Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe.............................. 3 1.3 Zdarzenia niezależne..................................... 4 Zajęcia 2 5 2.1 Twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym i twierdzenie Bayesa.......... 5 2.2 Przestrzenie mierzalne, przestrzenie z miarą, σ-ciała................... 5 2.3 Zmienne i wektory losowe.................................. 6 Zajęcia 3 7 3.1 Dystrybuanta......................................... 7 3.2 Wartość oczekiwana..................................... 7 3.3 Wariancja........................................... 8 Zajęcia 4 9 4.1 Kowariancja.......................................... 9 4.2 Ważne nierówności...................................... 10 Zajęcia 5 11 5.1 Dwuwymiarowa zmienna losowa............................... 11 5.2 Rozkłady brzegowe...................................... 11 5.3 Niezależność zmiennych losowych.............................. 11 Zajęcia 6 13 6.1 Rozkład jednostajny na odcinku [a, b]........................... 13 6.2 Rozkład normalny...................................... 13 Zajęcia 7 14 7.1 Własności rozkładu normalnego............................... 14 7.2 Funkcja tworząca momenty................................. 14 Zajęcia 8 15 8.1 Rozkład gamma....................................... 15 8.2 Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych...................... 16 Zajęcia 9 17 9.1 Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych (cd.).................. 17 Zajęcia 10 19 10.1 Warunkowa wartość oczekiwana............................... 19 aktualizacja 29.05.2012 mgr inż. Natalia Jarzębkowska, Politechnika Gdańska, FTiMS, KAMiN 1

Zajęcia 11 20 11.1 Twierdzenie Radona-Nikodyma............................... 20 11.2 Warunkowa wartość oczekiwana (cd.)............................ 20 Zajęcia 12 21 Zajęcia 13 22 13.1 Warunkowa wartość oczekiwana - zadania......................... 22 Zajęcia 14 23 14.1 Kolokwium - zadania..................................... 23 Literatura 24

Zajęcia 1 (15.02.2012) 1.1 Przestrzeń probabilistyczna Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ): Ω - niepusty zbiór zdarzeń elementarnych F - σ-ciało podzbiorów Ω (definicja) P - miara probabilistyczna na (Ω, F ) (definicja) Wniosek 1 Jeżeli (Ω, F, P ) jest przestrzenią probabilistyczną i A, B, A 1, A 2,..., A n F, to: 1. Jeżeli A 1, A 2,..., A n są parami rozłączne, to P ( n 2. P (A ) = 1 P (A) 3. Jeżeli A B, to P (B\A) = P (B) P (A) 4. Jeżeli A B, to P (A) P (B) 5. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) (+dowody) i=1 A i ) = n P (A i ) i=1 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe Przykład 1 W magazynie są elementy pochodzące z dwóch fabryk: I i II. Elementy są klasyfikowane jako dobre i niedobre. Niech A oznacza zdarzenie: wybierany w sposób losowy element jest dobry oraz B oznacza zdarzenie: wybierany w sposób losowy element pochodzi z fabryki I. W tabeli podane są liczby elementów, odpowiadające poszczególnym zdarzeniom: Zdarzenie A A Razem B a b a + b B c d c + d Razem a + c b + d a + b + c + d = n Definicja 2 Prawdopodobieństwo warunkowe P (A B), gdy P (B) > 0. Definicja 3 Warunkowy rozkład prawdopodobieństwa P B, gdy P (B) > 0. Twierdzenie 2 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, P (B) > 0. Wówczas (B, F B, P B ) jest przestrzenią probabilistyczną. (+dowód, że P B - miara probabilistyczna) 3

Zadanie 1 Wybieramy jedną rodzinę z dwojgiem dzieci. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybierzemy rodzinę z dwoma chłopcami, jeśli wiemy, że w tej rodzinie: a) starsze dziecko jest chłopcem, b) jest co najmniej jeden chłopiec. Zadanie 2 W pewnym przedsiębiorstwie 96% wyprodukowanych wyrobów jest dobrych. Wśród 100 sztuk dobrych wyrobów 75 jest pierwszego gatunku. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że pewna sztuka wyprodukowana w tym przedsiębiorstwie jest pierwszego gatunku. Twierdzenie 3 Jeśli P (A), P (B) > 0, to P (A B) > P (A) P (B A) > P (B). 1.3 Zdarzenia niezależne Definicja 4 Niezależność zdarzeń A, B F Definicja 5 Niezależność zdarzeń A 1, A 2,..., A n F Definicja 6 Niezależność zdarzeń A 1, A 2,... F Zadanie 3 Niech Ω = {(x, y) : 0 < x < 9, 0 < y < 9} A = B = {(x, y) : 1 < x < 4, 0 < y < 9} C = {(x, y) : 3 < x < 6, 0 < y < 9} Zbadań niezależność zdarzeń A, B, C. 4

Zajęcia 2 (22.02.2012) Zadanie 4 Wybieramy jedną rodzinę spośród rodzin, mających n dzieci. Niech zdarzenie A polega na tym, że w losowo wybranej rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka, B - w rodzinie są dziewczynki i chłopcy. Czy zdarzenia A i B są niezależne? 2.1 Twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym i twierdzenie Bayesa Twierdzenie 4 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Jeśli zdarzenia A i tworzą skończone lub przeliczalne rozbicie Ω oraz P (A i > 0) dla każdego i, to dla dowolnego zdarzenia B zachodzi: P (B) = i P (A i )P (B A i ), gdzie i przebiega wszystkie wartości. Twierdzenie 5 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Jeśli zdarzenia A i tworzą skończone lub przeliczalne rozbicie Ω oraz P (A i > 0) dla każdego i. Niech P (B) > 0. Wówczas dla każdego zdarzenia A i z rozważanego zbiory zdarzeń zachodzi równość (wzór Bayesa): gdzie j przebiega wszystkie wartości. P (A i B) = P (A i)p (B A i ) P (A j )P (B A j ), j Zadanie 5 Na pierwszym roku pewnego wydziału słuchacze pochodzą z trzech grup: 1, 2, 3. Liczebności słuchaczy z odpowiednich grup są równe: 50, 40, 30. Wiadomo, że prawdopodobieństwo terminowego ukończenia studiów dla słuchaczy z odpowiednich grup są równe:0.3, 0.4, 0.5. Z rozważanego zespołu 120 osób wybrano w sposób losowy studenta. Obliczyć: a) prawdopodobieństwo P a tego, że pochodzi z grupy 1; b) prawdopodobieństwo P b tego, że ukończy on terminowo studia; c) prawdopodobieństwo P c tego, że pochodzi on z grupy 1, jeśli stwierdzono, że ukończył terminowo studia. 2.2 Przestrzenie mierzalne, przestrzenie z miarą, σ-ciała Definicja 7 Przestrzeń mierzalna (M, M ) (+przykłady) Twierdzenie 6 Część wspólna rodziny σ-ciał w M jest σ-ciałem w M. 5

Definicja 8 σ-ciało generowane przez R - rodzinę podzbiorów M (najmniejsze σ-ciało w M zawierające rodzinę R) Definicja 9 σ-ciało borelowskie Definicja 10 Miara µ Definicja 11 Przestrzeń z miarą (M, M, µ) 2.3 Zmienne i wektory losowe Definicja 12 Zmienna (wektor) losowy Definicja 13 Funkcja borelowska Twierdzenie 7 Niech X będzie wektorem losowym o wartościach w R, a ϕ : R n R m funkcją borelowską. Wtedy ϕ(x) jest wektorem losowym o wartościach w R m. Definicja 14 Rozkład prawdopodobieństwa na R n Definicja 15 Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej (wektora) losowej µ X (+pokazanie, że jest to miara probabilistyczna) 6

Zajęcia 3 (29.02.2012) 3.1 Dystrybuanta Definicja 16 Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa µ Definicja 17 Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X Definicja 18 Zmienna losowa skokowa (dyskretna), funkcja prawdopodobieństwa oraz dystrybuanta Zadanie 6 Zmienna losowa dyskretna X ma rozkład prawdopodobieństwa: x i -1 0 1 3 p i 1 6 2 6 1 6 2 6 Znajdź dystrybuantę F X. Oblicz P ( 1 < X 1). Definicja 19 Zmienna losowa ciągła, zależność między dystrybuantą a funkcją gęstości Zadanie 7 Wyznaczyć stałą A taką, aby funkcja f(x) = 0, x < 0 Ae 3x, x 0 była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć P (X > 1). Zadanie 8 Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości f X, dystrybuancie F X i niech Y = X 2. Znaleźć gęstość f Y i dystrybuantę F Y. 3.2 Wartość oczekiwana Definicja 20 Wartość oczekiwana EX zmiennej losowej, postaci wartości oczekiwanej dla zmiennej losowej dyskretnej i ciągłej Twierdzenie 8 Załóżmy, że zmienne losowe EX i EY istnieją. Wówczas: 1. jeśli X 0, to EX 0, 2. EX E X, 3. Dla dowolnych a, b R istnieje wartość oczekiwana ax + by i E(aX + by ) = aex + bey 4. gdy A F, to E(1 A ) = P (A) = dp A 7

Zadanie 9 Niech gęstością f zmiennej losowej X będzie funkcja x 2, dla x 1, f(x) = 0, dla x < 1. Oblicz EX. Twierdzenie 9 Niech X 0. Wówczas EX = 0 (1 F X (t))dt = 0 P (X > t)dt, przy czym istnienie jednej strony implikuje istnienie drugiej i ich równość. 3.3 Wariancja Definicja 21 Wariancja zmiennej losowej Twierdzenie 10 Jeśli wariancja zmiennej losowej X istnieje, to V ar(x) = EX 2 (EX) 2 8

Zajęcia 4 (07.03.2012) Twierdzenie 11 Niech X będzie zmienną losową taką, że EX 2 <. Wówczas V ar(x) istnieje oraz 1. V ar(x) 0 2. V ar(ax + b) = a 2 V ar(x) Definicja 22 Zmienna losowa standaryzowana Wniosek 12 Zmienna losowa dana wzorem: Y = X EX V ar(x) dla V ar(x) > 0 jest zmienną losową standaryzowaną. 4.1 Kowariancja Definicja 23 E XY < Wniosek 13 cov(x, Y ) = E(XY ) EXEY Kowariancja cov(x, Y ) między całkowalnymi zmiennymi losowymi X, Y, dla których Definicja 24 Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych Twierdzenie 14 Jeśli zmienne losowe X 1,..., X n mają wariancję, to istnieje wariancja sumy oraz ( n ) n n V ar X i = V ar(x i ) + 2 cov(x i, X j ). i=1 i=1 1 i<j n Ponadto jeśli są parami nieskorelowane, to ( n ) n V ar X i = V ar(x i ). i=1 i=1 9

4.2 Ważne nierówności Twierdzenie 15 (Nierówność Jensena) Niech E X < i niech g będzie taką funkcją wypukłą, że E g(x) <. Wówczas zachodzi g(ex) E[g(X)]. Twierdzenie 16 (Nierówność Schwarza) Jeśli EX 2 <, EY 2 <, to (E XY ) 2 EX 2 EY 2. Twierdzenie 17 (Nierówność Höldera) Niech p > 1, q > 1 spełniają równość 1 p + 1 q = 1. Jeśli E X p <, E Y q <, to E XY (E X p ) 1 p (E Y q ) 1 q. Twierdzenie 18 (Nierówność Czebyszewa) Dla każdej zmiennej losowej spełniającej warunek P (X < 0) = 0 o skończonej wartości oczekiwanej EX oraz dla każdego ε > 0 zachodzi P (X ε) EX ε. 10

Zajęcia 5 (14.03.2012) 5.1 Dwuwymiarowa zmienna losowa Definicja 25 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) i jej rozkład µ (X,Y ) Definicja 26 Dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej F (X,Y ) Wniosek 19 Niech x 1 < x 2, y 1 < y 2 oraz A = {(x, y) R 2 : x 1 < x x 2, y 1 < y y 2 }. Wówczas µ (X,Y ) (A) = F (X,Y ) (x 2, y 2 ) F (X,Y ) (x 2, y 1 ) F (X,Y ) (x 1, y 2 ) + F (X,Y ) (x 1, y 1 ) Definicja 27 Dyskretna dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) Definicja 28 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) typu ciągłego 5.2 Rozkłady brzegowe Definicja 29 Dystrybuanty brzegowe dla dwuwymiarowej zmiennej losowej Definicja 30 Rozkłady brzegowe dla dyskretnej dwuwymiarowej zmiennej losowej Definicja 31 Gęstości brzegowe dla dwuwymiarowej zmiennej losowej typu ciągłego 5.3 Niezależność zmiennych losowych Definicja 32 Niezależność zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n Definicja 33 Niezależność zmiennych losowych X 1, X 2,... Wniosek 20 Własność dystrybuant i gęstości lub rozkładu prawdopodobieństw w przypadku niezależnych zmiennych losowych Zadanie 10 Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o następującym łącznym rozkładzie prawdopodobieństwa: P (X = 0, Y = 1) = C P (X = 2, Y = 1) = 0, 1 P (X = 0, Y = 0) = 0, 2 P (X = 2, Y = 0) = 0 P (X = 0, Y = 2) = 0, 3 P (X = 2, Y = 2) = 0, 2 a) Znajdź C. b) Wyznacz rozkłady brzegowe. 11

c) Zbadaj, czy zmienne X i Y są niezależne. d) Oblicz EX, EY, V ar(x), V ar(y ). e) Oblicz cov(x, Y ) i ρ XY. Zadanie 11 Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o gęstości: a) Znajdź C. C(xy 2 + 3x), 0 < x < 2, 0 < y < 1 f(x, y) = 0, dla pozostałych b) Niech A = {(x, y) R 2 : 0 x y, 0 y 1}. Wyznacz P ((X, Y ) A). c) Wyznacz rozkłady brzegowe. d) Zbadaj, czy zmienne X i Y są niezależne. e) Oblicz EX, EY, V ar(x), V ar(y ). f) Oblicz cov(x, Y ) i ρ XY. 12

Zajęcia 6 (21.03.2012) Zadanie 12 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o podanych rozkładach Znajdź rozkład wektora losowego (X, Y ). P (X = 0) = 0.9, P (Y = 1) = 0.3, P (X = 2) = 0.1, P (Y = 0) = 0.7. Zadanie 13 Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości f X i dystrybuancie F X. Niech Y = ax + b, gdzie (a 0). Znajdź gęstość f Y i dystrybuantę F Y. 6.1 Rozkład jednostajny na odcinku [a, b] 0, x < a f(x) = 1 b a, a x b 0, x > b Zadanie 14 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]. Oblicz EX i V arx. Niech Y =. Znajdź EY. X X+1 Zadanie 15 Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o znanych rozkładach. a) Y = max(x 1, X 2,..., X n ), b) Z = min(x 1, X 2,..., X n ). Znajdź rozkłady zmiennych Y i Z. Jak wyglądają rozkłady zmiennych losowych Y i Z w przypadku, gdy X 1, X 2,..., X n są zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0, 1]? Twierdzenie 21 Jeśli istnieje moment rzędu r zmiennej losowej, to istnieją momenty rzędu l < r. 6.2 Rozkład normalny f(x) = 1 2πσ e (x m)2 2σ 2, σ > 0, m R (1) Zadanie 16 Niech X będzie zmienną losową o gęstości zadanej wzorem (1). Pokaż, że a) f(x)dx = 1, R b) EX = m. 13

Zajęcia 7 (28.03.2012) 7.1 Własności rozkładu normalnego Zadanie 17 Niech X będzie zmienną losową o gęstości zadanej wzorem (1). Pokaż, że V arx = σ 2. Zadanie 18 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym o średniej 0 i wariancji równaj σ 2. Pokaż, że a) EX 2k+1 = 0, k = 0, 1,... b) EX 2k = (2k 1)!! σ 2k, k = 1, 2,... Zadanie 19 (Reguła trzech sigm) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym o średniej m i wariancji równaj σ 2. Oblicz P ( X m 3σ), wiedząc, że 1 3 e x2 2 dx 0.4987. 2π 0 7.2 Funkcja tworząca momenty Definicja 34 Funkcja tworząca momenty M X zmiennej losowej X Twierdzenie 22 Niech X będzie zmienną losową Jeśli M X istnieje w otoczeniu 0, to d n dt n M X(t) = EX n. t=0 Zadanie 20 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym o średniej 0 i wariancji równaj 1. Znajdź funkcję tworzącą momenty M X zmiennej losowej X. 14

Zajęcia 8 (04.04.2012) Zadanie 21 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym: a) o średniej 1 i wariancji 9, b) o średniej 3 i wariancji 4. Znajdź funkcję tworzącą momenty M X. Przy jej pomocy oblicz EX 3. 8.1 Rozkład gamma f(x) = 0, x 0 a p Γ(p) xp 1 e ax, x > 0, (2) gdzie a > 0 jest parametrem skali, a p > 0 parametrem kształtu oraz Γ jest funkcją gamma, zdefiniowaną następująco Zadanie 22 (Własności funkcji gamma) a) Γ(1) = 1, b) Γ( 1 2 ) = π, c) Γ(p) = (p 1)Γ(p 1), d) Γ(n) = (n 1)!, n N, Γ(p) = x p 1 e x dx, p > 0 0 Zadanie 23 Niech X będzie zmienną losową o gęstości f zadanej wzorem (2). Wykaż, że a) f(x)dx = 1, R b) EX = p a, c) EX 2 = p(p+1) a 2, d) V arx = p a 2. Zadanie 24 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym standardowym. Pokaż, że zmienna losowa X 2 ma rozkład gamma dla a = p = 1 2. 15

8.2 Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych Twierdzenie 23 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach odpowiednio µ X i µ Y. Wówczas rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X + Y zadany jest wzorem: µ X+Y (B) = (µ X µ Y )(B) := µ X (B y)µ Y (y)dy, B B(R). R Ponadto, gdy X i Y są zmiennymi losowymi typu ciągłego o funkcjach gęstości f X i f Y, to funkcja gęstości zmiennej losowej X + Y zadana jest wzorem: f X+Y (u) = (f X f Y )(u) := f X (u y)f Y (y)dy. 16

Zajęcia 9 (11.04.2012) 9.1 Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych (cd.) Przypomnienie: Splot miar: (µ X µ Y )(B) := R µ X (B y)µ Y (y)dy, B B(R) Splot funkcji: (f X f Y )(u) := f X (u y)f Y (y)dy Twierdzenie 24 (Podstawowe własności splotu funkcji) 1. f g = g f, 2. (f g) h = f (g h), 3. f (g 1 + g 2 ) = f g 1 + f g 2. Zadanie 25 (Rozkład trójkątny) Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach jednostajnych na odcinku [0, 1]. Znajdź rozkład zmiennej losowej X + Y. Zadanie 26 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o gęstościach odpowiednio: 0, x > 1 f(x) = 1 2, x 1 0, x > 2 Znajdź rozkład zmiennej losowej X + Y. g(x) = 1 4, x 2 Zadanie 27 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o podanych niżej rozkładach Znajdź rozkład zmiennej losowej X + Y. P (X = 1) = 1 2 P (X = 2) = 1 4 P (X = 3) = 1 4 P (Y = 0) = 1 2 P (Y = 1) = 1 4 P (Y = 2) = 1 4 Zadanie 28 Niech X 1 i X 2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z parametrami λ 1 > 0 i λ 2 > 0 (odpowiednio). Znajdź rozkład zmiennej losowej X 1 + X 2. 17

Zadanie 29 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o funkcjach gęstości 0, x < 0 f X (x) = 2e 2x, x 0 0, y < 0 f Y (y) = 4e 4y, y 0. Wykorzystując splot funkcji znajdź gęstość zmiennej losowej X + 2Y. 18

Zajęcia 10 (18.04.2012) Zadanie 30 Znajdź funkcję gęstości zmiennej losowej X + Y, jeśli wiadomo, że zmienne X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz X ma rozkład normalny standardowy, a rozkład zmiennej Y zadany jest następująco: P (Y = 1) = P (Y = 1) = 1 2 10.1 Warunkowa wartość oczekiwana Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Definicja 35 Warunkowa wartość oczekiwana zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A Twierdzenie 25 Jeżeli P (A) > 0 i X ma skończoną wartość oczekiwaną, to E(X A) = 1 XdP. P (A) A Twierdzenie 26 (Uogólniony wzór na prawdopodobieństwo całkowite) Niech zdarzenia A i, i I, stanowią (skończone lub przeliczalne) rozbicie przestrzeni Ω takie, że P (A i ) > 0, i I. Jeśli X jest całkowalną zmienną losową, to EX = i I E(X A i )P (A i ). Definicja 36 Warunkowa wartość oczekiwana E(X F 0 ) zmiennej losowej X względem σ-ciała F 0 = σ(a i, i I), gdzie A i, i I, stanowią (przeliczalne lub skończone) rozbicie przestrzeni Ω. Twierdzenie 27 1. E(X F 0 ) jest F 0 -mierzalną zmienną losową określoną na (Ω, F, P ), 2. A F0 E(X F 0 )dp = XdP. A A Definicja 37 Warunkowa wartość oczekiwana całkowalnej zmiennej losowej X względem dowolnego pod-σ-ciała 19

Zajęcia 11 (25.04.2012) 11.1 Twierdzenie Radona-Nikodyma Definicja 38 Absolutna ciągłość miary ν względem miary µ (ν µ) określonych na przestrzeni mierzalnej (M, M ) Twierdzenie 28 (Radona-Nikodyma) Niech (M, M, µ) będzie przestrzenią z miarą σ skończoną µ. Niech ν : M [0, ) będzie miarą absolutnie ciągłą względem µ. Wówczas istnieje funkcja mierzalna f : M [0, ) taka, że A M ν(a) = fdµ. Funkcję f nazywamy pochodną Radona-Nikodyma i oznaczmy przez dν dµ. A 11.2 Warunkowa wartość oczekiwana (cd.) Twierdzenie 29 Niech X będzie całkowalną zmienną losową określoną na (Ω, F, P ). Jeśli G F jest ustalonym podσ-ciałem, to E(X G ) istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do równości P p.w.). Twierdzenie 30 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, F 0, F 1 F ustalonymi pod-σ-ciałami oraz X, Y, X 1, X 2,... całkowalnymi zmiennymi losowymi. Wówczas 1. jeżeli X jest F 0 -mierzalna, to E(X F 0 ) = X, 2. jeżeli X 0, to E(X F 0 ) 0, 3. jeżeli X Y, to E(X F 0 ) E(Y F 0 ), ( 4. E(X F 0 ) E X F 0 ), 5. E(αX + βy F 0 ) = αe(x F 0 ) + βe(y F 0 ), α, β R, 6. jeżeli X 1 X 2..., lim n X n = X z pr.1, to lim n E(X n F 0 ) = E(X F 0 ), 7. jeżeli F 0 F 1 F, to E (E(X F 0 ) F 1 ) = E (E(X F 1 ) F 0 ) = E (X F 0 ), 8. jeżeli F 0 i σ(x) są niezależne, to E (X F 0 ) = EX, 9. jeżeli X jest zmienną losową mierzalną względem F 0 i XY jest całkowalną zmienną losową, to E (XY F 0 ) = XE (Y F 0 ), 10. E (E(X F 0 )) = EX. 20

Definicja 39 Warunkowa wartość oczekiwana E(X Y ) zmiennej losowej X pod warunkiem zmiennej losowej Y, gdzie X jest całkowalną zmienną losową Lemat 31 Niech Y będzie zmienną losową, a X - zmienną losową mierzalną względem σ(y ). Wówczas istnieje funkcja borelowska f taka, że X = f(y ). Wniosek 32 Niech X i Y będą zmiennymi losowymi oraz niech h będzie dowolną funkcją borelowską taką, że h(x) jest całkowalna. Wówczas a) jeśli X i Y posiadają rozkłady skokowe, gdzie X ma wartości w X oraz Y w Y, oraz P Y (y) = P (Y = y) > 0, P (X,Y ) (x, y) = P (X = x, Y = y), to E(h(x) Y ) = x X h(x) P (X,Y )(x, Y ), P Y (Y ) b) jeśli wektor (X, Y ) ma funkcję gęstości f (X,Y ), a f Y (y) = R E(h(X) Y ) = h(x)f X Y (x Y )dx, f (X,Y ) (x, y)dx, to gdzie f X Y (x y) = f (X,Y ) (x,y) f Y (y), f Y (y) 0 0, w p.p. Zajęcia 12 (09.05.2012) Zajęcia nie odbyły się z powodu godzin dziekańskich. 21

Zajęcia 13 (16.05.2012) 13.1 Warunkowa wartość oczekiwana - zadania Zadanie 31 Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o podanym rozkładzie łącznym Wyznacz E(X Y ). P (X = 0, Y = 1) = 0.1, P (X = 1, Y = 1) = 0.2, P (X = 0, Y = 0) = 0, P (X = 1, Y = 0) = 0.2, P (X = 0, Y = 2) = 0.2, P (X = 1, Y = 2) = 0.3. Zadanie 32 Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) jest 1 e x e y + e x y, x > 0, y > 0 F (x, y) = 0, dla pozostałych x, y. Wyznacz gęstości warunkowe f X Y i f Y X. Zadanie 33 Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym o rozkładzie jednostajnym na = {(x, y) : 0 x y 1}. Wyznacz P (X 1/4 Y = 1/2), E(X Y = 1/2), E(X Y = y) i E(X Y ). Zadanie 34 Niech (X, Y ) ma rozkład o gęstości f(x, y) = 8xy1 K (x, y). Wyznacz E(Y X). K = {(x, y) : x > 0, y > 0, x 2 + y 2 < 1} 22

Zajęcia 14 (23.05.2012) 14.1 Kolokwium - zadania Zadanie 1 Podaj i udowodnij twierdzenie o wariancji sumy n zmiennych losowych, n > 1. Zadanie 2 Warunkowa wartość oczekiwana zmiennej losowej X względem σ-ciała F 0 = σ(a i, i I), gdzie A i, i I, stanowią (przeliczalne lub skończone) rozbicie przestrzeni Ω (bez dowodów) Zadanie 3 Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o gęstości: C(xy 2 + 3x), 0 < x < 2, 0 < y < 1 f(x, y) = 0, dla pozostałych x, y a) Niech A = {(x, y) R 2 : 0 x y, 0 y 1}. Czy P ((X, Y ) A) = 0.1? b) Zbadaj, czy zmienne X i Y są niezależne. c) Wyznacz V arx (lub V ary ). Zadanie 4 Niech X 1 i X 2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z parametrami λ 1 > 0 i λ 2 > 0 (odpowiednio). Znajdź rozkład zmiennej losowej X 1 + X 2. Zadanie 5 (A i C) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku [ 2, 2]. Wyznacz funkcję gęstości zmiennej losowej Y = X 2. Zadanie 5 (B) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1. Pokaż, że zmienna losowa Y = e X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Zadanie 6 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Weibulla z parametrami λ, p > 0, tj. funkcja gęstości dana jest wzorem 0, x < 0 f X (x) = λpx p 1 e λxp, x 0. Wykaż, że V arx = λ 2/p Γ(1 + 2 p ) λ 2/p ( Γ(1 + 1 p ) ) 2, gdzie Γ jest funkcją gamma. Zadanie 7 W zbiorze 100 monet jedna ma po obu stronach orły, pozostałe są prawidłowe. W wyniku 10 rzutów losowo wybraną monetą otrzymano 10 orłów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że była to moneta z orłami po obu stronach. 23

Literatura [1] J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wydanie II, Script, 2001 [2] A. Plucińska, E. Pluciński, Probabilistyka: rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna, procesy stochastyczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006 [3] A. Plucińska, E. Pluciński, Zadania z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978 [4] A. Plucińska, E. Pluciński, Zadania z probabilistyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983 [5] J. Stojanow i in., Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982 24