TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego).
Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu przebega astępująco: 1. Poberamy lczą próbę ( >80). Prezetujemy ją w szeregu rozdzelczym klasowym w r klasach.. Oblczamy a podstawe próby estymatory ajwększej warygodośc ezaych parametrów m (średa odchylee stadardowe z próby). 3. Przyjmujemy, że cecha X ma rozkład ormaly.
3 4. Dla każdego przedzału klasowego ; 1 ) a a A oblczamy prawdopodobeństwo ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 a F a F a X a P A X P p
5. Oblczamy u r 1 ( p p ) r 1 ( ˆ ˆ ) gdze jest lczeboścą (empryczą) klasy A. ˆ jest lczeboścą teoretyczą klasy A p 4
6. Wyzaczamy zbór krytyczy prawostroy K k ; ), gdze k wyzaczamy z tablcy rozkładu dla r 3 stop swobody dla prawdopodobeństwa (rówemu pozomow stotośc). 7. Podejmujemy decyzję: odrzucamy hpotezę H 0, gdy u K przyjmujemy hpotezę H 0, gdy u K 5
Uwaga. Do oblczaa prawdopodobeństw p, perwsza ostata klasa szeregu rozdzelczego powy meć postać A1 ( ; a), A r a r ;) do każdej z ch powo ależeć co ajmej 5 elemetów próby. Do pozostałych klas powo ależeć co ajmej 10 elemetów próby. Klas e może być mej ż 4. 6
Przykład Pobrao próbę 00 elemetową. Otrzymae wyk prezetowae są w poższym szeregu rozdzelczym przedzałowym Nr klasy Klasa a ; a ) 1 Lczebość 1 <600; 800) <800; 1 000) 10 3 <1 000; 1 00) 0 4 <1 00; 1 400) 30 5 <1 400; 1 600) 56 6 <1 600; 1 800) 4 7 <1 800; 000) 1 8 < 000; 00) 13 9 < 00; 400) 5 10 < 400; 600) 1 Suma 00 Na pozome stotośc = 0,05 sprawdź hpotezy: H ( 0 Cecha X populacj ma rozkład ormaly) H ( 1 Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Rozwązae Nezae parametry to m (l = )ch estymatoram są x s. Oblczea x s 7
Nr klasy Klasa a ; a ) 1 Lczebość Środek klasy w w ( w x) 1 <600; 800) 700 1 400 1 411 00 <800; 1 000) 10 900 9 000 4 096 000 3 <1 000; 1 00) 0 1 100 000 3 87 000 4 <1 00; 1 400) 30 1 300 39 000 1 78 000 5 <1 400; 1 600) 56 1 500 84 000 89 600 6 <1 600; 1 800) 4 1 700 71 400 1 075 00 7 <1 800; 000) 1 1 900 39 900 71 600 8 <000; 00) 13 100 7 300 4 076 800 9 <00; 400) 5 300 11 500 888 000 10 <400;600) 1 500 500 91 600 Suma 00 308 000 880 000 308000 x 1540 [zł], 00 880000 s 114400 [zł], 00 s 114400 338, [zł] Oblczea u 100 8
a ) a ; 1 a a 1 a x a 1 x s ( a x a ) ( 1 x s s ) p p ( p ) p s 1 ( ; 1000) 1 1000 1,60 0 0,055 0,05517 11,03 0,084659 <1000; 100) 0 1000 100 1,60 1,01 0,05517 0,1574 0,100 0,44 0,009499 3 <100; 1400) 30 100 1400 1,01 0,41 0,15737 0,3395 0,1808 36,4 1,130557 4 <1400; 1600) 56 1400 1600 0,41 0,18 0,33945 0,5704 0,3095 46,19,08314 5 <1600; 1800) 4 1600 1800 0,18 0,77 0,57041 0,7790 0,0858 41,7 0,001933 6 <1800; 000) 1 1800 000 0,77 1,36 0,77899 0,9131 0,1341 6,8 1,64544 7 <000; ) 19 000 1,36 0,91311 1 0,08689 17,38 0,15191 Suma 1,00000 00,00 4,730000
u 100 = 4,73. Wyzaczamy zbór krytyczy prawostroy K k;; ). Lczbę k odczytujemy z tablcy rozkładu prawdopodobeństwa = 0,05. Mamy k = 9,488, węc K 9,488; ). dla r l 1 = 7 1 = 4 stop swobody Poeważ u 100 = 4,73 K, węc hpotezę, że cecha ma rozkład ormaly przyjmujemy. Hpotezę tę moża dopero odrzucć a pozome stotośc 0,3, gdyż zbór krytyczy K 4,73; ) otrzymujemy właśe a tym pozome. 10
Test Shapro-Wlka Wysuwamy hpotezy H 0 (Cecha X populacj ma rozkład ormaly) H 1 (Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego) Zweryfkujemy powyższe hpotezy a podstawe małej próby, a pozome stotośc α, za pomocą testu Shapro-Wlka. 1. Porządkujemy próbę emalejąco (x (1), x (),, x () ). Oblczamy statystykę U [ / ] 1 a 1 (X(1) X () ) (X X) 1 gdze: [/] jest częścą całkowtą lczby /, a współczyk a 1, a,... a /, odczytujemy z odpowedej tablcy : 11
1 3 4 5 6 7 8 9 10 8 0,605 0,3164 0,1743 0,0561 10 0,5739 0,391 0,141 0,14 0,0399 1 0,5475 0,335 0,347 0,1586 0,09 0,0303 14 0,551 0,3318 0,460 0,180 0,140 0,077 0,040 15 0,5150 0,3306 0,495 0,1878 0,1353 0,0880 0,0433 0 16 0,5056 0,390 0,51 0,1939 0,1447 0,1005 0,0593 0,0196 18 0,4886 0,353 0,553 0,07 0,1587 0,1197 0,0837 0,0496 0,0163 0 0,4734 0,311 0,565 0,085 0,1686 0,1334 0,1013 0,0711 0,04 0,0140 1
3. Rozpatrujemy zbór krytyczy: K 0 ; k gdze k odczytujemy dla pozomu stotośc daego z tablcy testu Shapro-Wlka: (tablca testu Shapro-Wlka dla = 0,05) 8 10 1 14 15 16 18 0 k 0,818 0,84 0,859 0,874 0,881 0,887 0,897 0,905 4. Decyzje: Jeśl Jeśl u K to H 0 odrzucamy. u K to e ma podstaw do odrzucea H 0. 13
Przykład Daa jest uporządkowaa próba 18 elemetowa: 14, 14, 149, 156, 161, 168, 173, 179, 18, 193, 197, 04, 19, 8, 37, 5, 59, 74. Na pozome stotośc 0,05 sprawdzć testem Shapro-Wlka hpotezę o ormalośc rozkładu badaej cechy. Rozwązae Średa wyos 194,3. Suma kwadratów odchyleń od średej x x 31375,6. 1 = u 0,4886(74 14) 0,353(59 14)... 0,0163(193 18) 31375,6 0,97 K = <0; 0,897>, zatem u K hpotezę o ormalośc rozkładu badaej cechy ależy przyjąć. 14
Test ormalośc (test Kołmogorowa Llleforsa) Wysuwamy dwe hpotezy: H 0 X ma rozkład ormaly, H 1 X e ma rozkładu ormalego. Poberamy próbę co ajmej 30 elemetową. Na podstawe próby wyzaczamy realzację estymatorów parametrów m czyl średą odchylee stadardowe z próby. Oblczamy wartość statystyk U sup F x ( x) F( x) Gdze F (x) jest dystrybuatą empryczą, F(x) dystrybuatą rozkładu ormalego N ( x, s). Wyzaczamy zbór krytyczy K = < k, ), gdze k odczytujemy z tablcy dla daego pozomu stotośc. Krytycze wartośc testu Kołmogorowa Llleforsa dla = 0,05: 15
lczebość próby, k lewy koec zboru krytyczego. 35 40 45 50 55 60 65 k 0,1498 0,1401 0,131 0,153 0,1193 0,1144 0,1099 70 75 80 85 90 95 100 k 0,1059 0,103 0,0991 0,0961 0,0934 0,0909 0,0886 Podejmujemy decyzję: odrzucamy hpotezę H 0, gdy przyjmujemy hpotezę H 0, gdy u K u K 16