19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1 Z aksjomatu (IP1) wynika, że θ, θ = 0, czyli θ = 0, a z (IP3), że dla pozostałych v: v, v > 0, czyli norma jest dobrze określona. Przykład 19.2 1. Norma pochodząca od standardowego iloczynu skalarnego wyraża się wzorem (x 1,..., x n ) = n x 2 i. 2. W przestrzeni l 2 norma wyraża się wzorem i=1 (x n ) n N = x 2 n. Twierdzenie 19.3 (nierówność Schwarza) Dla dowolnych wektorów u, v V spełniony jest warunek n=1 u, v u v. Równość u, v = u v zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory u, v są liniowo zależne. Dowód: Zauważmy, że jeżeli chociaż jeden z wektorów jest zerowy, to prawa strona nierówności jest równa 0 na mocy poprzedniej uwagi, a lewa także jest równa 0 z dwuliniowości iloczynu skalarnego. Oczywiście układ zawierający wektor zerowy jest liniowo zależny. Załóżmy teraz, że u, v θ. Dla dowolnego λ R na podstawie dwuliniowości i symetrii iloczynu skalarnego oraz definicji normy otrzymujemy 0 u + λ v, u + λ v = v 2 λ 2 + 2λ u, v + u 2 Ostatnie wyrażenie jest trójmianem kwadratowym zmiennej λ o dodatnim współczynniku przy λ 2 (bo v θ), więc jego wyróżnik jest niedodatni: 0 4 u, v 2 4 u 2 v 2, 1
co jest już równoważne tezie. Jeżeli wektory u, v są niezerowe i liniowo zależne, to istnieje s 0 takie, że v = s u. Wówczas u, v 2 = s 2 u, u 2 = s 2 u 4 = u 2 s 2 u, u = u 2 v 2. Na odwrót, jeżeli u, v = u v, to 0 = 4 u, v 2 4 u 2 v 2, czyli trójmian kwadratowy v 2 λ 2 + 2λ u, v + u 2 ma pierwiastek s R. Zatem u + λ v, u + s v = 0 i na mocy (IP3) dostajemy u = ( s) v, co oznacza zależność wektorów u, v. Stwierdzenie 19.4 W przestrzeni liniowej V z iloczynem skalarnym spełnione są warunki: (N1) v V v 0 (N2) v V ( v = 0 v = θ) (N3) v V a R a v = a v (N4) u,v V u + v u + v Dowód: Warunki (N1) i (N2) wynikają wprost z (IP3) oraz uwagi. Dla dowodu (N3) zauważmy, że a v 2 = a v, a v = a 2 v, v = a 2 v 2. Warunek (N4) jest bezpośrednią konsekwencją definicji iloczynu skalarnego oraz nierówności Schwarza: u + v 2 = u + v, u + v = u 2 + v 2 + 2 u, v u 2 + v 2 + 2 u v = ( u + v ) 2. Uwaga 2 Jeżeli w przestrzeni liniowej V (bez struktury iloczynu skalarnego) określona jest funkcja. : V R spełniająca warunki (N1) (N4), to parę (V,. ) nazywamy przestrzenią unormowaną. Widzimy, że każda przestrzeń z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unormowaną, ale dość rzadko jest na odwrót. Stwierdzenie 19.5 (równość równoległoboku) Dla dowolnych wektorów u, v z przestrzeni V z iloczynem skalarnym spełniony jest warunek u + v 2 + u v 2 = 2 u 2 + 2 v 2. 2
Dowód: u+v 2 + u v 2 = u 2 + v 2 +2 u, v + u 2 + v 2 2 u, v = 2 u 2 +2 v 2. Stwierdzenie 19.6 (tożsamość polaryzacyjna) Dla dowolnych u, v V spełniony jest warunek u, v = 1 4 ( u + v 2 u v 2). Definicja 19.7 Dla niezerowych wektorów u, v V liczbę (u, v) = arccos u, v u v nazywamy kątem (nieskierowanym) pomiędzy wektorami u, v. Uwaga 3 Z nierówności Schwarza wynika, że ułamek u,v u v należy do przedziału [ 1, 1], więc kąt nieskierowany pomiędzy wektorami jest dobrze określony. Należy on zawsze do przedziału [0, π]. 1. Kąt pomiędzy niezerowymi wektorami ortogonalny- Przykład 19.8 mi wynosi π 2. 2. Wektory u, v są zgodnie zorientowane (lub mają ten sam zwrot), co zapisujemy u v, gdy jeden jest iloczynem drugiego przez liczbę nieujemną. Kąt pomiędzy niezerowymi wektorami zgodnie zorientowanymi wynosi 0. 3. Kąt pomiędzy niezerowymi wektorami równoległymi (czyli liniowo zależnymi) wynosi 0 lub π. Stwierdzenie 19.9 (twierdzenie cosinusów) Dla niezerowych wektorów u, v prawdziwa jest równość u + v 2 = u 2 + v 2 + 2 u v cos (u, v). Wniosek 19.10 (twierdzenie Pitagorasa) Wektory u, v są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy u + v 2 = u 2 + v 2. Wniosek 19.11 (równość Parsevala) Jeżeli układ (v 1,..., v k ) jest ortogonalny, to v 1 +... + v k 2 = v 1 2 +... + v k 2. 3
Definicja 19.12 W przestrzeni euklidesowej E odległością (lub metryką) nazywamy funkcję przypisującą punktom p, q E liczbę pq = pq. Stwierdzenie 19.13 W przestrzeni euklidesowej E spełnione są warunki: (D1) p,q E ( pq = 0 p = q) (D2) p,q E pq = qp (D3) p,q,r E pr pq + qr Uwaga 4 Jeżeli w zbiorze niepustym X określona jest funkcja d =.. : X X R spełniająca warunki (D1) (D3), to parę (X, d) nazywamy przestrzenią metryczną. Przykład 19.14 W przestrzeni euklidesowej E n ze standardowym iloczynem skalarnym odległość euklidesowa wyraża się wzorem (p 1,..., p n )(q 1,..., q n ) = n (q i p i ) 2. Stwierdzenie 19.15 W przestrzeni euklidesowej punkt r należy do odcinka pq wtedy i tylko wtedy, gdy pr + rq = pq. Dowód: ) Jeżeli r pq, to r = (1 a)p + aq dla pewnego a [0, 1]. Wówczas pr + rq = a pq + 1 a pq = pq. ) Załóżmy, że pr + rq = pq. Dla r = p lub q wniosek jest oczywisty, załóżmy więc, że r pq \ {p, q}. Wówczas pr 2 + rq 2 + 2 pr rq = pq 2 = pr + rq 2 = pr 2 + qr 2 + 2 pr, rq, skąd na mocy nierówności Schwarza dostajemy liniową zależność wektorów pr, rq oraz istnienie takiego s > 0, że rq = s pr. Zatem r = s s+1 p+ 1 s+1 q pq. i=1 Definicja 19.16 W przestrzeni euklidesowej E kulą (otwartą) o środku p i promieniu R > 0 nazywamy zbiór B(p, R) = {q E ; pq < R}. Zbiór B(p, R) punktów q E spełniających nierówność pq R nazywamy kulą domkniętą o środku p i promieniu R. 4
Stwierdzenie 19.17 Kula (odpowiednio kula domknięta) jest zbiorem wypukłym. Dowód: Dla q, q B(p, R) oraz a [0, 1] przyjmując r = (1 a)q +aq otrzymujemy pr = (1 a) pq + a pq 1 a pq + a pq < (1 a)r + ar = R, czyli qq B(p, R). 5