Mechanika i wtrzmałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratorjneo: Badania zinanch belek oprac. dr inż. Ludomir J. JNKOWSKI, dr inż. nna NIKODM. Wprowadzenie W wtrzmałości materiałów stan obciążenia materiału, w którm na materiał działa moment nącm, pochodząc od par sił działającch w płaszczźnie przekroju wzdłużneo materiału, nazwam zinaniem. fektem kinematcznm działania momentu M jest więcie pręta. Oólnie, pręt pracujące na zinanie nazwane są belkami. Jak wiadomo, dowoln układ sił można zredukować do sił wpadkowej i jednej par sił (momentu) []. Przjmijm, że w dowolnm przekroju poprzecznm belki układ sił można sprowadzić do jednej składowej momentu zinająceo M (rs. a), prz czm punktem redukcji jest środek teo przekroju. W takim przpadku belka jest poddana czstemu zinaniu. z a) b) z M M x x T Rs.. Schemat obciążenia przekroju belki: a) czste zinanie, b) zinanie z udziałem sił poprzecznej (tnącej) Jeśli w przekroju działa dodatkowo siła stczna T (rs. b), to belka jest zinana z udziałem sił poprzecznch. Jeśli wszstkie sił działające na belkę (obciążenia zewnętrzne i reakcje) leżą w jednej płaszczźnie (płaszczźnie zinania), przechodzącej przez oś belki, to taki przpadek zinania nazwan jest zinaniem prostm. Jeśli na skutek działającch obciążeń oś belki ma postać krzwej przestrzennej, to belka jest poddana zinaniu ukośnemu. naliza naprężeń i odkształceń zinanch belek wkorzstuje następujące założenia: Obciążenia działają w płaszczźnie smetrii belki zwanej płaszczzną zinania. Płaskie przekroje belki, prostopadłe do osi belki przed jej odkształceniem, pozostają prostopadłe do osi belki odkształconej (hipoteza płaskich przekrojów, hipoteza
Bernoullieo) obrót przekrojów. Hipotezę tę, mającą podstawowe znaczenie w teorii zinania prętów, po raz pierwsz postawił Bernoulli w 694 roku. włókna belki doznają odkształceń na skutek obrotów przekrojów, prz czm nie wstępują oddziałwania poprzeczne (naciski) pomiędz nimi we włóknach panuje jednoosiow stan naprężenia (w zależności od ich położenia -rozciąanie lub ściskanie). Rs. Wcinek dx pręta przed i po odkształceniu Na rs. przedstawiono element pręta przed i po odkształceniu. Weźm pod uwaę włókno odlełe od warstw obojętnej o z, dłuość jeo wnosiła pierwotnie dx ds, po odkształceniu wnosi ds (+ε), dzie ε jest wdłużeniem właściwm ( - promień krzwizn warstw obojętnej). Z zależności eometrcznch wnika: ds ( + ε) ds () + z stąd: z ε () Sił zewnętrzne działające na część belki po jednej stronie przekroju redukują się do momentu M.
. Wznaczanie modułu Youna Rozważm czste zinanie jednorodneo pręta przmatczneo wwołane przez moment zinając M. Mając na uwadze zasadę de Saint-Venanta, rozważania oraniczm do przekrojów dostatecznie oddalonch od końców pręta i pominiem ewentualne zaburzenia wnikające ze sposobu realizacji obciążeń. Pod wpłwem momentu zinająceo (wektor M leż w płaszczźnie przekroju), część włókien pręta jest ściskana, a pozostała część rozciąana, dlateo zinanie belki można sprowadzić do jednoczesneo jej rozciąania i ściskania. Włókna ściskane uleają skróceniu, a rozciąane wdłużeniu. Granicę obu części pręta stanowi warstwa utworzona z tzw. włókien obojętnch, którch odkształcenia liniowe (wdłużenia lub skrócenia wzlędne) są równe zeru. Powżej tej powierzchni sił deformujące mają kierunek rozciąając warstw órne, poniżej powodują ściskanie warstw dolnch. Sił wstępują parami i tworzą moment M zinając wzlędem linii neutralnej. P a l p 3 P l l M -Pa Rs. 3 Schemat zinania czteropunktoweo Sił zewnętrzne działające na część belki po jednej stronie przekroju redukują się do momentu M. Uwzlędniając wewnętrzne sił elementarne σ d tworzące przestrzenn układ sił równolełch, możem dla odciętej części belki napisać następujące warunki równowai: 3
x 0 P σ d 0 (3) z 0 4 M σ d 0 (4) M 0 σ dz M 0 (5) W zakresie odkształceń liniowo-sprężstch (a więc w zakresie obowiązwania prawa Hooke a) odkształcenia włókien belki są wprost proporcjonalne do naprężenia (6). σ dzie: moduł sprężstości podłużnej (Youna) Wrażając w równaniu (6) ε przez σ, otrzmam wzór: ε (6) σ z (7) Relacja (8) ustala prawo rozkładu naprężeń w przekroju ich wielkości są proporcjonalne do odlełości od osi obojętnej przekroju. Wielkość σ wstawiam do równań (3), (4) i (5). z d 0 z d 0 z d M Spełnienie równania (8) pociąa za sobą warunek, iż moment statczn przekroju wzlędem osi obojętnej jest równ zeru, stąd wniosek, że oś obojętna przekroju musi przechodzić przez jeo środek ciężkości. Spełnienie równania (9) pociąa za sobą warunek, że moment dewiacji wzlędem osi prostokątnch przekroju, z którch jedna jest osią obojętną i ma kierunek wektora momentu nąceo, jest równ zeru, stąd wniosek, że założenie mówiące o zodności kierunku wektora momentu nąceo i osi obojętnej przekroju będzie spełnione tlko wówczas, d kierunek wektora momentu nąceo będzie się pokrwał z kierunkiem jednej z łównch (centralnch) osi bezwładności przekroju. Czstemu zinaniu (M const) prostej belki, o stałm przekroju poprzecznm towarzsz uięcie, któremu odpowiada krzwizna osi określona wzorem, dlateo też można wprowadzić zależność pomiędz momentem zinającm i modułem sprężstości materiału belki. (8) (9) (0)
Równanie (0) pozwoli ustalić związki międz krzwizną i naprężeniami a momentem nącm. Uwzlędniwsz, że z d I, otrzmam: M I () Wzór ten określa odkształcenie pręta, wrażające się w zakrzwieniu jeo osi. Wielkość I nazwam sztwnością na zinanie. Wstawiając, na podstawie równania (7) otrzmujem: σ z Mz σ () I Z wzoru () wnika, że linia uięcia jest częścią okręu o promieniu. Ponadto, prz znajomości wielkości M i I z (moment bezwładności przekroju) oraz dokonując pomiaru krzwizn /, można wznaczć wartość modułu Youna materiału belki. Krzwiznę / można wznaczć mierząc strzałki uięcia belki f, jest ona miarą odkształcenia pręta i jej wartość zależ od przłożonej sił F, od rozmiarów pręta (jeo dłuości l, wsokości h i szerokości b) oraz od rodzaju materiału (moduł Youna ). Strzałkę uięcia można wznaczć np. czujnikami zearowmi, w miejscach w którch belka najbardziej się uina, w punktach pokazanch na rs. 3 (w tm przkładzie w celu weliminowania wpłwu przemieszczeń podpór pomiar uięć przeprowadzan jest za pomocą trzech czujników). Belka przedstawiona poddana jest zinaniu stałm momentem M -P a, (siła tnąca T0). Część belki pomiędz podporami poddana jest więc czstemu zinaniu. Na odcinku pomiarowm l p strzałka uięcia wnosi: f + f3 f f (3) Pomiar w punktach końcowch odcinka l p umożliwia uniezależnienie się od przemieszczeń podpór (rs.4). Ponieważ, jak już wspomniano, linia uięcia jest w tm przedziale belki łukiem okręu, to:, l p ( f ) + ( ) (4) 5
Rs.4 Zależności eometrczne w zinanej belce Promienia krzwizn określon jest zależnością: l f p + ( ) (5) f f Wielkość przemieszczenia f jest bardzo mała, zatem f 0,( << ). Wzór (5) przbiera więc postać: 6 l p 8f l p (6) Jeżeli belka poddana jest czstemu zinaniu, to krzwizna belki określona jest wzorem: stąd: M I M I (7) (8) Przekształcając wzór (8) ze wzlędu na promień krzwizn oraz uwzlędniając, że moment nąc jest ujemn (M < 0) otrzmujem zależność pozwalającą na wznaczenie modułu Youn a w postaci:
P M I (9) Przkładowo, belka o przekroju prostokątnm, szerokości b i rubości h, jest zinana czstm momentem zinającm poprzeczneo Iz, określon jest wzorem (0). Ostatecznie, moduł Youna określa wzór: M Pa (rs. ). Moment bezwładności przekroju 3 bh I (0) 3Pa l bh f 3al p p 3 3 () bh P f Przebie ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów ze zjawiskami wstępującmi podczas zinania belek. Belki poddane zinaniu wkonano z profili aluminiowch o przekroju kwadratowej rur o różnch wmiarach.. Pomiar wielkości eometrcznch badanch belek. Pomiar wartości strzałki uięcia. Pomiar przeprowadzam dla różnch wartości obciążeń. Wartości strzałki uięcia odcztujem wkorzstując czujnik zearow. 3. Wznaczenie wartości modułu Youn a dla różnch układów i różnch wartości obciążeń. Korzstając z wartości eometrcznch badaneo układu oraz ze wzoru obliczć wartości modułów Youna. 7