KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI Laboratorium Mechaniki technicznej Ćwiczenie 1 Badanie kinematyki czworoboku przegubowego metodą analitycznonumeryczną. 1
Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości i przyspieszenia wybranego punktu ogniwa czworoboku przegubowego metodą analityczno-numeryczną i sprawdzenie wyników przy użyciu programu komputerowego oraz za pomocą dodatkowych równań ruchu płaskiego. 1 Metoda analityczno-numeryczna Na rysunku 1 przedstawiono schemat badanego czworoboku przegubowego. Ogniwem napędowym jest pręt AB i jego położenie, prędkość kątowa oraz przyspieszenie są wielkościami zadanymi. Dane są również stałe długości odcinków:,,,, i. Pozostałe wielkości kinematyczne położenia ( i ), prędkości ( i ) i przyspieszenia kątowe pozostałych ogniw oraz współrzędne położenia ( i ), składowe prędkości ( i ) i przyspieszenia ( i ) punktu F - są niewiadomymi, które należy wyznaczyć. 1.1 Położenia. Schemat czworoboku przegubowego Do wyznaczenia położeń poszczególnych ogniw oraz punktów wykorzystana zostanie metoda wektorowa. Dla mechanizmu przedstawionego na rys. 1 można zapisać następujące równanie wektorowe (zob. rys. 2): lub,. (1) 2
Wyznaczenie położeń mechanizmu Rzutując równanie wektorowe (1) na osie układu współrzędnych otrzymujemy następujący układ równań skalarnych: 1cos 1 2 cos 2 3 cos 3 4 0, 1 sin 1 2 sin 2 3 sin 3 0. (2) Powyższe równania stanowią nieliniowy układ dwóch równań algebraicznych z dwiema niewiadomymi położeniami kątowymi ogniw 2-3. Należy zwrócić uwagę, że układ ten posiada dwa rozwiązania (dwa możliwe położenia mechanizmu dla jednego położenia korby AB). Odpowiednie rozwiązanie zostanie uzyskane numerycznie przy użyciu skryptu programu Scilab opisanego w rozdziale 1.4). 3
Wyznaczenie położenia punktu F W celu wyznaczenia położenia punktu F mechanizmu tworzymy następujące równanie wektorowe (zob. rys. 3):. /. (3) Po zrzutowaniu równania wektorowego (3) na osie układu współrzędnych otrzymujemy następujący układ równań skalarnych: 0 1 cos 1 cos 2 sin 2, 1 sin 1 sin 2 cos 2, (4) pozwalający na wyznaczenie współrzędnych i punktu F, jeśli wcześniej zostały wyznaczona niewiadoma 2. 1.2 Prędkości W celu uzyskania prędkości kątowych poszczególnych ogniw należy zróżniczkować po czasie układ równań (2). Otrzymuje się wtedy następujący układ równań: 1sin 1 2 sin 2 3 sin 3 0, 1 cos 1 2 cos 2 3 cos 3 0, (5) który jest układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi: oraz. Układ ten możemy zapisać w postaci macierzowej w następujący sposób: 1 2sin 2 3 sin 3 2 4 2 cos 2 3 cos 3 51 1sin 1 2 (6) 1 cos 1 4
lub 6 78, (7) gdzie: 6 1 2sin 2 3 sin 3 2 cos 2 3 cos 3 2, 74 5, 81 1sin 1 1 cos 1 2. Rozwiązanie równania (7) można zatem zapisać 7 4 56 9: 8. (8) Do wyznaczenia prędkości punktu F mechanizmu niezbędne jest zróżniczkowanie układu równań (4): 1 sin 1 sin 2 cos 2, 1 cos 1 cos 2 sin 2. (9) 1.3 Przyspieszenia W celu wyznaczenia przyspieszeń mechanizmu różniczkujemy po czasie równania (5): > 1cos 1 1 sin 1 2 cos 2 2 sin 2 < 3 cos 3 3 sin 3 0, = 1 sin 1 1 cos 1 2 sin 2 2 cos 2 < ; 3 sin 3 3 cos 3 0. (10) Powyższe równania stanowią liniowy układ równań z dwiema niewiadomymi oraz. Układ ten sprowadzamy do postaci macierzowej: lub gdzie: 1 2sin 2 3 sin 3 2 4 2 cos 2 3 cos 3 5 =1 1cos 1 1 sin 1 2 cos 2 3 cos 3 1 sin 1 1 cos 1 2 sin 2 2, (11) 3 sin 3 6?@, (12) 6 1 2sin 2 3 sin 3 2 cos 2 3 cos 3 2,?4 5, 5
@ 1 1cos 1 1 sin 1 2 cos 2 3 cos 3 1 sin 1 1 cos 1 2 sin 2 3 sin 3 2. Rozwiązanie równania (12) można zatem zapisać?4 56 9: @. (13) Do wyznaczenia prędkości punktu F mechanizmu niezbędne jest zróżniczkowanie układu równań (9): > 1 cos 1 1 sin 1 cos 2 sin 2 < sin 2 cos 2, = 1 sin 1 1 cos 1 sin 2 cos 2 < ; cos 2 sin 2. (14) 1.4 Skrypt obliczeniowy programu Scilab Na wydruku 1 przedstawiony jest skrypt obliczeniowy programu komputerowego Scilab służący do numerycznego wyznaczenia poszukiwanych wielkości kinematycznych mechanizmu przedstawionych w rozdziałach 1.1-1.3. Wydruk 1. Skrypt obliczeniowy. // WPROWADZANIE DLUGOSCI RAMION CZWOROBOKU PRZEGUBOWEGO l1 = 40; l2 = 50; l3 = 44.255; l4 = 81.693; //WPROWADZANIE KATA POCZATKOWEGO ALFA 1 W STOPNIACH alfa1deg=50; //ZAMIANA KATA ALFA 1 ZE STOPNI NA RADIANY alfa1 = alfa1deg/360*2*%pi; //DEFINIOWANIE FUNKCJI fun function y=fun(x) y=[ l1*cos(alfa1)+l2*cos(x(1))-l3*cos(x(2))-l4 l1*sin(alfa1)+l2*sin(x(1))-l3*sin(x(2)) ]; endfunction //ROZWIAZYWANIE FUNKCJI NIELINIOWEJ [xres]=fsolve([1;1],fun); //SPROWADZANIE KATOW ALFA DO PRZEDZIALU (-2PI,2PI) alfa2 = pmodulo(xres(1),2*%pi); alfa3 = pmodulo(xres(2),2*%pi); //PRZELICZENIE KATOW ALFA Z RADIANOW NA STOPNIE alfa2deg=alfa2/2/%pi*360; alfa3deg=alfa3/2/%pi*360; /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // WPROWADZANIE DLUGOSCI RAMION CZWOROBOKU PRZEGUBOWEGO lh = 20; h = 20; 6
// OBLICZANIE POLOZENIA PUNKTU F xf = l1*cos(alfa1) + lh*cos(alfa2) - h*sin(alfa2); yf = l1*sin(alfa1) + lh*sin(alfa2) + h*cos(alfa2); /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // WPROWADZANIE PREDKOSCI KATOWEJ OMEGA 1 omega1 = 0.7745; //OBLICZENIA PREDKOSCI KATOWYCH ALFA 2 I ALFA 3 A = [-l2*sin(alfa2) l3*sin(alfa3) l2*cos(alfa2) -l3*cos(alfa3) ]; b = [ l1*sin(alfa1)*omega1 -l1*cos(alfa1)*omega1 ]; xres = (A^-1)*b; omega2 = xres(1); omega3 = xres(2); //OBLICZENIA SKLADOWYCH PREDKOSCI PUNKTU F vfx = -l1*sin(alfa1)*omega1 - lh*sin(alfa2)*omega2 - h*cos(alfa2)*omega2; vfy = l1*cos(alfa1)*omega1 + lh*cos(alfa2)*omega2 - h*sin(alfa2)*omega2; fivdeg = atan(vfy,vfx)/2/%pi*360; /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// //WPROWADZANIE PRZYSPIESZENIA KATOWEGO EPSILON 1 epsilon1 = 0; //OBLICZENIA PRZYSPIESZEN KATOWYCH EPSILON 2 I EPSILON 3 c = [ l1*cos(alfa1)*omega1^2+l2*cos(alfa2)*omega2^2-l3*cos(alfa3)*omega3^2+l1*sin(alfa1)*epsilon1 l1*sin(alfa1)*omega1^2+l2*sin(alfa2)*omega2^2-l3*sin(alfa3)*omega3^2-l1*cos(alfa1)*epsilon1 ]; yres = (A^-1)*c; epsilon2 = yres(1); epsilon3 = yres(2); //OBLICZENIA SKLADOWYCH PRZYSPIESZENIA PUNKTU F afx = -l1*cos(alfa1)*omega1^2-lh*cos(alfa2)*omega2^2+h*sin(alfa2)*omega2^2-l1*sin(alfa1)*epsilon1-h*cos(alfa2)*epsilon2-lh*sin(alfa2)*epsilon2; afy = -l1*sin(alfa1)*omega1^2-lh*sin(alfa2)*omega2^2-h*cos(alfa2)*omega2^2+l1*cos(alfa1)*epsilon1-h*sin(alfa2)*epsilon2+lh*cos(alfa2)*epsilon2; fiadeg = atan(afy,afx)/2/%pi*360; 7
2 Równania sprawdzające 2.1 Prędkości: Do wyznaczenia prędkości punktu F możemy posłużyć się również metodą bieguna, wybierając za biegun punkt B: gdzie A A B A /B, (15) B 1, /B 2. Odpowiednia konstrukcja geometryczna wektorów jest przedstawiona na rys. 4 (uwaga: dotyczy ona szczególnego przypadku, gdy D0). Prędkość punktu F (biegun w punkcie B) Do wyznaczenia prędkości punktu F możemy posłużyć się również metodą bieguna, wybierając za biegun punkt C: gdzie A A E A /E, (16) E 3, /E 2. 8
Odpowiednia konstrukcja geometryczna wektorów jest przedstawiona na rysunku 5 (uwaga: dotyczy ona szczególnego przypadku, gdy D0). 2.2 Przyspieszenia Prędkość punktu F (biegun w punkcie C) Przyspieszenie punktu F możemy również określić posługując się metodą bieguna. Wybierając za biegun punkt B można zapisać gdzie F F B F G /B F H /B, (17) F B F G B F H B, G B 2 1, H B 1, G 2 /B 2, /B H 2. Odpowiednia konstrukcja geometryczna wektorów jest przedstawiona na rys. 6 (uwaga: dotyczy ona szczególnego przypadku, gdy 0). 9
Przyspieszenie punktu F (biegun w punkcie B) Natomiast przyjmując za biegun punkt C otrzymujemy: gdzie F F E F G /E F H /E, (18) F E F G E F H E, G E 2 3, H E 3, G /E 2 2, /E H 2. Odpowiednia konstrukcja geometryczna wektorów jest przedstawiona na rys. 7. Przyspieszenie punktu F (biegun w punkcie C) 10
3 Program komputerowy w Excelu Do weryfikacji otrzymanych wyników można posłużyć się gotowym programem wykonaym w Excelu, którego widok przedstawiony jest na rys. 8. Widok programu w Excelu W programie, w prawym górnym rogu w polach zaznaczonych kolorem zielonym, należy wpisać odpowiednie parametry czworoboku dla liczonego przypadku (zob. rys. 9). Wpisywanie parametrów czworoboku Dla podanych parametrów program rysuje zadany czworobok wraz z obliczonymi prędkościami oraz przyspieszeniem, co zostało przedstawione na rys. 10 (kolorem zielonym oznaczono ramiona czworoboku, kolorem niebieskim wektor prędkości oraz kolorem żółtym wektor przyspieszenia). Czworobok w programie w Excelu 11
Program rysuję daną konfigurację dla zadanego kąta początkowego (zob. rys. 8). Przy użyciu skrótów klawiszowych możemy zmieniać zadany kąt początkowy: CTRL + Q zwiększa kąt początkowy 1 o 5 stopni CTRL + A zmniejsza kąt początkowy 1 o 5 stopni Obliczone wartości wektorów prędkości oraz przyspieszenia podane są w odpowiednich polach programu, poniżej rysunku czworoboku (zob. rys. 11). 4 Przebieg ćwiczenia Wartości wektorów prędkości oraz przyspieszenia czworoboku Podczas wykonywania ćwiczenia należy wykonać następujące polecenia: Zapisać parametry podane przez prowadzącego w tabeli Obliczyć wszystkie wielkości przy użyciu skryptu w programie Scilab I,,,,,,,,,,, J Wykonać rysunek mechanizmu w skali oraz narysować (w skali) wektor prędkości i przyspieszenia punktu F (wszystko na dwóch rysunkach oddzielnie dla prędkości i przyspieszeń) Sprawdzić wyniki przy użyciu programu w Excelu Sprawdzić wyniki przy użyciu równań podanych w rozdziale drugim: o Zapisać równania o Obliczyć składowe wektorów o Zrobić odpowiednie rysunki w skali (nanieść odpowiednie składowe prędkości i przyspieszeń na wcześniejszych rysunkach w celu sprawdzenia wyników) Zapisać wnioski 5 Wymagania wstępne Do przystąpienia do wykonywania ćwiczenia niezbędna jest znajomość równań podanych w punktach 1.1-1.3 oraz w rozdziale 2, a także równań ruchu płaskiego poznanych na przedmiocie Mechanika techniczna I. Przykładowe pytania: Zapisz równania niezbędne do wyznaczenia prędkości kątowych 2, 3 mechanizmu (należy podać równania: 1,2, 5-8) oraz wykonaj odpowiednie rysunki. Zapisz równania do wyznaczenia prędkości punktu F mechanizmu (należy podać równani: 1,2, 5-9) oraz wykonaj odpowiednie rysunki. Zapisz równania ruchu płaskiego wiążące prędkości i przyspieszenia punktu F i B ogniwa 2 mechanizmu (należy podać równania: 15 i 17) oraz wykonaj odpowiednie rysunki. Zapisz równania ruchu płaskiego wiążące prędkości i przyspieszenia punktu F i C ogniwa 2 mechanizmu (należy podać równania: 16 i 18) oraz wykonaj odpowiednie rysunki. 12