Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym punktem osobliwym Istotnie, równanie ) może być zapisane w postaci y py qy 0 gdzie px) x i qx) x ν i łatwo sprawdzić, że xpx) i x qx) x ν x są funkcjami analitycznymi w całej prostej Do rozwiązania tego równania stosujemy więc metodę Frobeniusa Zakładamy, że yx) a n x nr dla pewnego r R Podobnie jak na wykładzie sprawdzamy, że wtedy y x) y x) n r)a n x nr n r)n r )a n x nr Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania ) jest równa x n r)n r )a n x nr x n r)a n x nr x ν ) a n x nr n r)n r )a n x nr n r)a n x nr a n x nr ν a n x nr n r )n r )a n x nr n r )a n x nr a n x nr n n n ν a n x nr [rr ) r ν ]a 0 x r [r )r r ) ν ]a x r {[n r )n r ) n r ) ν ]a n a n }x nr r ν )a 0 x r [r ) ν ]a x r {[n r ) ν ]a n a n }x nr Przyrównując to ostatnie wyrażenie do zera otrzymujemy równania pamiętamy, że a 0 0) oraz dla n 0 r ν 0, [r ) ν ]a 0 ) [r n ) ν ]a n a n 0 3) Rozwiązując pierwsze równanie w ) otrzymujemy dwa rozwiązania r ν i r ν Mamy zatem r r ν por twierdzenie z wykładu) Zajmiemy się jedynie pewnymi specjalnymi przypadkami wartości parametru ν
Przypadek ν 0 W tym przypadku r r Z twierdzenia, które było podane na wykładzie wynika zatem, że istnieją dwa rozwiązania y x) a n x n 4) y x) y x) ln x x b n x n 5) Współczynniki a n wyznaczamy na podstawie równości ) i 3) W szczególności druga równość w ) implikuje a 0 Z kolei z 3) wynika następująca zależność rekurencyjna dla n 0 a n a n n ) 6) Powyższa równość w zestawieniu z faktem, że a 0 prowadzi do wniosku, że a n 0 dla wszystkich nieparzystych liczb n Założmy teraz, że n k dla pewnego k 0,,, Na podstawie 6) mamy wtedy a k a k k) a k 4 k ) k) a k 6 k 4) k ) k) a 0 4 k ) k) )k a 0 k k ) k a 0 k k!) Powyższą równość można ściśle udowodnić stosując metodę indukcji matematycznej Podstawiając to do 4) otrzymujemy y x) a 0 k k!) xk a 0 J 0 x) gdzie J 0 jest tzw funkcją Bessela pierwszego rodzaju rzędu 0 J 0 x) k k!) xk k!) Wyznaczymy teraz rozwiązanie y Korzystając z 5) obliczamy x ) k 7) y x) J 0 x) ln x b n x n, 8) y x) J 0x) ln x J 0 x) x n )b n x n, y x) J 0 x) ln x J 0x) x J 0x) x n )nb n x n J 0 x) ln x J 0x) x J 0x) x n )n )b n x n
3 Podstawiając powyższe wyrażenia do ) obliczamy lewą stronę równania Bessela x y x) xy x) x y x) x J 0 x) ln x J 0x) x J 0x) ) x n )n )b n x n x J 0x) ln x J 0 x) ) ) x n )b n x n x J 0 x) ln x b n x n x J 0 x) ln x xj 0x) J 0 x) n )n )b n x n xj 0x) ln x J 0 x) n )b n x n x J 0 x) ln x b n x n3 [ x J 0 x) xj 0x) x J 0 x) ] ln x xj 0x) n 3)n )b n x n3 n 3)b n x n3 b n x n3 n n xj 0x) b x b 0 x b x [n 3)n )b n n 3)b n b n ] x n3 [ ] xj 0x) b 0 x 4b x n 3) b n b n x n3 9) Trzecią równość uzyskaliśmy dzięki odpowiednim podstawieniom w szeregach, zaś w czwartej skorzystaliśmy z faktu, że funkcja J 0 x) jest rozwiązaniem równania Bessela Korzystając z 7) obliczamy xj 0x) x k k!) kxk Korzystając z tego wnioskujemy, że wyrażenie 9) jest równe k k )!k! xk ) b 0 x 4b x n b n b n 3 x n n3 k k )!k! xk [ ] b 0 x 4b x k ) b k b k x k 4k b k b k 3 )x k k x k k k )!k! xk [ ] b 0 x 4b )x k ) b k b k x k [ 4k ] b k b k 3 x k k k k )!k! Ponieważ wyrażenie to ma być równe zero, to otrzymujemy równości b 0 0, 4b 0 oraz k ) b k b k 0, k 0) 4k b k b k 3, k ) k k )!k!
4 Ponieważ b 0 0 i z 0) dostajemy zależność rekurencyjną b k b k, k, k ) to wnioskujemy, że b k 0 dla każdego k 0, czyli b n 0 dla n parzystych Z drugiej strony mamy równość b 4 oraz z ) otrzymujemy zależność b k b k 3 4k )k, k ) k kk!) Pozwala to nam wyliczyć b n dla n nieparzystych Dla dowolnego k,, zdefiniujmy liczby H k wzorem Wykażemy indukcyjnie, że H k k i i 3 k 3) b k )k H k k k!), k,, 4) Po pierwsze, sprawdzamy, że wzór ten jest prawdziwy dla k, bo b b 4 ) H!) Po drugie, zakładamy, że wzór 4) jest spełniony dla pewnego k Z zależności rekurencyjnej ) i z założenia indukcyjnego otrzymujemy wtedy b k) b k) 3 4k ) ) k) k) k )[k )!] b k 4k ) k k )[k )!] k ) )k H k k k!) k k )[k )!] H k k [k )!] k k )[k )!] k [k )!] H k k ) )k H k k) [k )!], co dowodzi tezy indukcyjnej Uwzględniając fakt, że dla n parzystych współczynniki b n znikają wzór 8) przybiera postać y x) J 0 x) ln x b k x k, co w zestawieniu z 4) daje y x) J 0 x) ln x J 0 x) ln x H k k k!) x k H k k!) x ) k Rozwiązanie ogólne równania ) przy stałej ν 0 jest zatem postaci yx) c J 0 x) c y x)
5 Dobierając odpowiednio stałe c, c zerowego definiujemy funkcję Bessela drugiego rodzaju rzędu Y 0 x) π γ ln )J 0x) π y x) π gdzie liczba γ zdefiniowana jest jako γ ln x ) J 0 x) H k k!) γ lim n H n ln n) 0, 5775 i jest nazywana stałą Eulera Przypadek ν l, gdzie l N Teraz r r l i zgodnie z twierdzeniem z wykładu rozwiązania równania ) w tym przypadku mają postać x ) k, y x) x l a n x n, 5) y x) cy x) ln x x l b n x n, 6) gdzie a 0 0 i b 0 0 Podobnie jak w poprzednim przypadku druga równość w ) implikuje a 0, co w zestawieniu z zależnością 3) daje wniosek, że a n 0 dla wszystkich n nieparzystych Z drugiej strony z 3) otrzymujemy równość dla k 0 Wynika stąd a k a k l k ) l a k 4k )l k ) a k a k 4kl k) a k 4 4 k )kl k )l k) a k 6 4 3 k )k )kl k )l k )l k) a 0 4 k k ) k l )l ) l k )l k) l!a 0 k k!l k)! Rozwiązanie y ma zatem postać y x) l l!a 0 J l x), gdzie ) x kl J l x) kl k!l k)! xkl 7) k!l k)! jest funkcją Bessela pierwszego rodzaju rzędu l W szczególności, podstawiając l, otrzymujemy ) x k J x) k!k )! 3 Przypadek ν Teraz r r Podobnie jak w porzednim przypadku, z twierdzenia podanego na wykładzie wynika, że rozwiązania równania ) są postaci y x) x a n x n, y x) cy x) ln x x b n x n
6 Podobnie jak poprzednio, pokazuje się, że rozwiązanie y jest wielokrotnością funkcji Bessela pierwszego rodzaju rzędu ) J x) π k )! xk Drugie rozwiązanie ma postać ) J x) π k)! xk Inaczej można to zapisać J x) J x) πx πx ) sin x, ) cos x 4 Przypadek dowolnego ν Metodą Frobeniusa pokazuje się, że w tym przypadku ogólne rozwiązanie jest postaci gdzie J ν x) J ν x) yx) c J ν x) c J ν x), ) x kν, Γk )Γk ν) ) x k ν Γk )Γk ν) Można zauważyć, że w ogólnym przypadku funkcje Bessela drugiego rodzaju rzędu ν otrzymujemy z funkcji J ν i J ν przy pomocy wzoru Y ν x) J νx) cos πν J ν x) sin πν Własności funkcji Bessela Poniżej przytoczymy bez dowodów kilka własności funkcji Bessela Własność Dla dowolnego x > 0 spełnione są równości J 0x) J x) xj x)) xj 0 x) Własność Dla dowolnej stałej a R mamy xj 0 ax) dx [ J0 a) J a) ] 0 Własność 3 Załóżmy, że α i β są dwoma różnymi miejscami zerowymi funkcji J 0 Wtedy xj 0 αx)j 0 βx)dx 0 Własność 4 Dla dowolnego ν 0 prawdziwe są równości x ν J ν x) ) x ν J ν x), 0 x ν J ν x)) x ν J ν x)
7 Własność 5 Dla dowolnego ν prawdziwe są związki Ponadto xj νx) νj ν x) xj ν x), xj νx) xj ν x) νj ν x) xj ν x) νj ν x) xj ν x) Własność 6 Dla dowolnego x 0 i t 0 prawdziwa jest równość [ x J n x)t n exp t )] t n