Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08
DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m
OZNACZENIA a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Macierz główna układu: A = a m1 a m2 a mn Macierz uzupełniona układu: a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 U = a m1 a m2 a mn b m
Twierdzenie Kroneckera - Capellego TWIERDZENIE Układ ( ) ma rozwia zanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(U); ponadto: gdy R(A) = R(U) = n, to układ ma dokładnie jedno rozwia zanie; gdy R(A) = R(U) = r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwia zań zależnych od n r parametrów UWAGA W przypadku, gdy R(A) = R(U) = r, układ ( ) jest równoważny układowi Cramera r równań z r niewiadomymi (oraz z n r parametrami)
Twierdzenie Cramera TWIERDZENIE Gdy m = n w układzie ( ) oraz gdy det A 0, to układ (nazywany wtedy układem Cramera) ma dokładnie jedno rozwia zanie opisane wzorami: x 1 = det A 1 det A,, x n = det A n det A, gdzie A i to macierz powstała przez zasta pienie w macierzy A kolumny i-tej kolumna wyrazów wolnych
Wzory Cramera PRZYKŁAD Stosuja c wzory Cramera rozwia ż układ: x y + z = 0 x + y 2z = 1 2x y + 2z = 2
Wzory Cramera PRZYKŁAD Stosuja c wzory Cramera rozwia ż układ: det A = x y + z = 0 x + y 2z = 1 2x y + 2z = 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 = 3,
Wzory Cramera PRZYKŁAD Stosuja c wzory Cramera rozwia ż układ: det A = x y + z = 0 x + y 2z = 1 2x y + 2z = 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 = 3, det A 1 = 0 1 1 1 1 2 2 1 2 = 3,
Wzory Cramera PRZYKŁAD Stosuja c wzory Cramera rozwia ż układ: x y + z = 0 x + y 2z = 1 2x y + 2z = 2 det A = det A 2 = 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 0 1 1 1 2 2 2 2 = 3, det A 1 = = 6, 0 1 1 1 1 2 2 1 2 = 3,
Wzory Cramera PRZYKŁAD Stosuja c wzory Cramera rozwia ż układ: x y + z = 0 x + y 2z = 1 2x y + 2z = 2 det A = det A 2 = 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 0 1 1 1 2 2 2 2 0 1 1 = 3, det A 1 = 1 1 2 = 3, 2 1 2 1 1 0 = 6, det A 3 = 1 1 1 = 3, 2 1 2
Wzory Cramera PRZYKŁAD Stosuja c wzory Cramera rozwia ż układ: x y + z = 0 x + y 2z = 1 2x y + 2z = 2 det A = det A 2 = 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 0 1 1 1 2 2 2 2 0 1 1 = 3, det A 1 = 1 1 2 = 3, 2 1 2 1 1 0 = 6, det A 3 = 1 1 1 = 3, 2 1 2 zatem x = det A 1 det A = 3 3 = 1, y = 6 3 = 2, z = 3 3 = 1
Metoda eliminacji METODA ELIMINACJI (Gaussa) polega na eliminowaniu kolejnych zmiennych z kolejnych równań PRZYKŁAD Rozwia ż układ równań: 2x + y + 2z + t = 2 x y z + 2t = 2 4x + y + 2z + 2t = 3 3x + 3y + z + 5t = 1
2x + y + 2z + t = 2 x y z + 2t = 2 4x + y + 2z + 2t = 3 3x + 3y + z + 5t = 1 Na przykład drugie równanie dodajemy do pierwszego, dodajemy do trzeciego oraz mnożymy przez 3 i dodajemy do czwartego ( eliminujemy y ) otrzymuja c: 3x + z + 3t = 0 5x + z + 4t = 1 6x 2z + 11t = 5 Teraz równanie pierwsze mnożymy przez 1 i dodajemy do drugiego oraz { mnożymy przez 2 i dodajemy 2x + t = 1 do trzeciego ( eliminujemy z ): 12x + 17t = 5 Pierwsze równanie mnożymy przez 6 i dodajemy do drugiego: 11t = 11 Zatem t = 1 i, kolejno, x = 1, z = 0, y = 1
Metoda eliminacji w układzie Cramera n równań Nieco krótszą formą zapisu jest pominięcie niewiadomych Zamiast układu zapisujemy macierz uzupełnioną U - pamiętając, że liczby w pierwszej kolumnie to współczynniki przy pierwszej zmiennej, liczby w ostatniej kolumnie, to wyrazy po znaku = Działając tylko na wierszach: zamieniając wiersze miejscami, dzieląc lub mnożąc wszystkie wyrazy dowolnego wiersza przez dowolną stałą różną od zera, dodając do elementów dowolnego wiersza odpowiedne elementy innego wiersza pomnożone przez dowolną stała, doprowadzamy do macierzy, której każda z pierwszych n kolumn składa się z jednej jedynki i n 1 zer (ewentualnie do macierzy, której pierwsze n kolumn tworzy I n ; wtedy pierwsza niewiadoma jest równa pierwszej liczbie w ostatniej kolumnie, )
Metoda eliminacji PRZYKŁAD Rozwia ż układ równań: Macierz uzupełniona tego układu to: 2x + y + 2z + t = 2 x y z + 2t = 2 4x + y + 2z + 2t = 3 3x + 3y + z + 5t = 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 4 1 2 2 3 3 3 1 5 1
Metoda eliminacji 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 4 1 2 2 3 3 3 1 5 1 Postępujemy tak samo jak przy poprzedniej metodzie rozwiązywania układu (to jedna z wielu możliwości) Drugi wiersz (odpowiadający drugiemu równaniu) dodajemy do pierwszego, dodajemy do trzeciego oraz mnożymy przez 3 i dodajemy do czwartego: 3 0 1 3 0 1 1 1 2 2 5 0 1 4 1 6 0 2 11 5
Metoda eliminacji 3 0 1 3 0 1 1 1 2 2 5 0 1 4 1 6 0 2 11 5 Następnie pierszy wiersz dodajemy do drugiego, mnożymy przez 1 i dodajemy do trzeciego, mnożymy przez 2 i dodajemy do czwartego 3 0 1 3 0 4 1 0 5 2 2 0 0 1 1 12 0 0 17 5
Metoda eliminacji 3 0 1 3 0 4 1 0 5 2 2 0 0 1 1 12 0 0 17 5 Trzeci wiersz mnożymy przez 3/2 i dodajemy do pierwszego, mnożymy przez 2 i dodajemy do drugiego, mnożymy przez 6 i dodajemy do czwartego 0 0 1 3/2 3/2 0 1 0 3 4 2 0 0 1 1 0 0 0 11 11
Metoda eliminacji 0 0 1 3/2 3/2 0 1 0 3 4 2 0 0 1 1 0 0 0 11 11 Wszystkie wyrazy czwartego wiersza dzielimy przez 11, trzeciego przez 1, drugiego przez 1 0 0 1 3/2 3/2 0 1 0 3 4 1 0 0 1/2 1/2 0 0 0 1 1
Metoda eliminacji 0 0 1 3/2 3/2 0 1 0 3 4 1 0 0 1/2 1/2 0 0 0 1 1 Czwarty wiersz mnożymy przez 1/2 i dodajemy do trzeciego, mnożymy przez 3 i dodajemy do drugiego, mnożymy przez 3/2 i dodajemy do pierwszego
Metoda eliminacji 0 0 1 3/2 3/2 0 1 0 3 4 1 0 0 1/2 1/2 0 0 0 1 1 Czwarty wiersz mnożymy przez 1/2 i dodajemy do trzeciego, mnożymy przez 3 i dodajemy do drugiego, mnożymy przez 3/2 i dodajemy do pierwszego 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 Zatem z = 0, y = 1, x = 1, t = 1
Metoda eliminacji 0 0 1 3/2 3/2 0 1 0 3 4 1 0 0 1/2 1/2 0 0 0 1 1 Czwarty wiersz mnożymy przez 1/2 i dodajemy do trzeciego, mnożymy przez 3 i dodajemy do drugiego, mnożymy przez 3/2 i dodajemy do pierwszego 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 Zatem z = 0, y = 1, x = 1, t = 1
Metoda eliminacji 0 0 1 3/2 3/2 0 1 0 3 4 1 0 0 1/2 1/2 0 0 0 1 1 Czwarty wiersz mnożymy przez 1/2 i dodajemy do trzeciego, mnożymy przez 3 i dodajemy do drugiego, mnożymy przez 3/2 i dodajemy do pierwszego 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 Zatem z = 0, y = 1, x = 1, t = 1
Metoda eliminacji 0 0 1 3/2 3/2 0 1 0 3 4 1 0 0 1/2 1/2 0 0 0 1 1 Czwarty wiersz mnożymy przez 1/2 i dodajemy do trzeciego, mnożymy przez 3 i dodajemy do drugiego, mnożymy przez 3/2 i dodajemy do pierwszego 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 Zatem z = 0, y = 1, x = 1, t = 1
Metoda eliminacji Mogliśmy oczywiście zamienić wiersze miejscami uzyskując macierz: 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 Jak wiemy, liczby w pierwszej kolumnie to współczynniki przy pierwszej zmiennej (w układzie równoważnym), liczby w drugiej kolumnie, to współczynniki przy drugiej zmiennej, liczby w ostatniej kolumnie, to wyrazy po znaku = Zatem x = 1, y = 1, z = 0, t = 1
Metoda macierzowa rozwiązywania układów Cramera Gdy X = x 1 x 2 x m, B = b 1 b 2 b m zapisać w postaci macierzowej, to układ ( ) można A X = B Gdy jest to układ Cramera (det A 0), to mnożąć lewostronnie (mnożenie macierzy nie jest przemienne) przez A 1 otrzymamy A 1 A X = A 1 B Jak wiadomo A 1 A = I oraz I X = X, zatem X = A 1 B
PRZYKŁAD Rozwiąż układ x + 2y = 0 3x + 4y = 2 metodą macierzową Układ ten zapisujemy w postaci macierzowej [ ] [ ] [ ] 1 2 x 0 = Macierzą odwrotną do macierzy 3 4 y 2 [ ] [ ] 1 2 2 1 A = jest A 3 4 1 = Zatem 3/2 1/2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x 2 1 0 2 0 + 1 2 2 = 3 y 2 1 = 3 2 2 2 0 1 2 2 = 1 Rozwiązania to x = 2 oraz y = 1
Twierdzenie Kroneckera - Capellego PRZYKŁAD Rozwiąż układ x + 5y = 1 2x + 4y = 1 3x + 3y = 1 4x + 2y = 1 5x + y = 2 Badamy rząd macierzy głównej i macierzy uzupełnionej układu 1 5 1 5 1 2 4 2 4 1 R(A) = R 3 3 = 2, R(U) = R 3 3 1 = 3 4 2 4 2 1 5 1 5 1 2 Kolorowe minory są różne od zera R(A) R(U); układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązania)
Twierdzenie Kroneckera - Capellego PRZYKŁAD Rozwiąż układ x + 5y = 1 2x + 4y = 1 3x + 3y = 1 4x + 2y = 1 5x + y = 1 Badamy rząd macierzy głównej i macierzy uzupełnionej układu 1 5 1 5 1 2 4 2 4 1 R(A) = R 3 3 = 2, R(U) = R 3 3 1 = 2 3 4 2 4 2 1 5 1 5 1 1 R(A) = R(U) = n = 2; układ ma (dokładnie jedno) rozwiązanie Tworzymy układ Cramera (dwóch równań z dwiema niewiadomymi) równoważny naszemu układowi Jedną z możliwości jest odrzucenie trzech ostatnich równań
Twierdzenie Kroneckera - Capellego Układ równoważny: { x + 5y = 1 2x + 4y = 1 Oczywiście wyznacznik macierzy głównej tego układu 1 5 0 Rozwiązujemy ten układ dowolną metodą 2 4 (podstawiania, eliminacji, stosując wzory Cramera lub zgadywania ) otrzymując rozwiązanie: x = 1 6, y = 1 6
Twierdzenie Kroneckera - Capellego PRZYKŁAD Rozwiąż układ { x + 2y + 3z + 4t + 5u = 1 5x + 4y + 3z + 2t + u = 1 Badamy rząd macierzy głównej i macierzy uzupełnionej układu [ ] 1 2 3 4 5 R(A) = R = 2, 5 4 3 2 1 [ ] 1 2 3 4 5 1 R(U) = R = 2 5 4 3 2 1 1 R(A) = R(U) = 2 < n = 5; układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od trzech (5 2) parametrów
Twierdzenie Kroneckera - Capellego PRZYKŁAD Rozwiąż układ { x + 2y + 3z + 4t + 5u = 1 5x + 4y + 3z + 2t + u = 1 Badamy rząd macierzy głównej i macierzy uzupełnionej układu [ ] 1 2 3 4 5 R(A) = R = 2, 5 4 3 2 1 [ ] 1 2 3 4 5 1 R(U) = R = 2 5 4 3 2 1 1 R(A) = R(U) = 2 < n = 5; układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od trzech (5 2) parametrów Tworzymy układ Cramera dwóch równań z dwiema niewiadomymi i trzema parametrami równoważny naszemu układowi Jedną z możliwości jest przeniesienie trzech ostatnich niewiadomych na prawą stronę i potraktowanie ich jak parametrów
PRZYKŁAD Rozwiąż układ x + 2y + 3z + 4t + 5u = 1 5x + 4y + 3z + 2t + u = 1 Podstawiamy (by wyglądały na parametry) z = λ, t = µ, u = η Układ równoważny: { x + 2y = 1 3λ 4µ 5η 5x + 4y = 1 3λ 2µ η Oczywiście wyznacznik nowej macierzy głównej różny od zera Rozwiązujemy układ dowolną metodą otrzymując: 1 2 5 4 x = 1 3 + λ + 2µ + 3η, y = 2 2λ 3µ 4η 3 jest
PRZYKŁAD Rozwiąż układ x + 2y + 3z + 4t + 5u = 1 5x + 4y + 3z + 2t + u = 1 Rozwiązania (dokładniej: nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od trzech parametrów): x = 1 3 + λ + 2µ + 3η y = 2 3 2λ 3µ 4η z = λ, t = µ u = η gdzie λ R, µ R, η R
Wektory własne DEFINICJA Załóżmy, że A jest macierzą kwadratową stopnia n, λ jest wartością własną tej macierzy, I jest macierzą jednostkową n-tego stopnia, a O to jednokolumnowa, n wierszowa macierz złożona z samych zer Wektorem własnym macierzy A nazywamy każde rozwiązanie X = (A λi) X = O x 1 x n O równania PRZYKŁAD Znajdź wektory własne macierzy A = [ 1 2 2 4 Wartościami własnymi tej macierzy są λ 1 = 0 oraz λ 2 = 5 ]
Dla λ 1 = 0 A λ 1 I = [ 1 2 2 4 ] 0 [ 1 0 0 1 ] = [ 1 2 2 4 Rozwiązujemy równanie (A λ 1 I) X = O, czyli [ ] [ ] [ ] 1 2 x 0 = Mamy więc do rozwiązania układ 2 4 y 0 { x + 2y = 0 Układ ten ma nieskończenie wiele 2x + 4y = 0 rozwiązań (zależnych od jednego parametru): Nas interesują tylko µ R \ {0} x = µ, y = 1 µ, µ R 2 ]
Dla λ 2 = 5 A λ 2 I = [ 1 2 2 4 ] 5 Rozwiązujemy równanie [ ] [ ] [ 4 2 x 0 = 2 1 y 0 [ 1 0 0 1 ] ], czyli = [ 4 2 2 1 ] { 4x + 2y = 0 2x y = 0 Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań: x = η, y = 2η, η R Nas interesują η R \ {0} Wybieramy, na przykład, µ = 2 oraz η = 1 [ ] [ 2 1 Wektorami własnymi macierzy A są, 1 2 oraz dowolne niezerowe krotności tych wektorów ]