Rezonanse, Wykresy Dalitza Lutosława Mikowska 19.10.2015 26.10.2015
REZONANSE Analizę fal parcjalnych można zastosować do opisu rozpraszania dwóch cząstek, traktując jedną jako centrum rozpraszające, a drugą jako falę przychodzącą. Jeżeli amplituda rozpraszania elastycznego: f l = η le 2iδ l 1 2i dla danego l i przy określonej długości fali (w układzie CMS) osiąga maksimum, to mówi się, że rozpatrywane cząstki rezonują. Powstały stan rezonansowy jest opisany jest przez wybraną wartość momentu pędu, określoną parzystość i izospin oraz masę odpowiadającą cząstką na które się rozpadają, dlatego nazywane są też cząstkami rezonansowymi, lub rezonansami. Rezonanse są niemierzalnie krótko-żyjące. Ich średni czas życia wynosi: τ = 10 23 s! (to jest ich cecha charakterystyczna) Dlatego opisujemy je raczej szerokością: Γ = ħ, czyli naturalnym τ rozmyciem energii: ( E)( t)~ħ
Wzór rezonansowy Breita-Wignera (rozważamy cząstki bez spinowe S=0) Amplituda f l osiąga maksimum gdy jej przesunięcie fazowe przejdzie przez δ = π 2. Elastyczne rozpraszanie ->bez absorbcji -> η = 1, opuszczamy wskaźnik l : f l = e2iδ 1 = eiδ (e iδ e iδ ) 2i 2i 1 =e iδ sin δ = Dla rezonansu E = E R i δ = π 2 ctg δ i = więc ctg δ 0, Wykres Arganda, T=f(l) Rozwijamy ctgδ E w szereg Taylora wokół E R : ctgδ E = ctgδ E R +(E-E R ) d ctg(e) 2 + E E de R E=E R Γ
Wzór rezonansowy Breita-Wignera cd. Rozwijamy ctgδ E w szereg Taylora wokół E R : ctgδ E = ctgδ E R +(E-E R ) d ctg(e) 2 + E E de R E=E R Γ ctgδ E R = 0 i wprowadzamy 2 Γ = d de ctg E E=E R, można zaniedbać dalsze człony rozwinięcia, jeżeli E E R Γ E R. Wtedy: Podstawiamy do σ el f l = 1 ctg δ i = Γ/2 E R E iγ 2 dla fal parcjalnych: σ el = 4πƛ 2 (2l + 1) f(l) 2 l i otrzymujemy wzór Breita- Wignera: σ el (E) = 4πƛ 2 (2l + 1) Γ 2 /4 E R E 2 Γ2 4
Rezonanse powstają w procesie rozpraszania cząstek, na wykresie σ el (E) widoczne są w postaci pików o kształcie krzywej rezonansowej. W przypadku elastycznego rozpraszania, rezonanse rozpadają się na cząstki z których powstały a + b r, r a + b W ogólności, w procesie rozpraszania rezonanse mogą się tworzyć i rozpadać na różne sposoby W trakcie rozpraszania może powstawać kilka różnych rezonansów, a ich krzywe mogą się przekrywać piki się zlewają problem z określeniem masy rezonansu
Przykład: rezonans (1232)
Metoda przesunięć fazowych
Rezonanse w rozpadach trójciałowych Rezonanse r często towarzyszą rozpadom trójciałowym: M r + c a + b + c Dla rozpadów dwu-ciałowych: M 1 + 2 pędy p 1 i p 2 są całkowicie określone przez prawo zachowania energii i pędu. Rozpady trójciałowe: M 1 + 2 + 3 mają więcej stopni swobody więcej konfiguracji stanów końcowych cząstek. 1 1 1 2 2 3 2 3 3
Rozpady trójciałowe c.d Opisując stan końcowy trzech cząstek 4-pędami mamy 12 parametrów!!! Jednak nie wszystkie są niezależne: cząstki 1,2,3 rozpadają się w tej samej płaszczyźnie -3 parametry E i = m 2 i p 2 i - 3 parametry Prawo zachowania pędu p M = p 1 + p 2 + p 3, i E M =E 1 + E 2 +E 3 redukuje 3 parametry możemy obracać układem w płaszczyźnie rozpadu bez konsekwencji/efektu -1 parametr Zostają nam tylko 2 niezależne parametry!!!. Które mogą być wybrane na różne sposoby. Wybrane parametry odkłada się na osi rzędnych i odciętych wykresu Dalitza. W oryginalnym wykresie Dalitz (1953) wykorzystał energie kinetyczne cząstek powstałych w rozpadzie. We współczesnych wykresach wykorzystuje się masę niezmienniczą (dalsze slajdy).
WYKRESY DALITZA Efektywne narzędzie do analizy rozpadów trójciałowych: dostarczają informacji o masie, czasie życia i spinie cząstek Powszechnie używane narzędzie do badania mechanizmu produkcji cząstek w zderzeniach elementarnych Wizualna reprezentacja przestrzeni fazowej rozpadu cząstki na kilka cząstek Przedstawia gęstość zdarzeń odpowiadającą określonym wartościom energii cząstek na które rozpada się układ
Przestrzeń fazowa układu trzech ciał Prawdopodobieństwo rozpadu cząstki w stanie początkowym i na cząstki końcowe stan f : W = 2π ħ M if 2 ρf M if - element macierzowy przejścia ze stanu f do i, ρ f =dn/de -gęstość stanów końcowych Liczba dostępnych dn stanów kwantowych w przestrzeni fazowej cząstki trafiającej w kąt brylowy dω na jednostkową objętość: dn = V p2 dpdω h 3 Dla rozpadu trójciałowego M 1 + 2 + 3 w CMS (ukł. środka masy): dn ~ p 2 1 dp 1 p 2 2 dp 2 dω 1 dω 2 Gdyż w CMS, p 3 = p 1 + p 2 jest ustalony i zależny, zatem w dn nie ma członu zależnego od p 3.
Przestrzeń fazowa układu trzech ciał cd. dn ~ p 1 2 dp 1 p 2 2 dp 2 dω 1 dω 2 Gdy stan i jest niespolaryzowany to rozkład stanów f będzie izotropowy. dω 1 = 1, dω 2 = d cosθ 12 2 Element M if jest w postaci lorentzowsko niezmienniczej. Żeby dn też miało taką postać, włączamy czynnik 1 dla każdej cząstki, który jest E konsekwencją skrócenia Lorentza: Otrzymujemy: V Vm E ~ 1 E dn = const p 1 2 dp 1 p 2 2 dp 2 d cosθ 12 E 1 E 2 E 3
Przestrzeń fazowa układu trzech ciał cd. Korzystając z wyrażeń na energie oraz ich różniczek: E 1,2 = p 2 1,2 + m 1,2 E 2 3 = p 2 1 + p 2 2 + m 2 1 +m 2 2 +2p 1 p 2 cosθ 12 E 1,2 de 1,2 = p 1,2 dp 1,2 E 3 de 3 = 2p 1 p 2 d(cosθ 12 ) (p 1, p 2 ustalone) Otrzymujemy: dn = const E 1dE 1 E 2 de 2 E 3 de 3 E 1 E 2 E 3 Energia całkowita: E f = E 1 + E 2 + E 3, E 1, E 2 ustalone więc de f = de 3 Stąd, jednorodna gęstość stanów końcowych: ρ = dn de f = const de 1 de 2
Przestrzeń fazowa -Wykres Dalitza Jeżeli M if 2 zależy od pędów i kątów cząstek, to uzyskamy niejednorodny rozkład gęstości na wykresie Dalitza: ρ = M(E 1, E 2 ) 2 de 1 de 2 Wykres Dalitza to wizualna reprezentacja przestrzeni fazowej rozpadu cząstki na kilka cząstek, Przedstawia gęstość zdarzeń odpowiadającą określonym wartościom energii cząstek na które rozpada się układ.
Oryginalny wykres Dalitza ( rok 1953) Orginalny wykres Dalitz zastosował do rozpadu: K + π + + π + +π Za dwa niezależne parametry przyjął: x = 3(T 1 T 2 ) Q y = 2T 3 T 1 T 2 Q p i -pędy, T i - energie kinetyczne, Q =T 1 + T 2 + T 3 masy pionów - jednakowe i prawie nierelatawistyczne, Wszystkie zdarzenia leżą wewnątrz trójkąta, bo Q =T 1 + T 2 + T 3 Ponadto: p 1 + p 2 + p 3 =0 (CMS) -> Wszystkie konfiguracje są wewnątrz okręgu o promieniu : r 2 = 4 9 [Q2 3(T 1 T 2 + T 3 T 2 + T 1 T 3 )]
Poprawka relatywistyczna W przypadku nierelatywistycznym punkty odpowiadające możliwym zdarzeniom będą leżały wewnątrz okręgu Po uwzględnieniu poprawek relatywistycznych obszar możliwych zdarzeń deformuje się W przypadku skrajnie relatywistycznym (p E T) Punkty będą leżały tylko wewnątrz trójkąta wpisanego
Parzystość K + Przewidywane rozkłady gęstości Rozkład uzyskany z eksperymentów Porównując wyniki eksperymentu z przewidywanymi rozkładami gęstości otrzymujemy parzystość mezonu:
Współczesne wykresy Dalitza - rozpady trójciałowe Obecnie w badaniu rozpadów: M a + b + c na osiach wykresu odkłada się kwadrat masy niezmienniczej: Czarny kontur stanowi kinematyczne ograniczenie wykresu i wynika z praw zachowania pędu i Energii. Możliwe zdarzenia (konfiguracje cząstek ) znajdują się wewnątrz konturu.
Kształt wykresu Dalitza Kształt wykresu zależy również od tego, czy rozpraszanie cząstek ma charakter relatywistyczny (trójkąt) czy nierelatywistyczny ( zniekształcona elipsa )
Rozkład gęstości Rozkład intensywności punktów na wykresie Dalitza zależy od modułu kwadratu elementu macierzowego przejścia ze stanu początkowego i do stanu końcowego M if 2 : ρ = M(E 1, E 2 ) 2 de 1 de 2 Jeżeli M if 2 =const -> rozkład będzie jednorodny Gdy produkty rozpadu M a + b + c, oddziałują ze sobą widoczne będą zagęszczenia i puste pola wewnątrz konturu
Rozkład gęstości Żółty: wektory pary cząstek są równoległe -> silne oddziaływanie między cząstkami Niebieski: rezonans cząstki 1 i 2 Czerwony oznacza obszar oddziaływań cząstki 3 z rezonansem
Rezonanse na wykresie Dalitza W rozpadach trójciałowych często powstają rezonanse: M r + c a + b + c Jeśli rezonans rozpada się: r a + b. To jego masa niezmiennicza: Rezonanse będą widzoczne na wykresie D. jako liniowe pasma:
Przykład rezonansu na Wykresie Dalitza: <- Wykres Dalitza dla rozpadu: K + p π + +π + Λ Odczytujemy rezonans - hiperonowy: Σ(1385) π /+ + Λ
Czas życia rezonansu Γ=ħ /τ,
Spin na Wykresie Dalitza
Konstruktywna interferencja
Destruktywna interferencja
Wykres Dalitza jest często symetryczny
Sprawdzian Kształt wykresu Rezonanse Spin
Sprawdzian Kształt wykresu Rezonanse Spin
Bibliografia http://www.slac.stanford.edu/slac/sass/talks/brianl.pdf http://www.indiana.edu/~jpac/resources/londergandalitzplot.pdf D.H Perkins Wstęp do fizyki wysokich energii, PWN Warszawa 1989 Prezentacja Prof. P. Salabury Klasyfikacja cząstek: model kwarkowy