WERYFIKACJA JAKOŚCI PROGNOZ ZMIENNOŚCI WYKORZYSTYWANYCH W MODELU RISKMETRICS TM

Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 083-8611 Nr 86 016 Ekonomia 6 Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń Kaedra Inwesycji i Nieruchomości rafal.bula@ue.kaowice.pl WERYFIKACJA JAKOŚCI PROGNOZ ZMIENNOŚCI WYKORZYSTYWANYCH W MODELU RISKMETRICS TM Sreszczenie: Arykuł jes poświęcony problemayce prognozowania zmienności z wykorzysaniem wykładniczo ważonych średnich ruchomych. W pierwszej kolejności omówiono wybrane modele zmienności sóp zwrou oraz podkreślono prakyczne znaczenie EWMA wykorzysywanych w modelu RiskmericsTM. Nasępnie przedsawiono wyniki badań empirycznych wskazujących na poencjalne korzyści wynikające z zasosowania omawianej meodyki. Słowa kluczowe: zmienność, EWMA, Riskmerics TM. Wprowadzenie Wśród kluczowych problemów związanych nieodłącznie z podejmowaniem inwesycji na rynku finansowym jednym z najisoniejszych jes kwesia oceny poziomu ich ryzykowności. Mimo rozmaiych ułomności do najczęściej wykorzysywanych mierników w procesie kwanyfikacji ryzyka inwesycji finansowych należą wariancja oraz odchylenie sandardowe sopy zwrou. Konieczność modyfikacji klasycznego modelu Samuelsona Osborne a wykorzysującego muliplikaywny ruch Browna sała się jednak wraz z upływem czasu oczywisa. Dlaego eż nie rezygnując z doychczasowych, uznawanych za dogodne z ekonomicznego punku widzenia mierników, sarano się zmienić odpowiednie założenia modelowe, ak by w większym sopniu odzwierciedlały rzeczywise flukuacje na rynkach finansowych (modele ARCH, GARCH i wariacje). Jedną

3 z najmniej skomplikowanych, a jednocześnie częso używanych w prakyce jes konsrukcja wykorzysywana w ramach meodyki Riskmerics TM (służącej docelowo prognozowaniu warości zagrożonej 1 ), zakładająca modelowanie i prognozowanie zmienności w czasie za pomocą wykładniczo ważonych średnich ruchomych. Powsaje jednak pyanie, na ile sosowanie owej meodyki jes uzasadnione poprawą jakości uzyskiwanych oszacowań. Celem niniejszego arykułu jes zaem dokonanie oceny, czy prognozy zmienności (wariancji) dokonywane za pomocą wykładniczo ważonych średnich ruchomych umożliwiają rafniejsze przewidywanie jej poziomu, niż w syuacji wykorzysania równych wag. Z ego eż względu w niniejszym arykule analizie zosaną poddane oszacowania zmienności dla wybranych spółek noowanych na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie S.A., uzyskiwane w sposób radycyjny oraz z wykorzysaniem opisanej meodyki. Wszelkie obliczenia auor prowadził z wykorzysaniem pakieu MS Excel oraz języka Visual Basic for Applicaions. 1. Wybrane modele zmienności sóp zwrou Zwiększone zaineresowanie problemayką modelowania zmienności szeregów czasowych, wynikające z zauważonych niedosaków klasycznego geomerycznego ruchu Browna zaowocowało, począwszy od la osiemdziesiąych ubiegłego wieku, powsaniem ogromnej liczby różnorodnych modeli. W pierwszej kolejności należy wspomnieć o wykorzysanym przez Engle a (pierwonie w odniesieniu do inflacji w Wielkiej Bryanii) modelu ARCH(q) (Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy) [Engle, 198, s. 988-989; Ganczarek-Gamro, 013, s. 59-60]: (, h ) ε ψ 1 ~ N 0, h q 0 + αiε i i= 1 = α, przy czym Ψ oznacza zasób informacji dosępny w chwili, h warunkową wariancję, a α 0 > 0, α 1 0 (i = 1,, q) są paramerami. W modelu ym (przy założeniu, że dla co najmniej jednego opóźnienia α i > 0) przeszłe realizacje składnika losowego oddziałują na bieżący poziom jego warunkowej wariancji. Jeśli przyjąć, że procesem ym może być modelowana sopa zwrou, wówczas gwałowne flukuacje cen sprawiają, że warunkowa wariancja wzrasa, a zaem ma 1 Na ema warości zagrożonej piszą m.in. [Jorion, 007; Pera, 008].

Weryfikacja jakości prognoz zmienności wykorzysywanych w modelu 33 miejsce częso obserwowane grupowanie zmienności (volailiy clusering). W modelu ARCH bieżący poziom warunkowej wariancji jes uzależniony od jej hisorycznych warości jedynie pośrednio, poprzez realizacje składnika losowego. Problem en uwzględnia model uogólniony GARCH(p,q) (Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy) zaproponowany przez T. Bollersleva [1986, s. 308-309] posaci: ε ψ ~ N( 0, h ), gdzie: 1 q p α 0 + αiε i + β j j, i= 1 j = 1 h = h α > 0 0, α 0 i ( i = 1,,..., q ), β 0 ( j = 1,,..., p ). j W ujęciu wórców modelu innowacje mają warunkowy rozkład gaussowski. W odniesieniu do finansowych szeregów czasowych przyjmuje się akże, że składnik czyso losowy ma warunkowy rozkład cechujący się lepokurozą jak rozkład Sudena-Gossea czy uogólniony rozkład błędu. Najprosszym i chyba najczęściej wykorzysywanym jes model GARCH(1,1): h = + + 0 α1ε 1 β1h 1 α. Klasa modeli pokrewnych jes w chwili obecnej bardzo liczna, ponieważ Ekonomerycy bez opamięania worzyli kolejne wariany modelu GARCH, z kórych większość sanowi jedynie marginalnie ulepszony model wyjściowy [Jorion, 007, s. 4] 3. Poszukując modelu uproszczonego zauważono, że prognozy uzyskiwane za pomocą modeli GARCH są zbliżone do prognoz orzymywanych z wykorzysaniem wykładniczo ważonych średnich ruchomych 3 Choć np. już Bollerslev [1986, s. 309, przyp. 1] odnoowuje, że nie ma przeszkód dla wykorzysania innych rozkładów. Trzeba zauważyć, że słowa P. Joriona należy w opinii auora inerpreować nie w odniesieniu do warości poznawczej wzmiankowanych modeli, lecz ekonomicznej zasadności ich wykorzysania. Niewąpliwie rozbudowane modele GARCH dominują nad relaywnie prosymi modelami w sensie precyzji dosarczanych prognoz. Tym niemniej nasuwa się u analogia z koncepcją efekywności informacyjnej rynku kapiałowego. W pierwonym sformułowaniu owej idei akcenowano konieczność uwzględnienia przez uczesników rynku wszelkich dosępnych informacji. Obecnie podkreśla się fak, że marginalne korzyści wynikające z pozyskania dodakowych informacji muszą przekraczać marginalny kosz ich zdobycia i wykorzysania. Z podobną syuacją mamy do czynienia w przypadku modeli zmienności z punku widzenia uczesników rynku precyzyjniejsze meody prognozowania są mało użyeczne, jeśli ich użycie nie generuje korzyści przekraczających koszy sosowania.

34 [J.P. Morgan & Reuers, 1995, s. 89-90], kóre w rzeczywisości są szczególnym q p przypadkiem modelu IGARCH (j. gdzie α i + β j = 1), przy czym p = q = 1, zaś α 0 = 0. W modelu ym wykorzysuje się zaem ylko jeden paramer, λ: h i= 1 j = 1 ( λ) ε 1 = h 1 + 1 λ, co w odniesieniu do sóp zwrou można zapisać jako: przy czym ~ IID( ) 0, ( 1 λ) r 1 σ, = λσ 1 + r σ. Model en dla okresów krókich wykazuje zbieżność z modelem GARCH, dla długich różnią się one jednak isonie [Geweke, 1986]. Problemayczny pozosaje jednak dobór parameru λ. W modelu Riskmerics TM przyjęo, że dla prognoz dziennych wynosi on 0,94, zaś dla miesięcznych 0,97. Dobór akowy, jakkolwiek dokonany na podsawie analizy danych hisorycznych, może budzić wąpliwości. Po pierwsze, być może lepsze rezulay można zyskać posiłkując się paramerami zróżnicowanymi w populacji analizowanych insrumenów. Po drugie, celowe może być dopuszczenie zmienności w czasie owego parameru, ak by jego poziom odzwierciedlał akże najnowsze noowania. Ponado, nie jes przesądzone, czy uzyskiwane prognozy będą isonie lepsze od orzymywanych za pomocą równomiernie ważonych średnich ruchomych, albowiem dla danych miesięcznych isnieją badania sugerujące posiłkowanie się raczej klasycznym, uakualnianym w czasie odchyleniem sandardowym niż oszacowaniami pochodzącymi z modelu GARCH(1,1) [Figlewski, 1994]. Jednocześnie wskazuje się na zaley modeli wariancji warunkowej w ocenie poziomu ryzyka rynkowego [Jędrusik i in., 007]. W kolejnym punkcie zosaną przedsawione wyniki badań empirycznych poświęconych owym problemom.. Procedura badawcza W arykule poddano badaniu wybrane spółki noowane na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie S.A. Posanowiono posiłkować się dziennymi logarymicznymi sopami zwrou, ak by obserwacje, na podsawie kórych dokonuje się opymalizacji współczynnika ważącego, były odpowiednio liczne 4. Jako że noowania dzienne są dosępne począwszy od października 1994 r., badaniu poddano spółki noowane w okresie 1.01.1995 9.0.016, j. 18 pod- 4 Auor w czasie prowadzenia badania nie dysponował danymi wysokiej częsoliwości.

Weryfikacja jakości prognoz zmienności wykorzysywanych w modelu 35 mioów. Spośród nich wyłączono spółkę MSX Resources S.A. ze względu na fak, że w międzyczasie miało miejsce zawieszenie noowań akcji spółki, co skukowało zmniejszeniem liczby dosępnych obserwacji. Ze względu na czasochłonność obliczeń w przypadku meody wykładniczo ważonych średnich ruchomych opymalne warości współczynnika ważącego obliczano każdorazowo na podsawie danych hisorycznych dosępnych pierwszego dnia miesiąca, w kórym miały miejsce noowania giełdowe. Wybór opymalnego poziomu owej wielkości był dokonywany w drodze minimalizacji pierwiaska średniokwadraowego błędu wygasłych prognoz wariancji dla jednego dnia handlowego, obliczanego w myśl wzoru: 1 RMSET = σ, T = 1 gdzie σ oznacza prognozowany poziom wariancji w dniu, zaś T liczbę,p T (,P r ) prognoz wygasłych [Welfe, 003, s. 35]. Na podsawie ak oszacowanego współczynnika dokonywano prognozy na kolejny dzień handlowy. Nasępnie prognozowano poziom wariancji dla pozosałych dni w miesiącu, uwzględniając napływające informacje, jednak z wykorzysaniem pierwonie uzyskanej warości współczynnika ważącego. Analogicznych prognoz dokonywano posiłkując się akże uśrednioną wielkością współczynnika λ oszacowanego w danym okresie, wykorzysując nasępującą procedurę: 1. Należy obliczyć warość pierwiaska średniokwadraowego błędu prognoz wygasłych τ i dla i-ej spółki. 1 τ i. W kolejnym kroku kalkuluje się wagi posaci φ i = n, n liczba spółek 1 τ i= 1 wykorzysywanych w analizie. 3. Opymalny poziom współczynnika wygładzającego uzyskuje się jako średnią n ważoną φ i ˆi λ, gdzie ˆλ i oznacza orzymane uprzednio oszacowanie współczynnika dla i-ej spółki [J.P. Morgan & Reuers, 1995, s. 99-100]. Ponado prognozowano poziom wariancji wykorzysując hisoryczny poziom ej wielkości dla okresów o zróżnicowanych długościach. Jako graniczną długość przyjęo 70, albowiem w ym przypadku w modelu EWMA dla parameru λ = 0,94 waga osaniej usuwanej obserwacji jes równa sumie wag przypisanych obserwacjom 70-ej i dalszym, jeśli model zapisać nasępująco: k = 1 k

36 ( 1 λ)[ r + λr + λ r...] = 1 3 + σ. W badaniu przyjęo, że wariancje hisoryczne są obliczane względem średniej hisorycznej, poencjalne korzyści wynikające z esymacji względem zera wysępują bowiem dopiero dla bardzo długich okresów 5 [Figlewski, 1994, s. 19-0]. Posiłkowano się zaem prognozami sporządzanymi na podsawie 1, 5, 10, 0,, 70 obserwacji. Rezulay zosały przedsawione w kolejnym punkcie. 3. Wyniki badań W pierwszej kolejności dokonano oszacowania opymalnych warości współczynnika wygładzania dla poszczególnych spółek w kolejnych okresach. Rezulay zosały przedsawione na poniższych rysunkach. Rys. 1. Oszacowane opymalne współczynniki wygładzania dla poszczególnych spółek Można zauważyć, że wraz z wydłużaniem się szeregów czasowych na podsawie kórych dokonywano opymalizacji, oszacowane współczynniki wykazują endencję zbiegania do zbliżonych warości. Wyjąkiem jes u spółka Rafako S.A., dlaego eż na kolejnym wykresie obrazującym syneycznie zachowanie oszacowań zosała ona pominięa. 5 Wyjąkiem jes u oczywiście prognoza na podsawie pojedynczej obserwacji.

Weryfikacja jakości prognoz zmienności wykorzysywanych w modelu 37 Rys.. Warość średnia wraz z ypowym przedziałem zmienności oraz warościami: minimalną i maksymalną dla oszacowanych opymalnych współczynników wygładzania (z pominięciem spółki Rafako S.A.) Przecięnie rzecz ujmując, poziom współczynnika wygładzania jes niższy niż zalecany w modelu Riskmerics TM na poziomie 0,94. Prognozowane wariancje powinny zaem w większym sopniu odzwierciedlać najnowsze informacje. Na poniższych wykresach zilusrowano kszałowanie się zmienności rzeczywisej, prognozowanej z wykorzysaniem współczynnika wygładzania na poziomie 0,94 oraz prognozowanej za pomocą klasycznej wariancji dla okresu esymacji o długości 5 i 70 dni handlowych.

38 Rys. 3. Zmienność: rzeczywisa oraz prognozowana z wykorzysaniem: meody EWMA dla współczynnika wygładzania 0,94 oraz klasycznej wariancji dla okresu esymacji odpowiednio o 5 i 70 obserwacjach dla spółki Alma Marke S.A. Jak można zauważyć, niezależnie od meody prognozowania zmienności, zauważalna jes relaywnie niewielka zdolność zasosowanych meod do prognozowania nieoczekiwanych wzrosów zmienności. Nasępnie obliczono błędy przecięne (bezwzględne i procenowe) oraz pierwiaski błędów średniokwadra-

Weryfikacja jakości prognoz zmienności wykorzysywanych w modelu 39 owych (bezwzględnych i procenowych) w kolejnych okresach. Nasępnie określono ich warości średnie oraz mediany w czasie, a uśrednione dla poszczególnych meod prognozowania przedsawiono na wykresach. Rys. 4. Przecięne średnie i mediany błędu średniego dla prognoz jednodniowych Rys. 5. Przecięne średnie i mediany błędu średniego dla prognoz miesięcznych

40 Jakkolwiek przecięnie rzecz ujmując średni błąd wydaje się być zbliżony do zera, o jednak na podsawie median można swierdzić, że odpowiedni rozkład jes skośny lewosronnie. W większości przypadków zmienność jes przeszacowywana (choć nie są o rozbieżności silne), jednak w pozosałych wysępuje jej isone zaniżanie 6. Skala ego zjawiska jes relaywnie najmniejsza w przypadku prognozowania zmienności z wykorzysaniem ruchomej pięciodniowej wariancji. Analizom poddano akże poziom pierwiaska błędu średniokwadraowego. Dla uławienia za przypadek wyjściowy uznano prognozowanie zgodne z zaleceniami sformułowanymi dla modelu Riskmerics TM, a uzyskane rezulay odpowiednio przeskalowano. W syneyczny sposób zosały one przedsawione poniżej. Rys. 6. Przecięne średnie i mediany bezwzględnego i procenowego pierwiaska błędu średniokwadraowego dla prognoz jednodniowych Analizując przedsawione wielkości należy mieć na względzie, że w przypadku błędów procenowych konieczne było wyeliminowanie prognoz, dla kórych rzeczywisy poziom sopy zwrou wyniósł zero. Tym niemniej ze względu na relaywnie niewielkie poziomy rzeczywisych wariancji błędy procenowe przyjmowały bardzo zróżnicowane warości, konieczne jes zaem inerpreowanie owych rezulaów z należyą osrożnością. 6 Błąd prognozy obliczano bowiem jako różnicę pomiędzy warością prognozowaną a rzeczywisą.

Weryfikacja jakości prognoz zmienności wykorzysywanych w modelu 41 Rys. 7. Przecięne średnie i mediany bezwzględnego i procenowego pierwiaska błędu średniokwadraowego dla prognoz miesięcznych Analiza uzyskanych wyników skłania do odrzucenia posiłkowania się klasyczną ruchomą wariancją szacowaną dla najdłuższych wykorzysanych okresów ze względu na wyższy poziom popełnianego błędu ich zasosowanie w prognozowaniu zmienności krókoerminowej należy uznać za bezcelowe. W odniesieniu do okresów krókich sporządzenie jednoznacznej rekomendacji jes problemayczne. Co prawda dla pierwiaska błędu średniokwadraowego warość przecięna jes większa niż dla meody wyjściowej, lecz z kolei mediana wskazywałaby na mniejszy poziom popełnianego błędu. W ej syuacji posiłkowanie się wykładniczo ważoną średnią ruchomą wydaje się uzasadnionym rozwiązaniem. Co więcej wykorzysanie współczynników wygładzających właściwych poszczególnym spółkom bądź zróżnicowanych w kolejnych okresach nie skukuje isoną poprawą jakości orzymywanych prognoz. Przedsawione wyniki badań wskazują zaem na zasadność wykorzysania oraz przydaność modelu EWMA w prognozowaniu krókoerminowej zmienności sóp zwrou. Podsumowanie W arykule zweryfikowano zasadność posiłkowania się zaproponowanymi m.in. na porzeby modelu Riskmerics TM wykładniczo ważonymi prognozami wariancji, wykorzysując akże prognozy uzyskane na podsawie zmiennych w czasie i populacji spółek współczynników wygładzania oraz klasycznej ruchomej wariancji. Orzymane rezulay wskazują na zasadność posiłkowania się

4 jednolią warością współczynnika na poziomie 0,94. Jednocześnie zwiększanie liczby obserwacji, na podsawie kórych szacowana jes zmienność z wykorzysaniem meod klasycznych, prowadzi do pogorszenia jakości prognoz, zaem w prognozowaniu zmienności krókoerminowej isone jes przede wszyskim właściwe odzwierciedlenie najnowszych informacji zawarych w noowaniach, a w mniejszym liczebność próby. Jednocześnie wskazane wydaje się przeprowadzenie dalszych badań, obejmujących akże momeny cenralne mieszane. Lieraura Bollerslev T. (1986), Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics, No. 31. Engle R. (198), Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimaes of he Variance of Unied Kingdom Inflaion, Economerica, No. 4. Figlewski S. (1994), Forecasing Volailiy Using Hisorical Daa, New York Universiy, New York. Geweke J. (1986), Commen, Economeric Reviews, No. 5. Ganczarek-Gamro A. (013), Meody sochasyczne w badaniach porównawczych wybranych rynków energii elekrycznej, Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego, Kaowice. Jędrusik S., Paliński A., Chmiel W., Kadłuczka P. (007), Tesowanie wseczne modeli warości narażonej na sraę, Ekonomia Menedżerska, nr 1. Jorion P. (007), Value a Risk, McGraw-Hill, New York. J.P. Morgan & Reuers (1995), Riskmerics TM Technical Documen, New York. Pera K. (008), Koncepcja VaR (value a risk) w pomiarze ryzyka surowcowego projeku inwesycyjnego, Gospodarka Surowcami Mineralnymi,. 4. Welfe A. (003), Ekonomeria, PWE, Warszawa. VERIFICATION OF ACCURACY OF RISKMETRICS TM VOLATILITY ESTIMATES Summary: The aricle is devoed o he problem of volailiy esimaes accuracy. In he ex ARCH and GARCH models are described as well as simple exponenially weighed moving averages. As a resul of empirical invesigaions he usefulness of EWMA is underlined. Keywords: volailiy, EWMA, Riskmerics TM.