Z-TRANSFORMACJA Spi treści. Deiicja. Pryłady traormat 3. Właości -traormacji 4. Zwiąe -traormacji traormacją Fouriera 5. Z-traormacja ygału dwuwymiarowego
Deiicja -traormacji Z-traormata jet eregiem Laureta gdie: ą wartościami dyretego ygału, jet mieą epoloą, t. Ideę -traormacji ał Pierre Simo de Laplace 749 87. W rou 947 traormatę wyorytywał Witold Hurewic Łódź 94 marł w Meyu 956. W rou 95 Joh Ragaii i Loti Zadeh adali jej obecą awę.
3 Odwrota -traormacja. K K d d. K K d d K j d gdy gdy. K d j Możąc obutroie pre - i licąc całę orężą po dowolym amiętym oture K awierającym wewątr, otrymujemy Zmieiając olejość całowaia i umowaia otrymujemy Wyorytując ależość otrymujemy otatecie
Obar bieżości -traormaty Zbieżość eregu jet ależa od wartości ygału. Najcęściej dla pryładów podaje ię atępujące obary bieżości: Im Im Im r r r r Re Re Re <r >r r < <r 4
5 Pratya odtwaraia ygału, deiiującym pretałceie odwrote. Łatwiej jet oblicać oleje wpółcyii eregu Laureta K d j W pratyce trudo jet poługiwać ię worem cyli orytać deiicji.
Traormata impulu Diraca Korytając deiicji, moża wylicyć -traormatę dla dyretego impulu Diraca dla dla. Natychmiat otrymujemy a obar bieżości jet biorem licb epoloych, cyli C. 6
Traormata ou jedotowego Aby oblicyć -traormatę ou jedotowego dla u dla.5 orytamy deiicji, -5 5 otrymując ereg geometrycy u, a tórego pierwym wyraem jet. a iloraem q Sereg te jet bieży do N a u lim. N q Warue bieżości q wyaca obar bieżości. 7
Graica preetacja -traormaty ou jedotowego ū.5 9 8 7 6 5 4-5 5 3 u dla dla 4 Im - -4-4 - Re 4 u dla > 8
Kolejy pryład traormaty Do obliceia -traormaty dla ygału dla a u a dla połużymy ię deiicją, otrymując a. Jet to ereg geometrycy bieży do a. Z waruu bieżości q a / wyia obar bieżości a. 9
Scególy prypade poprediego pryładu Scególym prypadiem ygału dla a u a dla jet, 8 dla =,,,... Korytając otrymaego woru otrymujemy a,8,8 obarem bieżości,8. Amplitude.9.8.7.6.5.4.3.. Impule repoe ample 5 5 5 Time idex
Liiowość -traormacji Z-traormacja jet operacją liiową, bo dla liiowej ombiacji dwóch ygałów a b otrymujemy taą amą liiową ombiację traormat a b obarem bieżości R R gdie R jet obarem bieżości traormaty pierwego, a drugiego ygału. R Dowód opiera ię a podtawieiu ombiacji dwóch ygałów do woru deiiującego -traormację, cyli a b a b.
Traormata ygału preuiętego Oacmy parę ygał-traormata w atępujący poób wtedy parę ygał preuięty i jego -traormatę moża apiać w potaci. Preuięcie ygału w diediie cau oaca pomożeie -traormaty pre Dowód opiera ię a podtawieiu ygału preuiętego do woru deiiującego -traormację, cyli. m m m m m m.
3 Traormacja plotu R R.. Zależość pomiędy plotem dwóch ygałów a jego -traormatą ma potać Obar bieżości jet cęścią wpólą obarów bieżości traormat obu plataych ygałów, t. Dowód opiera ię a podtawieiu plotu dwóch ygałów do woru deiiującego -traormację i odpowiedich pretałceiach
Salowaie w -diediie Jeżeli w -traormacie mieimy mieą a mieą /a to w diediie cau odpowiada to pomożeiu ygału pre a, cyli a / a. Stała a może być dowolą licbą epoloą, t. a C. Im A oto dowód a / a. r < <r Re Jeżeli obar bieżości -traormaty ygału jet pierścieiem r r, to obar bieżości -traormaty w wyiu alowaia ulega miaie a r a r. 4
Traormata ygału odwrócoym caem Odwróceie ieruu miay cau odpowiada odwrotości mieej w jego -traormacie, t.. Im A oto dowód. Re Jeżeli obar bieżości -traormaty ygału jet pierścieiem r r, r < <r to obar bieżości -traormaty w wyiu odwróceia cau jet deiioway ierówościami / r / r. 5
Różicowaie traormaty Zróżicowaie -traormaty i pomożeie jej pre odpowiada pomożeiu próbe ygału dyretego pre wartości cau dyretego. Otrymujemy atem parę d d. 6
7 Traormata orelacji ygałów. Sygał powtały jao orelacja dwóch ygałów poiada -traormatę będącą ilocyem traormat obu ygałów, pry cym argumet jedej ich jet odwrotością mieej, cyli Dowód opiera ię a traormacie plotu dwóch ygałów i traormacie ygału odwrócoym caem.
Traormacja ygału modulowaego Sygał moduloway amplitudowo jet ilocyem ygału ioącego iormację i ygału ośego. Zależości pomiędy -traormatami ygałów predtawia atępująca ależość j v / v v dv. K Jede jet ygałem modulowaym a drugi ygałem modulującym. 8
Zachowaie ilocyu alarego Ilocy alary dwóch ygałów jet w diediie mieej rówy ważoej całce orężej ilocyu dwóch ucji powtałych -traormat ygałów. Zależość tę preetuje tw. rówaie Parevala j K / * d. 9
Zwiąe -traormacji traormacją Fouriera dt e t t j ˆ t j e t ˆ t t p p e e j t j t t j e ˆ N j e / ˆ ˆ N w N j e w N j e w gdie cyli Zatem Traormacja ciągła dyreta Sońcoy ca trwaia ygału
Zwiąe -traormaty traormatą Fouriera Im e j ŝ Re,5 - traormacja traormacja Fouriera
Z-traormacja ygału dwuwymiarowego, m, x y m m x y, C x y m x, y Powyże umy ą bieże w pucie jeżeli m m,. x y