Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/10
funkcje
Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f X Y taka, że x X!y Y: (x,y) f. Dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) i Im(f). Przykłady długość słowa, gdzie słowo powstałe z doklejenia słowa za.
Surjekcja to funkcja f: X Y spełniająca warunek Piszemy wtedy, czytamy X na Y. Injekcja to funkcja f: X Y spełniająca warunek. Piszemy. Injekcje często są nazywane funkcjami różnowartościowymi. Bijekcja to funkcja, która jest jednocześnie surjekcją i injekcją. Nazywamy ją również przekształceniem wzajemnie jednoznacznym.
Wykresem funkcji liczbowo-liczbowej nazywamy zbiór punktów na układzie współrzędnych, gdzie argument jest odciętą punktu, a wartość funkcji jest rzędną. Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący). Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to χa: S {0, 1}; χa(x)=1 dla x A, 0 wpp Funkcja dwóch zmiennych to funkcja, której dziedziną jest zbiór par (wciąż jednak zbiór!). Piszemy np. f: XG Y Z. Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więkkszej liczby zmiennych.
Obcięciem funkcji f: A B do zbioru C nazywamy funkcję f C: C B; f C (x) = f(x) dla x C. Traktując funkcję f: X Y jako relację f X Y (zbiór par), możemy rozważać relację f -1 odwrotną do f. Kiedy ta relacja jest funkcją? Funkcja posiada funkcję odwrotną, wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją. W takim przypadku funkcja odwrotna to relacja odwrotna. Przykład konstrukcji funkcji odwrotnej:,
Wartość bezwzględna to funkcja : R R; x =x dla x 0, x wpp Własności: x y = x y, x+y x + y Oznaczenia niektórych funkcji: o o o log x to logarytm z liczby x przy podstawie 10, lg x to logarytm z liczby x przy podstawie 2, ln x to logarytm z liczby x przy podstawie e. Złożenie f g funkcji f: X Y i funkcji g: Y Z to funkcja h: X Z określona dla wszystkich argumentów jako h(x)=g(f(x)). Złożenie f g bywa oznaczane jako gf. Czy dziedzina funkcji g może być większa niż przeciwdziedzina funkcji f w złożeniu f g? Przemienność: zwykle nie zachodzi równość f g=g f.
Łączność: dla funkcji Zapis uproszczony: Dla zachodzi (h g) f=h (g f).. mamy lematy: jeśli f, g są surjekcjami, to gf jest surjekcją, jeśli f, g są injekcjami to gf jest injekcją, jeśli f, g są bijekcjami to gf jest bijekcją. Niech f: X Y, ATX, BTY. Wtedy: f(a) nazywamy obrazem zbioru A. f (B) nazywamy przeciwobrazem zbioru B względem f. f (y) nazywamy przeciwobrazem elementu y wzg. f i jest to f ({y}) Czy f (y) to f 1(y)?
Podłoga i sufit Lematy Dla n całkowitej i x rzeczywistej n = n = n x x = 1 gdy x nie jest całkowita x 1 < x x x < x +1 x = x
(*) x =n x =n x = n x = n wtw wtw wtw wtw n x < n+1 x 1 < n x n 1 < x n x n < x+1 x+n = x + n (**) x<n wtw x < n n<x wtw n < x x n wtw x n (***) n x wtw n x
Definicja części ułamkowej {x} = x x Przykłady { 5.23} = 5.23 ( 6) = 0.77 {6.14} = 6.14 6 = 0.14 Twierdzenie Dla każdej x 0 podłoga z pierwiastka z podłogi z x to podłoga z pierwiastka z x. Podobnie dla sufitu.
Dowód dla podłogi Niech m to podłoga pierwiastka podłogi x. Wtedy stosujemy lemat (*) i podnosimy do kwadratu: m2 x < (m+1)2 Teraz stosujemy lematy (**) i (***), i mamy m2 x < (m+1)2 Pierwiastkujemy i stosujemy lemat (*), co daje m jako podłogę z pierwiastka. Twierdzenie możemy uogólnić na dowolne funkcje rosnące, ciągłe i spełniające zależność jeżeli f(x) całkowita to x całkowita.
Twierdzenie Dla każdych x, y rzeczywistych, x y, zachodzi: przedział [x, y) zawiera dokładnie y x liczb całkowitych przedział (x, y] zawiera dokładnie y x liczb całkowitych Udowodnić i sformułować twierdzenia dla przedziałów obustronnie domkniętych i obustronnie otwartych.
Funkcji podłogi z logarytmu można użyć do wyliczenia liczby cyfr liczby naturalnej k (k>0): w układzie dziesiętnym jest to log (k) +1 cyfr w układzie dwójkowym jest to lg (k) +1 cyfr log (1048575) = 6,020599499 lg (1048575) = 19,9999 220 = 104857610 = 1000000000000000000002 ma 21 cyfr 104857510 = 111111111111111111112 ma 20 cyfr 342035 = 3+0+2*25+4*125+3*625 = 242810 log5 (2428) +1 = 4,843 +1 = 5 cyfr
lg(n) n log(n) -------------------------------------------------1 2 0 2 4 0.602 3 8 0.903 3.322 10 1 6.644 100 2 9.966 1000 3 19.932 1000000 6
Zadanie Mamy funkcję z dziedziny NxN w N postaci f(n,k)=min(n,k). Znajdź f (4).
f (4) = f ({4}) = {(n,k): min(n,k)=4} = = {(4,4)}U{(4,k}:k>4}U{(n,4):n>4} = = {(4,4),(4,5),(4,6),... (5,4),(6,4),...}
Zadania Wskaż relację odwrotną do funkcji 3x2+1. Narysuj funkcje min(a,b), max(a,b), a+b, min(1, a+b), ab, Sprawdź, czy to prawda, że log 223344 < lg 234.
log(100000)=5, log(1 000 000)=6, a zatem log 223344 = 5 lg(128)=7, log(256)=8, a zatem lg 234 =7 5<7
Rozwiąż równanie: (2x 3)/4 = (3x 4)/5. 1) (3x 4)/5 jest całkowite 3x 4=5p, gdzie p całkowite 3x=5p+4 x=(5p+4)/3 2) (3x 4)/5 (2x 3)/4 < (3x 4)/5+1 ten układ równań na rozwiązanie (-19/2;1/2] 3) szukamy x spełniających (1) i należących do (2) będą to x obliczone dla p= 1, 2, 3..., 6: x= 1/3, 2, 3 i 2/3, 5 i 1/3, 7, 8 i 2/3
Rozwiąż równanie: (3x 4)/5 = (x 2)/3. 1) (x 2)/3 jest całkowite x 2=3p, gdzie p całkowite x=3p+2 2) (x 2)/3 (3x 4)/5 < (x 2)/3+1 ten układ równań na rozwiązanie [1/2;17/4) 3) szukamy x spełniających (1) i należących do (2) będzie to x=2 obliczone dla p=0
Rozwiąż równanie: (3x 4)/5 = (2x 1)/3. Ile cyfr ma liczba dziesiętna k?
sufit z logarytmu dziesiętnego z k
Niech x, y dowolne liczby rzeczywiste i x<y. Ile liczb całkowitych zawiera przedział [x, y)?
Zgodnie z przepisami ordynacji podatkowej podstawy opodatkowania, kwoty podatków, odsetki za zwłokę i pewne inne opłaty oraz wynagrodzenia zaokrągla się do pełnych złotych w ten sposób, że końcówki kwot wynoszące mniej niż 50 groszy pomija się, a końcówki kwot wynoszące 50 i więcej groszy podwyższa się do pełnych złotych. Jeżeli wyliczona kwota podlegająca takiemu zaokrągleniu podana jest w formacie dodatniej dziesiętnej liczby rzeczywistej x, to jaki jest wzór na liczbę zaokrągloną z(x)? Użyj funkcji podłogi i/lub sufitu. Przepis na liczenie wartości funkcji z ma być pojedynczy, a nie złożony z dwóch przepisów odpowiednio dla dwóch rozważanych przypadków zaokrąglenia.
ciągi i szeregi
Ciągiem liczb rzeczywistych s(n) nazywamy funkcję s: N R i oznaczamy go stosując notację z indeksami (sn)n N, albo notację informatyczną s[n]. Wartość sn nazywamy n-tym wyrazem ciągu s. Zdarza się, że definiujemy ciąg jako funkcję o dziedzinie {m, m+1, m+2, }, gdzie m jest liczbą całkowitą. Nie ograniczamy się również do wartości rzeczywistych, np. dn = {m Z: m jest wielokrotnością n} n = {w *: n jest długością słowa w} fn = k=1..n k2, np. f10 = k=1..10 k2 = 1+4+9+16+25+36+49+64+81+100 = 385 Szeregiem nazywamy wyrażenie postaci a1 + a2+ a3+..., gdzie liczby a1, a2, a3, tworzą ciąg nieskończony.
Przeczytaj litery greckie
ciekawostki