Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Metody poszukiwania końcowych rozwiązań sprawnych: 1. Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów dokonuje się wyboru jednego z kryteriów zadania wielokryterialnego a pozostałe uwzględnia w warunkach ograniczających ustalając ich satysfakcjonujący poziom. Jeżeli tak utworzone zadanie jest niesprzeczne, to rozwiązując je uzyskamy rozwiązanie sprawne. Zmieniając kryteria uzyskamy różne rozwiązania sprawne. 2. Wykorzystanie współczynników wagowych kryteriom nadaje się wagi i tworzy nowe kryterium zastępcze jako ważoną sumę kryteriów, 3. Hierarchizacja kryteriów zadanie rozwiązywane jest sekwencyjnie jako zbiór zadań jednokryterialnych o ustalonym priorytecie ważności. W każdym kroku przyjmując kryterium o niższej ważności dołącza się jako nowy warunek ograniczający żądanie, aby wszystkie ważniejsze cele były zrealizowane na poziomie nie gorszym niż dotychczas, bądź określa się progi ich wartości (np. procentowo) - rozwiązanie nie jest dopuszczalne jeżeli nie są spełnione dodatkowe ograniczenia związane z progami wartości kryteriów ważniejszych w hierarchii. 4. Programowanie celowe dążymy do znalezienia rozwiązania, które spełniałoby oczekiwania odnośnie sformułowanych celów. Cele mogą być punktowe bądź przedziałowe. Jeżeli osiągnięcie wartości wszystkich pożądanych celów jednocześnie jest niemożliwe, szukamy rozwiązania, które zminimalizuje sumę odchyleń osiągniętych wartości od wartości pożądanych. 5. Metoda punktu idealnego definiuje się rozwiązanie idealne, które nie musi być osiągalne. Minimalizuje się odległość np. euklidesową rozwiązania od punktu idealnego, 6. Metody interaktywne decydent w trakcie postępowania dokonuje określenia satysfakcjonujących go poziomów kryteriów, iteracyjnie może je zmieniać.
1. Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów Metoda polega na użyciu jednokryterialnego zadania PL w miejsce zadania wielokryterialnego - polega na zamianie K-1 funkcji celu na ograniczenia gwarantujące osiągnięcie satysfakcjonujących decydenta poziomów kryteriów i na rozwiązaniu zadania ze względu na jedną wybraną funkcję celu. Przykład Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te mogą być wytwarzane niezależnie w dwóch procesach: P1 i P2. W ciągu 1 godziny trwania procesu P1 zużywa się 1 baryłkę ropy A oraz 3 baryłki ropy B i otrzymuje 100 galonów paliwa X oraz 30 galonów paliwa Y. W ciągu 1 godziny trwania procesu P2 zużywa się 4 baryłki ropy A oraz 2 baryłki ropy B i otrzymuje 50 galonów paliwa X oraz 40 galonów paliwa Y. Zasób ropy A wynosi 320 baryłek, a ropy B 240 baryłek. Zysk z godziny produkcji według procesu P1 wynosi 200$, a koszty 800$. Zysk z godziny produkcji według procesu P2 wynosi 500$, a koszty 1200$. Szef produkcji poszukuje takiej kombinacji procesów P1 i P2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile P2), aby osiągnąć: maksymalny zysk oraz minimalny koszt.
Załóżmy, że w przykładzie decydenta satysfakcjonuje kwota zysku na poziomie co najmniej 40 000$. W takiej sytuacji wystarczy rozwiązać następujący model optymalizacji jednokryterialnej: z 3 = 800x 1 1200x 2 max 100x 1 + 50x 2 4000 30x 1 + 40x 2 2400 x 1 + 4x 2 320 ( koszty) (paliwo X) (paliwo Y) (ropa A) 3x 1 + 2x 2 240 (ropa B) 200x 1 + 500x 2 40000 (min zysk) x 1 0, x 2 0 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzji oraz w przestrzeni kryteriów zilustrowane są na rysunkach. Rozwiązaniami niezdominowanymi (w przestrzeni 2 kryteriów zysk, koszty) są punkty na odcinku B C. Rozwiązaniem optymalnym sformułowanego zadania jednokryterialnego jest punkt B o współrzędnych: x 1 =0, x 2 =80. Oznacza to zastosowanie procesu technologicznego P2 w ilości 80 godzin i nie stosowanie w ogóle procesu P1. Odpowiadające rozwiązaniu optymalne koszty to 96 000 $. Osiągany przy tym rozwiązaniu zysk jest równy dokładnie 40000$ - ograniczenie wiążące. Drugim wiążącym ograniczeniem jest wykorzystanie w 100% zasobu ropy A. Ponadto wielkość produkcji paliwa X będzie dokładnie na dokładnie minimalnym wymaganym poziomie. Pozostałe ograniczenia są spełnione jako nierówności ostre więcej niż minimalny limit paliwa B, zasób ropy B niewykorzystany.
(ropa B) B C (ropa A) paliwo Y A Min zysk paliwo X D
2. Wykorzystanie współczynników wagowych Metoda polega na skonstruowaniu jednej funkcji kryterium zamiast K funkcji kryterium zadania wielokryteriowego. Decydent określa proporcje ważności pomiędzy kryteriami. W przykładzie załóżmy, że proporcje między zyskiem a kosztami ocenione zostały jak 7:3. Prowadzi to do funkcji celu: Funkcja W przyjmuje postać: W(x 1, x 2 ) = 7z 1 + 3z 3 max W(x 1, x 2 ) = 7(200x 1 + 500x 2 ) + 3( 800x 1 1200x 2 ) = 1000x 1 100x 2 max Użycie wagowej funkcji celu prowadzi do rozwiązania sprawnego w punkcie B zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzji.
3a. Hierarchizacja kryteriów ścisła Hierarchizacja kryteriów polega na nadaniu funkcjom kryterialnym priorytetów - przyporządkowaniu ich do określonych poziomów hierarchii ważności. Im wyższy priorytet tym kryterium jest ważniejsze. Rozwiązywanie zhierarchizowanego zadania WPL odbywa się sekwencyjnie. W pierwszym kroku rozwiązywane jest jednokryterialne zadanie PL z funkcją celu o najwyższym priorytecie. W następnym kroku rozszerzamy zbiór ograniczeń o żądanie, aby funkcja celu optymalizowana w poprzednim kroku nie pogorszyła swojej wartości i rozwiązujemy jednokryterialne zadanie PL z funkcją celu z drugiego poziomu hierarchii. W kolejnych krokach postępujemy analogicznie jak w kroku poprzednim, używając funkcji celu z kolejnych (aktualnych) poziomów hierarchii i rozszerzając zbiór ograniczeń o żądanie aby funkcje celu ze wszystkich poprzednich poziomów hierarchii osiągały swoje optymalne wartości). W każdym kroku rozwiązywane jest jednokryterialne zadanie PL o coraz większej liczbie dodatkowych ograniczeń. Przykład Dla sytuacji decyzyjnej opisanej w przykładzie szef produkcji poszukuje takiej kombinacji procesów P1 i P2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile P2), aby osiągnąć: 1. maksymalny zysk, 2. maksymalną ilość paliw X i Y oraz 3. minimalny koszt. Załóżmy, że numeracja kryteriów odpowiada tutaj hierarchii ważności kryteriów. Zadanie WPL ma postać:
z 1 = 200x 1 + 500x 2 max (zysk) z 2 = 130x 1 + 90x 2 max (produkcja paliwa) z 3 = 800x 1 1200x 2 max ( koszty) 100x 1 + 50x 2 4000 (paliwo X) 30x 1 + 40x 2 2400 (paliwo Y) x 1 + 4x 2 320 (ropa A) 3x 1 + 2x 2 240 (ropa B) x 1 0, x 2 0
W pierwszym kroku rozwiązywane jest jednokryterialne zadanie z funkcją kryterium zysk o najwyższym priorytecie: z 1 = 200x 1 + 500x 2 max 100x 1 + 50x 2 4000 30x 1 + 40x 2 2400 x 1 + 4x 2 320 (zysk) (paliwo X) (paliwo Y) (ropa A) 3x 1 + 2x 2 240 (ropa B) x 1 0, x 2 0 Rozwiązaniem jest punkt C zbioru rozwiązań dopuszczalnych o współrzędnych: x 1 = 32 godziny oraz x 2 = 72 godziny. Wartość maksymalnego zysku wynosi 42 400$.
W drugim kroku rozwiązuje się zadanie z funkcją kryterium produkcja paliwa. z 2 = 130x 1 + 90x 2 max (produkcja paliwa) 100x 1 + 50x 2 4000 (paliwo X) 30x 1 + 40x 2 2400 (paliwo Y) x 1 + 4x 2 320 (ropa A) 3x 1 + 2x 2 240 (ropa B) 200x 1 + 500x 2 = 42400 (zysk) x 1 0, x 2 0 Rozwiązanie zadania z drugiego poziomu hierarchii odpowiada również wierzchołkowi C. Wartość funkcji kryterium to 10 640 galonów paliwa.
W trzecim kroku układ ograniczeń uzupełniany jest o żądanie produkcji 10 640 galonów paliwa. Funkcja kryterium zadania z trzecim priorytetem to - koszty. Model decyzyjny trzeciego poziomu hierarchii jest następujący: z 3 = 800x 1 1200x 2 max 100x 1 + 50x 2 4000 30x 1 + 40x 2 2400 x 1 + 4x 2 320 (paliwo X) (paliwo Y) (ropa A) 3x 1 + 2x 2 240 (ropa B) 200x 1 + 500x 2 = 42400 130x 1 + 90x 2 = 10640 ( koszty) (zysk) (produkcja paliwa) x 1 0, x 2 0 Uzyskuje się rozwiązanie optymalne również w punkcie C, przy kosztach równych 112 000$. Uwaga!!! Rozwiązanie uzyskane metodą ścisłej hierarchizacji jest zawsze rozwiązaniem sprawnym.
3.b Hierachizacja kryteriów quasi Jeżeli w postępowaniu ścisłej hierarchizacji nowo dołączane (od kroku 2) ograniczenia w postaci równości zastąpimy nierównościami z prawymi stronami na poziomie nieco niższym od maksymalnych, to postępowanie takie będzie odpowiadało tzw. quasi-hierarchizacji. Takie postępowanie jest podobne do opisanego postępowania, w którym w charakterze ograniczeń wprowadzaliśmy satysfakcjonujące poziomy kryteriów. Jedyna różnica polega tutaj na kolejności wprowadzania takich restrykcji. Ustalmy w imieniu decydenta, że będą nas satysfakcjonowały 90%-owe poziomy maksymalnych wartości kryteriów na K-1 pierwszych stopniach hierarchii. Przy takich założeniach na drugim stopniu hierarchii rozwiązywać będziemy model: z 2 = 130x 1 + 90x 2 max 100x 1 + 50x 2 4000 30x 1 + 40x 2 2400 x 1 + 4x 2 320 (produkcja paliwa) (paliwo X) (paliwo Y) (ropa A) 3x 1 + 2x 2 240 (ropa B) 200x 1 + 500x 2 0,9 42400 x 1 0, x 2 0 (zysk)
Rozwiązaniem jest punkt C, któremu odpowiada produkcja paliwa w ilości 10 640 galonów. W trzecim kroku rozwiązywany jest model decyzyjny: z 3 = 800x 1 1200x 2 max ( koszty) 100x 1 + 50x 2 4000 (paliwo X) 30x 1 + 40x 2 2400 (paliwo Y) x 1 + 4x 2 320 (ropa A) 3x 1 + 2x 2 240 (ropa B) 200x 1 + 500x 2 0,9 42400 (zysk) 130x 1 + 90x 2 0,9 10640 (produkcja paliwa) x 1 0, x 2 0
Q Rozwiązaniem jest punkt Q o współrzędnych x 1 = 28,8 godziny oraz x 2 = 64,8 godziny. Funkcje kryterium osiągają w tym punkcie następujące wartości: Zysk 38 160$, produkcja paliwa 9 576 galonów oraz koszty 100 800$. Uwaga: Rozwiązanie kompromisowe uzyskane metodą quasi-hierarchizacji nie musi być rozwiązaniem sprawnym.
-z3 5. Metoda odchyleń od punktu idealnego Metoda polega na znalezieniu w zbiorze rozwiązań niezdominowanych (przestrzeń kryteriów) takiego rozwiązania niezdominowanego, które będzie najbliższe rozwiązaniu idealnemu w sensie, np. odległości euklidesowej. Zagadnienie poszukiwania odpowiedniego rozwiązania w przestrzeni kryteriów można przedstawić jako następujące zadanie optymalizacji: znajdź punkt najbliższy idealnemu należący do zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów. Rozważmy przestrzeń kryteriów z 1 zysk i z 3 -koszty : Przestrzeń kryteriów z1 i z3-55000 -65000-75000 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 D' A' Punkt idealny - niedopuszczalny -85000 Rozwiązanie niezdominowane najbliższe punktowi idealnemu -95000 B' -105000-115000 z1 C'
Punkt najbliższy w sensie odległości euklidesowej od punktu idealnego znajdziemy rozwiązując zadanie minimalizacji: w = (y 1,N 42400) 2 + (y 2,N ( 64000)) 2 min, gdzie y N = [y 1,N y 2,N ] T to współrzędne punktu będącego rozwiązaniem kompromisowym w przestrzeni kryteriów. Rozwiązanie kompromisowe jest kombinacją liniową punktów wierzchołkowych zbioru rozwiązań niezdominowanych w przestrzeni kryteriów. Optymalizacja polega na znalezieniu optymalnych wag tej kombinacji. Wagi są nieujemne i sumują się do jedności. W przykładzie mamy 4 wierzchołki łamanej D A A B B C będącej zbiorem rozwiązań niezdominowanych; szukamy zatem 4 wag: y N = α D y D + α A y A + α B y B + α C y C α D + α A + α B + α C = 1 α D 0, α A 0, α B 0, α C 0. Współrzędne rozwiązania kompromisowego w przestrzeni kryteriów: y 1,N = 27680, y 2,N = 71360. Optymalne wagi (znalezione za pomocą Solvera narzędzia optymalizacji w Excelu) wynoszą: α D = 0, α A = 77 80, α B = 3 80, α C = 0. Wartości wag oznaczają, że rozwiązanie leży na odcinku A B.
Odpowiednik rozwiązania kompromisowego w przestrzeni decyzji znajdujemy jako kombinację liniową odpowiednich wierzchołków tworzących zbiór rozwiązań sprawnych, wykorzystując znalezione optymalne wartości wag. Jest to rozwiązanie sprawne leżące na krawędzi AB zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej: α D x D + α A x A + α B x B + α C x C = [ 15,4 49,2 ] Rozwiązanie kompromisowe: proces P1 15,4 godziny, proces P2 49,2 godziny. Wartości funkcji kryterium: zysk = 27 680$, koszty = 71 360 $.
6. Wykorzystanie metody interaktywnej Idea metody interaktywnej polega na rozwiązywaniu zadań jednokryterialnych w każdej iteracji. Zadania te mają oryginalny zbiór ograniczeń zadania WPL, który wzbogacany jest dodatkowymi żądaniami dla każdego z K kryteriów poziomy aspiracji (por. metoda satysfakcjonujących poziomów). Rozwiązując jednokryterialne zadanie PL możemy wyliczyć wartości funkcji celu dla pozostałych K-1 kryteriów. W ten sposób dla wszystkich kryteriów możemy w danej iteracji ustalić dwie skrajne wartości: pesymistyczną i optymistyczną. Decydent ustala dla każdego kryterium swoje poziomy aspiracji (pomiędzy oceną pesymistyczną a optymistyczną). Następnie konstruuje się K nowych ograniczeń i dołącza je do oryginalnych ograniczeń zadania WPL. W kolejnej iteracji ponownie rozwiązywane są zadania jednokryteriowe, tworzone oceny pesymistyczne i optymistyczne, a następnie decydent ustala nowe poziomy aspiracji. Koniec postepowania: gdy oszacowania pesymistyczne i optymistyczne wystarczająco zbliżą się do siebie lub na życzenie decydenta.