2βt)1/2 1]. Obliczy funkcj tworz c P (z) zmieszanego rozkªadu Poissona z odwrotnym gaussowskim: p k = 0 λ k k! e λ f(λ) dλ. 3.15 W oznaczeniach z poprzedniego zadania pokaza,»e P (z) mo»na zapisa jako P (z) = exp {λ[p 2 (z) 1]}, gdzie λ = µ β [(1 + 2β)1/2 1] i P 2 (z) = [1 2β(z 1)]1/2 (1 + 2β) 1/2 1 (1 + 2β) 1/2.
4. LISTA 9 9 4 Lista 9 4.1 Statystyka liczby szkód w ubezpieczeniu komunikacyjnym jest dana w tabeli poni»ej. Zbada empiryczne k ˆp k ˆp k 1. Oszacowa ±redni i odchylenie standardowe. Zastanowi si co lepiej pasuje: rozkªad Poissona, rozkªad ujemny dwumianowy czy dwumianowy. Policzy iloraz ±redniej do wariancji. Co to mo»e mówi o rozkªadzie. no szkód, k liczba obserwacji 0 7840 1 1317 2 239 3 42 4 14 5 4 6 4 7 1 8+ 0 total 9461 4.2 Prawdopodobie«stwo zaistnienia szkody wynosi 10% i w jej rezultacie ubezpieczyciel pªaci 5000. Badanie rynku wskazuje,»e potencjalni nabywcy s gotowi zapªaci 550 za ubezpieczenie od tej szkody. Ile polis musi by sprzedane, aby ubezpieczyciel miaª 99% szans na zysk od tego ubezpieczenia? 4.3 Plan ubezpieczenia dentystycznego pokrywa niektóre zabiegi dla pracowników i ich rodzin (do 2-ch zabiegów rocznie). Cz sto±ci p k liczby zabiegów w jednym roku zostaªa podana w tabeli 4.1 oraz koszty zabiegów (w setkach zªotych) w tabeli f k (tablica 4.2). Obliczy ±redni i wariancj caªkowitego kosztu na pracownika oraz funkcj prawdopodobie«stwa Pr(S = k) dla k = 0, 1, 2. 4.4 Dla portfela 29 polis z tablicy 4.3 policzy (wykorzystaj c np z R, lub Excell) ±redni, wariancj, sko±no± i kurtoz. W tablicy 4.4 podane s warto±ci r k obliczone przy u»yciu FFT.
10 no zabiegów, k p k 0 0.5 1 0.3 2 0.2 Tablica 4.1: Warto±ci p k koszt x 100, k f k 1 0.5 2 0.3 3 0.2 Tablica 4.2: Warto±ci f k. 4.5 Zaobserwowane ±rednie (i odchylenia standardowe) liczby szkód i wielko±ci indywidualnej szkody s 6.7 (2.3) i 179.25 (52.14). Obliczy warto±c oczekiwan i wariancj zagregowanych szkód S. U»y normalnej i logarytmiczno normalnej aproksymacji dla rozkªadu S do obliczene (oszacowania) prawdopodobie«stwa,»e zagregowana szkoda przekroczy 140% ±redniego kosztu. Amount at Risk θ i 1 2 3 4 5 6.02 3 1-1 2 -.03 - - 2 3-2.04-4 - - 1 -.05-3 1 1-1.06 - - 3 - - 1 Tablica 4.3: Portfel 29 polis
4. LISTA 9 11 k r k k r k k r k 0 1.00000 7 0.19154 14 0.01866 1 0.67176 8 0.15469 15 0.01246 2 0.65166 9 0.11344 16 0.00807 3 0.53802 10 0.08019 17 0.00529 4 0.43065 11 0.05778 18 0.00336 5 0.35297 12 0.04053 19 0.00211 6 0.28675 13 0.02674 20 0.00133 Tablica 4.4: Warto±ci r k = Pr(S k).