Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe obiektu dynamicznego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Interesuje nas: Odpowiedź obiektu liniowego stacjonarnego na wymuszenie sinusoidalne Potrafimy już znajdować: Odpowiedź w dziedzinie czasu, na dowolne wymuszenie i przy dowolnych warunkach początkowych Odpowiedź w dziedzinie zmiennej zespolonej s, na dowolne wymuszenie i przy dowolnych warunkach początkowych Przypadek szczególny: zerowy warunek początkowy, prowadzi do pojęcia transmitancji operatorowej u(t) U(s) Y R.R. G(s) s GsUs y(t) Y(s) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Przykładowy obiekt: t=0 L i L (t) i obc (t)=0 u L (t) i R (t) u we (t) u R (t) R u wy (t) Model matematyczny: L R du wy dt t t u t, u u wy 0 u wy, 0 wy we Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3
Dla: 0 u 0 uwy wy, 0 gdzie: G K s Y U,T s s L R U U wy we s s L R s K Ts Odpowiedź operatorowa układu: Y s GsUs Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4
Znajdźmy odpowiedź naszego przykładowego układu na wymuszenie sinusoidalne u t u t A sin t? we we y t uwy t Interesują nas odpowiedzi na pytania: czy odpowiedź układu będzie sinusoidalna dla t0 (ogólnie dla tt 0, gdzie t 0 - chwila początkowa obserwacji) co można będzie powiedzieć o stosunku amplitud sygnału wyjściowego i wejściowego - wzmocnieniu co można będzie powiedzieć o kątach fazowych sygnału wyjściowego i wejściowego przesunięciu fazowym Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5
Przedstawmy równanie różniczkowe modelu układu w postaci: du wy dt t K uwyt uwet, uwy0 u wy, 0 T T Rozwiązanie tego równania u wy (t) (odpowiedź układu) dla dowolnego wymuszenia u we (t) ma postać (patrz poprzednie wykłady): u wy K T T T T t u 0 e e e u d wy t t t 0 we (*) Składowa swobodna odpowiedzi Składowa wymuszona odpowiedzi Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6
Jaka będzie odpowiedź układu, jeżeli wymuszenie będzie miało postać: u we t A we sin t (**) t=0 L u L (t) i L (t) i obc (t)=0 i R (t) u we (t)=a we sinωt u R (t) R u wy (t)=? Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7
Podstawiając (**) do (*) u wy t u wy t K t T T, 0 e Awe e e T t 0 T sin d Można pokazać (dobre zadanie do samodzielnego wykonania), że odpowiedź układu na sinusoidalne wymuszenie ma postać: u wy t u wy, 0 e t T A we K T sin t Wniosek: odpowiedź układu na wymuszenie sinusoidalne nie jest sinusoidalna dla dowolnego t0 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8
Jeżeli interesujemy się odpowiedzią układu dla chwil t wystarczająco odległych od chwili t>>0 takich, że składowa swobodna będzie pomijalnie mała: t T, 0 u wy e sygnał odpowiedzi układu na wymuszenie 0 u we t A we sin t wyniesie u wy t A we K T sin t Odpowiedź częstotliwościowa układu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9
u we Wejście Wyjście t A sin t u t A sin t we wy wy Wnioski: Odpowiedź ustalona układu liniowego stacjonarnego pobudzanego sygnałem sinusoidalnym o częstotliwości kątowej jest również sygnałem sinusoidalnym o tej samej częstotliwości gdzie: A wy A we K T tg T arctgt Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 0
u we Wejście Wyjście t A sin t u t A sin t we wy wy Wnioski: Amplituda odpowiedzi ustalonej układu jest różna od amplitudy wymuszenia i zależy od częstotliwości kątowej ω sygnału wymuszającego (poza oczywistą zależnością od parametrów układu) gdzie: A wy A we K T tg T arctgt Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
u we Wejście Wyjście t A sin t we u wy t A wy sin t Wnioski: Kąt fazowy odpowiedzi ustalonej układu jest różny od kąta fazowego wymuszenia i zależy od częstotliwości kątowej ω sygnału wymuszającego (poza oczywistą zależnością od parametrów układu) gdzie: A wy A we K T tg T arctgt Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
t u Awe sin t A we y t A sint wy T we t T wy A wy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3
Policzmy: a. Stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego b. Różnicę kątów fazowych sygnału wyjściowego i sygnału wejściowego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4
a. Amplituda sygnału wejściowego: Awe Amplituda sygnału wyjściowego: A wy Stosunek amplitud: A we K T A A wy we K T Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5
b. Kąt fazowy sygnału wejściowego: 0 Kąt fazowy sygnału wyjściowego: tan T Różnica kątów fazowych: 0 tan T Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6
Wróćmy do opisu dynamiki przykładowego układu za pomocą transmitancji operatorowej K=, T= G s s Moduł G(s) jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej s =σ+jω W szczególności jej wartości można obliczać dla s=jω jω σ Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7
Policzmy zatem wartości G dla s=j G j Gs s j jω G(jω n ) jω n jω jω G(jω ) G(jω ) σ Możemy poszukiwać dla G j przedstawienia w postaciach używanych dla liczb zespolonych -jω -jω -jω n Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8
Przykład : G s 0 s G j 0 j 0 0 j 0 j j j j 0 0 e jtan G(jω) ReG(jω) ImG(jω) G(jω) Przypomnieć sobie zasady rachunku liczb zespolonych!!! Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9
G Przykład : j j s G s s s 3 j j j j j j j 3 3 j 4 4 j j 4 4 j 4 j j 4 j 4 j 4 j ReG(jω) ImG(jω) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 0
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykonajmy eksperyment policzmy dla pokazanego na początku układu RL transmitancję dla s=j jt K j R L j s U j s U j s U j s Y j G s we wy Moduł: T K j s U j s Y j G s Faza: j T G s tan
Porównanie: - z odpowiedzi częstotliwościowej - z transmitancji widmowej A A wy we K T G s j K T tan T G s j tan T Wniosek:!!! Transmitancja dla s=j zawiera pełną informację o odpowiedziach częstotliwościowych (ustalonej odpowiedzi wymuszonej na sygnał sinusoidalny) układu dynamicznego dla różnych pulsacji ω Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Stąd: Transmitancja dla s=j stosowana jest jako narzędzie analizy układów dynamicznych i nosi nazwę transmitancji widmowej Definicja transmitancji widmowej G j Gs s j Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3
Matematycznie: G(jω) odwzorowuje dziedzinę (oś) pulsacji ω płaszczyznę zespoloną jω jω n jω G(jω n ) G(jω ) G(jω) G(jω ) ImG(jω) jω -jω σ ReG(jω) -jω -jω n Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4
Stosowane nazwy: G G j j - wzmocnienie amplitudowe, moduł - przesunięcie fazowe, faza Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5
A Przykład 3: wy 0 Gs ut sin3t s t 0; yt? G j 0 j j G j Awe A j3 G j3 wy G j3 0 j3 0 37 G j G j3 A.4rad we 0 6.08 0 j6 0 tan 6 80.5deg 3.8 6 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6
Przykład 3: c.d. y Dyskusja: Jeżeli dla t 3.8 sin3t.4 t 0 G s 0 s to u t 0 y t 0 t 0 t 0 t 0 Jeżeli dla s 0 G ut sin t t 0 sin Element inercyjny zmniejsza amplitudę i wprowadza opóźnienie fazowe to y t Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7
Człon inercyjny jako filtr dolnoprzepustowy U s G s K Ts K Ts Y U s s Y s Y K Ts s Us TsYsYs KUs Dwustronnie odwrotne przekształcenie Laplace a T dy dt t y t Kut Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8
Odpowiedź na wymuszenie skokowe o amplitudzie A y t T K A Stała czasowa 0 t 0 Wzmocnienie statyczne styczna w t = t 0 Transmitancja widmowa G Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 t K K KT jt T T j j Moduł: G Faza: Część rzeczywista P() j P Q G j arctg Q P K Część urojona Q() T arctgt
a) charakterystyka (częstotliwościowa) amplitudowa G j K T K K 0.707 T b) charakterystyka (częstotliwościowa) fazowa G j arctgt T Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30
Przykład 4: K, T 0s Mamy, 0. rad s T Niech wymuszenie: t u 5sin 0. 0t 00sin 50t u t u t wykorzystamy zasadę superpozycji y t t y t y t y y t Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3
Skorzystamy z właściwości działań na liczbach zespolonych przedstawionych w postaci wykładniczej Dla sygnału wymuszającego: u t Asin t Odpowiedź ustalona: y t Bsin t W dziedzinie częstotliwości dla obiektu o transmitancji G(j): Y Y W przykładzie: G j G j A j G j U j G j j K T G j arctgt Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3
Po podstawieniu danych przykładu: t 5sin0. t t 0sin t y 0 y 00 G j K T K K 0.707 0. 0.0 00 Składowa wymuszenia (wejścia) o częstotliwości poza przepustowością filtru została odrzucona! Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33
Dlaczego interesują nas odpowiedzi częstotliwościowe? sygnały sinusoidalne są często wymuszeniami układów Dowolne sygnały dobrze aproksymują się za pomocą szeregów Fouriera Możliwość eksperymentalnego wyznaczenia transmitancji widmowej Oscylator u(t) Badany układ y(t) Rejestrator Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34
G(jω) u(t) y(t) G(jω) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35
Formy graficznego przedstawiania transmitancji widmowej charakterystyki częstotliwościowe Znane są następujące charakterystyki częstotliwościowe charakterystyka amplitudowo fazowa zwana charakterystyką Nyquist a ImG j Q ReG j P G j Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36
charakterystyka amplitudowa (a) charakterystyka fazowa (b) G j G j Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37
charakterystyka składowej rzeczywistej transmitancji (a) charakterystyka składowej urojonej transmitancji (b) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38
charakterystyka logarytmiczna amplitudowa (a) charakterystyka logarytmiczna fazowa (b) 0lg G j zwane wykresami Bode a G j Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40
Charakterystyki amplitudowo fazowe; wykresy Nyquist a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4
Przykład 5: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43
Charakterystyki logarytmiczne amplitudy i fazy; wykresy Bode a Transmitancję dowolnego elementu można przedstawić: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46
Przykładowo: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47
Szkicując charakterystyki asymptotyczne przyjmuje się zwykle zgrubnie: b a 0 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48
Charakterystyki amplitudy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49
Charakterystyka błędu modułu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50
Charakterystyki fazy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5
Charakterystyki rzeczywiste i asymptotyczne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5
Przykład 6: G s 0 s ω = 0 Moduł (db) Nachylenie -0dB/dek Pulsacja (rad/s) Faza (deg) Pulsacja (rad/s) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53
Przykład 7: Gs s ω = 0 0 Moduł (db) Nachylenie 0dB/dek Pulsacja (rad/s) Faza (deg) Pulsacja (rad/s) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54
Przykład 8: Pulsacja (rad/s) Faza (deg) Moduł (db) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55
Dokładność aproksymacji: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 56
Dziękuję za uwagę koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 57