Algorytmy ewolucyjne optymalizacji wielokryterialnej sterowane preferencjami decydenta

Transkrypt

1 Algorytmy ewolucyjne optymalizacji wielokryterialnej sterowane preferencjami decydenta Dr Janusz Miroforidis MGI Metro Group Information Technology Polska Sp. z o.o. listopad 2010

2 Wprowadzenie Plan prezentacji Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji Oszacowania parametryczne Wyznaczanie wariantów efektywnych Zmodyfikowane oszacowania parametryczne Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań parametrycznych Przykłady obliczeń Zastosowanie metody w WPD Podsumowanie 2

3 Wprowadzenie Problemy decyzyjne w działalności człowieka Zarządzanie zasobami leśnymi i wodnymi. Planowanie zagospodarowania terenów. Zagadnienia logistyczne i transportowe. Konstruowanie maszyn i urządzeń. Planowanie terapii nowotworowej. Handel i marketing. 3

4 Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji Wielokryterialne zadanie decyzyjne Przy ustalonym zadaniu optymalizacji wielokryterialnej: n vmax f ( x), xx R, f ( x) f ( x), f ( x),, f ( x), k gdzie vmax jest operatorem wyznaczania zbioru wariantów efektywnych, decydent ma wskazać wariant najbardziej preferowany w tym zbiorze. 4

5 Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji Metody interaktywne WPD Istotą tych metod jest interaktywny, sterowany przez decydenta przegląd zbioru ocen efektywnych. f 2 (x) f(e(x 0 )) - zbiór ocen efektywnych f(x 0 ) Preferencje określane np. przez współczynniki wagowe, punkty referencyjne. f 1 (x) 5

6 f 2 (x) Skalaryzacja zadania optymalizacji f(x 0 ) wielokryterialnej Wyznaczanie ocen (słabo) efektywnych z wykorzystaniem ważonej metryki Czebyszewa. * y y t y * Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji x y f x * ( ) arg min max i i i( ), xx i gdzie * i y f ( X ) i i i 0 0 y max y e, e 0, i 1,, k, 1, 0, 1,,. i i i i k f 1 (x) Zalety takiej skalaryzacji: warunki konieczne i dostateczne istnienia ocen (słabo) efektywnych bez dodatkowych założeń o cechach zbioru f(x 0 ) (np. wypukłość); nie wprowadza dodatkowych nieliniowości do zadania optymalizacji. 6

7 Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji Określanie preferencji decydenta za pomocą kierunków ustępstw f 2 (x) y * f(x 0 ) * y y t f ( x( )) f ( ) τ f 1 (x) Wektor τ określa proporcje ustępstw przy odejściu od punktu y *. 7

8 Oszacowania parametryczne Oszacowania parametryczne współrzędnych ocen elementy zbioru f(s); S szkielet, podzbiór E(X 0 ) f 2 (x) U 2 y * ocena niejawna zadana przez wektor τ f(τ) L (, S) f ( ) U (, S), i 1,..., k. i i i L 2 L 1 U 1 półprosta kompromisu zadana przez τ f 1 (x) Koszt wyznaczenia oszacowań L(τ,S) i U(τ,S) zaniedbywalnie mały formuły dane w postaci analitycznej. Wyznaczenie S wymaga dokładnych obliczeń optymalizacyjnych. 8

9 Oszacowania parametryczne Dynamika oszacowań parametrycznych oceny wariantów efektywnych dodanych do szkieletu S f 2 (x) y * f(τ) Uzupełnianie szkieletu o kolejne warianty efektywne nie pogarsza oszacowań, może zaś je polepszać. f 1 (x) 9

10 Wyznaczanie wariantów efektywnych Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania aproksymacji zbioru wariantów efektywnych Algorytmy ewolucyjnej optymalizacji wielokryterialnej: NSGA-II, SPEA-2. f 2 (x) iteracja imax - 2 iteracja imax - 1 iteracja imax f(x 0 ) Zastosowanie w metodach a posteriori WPD. f 1 (x) 10

11 Wyznaczanie wariantów efektywnych Algorytmy ewolucyjne dla skalarnych zadań optymalizacji Algorytmy GENOCOP II i III. f 2 (x) * y y t y * iteracja imax f(x 0 ) Zastosowanie w metodach a priori i metodach interaktywnych WPD. f 1 (x) 11

12 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne Oszacowania parametryczne a algorytmy ewolucyjne obrazy elementów szkieletu dolnego S D wyznaczane przez istniejące algorytmy ewolucyjne (NSGA-II, SPEA-2) obrazy elementów szkieletu górnego S G, wymagane dla poprawności oszacowań od góry f 2 (x) f(τ) y * Zmodyfikowane oszacowania parametryczne: f(x 0 ) L (, S ) f ( ) U (, S ), i 1,..., k. i D i i G Formuły L i (τ,s D ) i U i (τ,s G ) jak dla oszacowań ze szkieletem S. f 1 (x) 12

13 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne Szkielet dolny S D S,, D X0 SD x S x ' S x' x. D D 13

14 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne Szkielet górny S G nad y ( S ) min f ( x), i 1,..., k. i D xs i n S R \ X, S, G D 0 G x x xs x' S G x S x ' E ( X ) x' x, G nad f ( x) y ( S ), i 1,..., k. xs i i D G G 0 ', 14

15 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne Aproksymacja górna A G n A R \ X, A, G 0 G nad y ( S ) min f ( x), i 1,..., k. i D xs i D xa x' A x x G x A x ' S x' x, G G D ', Nie mamy zbioru E(X 0 )! 3. nad f ( x) y ( S ), i 1,..., k. xa i i D G A G jest aproksymacją zbioru S G. 15

16 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne Wykorzystanie par (S D, A G ) do wyznaczania wartości oszacowań Oszacowania od góry wykorzystanie aproksymacji górnej U i (, A ) G zamiast U (, S ), i 1,..., k. i G Miary dokładności oszacowań Bezwzględna dokładność oszacowania oceny f(τ): (, S, A ) max U (, A ) L (, S ). D G i G i D 1 i k Względna dokładność oszacowania oceny f(τ): Ui (, AG ) Li (, S ) D (, SD, AG) max, 1 i k max min fi ( SD) fi ( SD) gdzie f max ( S ) max f ( x), i D i xs D f min ( S ) min f ( x). i D i xs D 16

17 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne Aproksymacja górna A G i zjawisko błędnych oszacowań od góry f ( ) U(, A ), dla pewnego i {1,2,, k}. i G f2 U2 A G ( ) (, ) f 2 (x) f(τ) y * Ograniczanie zjawiska przez wyznaczanie lepszych S D lub stosowanie operacji filtracji na A G. f(x 0 ) f 1 (x) 17

18 Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań parametrycznych Przestrzeń decyzyjna dla algorytmów ewolucyjnych x 2 X X X DEC 0 DEC X 0 Funkcje kryterialne f i określone na zbiorze X DEC. x 1 18

19 Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań parametrycznych Wyznaczanie par (S D, A G ) algorytm PDAE Jednoczesne wyznaczanie par (S D, A G ) poprzez eksplorację zbioru dopuszczalnego i jego dopełnienia. Kryterium zatrzymania określone maksymalną liczbą iteracji. Eksploracja przestrzeni poszukiwań realizowana operatorem mutacji o zasięgu będącym malejącą funkcją numeru iteracji. Algorytm PDAE w każdej iteracji mutacji podlega losowo wybrany element bieżącego szkieletu dolnego S D. Możliwe modyfikacje schematu mutacji. 19

20 Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań parametrycznych Lokalne poprawianie par (S D, A G ) algorytm EPO Próbuje wyznaczyć taką parę (S D, A G ), która zapewnia założoną dokładność oszacowania oceny f(τ). Eksploruje przestrzeń decyzji w otoczeniu (i tylko w otoczeniu) elementów determinujących wartość oszacowania oceny f(τ) odpowiednio od dołu i od góry. Zasięg mutacji jest zależny od osiągniętej dokładności oszacowania oceny f(τ) na danym etapie obliczeń. 20

21 Przykłady obliczeń Algorytmy PDAE i EPO Testowe zadanie dwukryterialne (Kita) Wynik działania algorytmu PDAE, wyznaczenie wyjściowego szkieletu dolnego i wyjściowej aproksymacji górnej. Wynik działania algorytmu EPO dla ε z =0,01. 21

22 Przykłady obliczeń Algorytm PDAE i jego modyfikacje Ograniczanie losowości w algorytmie PDAE Wynik działania algorytmu PDAE, w którym mutacji podlega każdy element szkieletu dolnego. Wynik działania algorytmu PDAE, w którym mutacji podlega element szkieletu dolnego, najbardziej odległy od pozostałych. 22

23 Przykłady obliczeń Trudne zadania optymalizacji wielokryterialnej Zadanie testowe OKA2 (Okabe) oceny efektywne PDAE Algorytm NSGA-II wyznacza rozwiązania o podobnym rozkładzie jak algorytm PDAE! 23

24 Zastosowanie metody w WPD Schemat metody rozwiązania wielokryterialnego zadania decyzyjnego START Sformułowanie zadania optymalizacji wielokryterialnej dla zadania decyzyjnego Wybór najlepszej pary Algorytmy PDAE i EPO Algorytm GENOCOP III Faza ujawniania preferencji (τ) Faza identyfikacji rozwiązania (x(τ)) Repozytorium par (S D, A G ) STOP Wybór populacji wyjściowej dla algorytmu GENOCOP III 24

25 Zasoby Zastosowanie metody w WPD Wskaźniki Model zarządzania sklepem wielkopowierzchniowym Decydent Moduł Wspomagania Decyzyjnego JD 1 JD 2 JD 3 JD n SWD 1 SWD 2 SWD 3 SWD n 25

26 Model sklepu wielkopowierzchniowego Model sklepu z trzema jednostkami decyzyjnymi: Zastosowanie metody w WPD Marketing (SWD 1 ) Logistyka (SWD 2 ) Obsługa Nabywcy (SWD 3 ) 0, v q ( x ) 200 x, v /700 2 v q ( x, v ) 0,1e x, v /500 3 v q ( x, v ) 0,3e x. 1 1 Zbiór dopuszczalny: X 0 3 l1 l x x l 120, 20, l 2,3, 1 x 27. (zysk) (zadowolenie) (sprzedaż) Odwzorowanie redukujące: s v v x x x ( ) 0,2 ( ), s v v v ( ) 2 3, 2 s v ( ) v 1. 3 Ocena wariantów decyzyjnych za pomocą funkcji f 0 f ( x) s q( x), x X. 26

27 Zastosowanie metody w WPD Rozwiązanie zadania decyzyjnego Wyznaczono punkt referencyjny * y (67,22, 6,58, 911,07). Po zakończeniu hipotetycznej fazy ujawniania preferencji preferencje decydenta najpełniej opisuje wektor (5, 1, 60). Wektory oszacowań oraz względna dokładność oszacowania oceny f(τ) e L(, S D ) (50,33, 3,21, 708,40), e U(, A G ) (51,34, 3,30, 713,90), e e (, S, A ) 0,02. D G W fazie identyfikacji rozwiązania algorytm GENOCOP III rozwiązał zadanie optymalizacyjne 1 min max y f ( x),, i 1,2,3, xx wyznaczając wariant decyzyjny 0 1 i 3 * i i i i i x (37,18, 20,03, 34,22), f( x) (50,37, 3, 21, 709,00). 27

28 Podsumowanie Podsumowanie Metoda rozwiązania zadania decyzyjnego Wykorzystanie oszacowań ocen efektywnych w procesie decyzyjnym. Mechanizm kontroli dokładności oszacowań. Redukcja obliczeń w procesie decyzyjnym. Połączenie metod analitycznych z metodami heurystycznymi. Wykorzystanie zbioru niedopuszczalnego zadania optymalizacji wielokryterialnej nowatorska modyfikacja idei algorytmów ewolucyjnych. 28

29 Podsumowanie Podsumowanie Potencjalne kierunki dalszych badań Modyfikacja wiodących algorytmów heurystycznych optymalizacji wielokryterialnej dla potrzeb wyznaczania szkieletów dolnych i aproksymacji górnych. Przyjęcie i zbadanie własności alternatywnych definicji zbiorów aproksymujących zbiór wariantów efektywnych od dołu i od góry. Zbadanie skłonności decydentów do podejmowania decyzji w oparciu o oszacowania wartości współrzędnych ocen. Hybrydyzacja ze względu na trudne zadania optymalizacji wielokryterialnej. 29

30 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ Janusz Miroforidis 30

31 Wzory dla oszacowań parametrycznych max{max y i ( ) L (, S) ( y i max 1 ( y )), * * y f ( S ) i i j j j i j y L } y i ( ) U (, S) * min{min yf ( S ){min li ( )( yl l ( y))}, Ui} gdzie I(τ) to podzbiór I={1,,k}, trzeba wyznaczyć. i I(τ) oraz l ( y) 31

32 Warunki osiągnięcia dowolnie bliskich aproksymacji zbioru wariantów efektywnych. Warunek 1 dla szkieletu górnego S G : xe( X ) N( x) x \ X : x x, gdzie N( x) to otoczenie x. n 0 0 Warunek 2 dla szkieletu górnego S G : xe( X ) N( x) x X : x x