Sygnały i systemy dynamiczne Część I

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Sygnały i systemy dynamiczne Część I"

Transkrypt

1 Michał Taduiwic Sygały i ymy dyamic Cęść I Zadai r 3 - Dooowai iruu Auomaya i Roboya do rowadia udiów iacoarych ( wyoryaim -larigu

2 . Oi i właściwości ygałów i ymów.. Oi i właściwości ygałów Sygał cau ciągłgo ( Rl ygału cau ciągłgo (, (- (- ( Ry..a Ry.. Rl ygału cau dyrgo Sygał cau dyrgo (T S ( (- Ry..b T S T S T S 3T S 4T S 5T S T S (a Ry..3 (b Sygały i ymy dyamic. Cęść I

3 Pruięci ygału cau ciągłgo uca doowa (, (- ( > (- Diica ( dla < ( dla > (. Ry..4 Pruięci ygału cau dyrgo (, (- ( ( (- Ry Ry..6 um iciągłości uci doow 3 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

4 Imlu Diraca uca omocica ε ε ( uca omocica dla migo ε ε ε ( ε Ry..7 ε ε d ε (. ε ( Ry..8 4 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

5 Diica imulu Diraca ( δ ( lim ( ε dla dla ε δ (.3 a a ( d a > δ (.4 Całowai uci omożo r ruięy imul Diraca ( ( d δ (.5 Zalżości omocic ( ( ( δ ( δ (.6 Sąd ( d. δ (.7 ( ( ( d Dyra uca doowa Diica δ (.8 ( dla < ( dla ( Ry..9 5 Sygały i ymy dyamic. Cęść I (.9

6 Próba doowa (imul doowy Rraca ygału cau ciągłgo Diica δ δ ( dla ( dla (. Pryładowy ygał cau ciągłgo ( aroymoway ucą chodową ( δ( Ry.. Ry.. ε,,,l 6 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

7 Oi aroymuącgo imulu rooągo dla (, ( ε ( ε ε ( ε Oi aroymowago chodowo ygału ( ε, τ ( ( ε (.3 ε, τ - mia ciągła, ε ( δ ( ( ( δ ( τ dτ > τ (.4 Ry.. Wór loowy orślaący ygał cau ciągłgo ( ( τ δ ( τ dτ (.5 7 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

8 Rraca ygału cau dyrgo Pryład ygału cau dyrgo ( 3 Oi rówoważy ( ( δ ( ( δ ( ( δ ( ( δ ( ( δ ( Wór loowy orślaący ygał cau dyrgo Ry..3 ( ( ( δ (.7 Oi ygału ry..3 ( ( δ ( δ ( 3δ ( δ (.6 8 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

9 .. Oi i właściwości ymów Klayiaca ymów Sym orślamy ao oracę mamaycą rałcaącą ygał wściowy w ygał wyściowy Sym cau ciągłgo ( ( y( Ry..4(a Sym cau dyrgo ( ( y( Ry..4(b Diica Sym cau ciągłgo liiowy, żli achodi alżość ( c c ( c ( ( c ( ( ( Sym cau dyrgo liiowy, żli achodi alżość ( c c ( c ( ( c ( ( ( Sym cau ciągłgo, rałcaący ygał wściowy ( w ygał wyściowy y (, acoary, żli go odowidią a ygał ( h y( h, dla ażdgo i dowolgo h. Sym cau dyrgo, rałcaący ygał 9 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

10 wściowy ( w ygał wyściowy y (, acoary, żli go odowidią a ygał ( N ( N dowolgo (całowigo N. y, dla ażdgo (całowigo i ε ( Ry..5(c h ( Odowidź liiowgo i acoargo ymu cau ciągłgo Oi aroymowago ( Sym obuday różymi ygałami wściowymi ucą chodową ygału ry.. Ry.. ( Ry..5(a y( δ( Ry..5(b h( ( ( ε (.8 ε Sygały i ymy dyamic. Cęść I

11 Odowidź ymu a ygał wściowy ε ( ( h ( ε Odowidź ymu a ygał wściowy oiay worm (.8 ( h ( Pryad graicy ε ε ( δ ( ε (.9 ε h ( h( Odowidź ymu a ygał wściowy ( oaay a ry.. ( ( τ h( τ dτ y (. Odowidź ymu a dowoly ygał wściowy ( ( ( τ h( τ dτ y (. Odowidź liiowgo i acoargo ymu cau dyrgo Sym obuday różymi wymuiami ( y( δ( h( (a δ Ry..6 ( h( (b Sygały i ymy dyamic. Cęść I

12 Rraca loowa dowolgo ymu wściowgo ( ( ( δ (. Odowidź ymu a róż obudia δ ( h( δ ( h( ( δ ( ( h( ( ( ( h( δ Odowidź ymu a dowoly ygał wściowy ( ( h( y (.3 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

13 . Traormaca Lalac a.. Zalżości odawow ( Diica - uca cau ciągłgo ( ( d (. σ - mia oloa (ulaca oloa ( L ( ( ( L ( ( Waru iiia raormay Lalac a Iią M > i c > c ( M, ai, ż dla ażdgo > Pryład. a (, a licba rcywia Traormaa Lalac a uci ( a a ( a ( a ( d d Założi σ R( > a ( a ( σ a a ( (, gdy L (. a Wór (. achodi rówiż dla olo licby a 3 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

14 Pryład. ( - uca doowa ( b a u ( L d ( ( ( d a > σ, wówca lim Założi R( > a L ( ( (.3 Traormaca Lalac a uci orśloych dla (, ( a a ( c a a > a > Ry.. Wyi uc oaa a ry.. maą daową raormaę Lalac a 4 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

15 5 Sygały i ymy dyamic. Cęść I.. Podawow właściwości raormaci Lalac a Jdoacość Z rówości ( ( ( ( ( L L wyia ( ( d uc ( i ( mogą być róż ylo w uach iciągłości Liiowość ( ( ( ( ( c c c c L (.4 Dowód ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( c c c c c c c c d d d L Pryład.3 ( co ( ( ( co L L L L

16 Podobi orymumy L ( i (.5 Liiowość odwro raormaci Lalac a L ( ( ( L ( ( L ( ( Traormaa ochod Pryład.4 d d ( d d ( ( ( (.6 L (.7 ( i co ( ( d L L d ( ( ( ( ( ( L ( i L ( co 4 Traormaa całi Dowód ( 4 ( i Sygały i ymy dyamic. Cęść I ( τ dτ ( L (.8 g Oacamy ( ( τ τ d

17 wówca achodi g d ( d ( ora g( ( τ d τ Na odawi właściwości doycąc raormay ochod: Sąd wyia Pryład.6 ( dg ( L d r ( ( G G( ( ( τ dτ ( Pryład.7 δ ( r ( L ( ( L (.9 ( τ dτ ( L δ ( τ < > dτ Koryaąc właściwości doycąc raormay całi orymumy L ( δ ( τ ( δ ( τ L (. 7 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

18 Twirdi o ruięciu Roarumy uc (, (( ora ( h ( - h ( a ( ( b ( ( Zachodi alżość Dowód L Oacamy h ( ( h ( h ( L (. ( ( h ( h ( h ( h d h ( c (-h (-h h L ( h ( ( h ( h ( ( h h h ( d ( d Ry.. 8 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

19 Pryład.8 Day ygał ( Ry..3 Wyrażamy ( w alżości od uci doow ( L ( ( h ( h ( ( ( h h h ( ( Twirdi o warościach graicych ( lim ( lim (.3 ( lim ( (.4.3. Odwroa raormaa Lalac a ( - uca wymira o oiu licia miym od oia miaowia ( ( r ( Bigu roy (odycy uci G ( G( lim [( G( ] 9 Sygały i ymy dyamic. Cęść I (.5 r (.6

20 Bigu l-roy uci G ( Pryład.9 r lim d! d l r G( l ( ( l ( ( 3 l ( ( (.8 ( ( r ( ( l 3 ( l ( ( d ( lim ( d ( 3 lim 5 ( r 3 ( ( ( lim 3 3 ( ( ( 5 Roład a ułami ro Biguy ro ( d ( ( ( d ( ( ( ( ( K( m Sygały i ymy dyamic. Cęść I α (.9

21 Roład uci ( a biguy ro ( m l l l (. Możymy obi roy rówaia (. r ( Sąd wyia m l l l ( ( ( lim ( ( (. Pryład. Daa uca wymira ( ( ( 5 Roład uci ( a ułami ro ( lim 5 ( ( 5 3 lim 5 3 Ogóli l l ( ( l,, m lim K l (. Sygały i ymy dyamic. Cęść I

22 Sygały i ymy dyamic. Cęść I ( ( ( L L L Bigu dwuroy ( ( ( ( ( m K (.3 Roład uci ( a ułami ro ( ( m l l l (.4 Oblici wółcyia ( ( lim Oblici wółcyia ( ( ( ( l l m l (.5 ( ( ( ( ( ( ( d d l l m l l ( ( ( d d lim (.6

23 3 Sygały i ymy dyamic. Cęść I Wyaci uci ( ( ( ( ( m l l l L L L L ( ( m l l l L (.7 Oblici irwgo cłou o raw roi rówaia (.7 ( ( L L Zalżości omocic ( L (.8 ( ( ( ( ( G g g L (.9 Na odawi (.8 i (.9 ( L (.3 Uwględiaąc (.3 w (.7 orymumy ( m l l l (.3 Pryład. Daa uca ( ( ( 3

24 4 Sygały i ymy dyamic. Cęść I Wyacai biguów uci ( ( ( 3 Roład ( a ułami ro ( 3 (.3 Wyacai wółcyiów 3, ( ( 3 lim lim ( ( ( ( ( ( ( ( ( lim lim. ( ( ( lim. Podawiamy 3, w (.3 i wyacamy raormaę ( ( ( ( ( ( ( 4 53 co 5 5 R

25 .4. Podawy rachuu oraorowgo Rówai rądowgo rawa Kirchhoa w didii cau ( i (.33 ( ( ( L L i Rówai rądowgo rawa Kirchhoa w didii cęoliwości ( I (.34 Rówai aięciowgo rawa Kirchhoa w didii cęoliwości ( U (.35 Ryor Rówai w didii cau ( Ri( Rówai w didii cęoliwości u (.36 ( RI( Cwa Rówai w didii cau L U (.37 u ( ( u( ( di L d (.38 L di L d ( 5 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

26 Rówai w didii cęoliwości Dla i ( : Kodaor Rówai w didii cau U ( LI ( - Li( (.39 U ( LI ( (.4 C i ( u( ( τ dτ u (.4 Rówai w didii cęoliwości U ( ( u I C ( (.4 Dla u ( U Imdaca oraorowa U( Z R I( row warui ocąow Ry..4 C ( I( (.43 U I ( ( ( R Z ( L Z ( L C ( Z (.44 C 6 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

27 Modl cwi ( U ( LI ( - Li (.45 Obwód oiay rówaim (.45 Obwód oiay rówaim (.46 I( Z C C u( I( Z L L Li( U( Ry..6 Ry..5 Modl odaora U ( ( V( u I C ( (.46 Tramiaca oraorowa ymów liiowych i acoarych ( ( row warui ocąow Ry..7 y( Y( ( ( Y H ( (.47 ( H ( H (.48 7 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

28 Tramiaca widmowa Pryład. ( H(, H (.49 H H ( ( H( (- H ( H (.5 H ( I ( I( IC ( I( CRI( ( CR I ( CR CR CR C, C RC i ( i C ( C R i ( H ( C H Ry..8 ( I I ( ( Odowidź imulowa i doowa Odowidź imulowa ( ( ( δ 8 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

29 ( H( ( H( Y y Odowidź doowa (.5 ( h( ( H( L (.5 ( ( ( ( H Y ( H( ( y (.53 ( H ( L (.54 9 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

30 3. Traormaca ourira 3. Wiadomości odawow Diica Traormaa ourira ( ( ( ( d (3. Traormaa ourira (3. rałca ygał ( w didii cau w ygał ( w didii cęoliwości Pryład 3. ( A Odwroa raormaa ourira - ( ( ( ( d (3. π a a Ry Sygały i ymy dyamic. Cęść I

31 3 Sygały i ymy dyamic. Cęść I (. a a aa a A A A A A a a a a a a a a i i d ( a a aa i (3.3 i c i Ry. 3. 4π π π c i -π -4π -3π -π 3π

32 Wyr raormay ourira ygału ry. 3. w uci ulaci aa ( Widmo amliudow i aow ( ( d (( co i ( cod ( id. d ( co d U( ( i d V ( ( U( V ( 8π a 6π a 4π a π a π a 4π a 6π a 8π a ( U( V ( V ( U Ry. 3.3 ( U( V ( 3 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

33 ( ( ( ( ( ( widmo amliudow, widmo aow, arya uca iarya uca 3.. Właściwości raormaci ourira Liiowość ( c ( c ( (3.4 ( ( ( c ( c ( (3.5 Traormaa ourira dowol ombiaci liiow ygałów ( i ( liiową ich raorma ourira ( i ( aą amą ombiacą. Salowai ( ( α (3.6 α α α - licba rcywia Dowód α > u α α < ( ( α ( α d ( u α α α du 33 Sygały i ymy dyamic. Cęść I ( ( α ( α d ( u α α α u α u α du

34 Pryad cgóly α Pryład 3. ( ( ( (3.7 ( A ( A a -a A a a (a a (a Aa ( ( ( a π a π π a a π 4π a π a (b Ry. 3.4 π a 4π a (b Eaa ygału w didii cau owodu omrę w didii cęoliwości i odwroi. 34 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

35 35 Sygały i ymy dyamic. Cęść I Twirdi o ruięciu w didii cau Sygał (, ygał ruięy ( ( ( ( ( ( ( (3.8 Dowód ( ( ( ( ( d d ( Podawii u ( ( ( d ( u u u Wio ( ( ( Widmo amliudow ygału ruięgo ai amo a ygału orygialgo ( ( ( (

36 Dowód Twirdi o ruięciu w didii cęoliwości ( ( ( ( ( ( ( ( (3.9 ( ( ( d ( d ( ( Pryład 3.3 Modulaca amliudowa ( ( ( co g (3. - wiadomość, co - ośi co ( ( ( g 36 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

37 Na odawi wirdia o ruięciu w didii cęoliwości ( g ( ( ( ( ( (3. Traormaa ourira ygału ioącgo wiadomość ( ( ( g( ( ( ( - Ry. 3.7 Ry. 3.6 g łada ię dwóch ołów raormay ourira ygału (, órych da ruięa o a druga o Traormaa ourira ygału ( 37 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

38 Twirdi o różicowaiu ( ( ( Uogólii ( d ( ( (3.3 d ( d ( (3. d Dowód Odwroa raormaa ourira ( ( d π Twirdi o raormaci lou Slo ygałów ( i ( ( ( ( ( τ ( τ dτ (3.4 Traormaa ourira lou ygałów ( i ( d d ( π ( d d d ( ( ( ( ( ( ( Sygały i ymy dyamic. Cęść I

39 39 Sygały i ymy dyamic. Cęść I 3.3. Uogólioa raormaca ourira ( δ - imul Diraca ( - d ( ( δ δ ( ( δ (3.6 Traormaca ruięgo imulu Diraca ( ( δ Daa raormaa ourira ( ( δ w uci ( ucę ( orśla odwroa raormaa ourira ( ( ( π π δ π δ d ( - ( π δ ( ( πδ (3.7 Daa raormaa ourira ( ( δ w uci ( ( ( ( - d ( π π δ π δ

40 ( πδ ( (3.8 ( co ( πδ ( (3.9 ( πδ πδ ( Traormaa ourira uci co co ( ( π ( δ ( δ ( co (3. Obra graicy raormay ourira uci co Ry. 3.8 Traormaa ourira uci i ( i ( π π ( δ ( δ ( ( δ ( δ ( 4 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

41 ( (i R (3. ( (i π ( δ ( δ ( Im (3. Obra graicy raormay ourira uci i ( πδ Im ( ( i ( πδ 3.4. Traormaca ourira uci orowych Roład uci orow ( w rg ourira ( c ~ (3.3 c ~ - wółcyii wyładic oaci rgu ourira c ~ d ( ( c ~ d ( c ~ Ry. 3.9 ( πδ ( 4 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

42 Pryład 3.4 ( π δ ( c ~ Day ygał orowy ( ( (3.4 Roład ygału ( w wyładicy rg ourira c ~ T δ T T ( d T T π T ( (3.6 3T T T T T 3T Traormaa ourira ygału ( Ry. 3. ( ( δ T (3.5 S π (3.7 T ( δ ( δ ( 4 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

43 Obra graicy raormay ourira ygału ( 3 S ( Ry Odowidź ymu Day ym liiowy i acoary 3 Odowidź ymu w didii cau y ( ( h( ( τ h( τ h ( τ ( τ dτ dτ Odowidź ymu w didii cęoliwości H ( H( ( (3.8 Y (3.9 ( h( d h( h ( d H( d ( ( Ry. 3. y( Y( Wyacai ramiaci widmow ( H( H ( Sygały i ymy dyamic. Cęść I

44 44 Sygały i ymy dyamic. Cęść I Pryład 3.5 Day uład liiowy Ry. 3.3 ( ( u i Wyaci ramiaci oraorow ( ( ( U U H i ( ( ( U U U i i ( H Tramiaca widmowa ( ( arcg H H (3.3 Traormaa ourira ygału wściowgo ( ( ( ( (. u U i i arcg 4 d d d ( ( ( φ U U Ω u i ( u (

45 ( H( U ( U i Widmo amliudow ygału u ( Widmo amliudow ygału u (.5 U ( U ( ( ( 4 Widmo aow ygału u ( φ ( arcg arcg Ry Sygały i ymy dyamic. Cęść I

46 Widmo aow ygału u ( φ( π -π Ry Sygały i ymy dyamic. Cęść I

47 4. Traormaca ourira ygałów dyrych (DTT 4.. Wrowadi Traormaa ourira ygału ciągłgo ( ( d ( mt - róboway ygał ( ( ( mt mt T (4. m ~ T - ulaca ormaliowaa Oaci: ( mt ( m Traormaa ourira ygału dyrgo ( m Pryład 4. Day ygał dyry ~ m ( ( m ~ (4. m m ( m a u( m a < Traormaa ourira ygału ( m ~ m m ~ ( ~ a ( a m m ~ ( ~ a 47 Sygały i ymy dyamic. Cęść I m

48 Pryład 4. Traormaa ourira róbi doow ~ ~ ( δ ( m m m 4.. Właściwości raormaci ourira ygałów dyrych Orowość ( ~ π ~ ( ( (4.3 Liiowość ( ~ π m( ~ π ( ( m m m m ( m m ~ mπ ( m ( ~ ( m ~ ( m a ( m a ( m ~ ~ ( ( ~ a a ( Dowód Pruięci ˆ ( m ( m ( m m ruięy o m ygał ( m 48 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

49 Traormaa ourira ygału ruięgo ˆ ~ ( ( m m m ˆ m Pryład 4.3 m m m ~ ( mm ~ m ~ ( m m ~ ~ m ( ( ( m ( m m m ~ ~ ( ~ ~ ~ m δ, ( Pruięci w didii cęoliwości ( m ( ~ (4.4 (4.5 ( m ( m m ˆ Traormaa ourira ygału ˆ ( m ˆ ~ ( ( m m m Traormaa lou m( ~ ( m ( ~ ( m Day lo ygałów ( m i y ( m m ~ ( m ( m y( m ( y ( m (4.6 w ( Sygały i ymy dyamic. Cęść I

50 Traormaa lou W ~ ~ ( ( ~ Y ( Twirdi Parvala m (4.8 π ~ ( m ( π π d ~ 4.3. Odowidź dyrych ymów liiowych i acoarych h ( m - odowidź ymu a róbę doową (4.9 Odowidź ymu w didii cau y ( m h( m ( m h( ( m Na odawi wirdia o raormaci lou orymumy odowidź ymu w didii cęoliwości Y ~ ~ ( ( ~ H ( (4. (m h(m y(m Ry Sygały i ymy dyamic. Cęść I

51 5. Dyra raormaca ourira (DT 5.. Wiadomości odawow Diica: Day ciąg { m} licb rcywiych lub oloych: K,,, N Dyra raormaa ourira ciągim { } gdi N m m m K,,, N w,,, K, N (5. w π N Odwroa dyra raormaa ourira N m m w m,,, K, N N Właściwości DT Dla ciągu uworogo licb rcywiych i dowolgo {,,, N } Pryład 5. Dla ciągu ˆ K achodi N ˆ ˆ (5. dla m, dla m, 3 m m wyacyć DT π Poiważ N 4, więc w 4 π 5 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

52 Z woru diicygo wyia 3 m m m (. 3 (5.3 Obra graicy ciągu { m} m Ry. 5. Podawiaąc do alżości (5.3,,, 3 orymumy 3 4 m o o ,,, 3 - widmo amliudow ygału { } ( - widmo aow ygału { m} m Widmo amliudow ygału ry Ry Sygały i ymy dyamic. Cęść I

53 Widmo aow ygału ry. 5. o 45 o 45 ( 3 4 Ry Ciągi orow o ori N Dyrą raormaę ourira orśla ię dla ciągu N licb odowiadaącgo orowi Liiowość DT DT ombiaci liiow ygałów { m} ora { g m} { h } { α βg } m aą amą ombiacą liiową ich raorma Dowód H N m N m β g m m { H } { α βg } ( α βg m w m m m α w m βg α N m m w m 53 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

54 Twirdi o ruięciu Day ygał orowy { m} maący dyrą raormaę ourira { }. Dyra raormaa ourira ygału ruięgo { } wyoi { } { w } m Pryład 5. Da ciągi orow H (5.4 { } {,,, }, { g } {,,, } m m Wyaci dyr arormay ourira ciągu { m} N 4 w 4 π 3 m m w m m m,,, 3 Bośrdi wyaci dyr raormay ourira ygału { g m} G 3 m g m w m 3 54 Sygały i ymy dyamic. Cęść I m m G, G, G, G3 Zalżości omiędy ygałami { m} i { g m} g m m

55 55 Sygały i ymy dyamic. Cęść I Wyaci dyr raormay ourira ygału { } m g a odawi wirdia o ruięciu w G. G, G, G, G Slo orowy ygałów { } m i { } m g o ym amym ori N Diica m N m m g g h (5.5 Twirdi o loci orowym Dyra raormaa ourira ygału g h wyoi G H (5.6

56 6. Próbowai ygałów ciągłych 6.. Sygał róbloway imulowo Założi: ygały o ograicoym aśmi ( cęoliwości Sygał róboway imulowo ˆ ( ( mt δ ( mt m m ( δ ( mt Widmo ygału róbowago imulowo (6. mt T T T 3T Ry. 6. 4T ˆ ( ˆ ( m d ( δ ( mt ( δ ( mt d m d (6. 56 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

57 ( ( m δ mt - ygał orowy o ori T ( T ( ( υ υ ˆ (6.6 Roład ( w rg ourira T ( υ υ (6.3 Pryład 6. Widmo ygału o ograicoym aśmi cęoliwości ˆ υ d T υ ( ( (6.4 ( ˆ T ( ( υ ( ( υ d (6.5 Ry Sygały i ymy dyamic. Cęść I

58 Widmo ygału róbowago imulowo ˆ ( H( ( > omożo r T dla (a H( ˆ ( T T ( ( ( ( ( - c c Ry. 6.4 (b Ry. 6.3 ( ˆ ( H( ( Sygały i ymy dyamic. Cęść I

59 Widmo ygału róbowago imulowo < omożo r T dla. Zawio aliaigu. ˆ Ry. 6.5 ( T Twirdi o róbowaiu (Shaoa Nich ( będi ygałm cau ciągłgo o ograicoym aśmi cęoliwości (,. Nich ygał ( będi rroway a omocą rób ( mt wyacoych cęoliwością róbowaia T, cyli ulacą π. Jżli >, o ygał ( odworoy a odawi rób ( mt. moż być doładi 59 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

60 Sygały i łiaąc waruu ograicogo ilr ay-aliaigowy ama cęoliwości ( H( Ry c c ( Ry. 6.6 Ry c c 6 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

61 7. Traormaca Z 7.. Wiadomości odawow Diica ( - ciąg licbowy (ygał dyry mia oloa ( ( Oaci raormay Z (7. ( ( ( Z Odwroa raormaa Z ( Z ( ( Traormaa ourira ciągu ońcogo N ( ( ( ( K ( N (7. Pryład 7. Daa róba doowa (imul doowy ( dla dla δ (7.3 Traormaa Z róbi doow Pryład 7. Day ygał dyry ( ( Z δ (7.4 { ( } {,a,a,k} 6 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

62 Traormaa Z ygału ( ( a a a K (7.5 ( graicą rgu gomrycgo (7.5 Dla doową ( a ygał ( a Na odawi (7.6 orymumy a a ię dyrą ucą (7.6 Z ( ( ( Właściwości raormaci Z Liiowość (, ( ( Z( (, ( Z( ( - ygały dyr,, c, c - ał Zachodi alżość ( c ( c ( c ( c ( Z (7.8 Wio: raormaca Z oracą liiową Pryład 7.3 Wyacyć raormaę Z ygału ( (. 3 (. 5 6 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

63 Koryaąc liiowości raormaci Z ora woru (7.6 orymumy ( (. (. 3 ( Rguła różicowaia Traormaca Z ygału ( Pochoda uci ( d ( d Po rałciach ( d d ( ( ( ( Z( ( Wór owalaący wyacyć raormaę Z ygału ( Pryład 7.4 ( d Z d Day ygał dyry ( ( ( {,,, 3, K} Sygał ( wyrażoy w agoriach uci doow ( ( ( gdi ( dla dla < 63 Sygały i ymy dyamic. Cęść I (7.9

64 Oblici raormay Z ygału ( d Z( ( Z( ( Z( ( (7. d Traormaa Z ygału ( Z ( ( (7. Traormaa Z ygału ( oblicoa woru (7., ry uwględiiu (7. Pryład 7.5 (7. ( Z( ( Day ygał dyry ( { T } ( (7.3 Poać rówoważa Podawii ( T T T a Oblicai raormay Z ygału (7.3 a odawi woru (7.6 T Z( T (7.4 Aalogici T Z( T (7.5 Koryaąc (7.4 i (7.5 oblicamy raormaę Z T T ygału cot ( ( Z co T T T ( Sygały i ymy dyamic. Cęść I

65 Pruięci ygału Day ygał (, oaay a ry. 7. Sygał ruięy ( (- 3 ( Ry. 7. Ry. 7. Traormaa Z ygału Z ( ( Z ( ( Z( ( 65 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

66 Ogóli Z ( ( ( ( ( K ( ( Jżli ( dla <, o Z ( ( ( 7.3. Odwroa raormaca Z (7.8 ( Z ( ( ( π C d (7.7 C rywa amięa a łacyźi mi olo obmuąca ocą uładu wółrędych, lżąca w obar biżości i maąca oriacę rciwą do ruchu waów gara Właściwość liiowości Odwroa raormaa Z oracą liiową Oblicai odwro raormay Z uci wymirych Pryład 7.6 Daa uca wymira ( Oblici uci ( (. 4(. 8 ( i roład a ułami ro (. 4( ( (. 4 5 lim.. 4 ( ( lim Sygały i ymy dyamic. Cęść I

67 67 Sygały i ymy dyamic. Cęść I ( Na odawi liiowości odwro raormay Z ora woru (7.6: ( ( ( Slo dyry Da ygały ( ora ( Założi ( ( dla umych Ta ( ( ( ( ( Z (7.9 Dowód ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( L L (7. ( raormaą Z wgo ygału ( ( ( ( ( L (7. Porówai odowidich wółcyiów wyrażń (7. i (7. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( LLLLLLLLLLLLLLLLLL Ogóli ( ( ( ( ( ( (,L,, m m m m m m (7.

68 7.5. Symy dyr, liiow i acoar Day ym dyry o odowidi a róbę doową, h ( ( - ygał wściowy, ( y ( - ygał wyściowy Zachodi wór (.3: y Poiważ ( dla < ( ( h( dla < y Na odawi (7.9: : ( ( h( ( H( ( ; (7.3 Y (7.4 Day ym oiay rówaim różicowym a y b ( ay ( L a y ( ( b ( L b ( ( - ygał wściowy, ( Założi: ( dla <, ( y - ygał wyściowy y dla < (7.5 Wyacamy raormaę Z obu ro rówaia (7.5 a Y b Sąd wyia ( H ( a Y ( L a Y ( ( b ( L b ( Y ( b b L b ( a a L a H - ramiaca ymu dyrgo ( Sygały i ymy dyamic. Cęść I

69 Pryład 7.7 Day ym dyry oiay rówaim różicowym gdi ( y( (, ( y 3 ( ( y, (7.7 Wyacamy raormaę Z obu ro rówaia (7.7 [ ] 3 Z ( ( Y ( y( Y Uwględiaąc Z ( ( w rówaiu (7.8 orymumy 3 Y ( 3 ( ( ( ( ( (7.8 Oblicamy odwroą raormaę Z uci Y ( Y ( 3 6 Y ( 3 6 Koryaąc (7.6 i (7.7 adumy ( Z ( Y ( 3 6 y Poddaąc obi roy rówaia (7.7 raormaci Z orymumy Sąd ( Y ( ( Y 3 ( 3 3 ( Y H ( ( Sygały i ymy dyamic. Cęść I

70 Rraca ymów dyrych a omocą chmaów bloowych Elmy chmaów bloowych Blo ( a Węł umacyy a( ( ( ( ( ( (- Pryład 7.8 Uworyc chma bloowy ymu oiago rówaim różicowym (7.7 Rówai (7.7 riumy w oaci y 3 y Schma bloowy ( 3 ( ( ( 3( y(- y ( y ( Węł rogałęźy ( ( ( y( Ry Sygały i ymy dyamic. Cęść I

71 7 Sygały i ymy dyamic. Cęść I 7.6. Rowiąywai rówań różicowych Pryład 7.9 Da rówai różicow ( ( ( ( (. y y y waruami ocąowymi ( ( 5. y, y ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (. Y y y Y y Y (7.3 gdi ( ( ( ( ( Sąd wyia ( ( ( ( ( (... y y y Y Podawiamy warui ocąow I rowiąumy rówai (7.3 wględm ( Y ( ( ( ( ( ( (... Y (7.3

72 Oblicamy odwroą raormaę Z uci Y ( roładaąc ucę Y ( a ułami ro Y (. K K K 3 ( ( ( Wyacamy wółcyii K, K, K 3 K K K 3 lim lim lim Orymumy ( ( ( ( Y Y ( ( Y ( lim lim.. 85 ( (.. 45 ( ( lim.. 6 ( ( Y (7.3 y Koryaąc worów (7.6 i (7.7 orymumy ( (. 45 (. 6,, K. 85 (7.33 Schma bloowy ymu oiago rówaim (7.33 (. Ry. 7.4 y( 7 Sygały i ymy dyamic. Cęść I

73 7.7. Porówai raormaci Z ora raormaci ourira (DTT Traormaa ourira ygału dyrgo ( m wyoi ~ ( ( m ~ m m (7.34 Porówuąc (7.35 i (7.36 orymumy ~ ( ( ~ (7.37 Jżli ( m oać dla m < ~ ( ( m m, o wór (7.34 rymu ~ m (7.35 Traormaa Z go amgo ygału ( m wyoi m ( ( m m ( Sygały i ymy dyamic. Cęść I

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Algebra liniowa z geometrią analityczną WYKŁAD. Elmtar fucj mij spoloj: wilomiay, pirwiasti jdości, fucja: pirwiast stopia, fucja wyładica, fucja logarytmica. Podstawow własości wilomiaów: podilość, twirdi Bout, podstawow twirdi algbry, suai

Bardziej szczegółowo

Z-TRANSFORMACJA Spis treści

Z-TRANSFORMACJA Spis treści Z-TRANSFORMACJA Spi treści. Deiicja. Pryłady traormat 3. Właości -traormacji 4. Zwiąe -traormacji traormacją Fouriera 5. Z-traormacja ygału dwuwymiarowego Deiicja -traormacji Z-traormata jet eregiem Laureta

Bardziej szczegółowo

W analizie układów ciągłych wykorzystywane jest przekształcenie operatorowe Laplace a które zdefiniowane jest przez następujący wzór całkowy

W analizie układów ciągłych wykorzystywane jest przekształcenie operatorowe Laplace a które zdefiniowane jest przez następujący wzór całkowy Aadmia Mora w Gdyi Katdra Automatyi Orętow oria trowaia Prtałci Z Miroław omra. WPROWADZENIE Cora cęści w uładach trowaia toowa ą rgulatory cyfrow i tąd oicość orślaia rówań, tór opiuą ygały cyfrow i dyrt.

Bardziej szczegółowo

Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji. dr inż. Tomasz Marciniak

Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji. dr inż. Tomasz Marciniak Podawy orii ygałów, ymów i iformaci dr iż. oma Marciia PodawPodawPodawPodawPodawPodawPodawPodawPodawPodawPod awpodpodawpodawpodawpodawpodawpodawpodawpodawpod yoriiyoriiyoriiyoriiyoriiyoriiyoriiyoriiyo

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD nr 2. to przekształcenie (1.4) zwane jest przekształceniem całkowym Laplace a

WYKŁAD nr 2. to przekształcenie (1.4) zwane jest przekształceniem całkowym Laplace a WYKŁAD r. Elemey rachuku operaorowego Podawą rachuku operaorowego je zw. przekzałceie Laplace a, mające poać przekzałceia całkowego, przyporządkowujące fukcjom pewe owe fukcje, iego argumeu. Mówi ię, że

Bardziej szczegółowo

, q3) współrzędnych kartezjańskich o równaniach:

, q3) współrzędnych kartezjańskich o równaniach: Kimaka puku w współędch kwoliiowch i wkoowch aual biguow walcow (clidc) kulis (sfc) Współędmi kwoliiowmi mogą bć dowol fukcj ( q 1, q, q3) współędch kajańskich o ówaiach: q1 q1(,, ) q q (,, ) q q,, ),

Bardziej szczegółowo

ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW. Spis treści

ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW. Spis treści ANALIZA CZĘSOLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW Spi reści. Dykree widmo ygałów okreowych. Związek między zeregiem i raormacją Fouriera 3. Waruki iieia i odwracalości raormacji Fouriera 4. Widma ygałów 5. Właości raormacji

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie Laplace a i jego zastosowania

Przekształcenie Laplace a i jego zastosowania Przekzałcenie Laplace a i jego zaoowania Funkcje pecjalne i dyrybucje Funkcja koku jednokowego (nazywana również funkcją Heaviide a) ( ) gdy > gdy < ( ) gdy gdy > < ( ) ( ) f a e > < e a ( ) f f ( ) A

Bardziej szczegółowo

ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW. Spis treści

ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW. Spis treści ANALIZA CZĘSOLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW Spi reści. Dykree widmo ygałów okreowych. Związek między zeregiem i raormacją Fouriera 3. Waruki iieia i odwracalości raormacji Fouriera 4. Widma ygałów 5. Właości raormacji

Bardziej szczegółowo

2. Wybrane zagadnienia matematyki wykorzystywane do opisu liniowych układów automatyki

2. Wybrane zagadnienia matematyki wykorzystywane do opisu liniowych układów automatyki 4. Wybrae zagadieia maemayi wyorzyywae do oiu liiowych uładów auomayi.. Przezałceie alace a Wyorzyaie rzezałceia alace a do obliczeń zwae je rachuiem oeraorowym. Zaczeie rachuu oeraorowego w zaoowaiach

Bardziej szczegółowo

IV. WPROWADZENIE DO MES

IV. WPROWADZENIE DO MES Kondra P. Moda mnów Sończonych ora zasosowana 7 IV. WPROWADZNI DO MS Poszuwan rozwązań rzybżonych bazuących na modach rsduanych waracynych naoya na rudnośc w doborz func bazowych orśonych na całym obszarz.

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI CHARAKERYSYKI CZĘSOLIWOŚCIOWE PODSAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUOMAYKI Do podstawowych form opisu dyamii elemetów automatyi (oprócz rówań różiczowych zaliczamy trasmitację operatorową s oraz trasmitację

Bardziej szczegółowo

II. PODSTAWOWE RÓWNANIA MECHANIKI W UJĘCIU NIELINIOWYM

II. PODSTAWOWE RÓWNANIA MECHANIKI W UJĘCIU NIELINIOWYM Kr a Sach Dooracch Poech Wrocławe wera: y 7 II. PODSTAWOWE RÓWNANIA MECHANIKI W UJĘCIU NIELINIOWYM W roae amecoe ą poawowe rówaa eowe mecha cała oałcaego be wyprowaeń ora omeary. Załaa ę że cye acył r

Bardziej szczegółowo

q (s, z) = ( ) (λ T) ρc = q

q (s, z) = ( ) (λ T) ρc = q M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X W Y Z N A C Z A N I E O D K S Z T A C E T O W A R Z Y S Z Ą C Y C H H A R T O W A N I U P O W I E R Z C H N I O W Y M W I E

Bardziej szczegółowo

Transformata Z Matlab

Transformata Z Matlab Aademia Morsa w Gdyi Katedra Automatyi Orętowej Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab Mirosław Tomera. WPROWADZENIE W uładach sterowaia cora cęściej stosowae są regulatory cyfrowe i stąd oiecość oreślaia

Bardziej szczegółowo

2 ), S t r o n a 1 z 1 1

2 ), S t r o n a 1 z 1 1 Z a k r e s c z y n n o c i s p r z» t a n i a Z a ł» c z n i k n r 1 d o w z o r u u m o w y s t a n o w i» c e g o z a ł» c z n i k n r 5 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k ó w

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 07 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t Gó w d y s k i e g o C e n

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n

Bardziej szczegółowo

PROCESY STOCHASTYCZNE

PROCESY STOCHASTYCZNE .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych PROCESY STOCHASTYCZNE WYBRANE ZAGADNIENIA uca Kowali Warzawa 5 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych iraura: A.Plucińa, E.Plucińi, Probabiliya, D.Bobrowi,

Bardziej szczegółowo

Funkcja generująca rozkład (p-two)

Funkcja generująca rozkład (p-two) Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI 9. Wskaźniki jakości regulacji

PODSTAWY AUTOMATYKI 9. Wskaźniki jakości regulacji Politchnia Warawa Intytut Automatyi i obotyi Prof. dr hab. inż. Jan Macij Kościlny PDSTAWY AUTMATYKI 9. Waźnii jaości rgulacji Wymagania tawian uładom rgulacji 2 Stabilność Wymagania tatycn Wymagania dynamicn

Bardziej szczegółowo

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW ANALOGOWYCH NA SYGNAŁY CYFROWE

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW ANALOGOWYCH NA SYGNAŁY CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW ANALOGOWYCH NA SYGNAŁY CYFROWE Si reści 1. Deiicja róbkowaia ygału. Twierdzeie Shaoa 3. Aliaig czyli uożamiaie 4. Przewarzaie obrazów aalogowych a dykree 1 Próbkowaie ygałów ag.

Bardziej szczegółowo

FILTRY ZE SKOŃCZONĄ ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ

FILTRY ZE SKOŃCZONĄ ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ FILTRY ZE SKOŃCZOĄ ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ FIR od ag. Fiite Impule Repoe Spi treści 1. Deiicja iltru FIR. Caraktertki cętotliwościo 3. Filtr FIR liiową caraktertką aową 4. Projektowaie iltrów pr pomoc eregów

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne. modele matematyczne charakterystyki czasowe charakterystyki częstotliwościowe przykłady realizacji

Podstawowe człony dynamiczne. modele matematyczne charakterystyki czasowe charakterystyki częstotliwościowe przykłady realizacji Podawowe człoy dyamicze modele maemaycze charaeryyi czaowe charaeryyi częoliwościowe przyłady realizacji Podawowe człoy dyamicze Człoy: proporcjoaly iercyjy pierwzego rzędu całujący idealy całujący rzeczywiy

Bardziej szczegółowo

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby

Bardziej szczegółowo

I. STADHOUDERZY NIDERLANDÓW

I. STADHOUDERZY NIDERLANDÓW 68 I. STADHOUDERZY NIDERLANDÓW I. TŻS D H O U D E R Z Y N I D E R LŻ N D Ó W R o z d z i a ł I I. KRÓLOWIE HOLANDII LUDWIK I 70 LUDWIK II 79 6 9 I. TŻS D H O U D E R Z Y N I D E R LŻ N D Ó W LUDWIK I Król

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t Zesaw adań : Preksałcenia liniowe. Maciere preksałceń liniowch () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + + + +, d) n

Bardziej szczegółowo

w7 58 Prąd zmienny Generator Napięcie skuteczne Moc prądu Dodawanie prądów zmiennych Opór bierny

w7 58 Prąd zmienny Generator Napięcie skuteczne Moc prądu Dodawanie prądów zmiennych Opór bierny 58 Prąd zienny Generator Napięcie skuteczne Moc prądu Dodawanie prądów ziennych Opór bierny Prąd zienny Prąd zienny 3 Prąd zienny 4 Prąd zienny 5 Prąd zienny Przy stałej prędkości kątowej ω const pola

Bardziej szczegółowo

X, K, +, - przestrzeń wektorowa

X, K, +, - przestrzeń wektorowa Zmiaa bazy przstrzi wktorowj Diicja 1. X, K, +, - przstrzń wktorowa ad ciałm K ( (,,..., ),,..., ) - owa baza - stara baza Macirzą przjścia P od do azywamy macirz odwzorowaia Idtyczościowgo P przstrzi

Bardziej szczegółowo

Równanie Modowe Światłowodu Planarnego

Równanie Modowe Światłowodu Planarnego Rówaie Modowe Światłowodu Plaarego Prezetaja zawiera oie olii omawia a władzie. Niiejze oraowaie roioe jet rawem autorim. Worztaie ieomerje dozwoloe od waruiem odaia źródła. Sergiuz Patela 1998-4 β Rówaie

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZASOWE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

CHARAKTERYSTYKI CZASOWE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH CHARAKERYSYKI CZASOWE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Zadani Chararyyi czaow uładów. Odpowidź oową wyznacza ię z wzoru: { } Problm: h L G X Wyznaczyć odpowidz oową i impulową całującgo z inrcją G h L G gdzi: Y X

Bardziej szczegółowo

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość

Bardziej szczegółowo

III. LICZBY ZESPOLONE

III. LICZBY ZESPOLONE Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam

Bardziej szczegółowo

PRZEKSZTAŁCENIE ZET. definicja. nst. Stąd po dokonaniu podstawienia zgodnie z definicją otrzymamy wyrażenie jak dla ciągu.

PRZEKSZTAŁCENIE ZET. definicja. nst. Stąd po dokonaniu podstawienia zgodnie z definicją otrzymamy wyrażenie jak dla ciągu. CPS 6/7 PREKSTAŁCENIE ET Defiicja rekstałceia Prekstałceie ET jest w diediie casu dyskretego odowiedikiem ciągłego rekstałceia Lalace a w diediie casu ciągłego. Podamy dwie rówoważe defiicje rekstałceia

Bardziej szczegółowo

Analityczne reprezentacje sygnałów ciągłych

Analityczne reprezentacje sygnałów ciągłych Analiyczne reprezenacje sygnałów ciągłych Przedsawienie sygnału w posaci analiycznej: umożliwia uproszczenie i unifiację meod analizy, pozwala na prosszą inerpreację nieórych jego cech fizycznych. W eorii

Bardziej szczegółowo

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych

Bardziej szczegółowo

- :!" # $%&' &() : & *+, &( -. % /0 ( 1 $+ #2 ( #2 ) !( # ;<= &( ) >- % ( &( $+ #&( #2 A &? -4

- :! # $%&' &() : & *+, &( -. % /0 ( 1 $+ #2 ( #2 ) !( # ;<= &( ) >- % ( &( $+ #&( #2 A &? -4 - :!" # $%&' &() : 1. 8 -& *+, &( -. % /0 ( 1 $+ #2 ( #2 ) 3 45 167-1.!( # ;- % ( &(- 17 #(?!@- 167 1 $+ &( #&( #2 A &? -2.!"7 # ;- % #&( #2 A &? -3.!( # ;

Bardziej szczegółowo

Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich)

Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich) Opis ruchu we współrędch prosokąch (karejańskich) Opis ruchu we współrędch prosokąch jes podob do opisu a pomocą wekora wodącego, kórego pocąek leż w pocąku układu odiesieia. Położeie. Położeie puku A

Bardziej szczegółowo

Płaskie układy obciąŝeń. Opis analityczny wielkości podstawowych. wersory. mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów 1 statyka 2

Płaskie układy obciąŝeń. Opis analityczny wielkości podstawowych. wersory. mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów 1 statyka 2 Opis aalitcz wielkości podstawowch wersor e x, e Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B ) ) Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B )

Bardziej szczegółowo

, , , , 0

, , , , 0 S T E R O W N I K G R E E N M I L L A Q U A S Y S T E M 2 4 V 4 S E K C J I G B 6 9 6 4 C, 8 S E K C J I G B 6 9 6 8 C I n s t r u k c j a i n s t a l a c j i i o b s ł u g i P r z e d r o z p o c z ę

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) ( τ) ( t) = 0

( ) ( ) ( τ) ( t) = 0 Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 1 OBLICZANIE WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Meoda układu dołączonego do obliczenia wraŝliwości układu dynamicznego w dziedzinie czasu. Wyznaczane będą zmiany

Bardziej szczegółowo

v = v i e i v 1 ] T v =

v = v i e i v 1 ] T v = v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i v T v = = v v n v n U v v v +q 3q +q +q b c d XY X +q Y 3q r +q = r 3q = r +q = r +q = r 3q = r +q = E = E +q + E 3q + E +q = k q r+q 3 + k 3q r 3q 3 b V = kq

Bardziej szczegółowo

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 14 dr Adam Ćmiel

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 14 dr Adam Ćmiel Własośi zbiorów otwarth i domięth Tw. a) Suma dowolej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. b) Iloz sońzoej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. Dow. a) Mam rodzię zbiorów otwarth: U A s {

Bardziej szczegółowo

Zmęczenie Materiałów pod Kontrolą

Zmęczenie Materiałów pod Kontrolą Zmęczi Matriałów pod Kotrolą Wyład Nr 6 ANALIZA SPRĘŻYSTO PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRĘŻŃ i ODKSZTAŁCŃ Wydział Iżyirii Mcaiczj i Robotyi Katdra Wytrzymałości, Zmęczia Matriałów i Kostrucji ttp://zwmi.imir.ag.du.pl

Bardziej szczegółowo

O pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego

O pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego O pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego Jan Ligęza Instytut Matematyki Wisła Letnia Szkoła Instytutu Matematyki wrzesień 2010 r. [1] S. Łojasiewicz, J. Wloka, Z. Zieleżny; Über eine

Bardziej szczegółowo

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe MMF ćwiczia r - Rówaia różicow Rozwiązać rówaia różicow pirwszgo rzędu: y + y = y = y + y =! y = Wsk Podzilić rówai przz! i podstawić z y /( )! Rozwiązać rówaia różicow drugigo rzędu: 5 6 F F F F F (ciąg

Bardziej szczegółowo

ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE ZET

ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE ZET CPS - - 006/007 ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE ZET Ropatrymy agadieie odtwaraia dysretego sygału casowego x[] jego trasformaty X(. Do wyaceia ciągu x[] w sposób jedoacy musimy ać obsar bieżości (OZ. Odwracaie

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie przemieszczeń

Wyznaczanie przemieszczeń ór Maxwea-Mora δ ynacane premesceń ór Maxwea-Mora: Bea recywsym obcążenem δ MM JE NN E ( ) M d g N o P q P TT κ G ór służy do wynacena premescena od obcążena recywsego. równanu wysępuą weośc, wywołane

Bardziej szczegółowo

jawnie od odleg lości miedzyelektronowych r ij = r i r j Funkcje falowe w postaci kombinacji liniowej wielu wyznaczników.

jawnie od odleg lości miedzyelektronowych r ij = r i r j Funkcje falowe w postaci kombinacji liniowej wielu wyznaczników. Notati do wy ladu XII Przy lady metod ab iitio uwzglediaj acych orelacje eletroowa Fucje falowe jawie sorelowae - zależa jawie od odleg lości miedzyeletroowych r ij = r i r j Fucje falowe w postaci ombiacji

Bardziej szczegółowo

Ćw. 22: Pomiary magnetyczne

Ćw. 22: Pomiary magnetyczne Wydiał: EAIiE Kierune: Iię i naio (e ail): Ro:. (00/0) Grua: Zeół: Data yonania: Zalienie: odi roadąego: agi: LABORATORIM METROLOGII Ć. : oiary agnetyne Wtę Cele ćienia jet aonanie ię etodai oiaru ybrany

Bardziej szczegółowo

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera AALIZA FOURIEROWSKA szybi trasformaty Fourira dowola fuję priodyzą F( w zasi lub przstrzi (tx, ors T) moża przdstawić jao () F( b o + [ a si( + b os( ] gdzi π / T lub ω zauważmy, ż ω, jst ajiższą zęstośią

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA WEKTORÓW. PRZESTRZENIE WEKTOROWE PRZESTRZEŃ WEKTOROWA

ALGEBRA WEKTORÓW. PRZESTRZENIE WEKTOROWE PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Mtmt I WYKŁAD 9. ALGEBRA WEKTORÓW. PRZESTRZENIE WEKTOROWE PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Prstrń Eulidsow E - biór putów Współręd putów w E trój licb rcwistch Krtjńsi ułd współrędch w E Pocąt ułdu p. put p. Tr wjmi

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych Prtwarai sygałów biomdycyc Wykład VI Wybra układy dyskrt Idaly układ różickuący H Yxp Xxp odpowidź impulsowa układu filtru różickuącgo d d d cos si si Odpowidź st iskońcoa i układ i st prycyowy alży ograicyć

Bardziej szczegółowo

1. ALGEBRA Liczby zespolone

1. ALGEBRA Liczby zespolone ALGEBRA Licby espoloe Opracowaie: Vladimir Marcheko WYKŁAD Postać algebraica i trygoometryca licby espoloe; dodawaie, możeie, potęgowaie i dieleie licb espoloych A+B+C (Wstęp: pochodeie licb espoloych)

Bardziej szczegółowo

4. P : P SO P Spin, π : P M: 6. F = P Spin Spin(n) S, F ± = P Spin Spin(n) S ± 7. ω: Levi-Civita, R:, K:

4. P : P SO P Spin, π : P M: 6. F = P Spin Spin(n) S, F ± = P Spin Spin(n) S ± 7. ω: Levi-Civita, R:, K: /, Dirac,, Bismut[B]., [B], [B],, [K], [T], [W].,,,,, /.,.,,,..,.. M, g): n = l,. P SO : T M, M SOn) 3. P Spin : M Spinn), P SO 4. P : P SO P Spin, π : P M: 5. S = S + S : Spinn) l S +, S l ) 6. F = P

Bardziej szczegółowo

Analiza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski

Analiza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski Aliz obwodów elekryczych z przebiegmi sochsyczymi Driusz Grbowski Pl wysąpiei Sochsycze modele sygłów Procesy sochsycze Przekszłcei procesów sochsyczych przez ukłdy liiowe Ciągłość i różiczkowlość sochsycz

Bardziej szczegółowo

Szeregi Fouriera (6 rozwiązanych zadań +dodatek)

Szeregi Fouriera (6 rozwiązanych zadań +dodatek) PWR I Załad eorii Obwodów Szeregi ouriera (6 rozwiązanych zadań +dodae) Opracował Dr Czesław Michali Zad Znaleźć ores nasępujących sygnałów: a) y 3cos(ω ) + 5cos(7ω ) + cos(5ω ), b) y cos(ω ) + 5cos(ω

Bardziej szczegółowo

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW ANALOGOWYCH NA SYGNAŁY CYFROWE

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW ANALOGOWYCH NA SYGNAŁY CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW ANALOGOWYCH NA SYGNAŁY CYFROWE Si reści 1. Deiicja róbkowaia ygału. Twierdzeie Shaoa 3. Aliaig czyli uożamiaie 4. Przewarzaie obrazów aalogowych a dykree 1 Próbkowaie ygałów ag.

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Wirtualne Obwodów w Stanach Ustalonych i Nieustalonych

Laboratorium Wirtualne Obwodów w Stanach Ustalonych i Nieustalonych ĆWICZENIE 1 Badanie obwodów jednofazowych rozgałęzionych przy wymuszeniu sinusoidalnym Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest Poznanie podstawowych elementów pasywnych R, L, C, wyznaczenie ich wartości na

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2: CAŁKI POTRÓJNE

WYKŁAD 2: CAŁKI POTRÓJNE WYKŁAD : CAŁKI OTRÓJNE 1 CAŁKI OTRÓJNE O ROSTOADŁOŚCIANIE Oznaczenia w definicji całi po prostopadłościanie: = {(: a x, c y d, p z q} prostopadłościan w przestrzeni; = { 1,,, n } podział prostopadłościanu

Bardziej szczegółowo

ef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza

ef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza FUNKCJE WÓCH I TRZECH ZMIENNYCH (było w semestrze II) ef 1 (funcja dwóch zmiennych) Funcją f dwóch zmiennych oreśloną na zbiorze A R o wartościach w R nazywamy przyporządowanie ażdemu puntowi ze zbioru

Bardziej szczegółowo

21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,

21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b, CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre

Bardziej szczegółowo

FILTRY ZE SKOŃCZONĄ ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ

FILTRY ZE SKOŃCZONĄ ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ FILTRY ZE SKOŃCZOĄ ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ FIR od ag. Fiite Impule Repoe Spi treści. Deiicja iltru FIR. Caraktertki cętotliwościo 3. Filtr FIR liiową caraktertką aową 4. Projektowaie iltrów pr pomoc eregów

Bardziej szczegółowo

Pręt nr 1 - Element żelbetowy wg. EN :2004

Pręt nr 1 - Element żelbetowy wg. EN :2004 Pręt nr 1 - Element żelbetowy wg. EN 1992-1-1:2004 Informacje o elemencie Nazwa/Opis: element nr 5 (belka) - Brak opisu elementu. Węzły: 13 (x6.000m, y24.000m); 12 (x18.000m, y24.000m) Profil: Pr 350x800

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów z czasem ciągłym

Przetwarzanie sygnałów z czasem ciągłym Przetwarzanie sygnałów z czasem ciągłym Model systemowy układu p( t ) r ( t) wejście Układ wyjście p( t ) pobudzenie r ( t) reakcja Układ wykonuje pewną operację { i } na sygnale wejściowym p t (pobudzeniu),

Bardziej szczegółowo

I n f o r m a c j e n a t e m a t p o d m i o t u k t ó r e m u z a m a w i a j» c y p o w i e r z y łk p o w i e r z y l i p r o w a d z e p o s t p

I n f o r m a c j e n a t e m a t p o d m i o t u k t ó r e m u z a m a w i a j» c y p o w i e r z y łk p o w i e r z y l i p r o w a d z e p o s t p A d r e s s t r o n y i n t e r n e t o w e j, n a k t ó r e j z a m i e s z c z o n a b d z i e s p e c y f i k a c j a i s t o t n y c h w a r u n k ó w z a m ó w i e n i a ( j e e ld io t y c z y )

Bardziej szczegółowo

w5 58 Prąd d zmienny Generator Napięcie skuteczne Moc prądu Dodawanie prądów w zmiennych Opór r bierny Podstawy elektrotechniki

w5 58 Prąd d zmienny Generator Napięcie skuteczne Moc prądu Dodawanie prądów w zmiennych Opór r bierny Podstawy elektrotechniki 58 Prąd d zienny Generator Napięcie skuteczne Moc prądu Dodawanie prądów w ziennych Opór r bierny Prąd d zienny Prąd d zienny 3 Prąd d zienny 4 Prąd d zienny 5 Prąd d zienny Przy stałej prędkości kątowej

Bardziej szczegółowo

n ó g, S t r o n a 2 z 1 9

n ó g, S t r o n a 2 z 1 9 Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I2 7 1 0 6 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A D o s t a w a w r a z z m o n t a e m u r z» d z e s i ł o w n i z

Bardziej szczegółowo

Studia magisterskie ENERGETYKA. Jan A. Szantyr. Wybrane zagadnienia z mechaniki płynów. Ćwiczenia 6. Wyznaczanie przepływu przez rurociągi II

Studia magisterskie ENERGETYKA. Jan A. Szantyr. Wybrane zagadnienia z mechaniki płynów. Ćwiczenia 6. Wyznaczanie przepływu przez rurociągi II Sia maiserskie ENERGETYKA Jan A. Sanyr Wyrane aanienia meaniki płynów Ćwienia 6 Wynaanie prepływ pre rroiąi II Prykła W owarym iornik najje się prosokąny owór o serokośi i wysokośi, amykany aswą. Olełość

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 70 1 3 7 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e w r a z z r o z s t a w i e n i e m o g

Bardziej szczegółowo

Pręt nr 1 - Element żelbetowy wg. PN-B-03264

Pręt nr 1 - Element żelbetowy wg. PN-B-03264 Pręt nr 1 - Element żelbetowy wg. PN-B-03264 Informacje o elemencie Nazwa/Opis: element nr 5 (belka) - Brak opisu elementu. Węzły: 13 (x6.000m, y24.000m); 12 (x18.000m, y24.000m) Profil: Pr 350x900 (Beton

Bardziej szczegółowo

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję

Bardziej szczegółowo

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27 SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;

Bardziej szczegółowo

Í í Í Á ń ý ý Ż í í ď Í Ĺ ń Í ń Ę ń ý Ż Ż ź ń ń Ę ń ý ý í ŕ Ĺ Ĺ Í Á í Ż Í É Í Ü ö ä Ż Ż Ż Ę ń ć Ę Ż ń Ę Ż ć ń Ł Ą ń Ę í Ę Ż Ż ý Ż Ż Ą Í É đ í Ł Ę Ł ć ő ť Ę ń í ć Í Ę Ę Ł Ą Ł ć ď ć Ę Ę ń Ó Ü ü Ĺ ý Ę ä í

Bardziej szczegółowo

3. Unia kalmarska IE W O EN MAŁGORZATA I 116 ERYK VII POMORSKI 119 KRZYSZTOF III BAWARSKI ESTRYDSII IE DAN W LO KRÓ 115

3. Unia kalmarska IE W O EN MAŁGORZATA I 116 ERYK VII POMORSKI 119 KRZYSZTOF III BAWARSKI ESTRYDSII IE DAN W LO KRÓ 115 K R Ó L O W I E D ~ N I IW. S TE R Y D S E N O W I E 1 1 4 3. Unia kalmarska K R Ó L O W I E D ~ N I IW. S TE R Y D S E N O W I E M~ Ł G O R Z~ T~ I E R Y K V I I O M O R S K I K R Z Y S Z T O F I I I

Bardziej szczegółowo

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011 Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 2 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k a u r a w i s a m o j e z d n

Bardziej szczegółowo

Zanim zapytasz prawnika

Zanim zapytasz prawnika 2 Zanim zapytasz prawnika 1 Zanim zapytasz prawnika Poradnik dla Klientów Biur Porad Prawnych i Informacji Obywatelskiej Pod redakcją Grzegorza Ilnickiego Fundacja Familijny Poznań Poznań 2012 3 N i n

Bardziej szczegółowo

Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 4. iωα. Własności przekształcenia Fouriera. α α

Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 4. iωα. Własności przekształcenia Fouriera. α α ora Sygałów rok Gozyk rok ormatyk Stosowaj Wykład 4 Własośc przkształca ourra własość. Przkształc ourra jst low [ β g ] βg dowód: rywaly całkowa jst opracją lową. własość. wrdz o podobństw [ ] dowód :

Bardziej szczegółowo

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej 3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi

Bardziej szczegółowo

S z a nowni P a ń s t wo! t y m rok u p oj a wi ą s i ę p i e rws i a b s ol we nc i rz e m i e ś l ni c z e j na u k i z a wod u na wy s z k ol e ni e, k t ó ry c h m i s t rz om s z k ol ą c y m b ę

Bardziej szczegółowo

Naprężenia styczne i kąty obrotu

Naprężenia styczne i kąty obrotu Naprężenia tyczne i kąty obrotu Rozpatrzmy pręt pryzmatyczny o przekroju kołowym obciążony momentem kręcającym 0 Σ ix 0 0 A A 0 0 Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia

Bardziej szczegółowo

Funkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Funkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej Wyiał Matematyki Stosowanej Zestaw adań nr 8 Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, II rok Elżbieta Adamus grudnia 206r. Funkcje espolone Ciągi i seregi licb espolonych Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji

Bardziej szczegółowo

R Z N C. p11. a!b! = b (a b)!b! d n dx n [xn sin x] = x n(n k) (sin x) (n) = n(n 1) (n k + 1) sin(x + kπ. n(n 1) (n k + 1) sin(x + lπ 2 )

R Z N C. p11. a!b! = b (a b)!b! d n dx n [xn sin x] = x n(n k) (sin x) (n) = n(n 1) (n k + 1) sin(x + kπ. n(n 1) (n k + 1) sin(x + lπ 2 ) 5 Z N p ) a a + b)! b ) a!b! a a! b a b)!b! p n n k nn k) n ) n k) d n d n [n sin ] n nn k) sin ) n) k n nn ) n k + ) sin + lπ ) k d n d n [n sin ] n k ) n n ) n k) sin ) k) k n k ) n nn ) n k + ) sin

Bardziej szczegółowo

δ δ δ 1 ε δ δ δ 1 ε ε δ δ δ ε ε = T T a b c 1 = T = T = T

δ δ δ 1 ε δ δ δ 1 ε ε δ δ δ ε ε = T T a b c 1 = T = T = T M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 8 9 6-7 7 X M O D E L O W A N I E P A S Z C Z Y Z N B A Z O W Y C H K O R P U S W N A P O D S T A W I E P O M W S P R Z D N O C I O W Y C H

Bardziej szczegółowo

Dolne oszacowania wartości rekordowych

Dolne oszacowania wartości rekordowych Dole oszacowaia wartości rekordowych Agieszka Gorocy Uiwersytet Miko laja Koperika, Toruń Tomasz Rychlik Uiwersytet Miko laja Koperika, IM PAN, Toruń XXXV Koferecja Statystyka Matematycza, Wis la. 8 grudia

Bardziej szczegółowo

Opis i zakres czynności sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu

Opis i zakres czynności sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu O p i s i z a k r e s c z y n n o c is p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o C e n t r u m S p o r t u I S t a d i o n p i ł k a r s k i w G d y n i I A S p r z» t a n i e p r z e d m e c

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą

EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą EKONOMETRIA Tema wykładu: Liiowy model ekoomeryczy (regresji z jedą zmieą objaśiającą Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapaa Tarapaa@isi.wa..wa.edu.pl hp:// zbigiew.arapaa.akcja.pl/p_ekoomeria/

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią analityczną. WYKŁAD 11. PRZEKSZTAŁCENIE LINIOWE WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE Przekształcenie liniowe

Algebra liniowa z geometrią analityczną. WYKŁAD 11. PRZEKSZTAŁCENIE LINIOWE WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE Przekształcenie liniowe lgbr liio gomtrią litcą / WYKŁD. PRZEKSZTŁCENIE LINIOWE WRTOŚCI I WEKTORY WŁSNE Prkstłci liio Diicj Prporądkoi ktorom R ktoró k R, : jst prkstłcim liiom td i tlko td gd: k k k k c c c c c Postć prkstłci

Bardziej szczegółowo

Í ń ę ń Í ę ź ę ń ľ ń ć ę ę ľ ń ę ľ ć

Í ń ę ń Í ę ź ę ń ľ ń ć ę ę ľ ń ę ľ ć ń Í ń ę ń Í ę ź ę ń ľ ń ć ę ę ľ ń ę ľ ć Í ń Ó Ń Ń Ń Ó ľ ęż Ń Á ęż Ń Ą ę Ż ć ę ę Ż ć ę ć Ś ę ę Ś Ż Ż Ż Ż ę ę Ż ń Ż ń ę ę ć Ś ę Ż ć Ż ć Ż Ż ć ń Ż ľ ę ę ę ę Ś ę ę ľ ę Ę Ĺ Í ľ ď ý Ę ń ľ ę ń Ó Ń ć Í ô Ó ľ ü

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Ł Ą ż ż Ę ż Ó Ł ź ż ż Ś ż Ę Ę Ś Ą ć ż Ź Ś Ę Ś ĄÓ Ę Ź ż Ń ć ć ć ć ż ć ć Ę Ś ż ż ć ć ć Ę ć ż Ć Ś ć ć Ś ć ć ż ż ż Ź Ś ż ć ć ć ć ć ć Ś ć Ę ż Ę ć Ó ć ć ć ć Ę ć ć ć Ę Ś ż ć Ę Ź ć Ę Ć Ź ż ż Ś Ę ź ć Ź ż ć Ą ć

Bardziej szczegółowo

> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)

> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n) .65. si() W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zbadajmy wi c szereg: si() zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu. Poiewa» si(), wi c si() = Po prawej

Bardziej szczegółowo

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12 Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a

Bardziej szczegółowo

IV. RÓWNANIA RÓŻNICOWE

IV. RÓWNANIA RÓŻNICOWE V. RÓWNANA RÓŻNCOWE 4.. Wstęp Prz frowm przetwarzaiu sgałów dooujem ih dsretzaji zli próbowaia, tz. zamia sgału iągłego a iąg sgałów dsreth. Sgał iągł (t) przedstawiam jao iąg rzędh wzazah dla dsreth wartośi

Bardziej szczegółowo