ELEKTRYKA 2009 Zeszyt 3 (211) Ro LV Marcin POŁOMSKI Instytut Eletrotechnii i Informatyi, Politechnia Śląsa w Gliwicach METODA NON-INTERIOR-POINT W OPTYMALIZACJI ROZPŁYWU MOCY W SYSTEMIE ELEKTROENERGETYCZNYM Streszczenie. W artyule zaproponowany został wariant metody optymalizacji noninterior-point w zastosowaniu do zadania optymalizacji rozpływu mocy (OPF) w systemie eletroeneretycznym. Opisana metoda została sprawdzona numerycznie dla wybranych testowych systemów eletroeneretycznych, w tym dla modelu polsieo systemu eletroeneretyczneo. Uzysane esperymentalnie wynii potwierdzają zasadność wprowadzonych modyfiacji, szczeólnie dla dużych systemów. Słowa luczowe: system eletroeneretyczny, optymalizacja rozpływu mocy, metoda non-interiorpoint, metody omplementarne OPTIMAL POWER FLOW BY NON-INTERIOR-POINT METHOD Summary. In the paper a variant of non-interior point method alorithm for solvin the nonlinear optimal power flow problem (OPF) is proposed. The OPF problem optimality conditions can be rearded as a particular case of the nonlinear complementarity problem (NCP), in which the complementarity conditions are handled by Chen-Harer-Kanzow-Smale smoothin functions (NCP-functions). The presented method was experimentally verified by applyin it to various test power systems includin the Polish power system. The obtained results confirm that the new variant is appropriate for optimisin lare power systems. Keywords: power system, optimal power flow, non-interior-point method, complementarity methods 1. WPROWADZENIE Zadanie optymalizacji rozpływu mocy w systemie eletroeneretycznym (an. Optimal Power Flow) polea na poszuiwaniu taieo puntu pracy systemu (doborze mocy enerowanych w węzłach wytwórczych), tóry jest optymalny z puntu widzenia osztów wytwarzania i strat wyniających z przesyłu enerii. Historycznie, pierwszą metodą pozwalającą na wyznaczenie optymalneo rozpływu mocy w rzeczywistym systemie eletroeneretycz-
120 M. Połomsi nym była metoda radientowa zaproponowana przez Dommela i Tinneya w pracy [1]. Opisana metoda stała się pierwowzorem udosonalanym przez innych autorów. Nie istnieje jedna prosta metoda prowadząca do rozwiązania zadania OPF, szczeólnie w zastosowaniu do rzeczywisteo systemu eletroeneretyczneo, w tórym ze wzlędu na dużą liczbę elementów (węzłów i linii) uład równań, stanowiący podstawę procesu obliczenioweo, może osiąać bardzo duże rozmiary. Zostało opracowanych wiele metod wyorzystujących najróżnorodniejsze technii optymalizacji, z tórych można wymienić: technii proramowania nielinioweo, proramowania linioweo, proramowania wadratoweo, technii bazujące na metodzie Newtona. W publiacjach [2], [3], [4] zostały zebrane i slasyfiowane metody wyorzystywane na przestrzeni lat do rozwiązania zadania OPF. Dla systemu, tóreo rozmiary porównywalne są z rozmiarami rzeczywisteo systemu eletroeneretyczneo, uzasadnione jest poszuiwanie metody wydajnej, prowadzącej do osiąnięcia poprawneo rozwiązania w możliwie rótim czasie. Wśród szeroiej amy techni optymalizacji, w ostatnich latach, szczeólne zainteresowanie supia się woół metod lasy interior-point [5], [6], [7] oraz non-interior-point [19], [20]. Waruni optymalności zadania optymalneo rozpływu mocy, sformułowane jao waruni Karusha-Kuhna-Tucera (KKT) [8], moą zostać potratowane jao pewien szczeólny przypade nielinioweo problemu omplementarneo [19] (an. nonlinear complementarity problem). Zastosowanie funcji wyładzających [15], [16] dla warunów omplementarnych zadania wpływa na bra onieczności spełnienia warunu omplementarneo dla warunów optymalności zadania w sensie KKT, co w znacznym stopniu wpływa na dowolność wyboru puntu startoweo alorytmu optymalizacji rozpływu mocy, a w procesie iteracyjnym prowadzi do poprawneo rozwiązania [20]. W artyule zaproponowany został wariant metody optymalizacji non-interior-point w zastosowaniu do zadania optymalizacji rozpływu mocy w systemie eletroeneretycznym. Opisana metoda została sprawdzona numerycznie dla wybranych testowych systemów eletroeneretycznych. Esperyment numeryczny przeprowadzono w celu oreślenia przydatności alorytmu non-interior-point do optymalizacji rozpływu mocy w systemie eletroeneretycznym. Wynii uzysano przy użyciu autorsieo proramu stworzoneo w języu C++. 2. ZADANIE OPTYMALIZACJI ROZPŁYWU MOCY W SYSTEMIE ELEKTROENERGETYCZNYM Poszuiwanie optymalneo rozpływu mocy w systemie eletroeneretycznym polea na poszuiwaniu minimum funcji celu f(x) (np. minimalne straty, minimalne oszty wytwarzania, minimalne oszty przesyłowe). Jeżeli funcję celu w zadaniu optymalizacji rozpływu mocy sformułuje się jao zadanie minimalizacji osztów wytwarzania enerii, to biorąc pod uwaę założenie [9], że ażde
Metoda non-interior-point 121 źródło ma charaterystyę osztów wytwarzania, tórą z pewnym przybliżeniem można aprosymować rzywą druieo stopnia, to funcja celu, sformułowana jao całowity oszt wytwarzania enerii w systemie, przyjmie postać: N i1 2 i i i i i f x a P b P c, (1) dzie: Pi () - moc czynna enerowana przez jednostę wytwórczą i, N ai, bi, ci - liczba węzłów wytwórczych, - współczynnii charaterystyi osztów wytwarzania i-teo węzła wytwórczeo. W obliczeniach optymalizacyjnych wetor zmiennych sterujących x stanowią wszystie napięcia suteczne węzłowe ich ąty fazowe U T T U x [ U, U,..., U ] [ U, U,..., U, U, U,..., U ], (2) 1 2 Nw 1 2 No No 1 No 2 No N T T φ x [,,..., ] [,,...,,,,..., ], (3) 1 2 Nw 1 2 No No 1 No 2 No N oraz moce czynne enerowane w węzłach wytwórczych systemu dzie: Nw No N P ( ) ( ) ( ) T P x [ P, P,..., P ], (4) No 1 No 2 No N - liczba węzłów w systemie Nw = No + N, - liczba węzłów odbiorczych, - liczba węzłów wytwórczych (eneratorów). Stąd pełny wetor x przyjmuje postać: dzie: Nw No N x xx x [,,...,, U, U,..., U, P, P,..., P ], (5) U ( ) ( ) ( ) T 1 2 Nw 1 2 Nw No 1 No 2 No N P - liczba węzłów w systemie Nw = No + N, - liczba węzłów odbiorczych, - liczba węzłów wytwórczych (eneratorów). W zadaniu optymalizacji rozpływu mocy minimum funcji celu poszuuje się w obszarze oraniczeń równościowych. Jao oraniczenia równościowe przyjmuje się bilanse mocy czynnej i biernej w węzłach odbiorczych oraz bilanse mocy czynnej w węzłach wytwór-
122 M. Połomsi czych [9]. Stąd, dla sformułowaneo zadania minimalizacji funcji f(x), oraniczenia równościowe można zapisać w postaci wetorowej: Sładowe wetora h(x) przyjmują postać: P o h ( x) P h x h ( x) 0. (6) Qo h ( x) o N w Po 2 h x Poi Ui Re{ Y i, i} Ui U j cos( i j ) Re{ Y i, j} sin( i j ) Im{ Y i, j}, (7) j1 ji in i1 h P x ( ) 2 PN, Re{, } o i Po No i U No i Y Noi Noi in N w U N cos( )Re{, } sin( )Im{, }, o i U j No i j Y No i j No i j Y Noi j j1 jno i i1 (8) o N w Qo 2 h x Qoi Ui Im{ Y i, i} Ui U j sin( i j ) Re{ Y i, j} cos( i j ) Im{ Y i, j}, (9) j1 ji dzie: h (Po) (x) - wetor oraniczeń równościowych o sładowych w postaci bilansu mocy czynnej w węzłach odbiorczych, h (P) (x) - wetor oraniczeń równościowych o sładowych w postaci bilansu mocy czynnej w węzłach wytwórczych, h (Qo) (x) - wetor oraniczeń równościowych o sładowych w postaci bilansu mocy biernej w węzłach odbiorczych, Yi,j - elementy macierzy admitancyjnej systemu eletroeneretyczneo. Punt pracy systemu wyznaczony w procesie optymalizacji nie powinien również naruszać oraniczeń technicznych systemu eletroeneretyczneo. Oraniczenia techniczne obejmują dopuszczalne wartości: sutecznych napięć węzłowych: U (min) mocy czynnej jednoste wytwórczych: mocy biernej jednoste wytwórczych: Q ( x) Q U Im{ Y } ( ) 2 i o, Noi Noi Nw Noi, Noi (max) in i1 U U dla = 1, 2,..., Nw, (10) P Q (min) (min) P P dla = 1, 2,..., N, (11) ( ) ( ) (max) Q Q dla = 1, 2,..., N, (12) (max) U U sin( ) Re{ Y } cos( ) Im{ Y }, (13) No i j No i j Noi, j No i j Noi, j j1 j i No
Metoda non-interior-point 123 prądów sutecznych w liniach przesyłowych: (max) dzie: Nl I i x I dla i = 1, 2,..., Nl, (14) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 I x U U 2U U cos( ) Y, (15) i K ( i) K ( i) K ( i) K ( i) K ( i) K ( i) K ( i), K ( i) - liczba linii w systemie, K1(i) - numer węzła początoweo linii i, K2(i) - numer węzła ońcoweo linii i, Yi,j - moduł admitancji zespolonej podłużnej linii między węzłami i i j. Dla sformułowaneo zadania minimalizacji funcji f(x) oraniczenia nierównościowe, wyniające z oraniczeń technicznych systemu, można zapisać w następującej postaci tj. jao oraniczenia dolne i (min) (max) ( x), (16) P (min) P ( x) ( x) Q (min) ( ) (min) ( ) Q d ( ) x x x x 0 U (min) U ( x) ( x) ( I ) ( x) 0 oraz jao oraniczenia órne (17) przy czym oraz (min) U (min) P (min) Q (max) P P ( x) ( x) (max) Q Q ( ) (max) ( x) ( x) x x 0, (max) U U ( x) ( x) (max) I I ( x) ( x) ( x ) [ x ] [ U ] U Nw Nw Nw 1 1 ( x ) [ x ] [ P] P N N 2Nw 1 1 Q ( x) [ ( x )] I N Q 1 l ( x ) [ ] (min) Nw [ U ] 1 (min) [ ] N P 1 (min) [ ] N Q 1 N I 1 (max) U (max) P (max) Q (max) I (max) Nw [ U ] 1 (max) [ ] N P 1 (max) [ ] N Q 1 (max) Nl [ I ] 1 (18) (19) (20)
124 M. Połomsi Przy ta przyjętych założeniach co do postaci funcji celu oraz wetorów oraniczeń równościowych i nierównościowych, zadanie optymalizacji rozpływu mocy w systemie eletroeneretycznym można zapisać w postaci standardowej: dzie: Nh N (d) N () lub w zapisie wetorowym: h min f ( x ), x ( x ) 0 = 1, 2,..., Nh, (min) ( ) 0 (max) x = 1, 2,..., N (d), ( x ) 0 = 1, 2,..., N (), - liczba oraniczeń równościowych, - liczba oraniczeń nierównościowych dolnych, - liczba oraniczeń nierównościowych órnych, min f ( x ), x hx ( ) 0, ( d) (min) ( x) ( x) 0, (21) ( ) (max) ( x) ( x ) 0. Powyższe zadanie optymalizacji należy do rupy zadań proramowania nielinioweo, dyż zarówno funcja celu, ja i funcje oraniczeń równościowych i nierównościowych są funcjami nieliniowymi. 3. METODA MNOŻNIKÓW LAGRANGE A Z WARUNKAMI KARUSHA-KUHNA-TUCKERA Zodnie z warunami optymalności Karush-Kuhna-Tucera (KKT) [8] dla zaadnienia (21) z wetorem oraniczeń równościowych (6), wetorem oraniczeń nierównościowych dolnych (17) i órnych (18) istnieją wetory mnożniów Larane a: d h λ [ ] dla = 1, 2,..., Nh, in i i1 ( d ) ( d ) in i i1 π [ ] dla = 1, 2,..., N (d), (22) ( ) ( ) in i i1 π [ ] dla = 1, 2,..., N (),
Metoda non-interior-point 125 dzie: (d) () Nh N (d) N () - wetor mnożniów Larane a dla oraniczeń równościowych, - wetor mnożniów Larane a dla oraniczeń nierównościowych dolnych, - wetor mnożniów Larane a dla oraniczeń nierównościowych órnych, - liczba oraniczeń równościowych, - liczba oraniczeń nierównościowych dolnych, - oraniczeń nierównościowych órnych oraz zachodzą następujące zależności: d d T T ( ) T ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x λ h x π x π x x x x x d r( π, π, x, λ) hx ( ) 0, ( d) ( d) Π ( x) ( ) ( ) ( ) Π x (23) dzie: ( d) ( d) Π dia( π ), ( ) ( ) Π dia( π ). Rozwiązanie uładu równań nieliniowych (23) ze wzlędu na zmienne y = [ (d), (), x, ] T pozwoliłoby na otrzymanie rozwiązania zadania optymalizacji (21) za pomocą warunów KKT. Istnieją w uładzie równań nieliniowych (23) równania o postaciach: oraz ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) (min) N 1 Π ( x) [ ( ( x) )] 0 (24) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) (min) N 1 Π ( x) [ ( ( x) )] 0, (25) tóre moą spowodować pewne problemy w procesie iteracyjnym Newtona. Mianowicie, biorąc pod uwaę równanie (25), zodnie z metodą Newtona, zmiany (d), x zmiennych odpowiednio (d) oraz x spełniają równanie ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]. (26) N x ( d ) (min) ( d ) ( d ) (min) x x j x x j1 x j Jeżeli zatem zmienna (d) stanie się zerem, wówczas na mocy równania (26) [(x) - (min) ] (d) = 0, co powoduje, że w procesie iteracyjnym Newtona zmienna ta nie ulea zmianie. Mając na uwadze onstrucję efetywnych alorytmów obliczeniowych, wprowadza się na wstępie dodatowe zmienne uzupełniające z (d) i z (). ( d ) ( d) ( d) N [ z ] 1 z, (27) ( ) ( ) ( ) N [ z ] 1 z. (28)
126 M. Połomsi Po wstawieniu dodatowych zmiennych uzupełniających oraniczenia nierównościowe sprowadza się do postaci oraniczeń równościowych. ( ) (min) z d ( x), (29) ( ) (max) z ( x ). (30) Po wprowadzeniu zmiennych dodatowych zadanie obliczenia minimum funcji f(x) (1), z oraniczeniami (6), (17), (18) sprowadza się do postaci zadania proramowania nielinioweo z oraniczeniami równościowymi: min f ( x ), x hx ( ) 0, ( ) ( ) (min) ( ) d ( x, z d ) ( x) z d 0, (31) ( ) ( ) (max) ( ) ( x, z ) ( x) z 0, ( d) ( ) z, z 0. Dla ta zdefiniowaneo problemu (31) zadanie optymalizacji sprowadza się do rozwiązania następująceo uładu równań nieliniowych: d ( d) ( ) r( z, z, π, π, x, λ ) = ( d) ( d) Π z ( ) ( ) Π z ( d) ( d) ( x, z ) ( ) ( ) ( x, z ) 0, (32) T d T ( ) ( ) T ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) (, ) d d x λ h x π x z π x z x x x x hx ( ) dzie: ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) N z 1 Π z [ ] 0, (33) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N z 1 Π z [ ] 0, (34) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) (min) N (, ) [ ( ) ] z 1 x z x, (35) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (max) N (, ) [ ( ) ] z 1 x z x, (36) d T T ( ) ( ) T ( ) ( ) f ( x) λ h( x) ( π ) d ( x, z d ) ( π ) ( x, z ) x x x x ( d) ( ) Nx N N h ( d ) ( d ) N ( ) ( ) f ( x) hi ( d) i ( x, z ) ( ) i ( x, z ) i i i 0, x i1 x i1 x i1 x 1 (37)
Metoda non-interior-point 127 hx ( ) [ h ] 0. (38) N h 1 Rozwiązanie uładu równań nieliniowych (32) w procesie iteracyjnym Newtona może spowodować problemy ze zbieżnością, wyniające z równań (33) oraz (34), tóre noszą nazwę warunów omplementarnych (an. complementarity conditions): ( d ) ( d ) z 0 dla = 1, 2,..., N (d), (39) ( ) ( ) z 0 dla = 1, 2,..., N (d). (40) Istotnie, biorąc pod uwaę równanie (39), zodnie z metodą Newtona, zmiany (d), z (d) zmiennych odpowiednio (d), z (d) spełniają równanie: z z z dla = 1, 2,..., N (d). (41) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) Jeśli więc np. zmienna (d) przyjmie wartość zero, wówczas na mocy równania (41) z (d) (d) = 0, co powoduje, że w procesie iteracyjnym Newtona zmienna ta nie ulea zmianie. 4. METODY KOMPLEMENTARNE Waruni optymalności zadania optymalneo rozpływu mocy moą zostać potratowane jao pewien szczeólny przypade nielinioweo problemu omplementarneo (an. nonlinear complementarity problem, NCP). Nieliniowy problem omplementarny NCP [10], [11], [13], [14] polea na rozwiązaniu uładu równań nieliniowych wzlędem zmiennej, R N : Πz 0, F( π) z 0, π0, z 0, (42) dzie: Π dia( π ), π [ ] N 1, [ ] z z N 1, 0, z 0, dla = 1, 2,...,N. F: R N R N, jest wetorem funcji różniczowalnych, tórych pochodne są funcjami ciąłymi. Liniowy problem omplementarny LCP (an. linear complementarity problem) [15], [16], [17], zdefiniowany jest w sposób następujący. Dla zadaneo MR NxN i qr N, znaleźć R N, zr N, dla tórych spełnione są waruni: Πz 0, Mπ q z, π0, z 0, (43)
128 M. Połomsi dzie: Π dia( π ), π [ ] N 1, [ ] z z N 1, 0, z 0, dla = 1, 2,...,N. Uład równań (32) wyniający z warunów KKT nie przyjmuje bezpośredniej postaci problemu NCP. Funcja wetorowa F() występująca w uładzie równań (42) dla przypadu opisaneo równaniem (32) nie ma postaci jawnej, więc nie można w sposób bezpośredni interpretować problemu zdefiniowaneo równaniami (32), jao problemu NCP lub LCP. Można jedna zastosować oncepcję wprowadzoną przez Kanzowa [15]. Modyfiacja problemu omplementarneo zaproponowana m.in. przez Kanzowa w pracy [15] oraz innych autorów [18], [16] polea na wprowadzeniu w miejsce warunów omplementarnych, na tóre sładają się równania oraz Πz 0 π0, z 0, w uładach równań (42) oraz (43), pewnej funcji : R 2 R o następujących własnościach: ( x, y) 0 x 0, y 0, xy 0. (44) Funcja typu : R 2 R, dla tórej spełnione są waruni (44), nazywana jest NCP-funcją [11], [18]. Koncepcja Kanzowa zaprezentowana w pracy [12] polea na zastosowaniu funcji wyładzającej Chena-Harera-Kanzowa-Smalea z parametrem 0, o własności 2 2 (, z) z ( z) 4, (45) (, z) 0 0, z 0, z. (46) Metoda puntu zewnętrzneo (an. non-interior point) [12] dla problemu NCP wedłu Kanzowa sprowadza problem rozwiązania uładu (42) do rozwiązania równoważneo uładu równań nieliniowych: dzie F Φ Φ ( π, z) ( πz, ) 0 ( ), (47) F π z ( 1, z1) Φ ( π, z). (48) ( N, zn) Zostało wyazane [21], że nieliniowy uład równań (47) rozwiązywany jest sewencyjnie dla 0, co zodnie z (46) impliuje, że uład równań (47) zmierza do rozwiązania uładu (42).
Metoda non-interior-point 129 Koncepcję zaproponowaną dla problemu omplementarneo, wedłu Kanzowa, można zastosować do warunów omplementarnych w uładzie równań (32) [19], [20], otrzymując: d r z z π π x λ r y ( d) ( ) (,,,,,, ) (, ) ( d) ( d) Φ (, ) π z ( ) ( ) Φ ( π, z ) ( d) ( d) ( x, z ) ( ) ( ) ( x, z ) 0. T d T ( ) ( ) T ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) (, ) d d x λ h x π x z π x z x x x x hx ( ) Zodnie z alorytmem metody Newtona, w ażdym rou iteracyjnym poprawę rozwiązania równań nieliniowych (49) wyznacza się rozwiązując następujący uład równań alebraicznych dzie: y poprawa wetora y, co odpowiada rozwiązaniu uładu równań: d d z,, (49) r y y r y, (50) y D 0 D 0 0 0 d z z 0 D 0 D 0 0 z d x x 2 L 1 0 0 0 x 0 π r( y, ), (51) 0 1 0 0 x 0 π T T T x 0 0 x x x x x xh x λ 0 0 0 0 xh x 0 w tórym D D d z 2 d d dia, z d N 1, (52) z 2 dia, z N, (53) d 1 d d D dia, z 1 d N, (54) 1 D dia, z 1 N, (55) 1
130 M. Połomsi L ( ) N l Nx x x xl 1 l1 x, (56) Nh lnx h x x xl 1 l1, lnx 2 T x f x λ h x h x, (57) T d T 2 2 2 xl 2 2 2 2 xxl x x x x l, 1 dzie: d ( d) ( ) r( z, z, π, π, x, λ, ) r( y, ), x(x) xh(x) 2 x - jaobian oraniczeń nierównościowych, - jaobian oraniczeń nierównościowych, π x π x d ( d) ( ) T y [ z, z, π, π, x, λ ], L ( x) - hesjan zmodyfiowanej funcji Larane a, 1,, z 2, z, z. z z,, (58) Rozwiązanie uładu równań (51) prowadzi do wyznaczenia poprawi y wetora y, tóreo nową wartość wyznacza się zodnie z równaniem: dzie: numer iteracji, () dłuość rou w ierunu wetora y (). ( 1) ( ) ( ) ( ) y y y, (59) Ponieważ uład równań (49) nie ma bezpośredniej postaci problemu NCP (42), autorzy publiacji [20] Torres i Quintana zaadaptowali alorytm zaproponowany przez J. Bure, S. Xu [18], dla liniowych problemów omplementarnych, w tórym dłuość rou () można oreślić stosując liniowe przeszuiwanie w ierunu wetora y (), badając normę wetora r(y, ) w następujący sposób: dzie: s indes elementu ciąu, parametr wyszuiwania. ( ) s 1 1 s 1 ( ) s ( ) s ( ) r y 1 y 1 1 r y max : (0,1); 1,2,...; (0,1); (, ) (1 ) (, ), (60)
Metoda non-interior-point 131 Dobór parametru barieroweo () dla -tej iteracji przyjęli następująco: max (1 ) : (0,1); s 0,1,2...; (0,1); ( 1) s ( ) s 2 2 2 2 2 (0) (0) r( y, ) (0) (0) ; 0; r( y,(1 ) ) (1 ). ( 1) s ( ) s ( ) 2 2 2 2 Dla ta heurystycznie oreśloneo alorytmu autorzy Torres i Quintana nie podają dowodu zbieżności taieo procesu iteracyjneo, lecz potwierdzają esperymentalnie jeo zbieżność dla testowych systemów eletroeneretycznych. (61) 5. ALGORYTM METODY NON-INTERIOR POINT W celu wyazania poprawności działania metody zaproponowanej przez Torresa i Quintanę [20] przeprowadzono testy numeryczne tej oncepcji, w wyniu tórych zaobserwowano problemy ze zbieżnością dla dużych systemów testowych (o liczbie węzłów powyżej 2700). W związu z tym fatem doonano modyfiacji metody poleającej na wyznaczaniu dłuości rou () oraz parametru () w -tej iteracji, ta ja w metodzie puntu zewnętrzneo dla linioweo problemu omplementarneo (praca Bure J., Xu S. [17]), tj. zamiast uwzlędniać normę ( ) r( y, ) wetora (49) we wzorach (60), (61), zaproponowano uwzlędnić tylo normę części omplementarnej wetora r(y, ), tj.: ( d) ( d) Φ (, ) π z Φy (, ) ( ) ( ). (62) Φ ( π, z ) Do badania zbieżności procesu iteracyjneo dla warunów omplementarnych przyjmuje się normę wadratową wetora (62). Dłuość rou () wyznaczona została poprzez liniowe przeszuiwanie w ierunu wetora y (), badając jedynie normę warunów omplementarnych wetora r(y, ), tj. w następujący sposób: max : Φ y y, 1 Φ y, (63) ( ) s s ( ) s 1 1 1 Wartość parametru barieroweo () w -tej iteracji została wyznaczona zodnie ze wzorem: ( 1) ( ) 0 dzie: 0 współczynni indes elementu ciąu., (64)
132 M. Połomsi Poszczeólne roi alorytmu zaproponowaneo wariantu metody non-interior point zostały przedstawione poniżej. Alorytm 1 Zaproponowany wariant metody non-interior point dla zadania OPF Kro 0: Inicjalizacja alorytmu. Ustalenie wartości początowych: y (0) = [z (0), (0), x (0), (0) ] T, wybór 0(0,1), (0), 1(0,1), > 0. Ustalenie licznia iteracji = 0. Kro 1: Obliczenie y () = [z (), (), x (), () ] T z uładu równań (50). Kro 2: Jeżeli ( ) ( ) ( Φ y, ), oniec obliczeń. Kro 3: Obliczenie dłuości rou () poprzez liniowe przeszuiwanie w ierunu wetora y (). ( 1) ( ) ( ) ( ) Wyznaczenie nowej wartości wetora y y y. Kro 4: Modyfiacja parametru () (64). Zwięszenie licznia iteracji = + 1. Przejście do Krou 1. 6. EKSPERYMENT NUMERYCZNY W celu wyazania poprawności działania zaproponowaneo w artyule wariantu metody non-interior point oraz wyznaczenia czasów obliczeń przeprowadzono testy numeryczne dla zbioru siedmiu systemów testowych, tórych lista została przedstawiona w tabeli 1. Tabela 1 Statystyi systemów testowych używanych w esperymentach numerycznych Lp. Liczba węzłów Nw Liczba węzłów odbiorczych No Liczba węzłów wytwórczych N Liczba linii 1 9 6 3 9 2 13 8 5 18 3 30 24 6 41 4 57 50 7 80 5 118 64 54 186 6 300 231 69 411 7 2 746 2 471 275 3 279 Nl W tabeli 2 zebrano wynii optymalizacji wybranych systemów testowych. W przeprowadzonych esperymentach jao punt startowy obliczeń przyjęto modyfiację stanu optymalneo rozpływu mocy, poleającą na wyzerowaniu modułów napięć w węzłach odbiorczych oraz ątów fazowych napięć we wszystich węzłach i ustawieniu mocy enerowanych w poszczeólnych węzłach wytwórczych na poziomie ich masymalnych zdolności wytwórczych.
Metoda non-interior-point 133 Wynii optymalizacji wybranych systemów testowych Tabela 2 Liczba węzłów Liczba iteracji Niter Czas jednej iteracji titer [ms] Czas wczytywania danych tl [ms] Czas obliczeń to [ms] Koszty wytwarzania enerii 9 7 49,0 5 343 53,00 13 25 47,5 5 1 188 153,20 30 8 44,9 31 359 5,70 57 13 48,1 31 625 31,80 118 47 47,2 32 2 219 14,10 300 60 49,2 45 2 953 44,60 2 746 60 290,4 163 17 423 16 417,90 Obliczenia zostały przeprowadzone na omputerze z procesorem Intel Core 2 Quad 2,4GHz pod ontrolą 32-bitoweo systemu operacyjneo Windows XP. fcost Dla systemów testowych o liczbie węzłów przeraczającej 118 lepsze rezultaty (tzn. mniejszą liczbę iteracji oraz rótszy czas obliczeń) uzysano przerywając proces iteracyjny po zadanej liczbie iteracji i wznawiając o dla przywróconych do wartości początowych parametrów metody optymalizacyjnej. Puntem startowym olejnej serii iteracji było rozwiązanie uzysane w poprzedniej serii. W przypadu systemu sładająceo się z 300 węzłów wynii uzysano wyonując cztery przebiei po 15 iteracji ażdy, natomiast w przypadu systemu sładająceo się z 2746 węzłów wynii uzysano wyonując cztery przebiei odpowiednio po 20, 20, 10 i 10 iteracji. W celu uzysania możliwie najwyższej szybości obliczeń elementy wetorów i macierzy uładu równań enerowane były w sposób analityczny. Ponadto, został uwzlędniony rzadi charater macierzy (wypełnienie rzędu 0,1%) oraz zastosowano bibliotei numerycz- Ne, ułatwiające rozwiązywanie dużych, rzadich uładów równań liniowych [22], [24]. 7. PODSUMOWANIE Podstawową zaletą onstrucji metody rozwiązania problemu optymalneo rozpływu mocy w systemie eletroeneretycznym przy użyciu metody non-interior point, w sensie adaptacji zmodyfiowaneo problemu omplementarneo do warunów omplementarnych uładu równań KKT (32), jest fat, iż w puncie startowym alorytmu optymalizacji nie muszą być ściśle spełnione waruni omplementarne. Cecha ta jest zapewniona dzięi użyciu funcji wyładzających. W artyule nie wyazano matematyczneo dowodu zbieżności zaprezentowaneo alorytmu, jedna przeprowadzone badania testowe potwierdziły zbieżność przyjętej oncepcji.
134 M. Połomsi Badania esperymentalne zostały przeprowadzone dla wybranych systemów testowych, tórych przyłady można zaleźć w paiecie obliczeniowym MATPOWER [23]. Bardzo dobre efety otrzymano również dla polsieo systemu eletroeneretyczneo. W wyniu przeprowadzonych esperymentów numerycznych zostało stwierdzone, że zaproponowany wariant metody non-interior-point funcjonuje poprawnie dla testowanych systemów eletroeneretycznych. W zaprezentowanym wariancie metody non-interior wprowadzono następujące modyfiacje: dłuość rou () wyznaczana jest na podstawie normy części omplementarnej wetora wyrazów wolnych, wartość współczynnia (+1) oblicza się bez użycia metody przeszuiwania. Wprowadzone modyfiacje umożliwiły przeprowadzenie optymalizacji systemu sładająceo się z 2746 węzłów. W ten sposób uzysano esperymentalne potwierdzenie przydatności metody non-interior-point do optymalizacji dużych systemów eletroeneretycznych. Wszystie testowane przypadi wyazywały bardzo wysoą wrażliwość na wartości parametrów procesu iteracyjneo. *** Praca nauowa sfinansowana w ramach projetu Optymalizacja rozpływu mocy w rajowym systemie eletroeneretycznym (projet badawczy nr N511 001 32/0852 realizowany w latach 2007 2010). BIBLIOGRAFIA 1. Dommel H., Tinney W.: Optimal Power Flow Solutions. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems 1968, Vol. PAS-87, No. 10, p. 1866-1876. 2. Momoh J., El-Hawary M., Adapa R.: A Review of Selected Optimal Power Flow Literature to 199. Part I: NonLinear and Quadratic Prorammin Approaches. IEEE Transactions on Power Systems 1999, Vol. 14, No.1, p. 96-104. 3. Momoh J., El-Hawary., Adapa R.: A Review of Selected Optimal Power Flow Literature to 199. Part I: NonLinear and Quadratic Prorammin Approaches. Part II: Newton, Linear Prorammin and Interior Point Methods. IEEE Transactions on Power Systems 1999, Vol. 14, No.1, p. 105-111. 4. Bansal R. C.: Optimization Methods for Electric Power Systems: An Overview. International Journal of Emerin Electric Power Systems 2005, Vol. 2, Issue 1, Article No. 1021. 5. Granville S.: Optimal reactive dispatch throuh interior point methods. IEEE Transactions on Power Systems 1994, Vol. 9, p. 136-146.
Metoda non-interior-point 135 6. Torres G. L., Quintana V. H.: An interior point method for nonlinear optimal power flow usin voltae rectanular coordinates. IEEE Transactions on Power Systems 1998, Vol. 13, p. 1211-1218. 7. Wu Y., Debs A. S., Marsten R. E.: A direct nonlinear predictor-corrector primal-dual interior point alorithm for opimal power flow. IEEE Transactions on Power Systems 1994, Vol. 9, p. 876-883. 8. Nocedal J., Wriht S.: Numerical Optimization. Spriner-Verla, New Yor 1999. 9. Kremens Z., Sobierajsi M.: Analiza systemów eletroeneretycznych. Wydawnictwa Nauowo-Techniczne. Warszawa 1996. 10. De Luca T., Facchinei F., Kanzow C.: A semismooth equation approach to the solution of nonlinear complementarity problems. Mathematical Prorammin 1996, No 75, p. 407-439. 11. Kanzow C.: Nonlinear Complementarity as Unconstrained Optimization. Journal of Optimization Theory and Applications 1996, Vol. 88, No. 1, p. 139-155. 12. Kanzow C.: A new approach to continuation methods for complementarity problems with uniform P-functions. Oper. Res. Lett. 1997, No. 20, p. 85-92. 13. Hotta K., Yoshise A.: Global converence of a class of non-interior-point alorithms usin Chen-Harer-Kanzow functions for nolinear complementarity problems. Mathematical Prorammin, Series A 1999, Vol. 86, No. 1, p. 105-133. 14. Kanzow C.: Some equation-based methods for the nonlinear complementarity problem. Optimization Methods and Software 1994, No. 3, p. 327-340. 15. Kanzow C.: Some noninterior continuation method for linear complementarity problems. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 1996, No. 17, p. 851-868. 16. Chen B., Harer P. T.: A non-interior-point continuation method for linear complementarity problems. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 1996, No. 14, p. 1168-1190. 17. Bure J., Xu S.: A non-interior predictor-corrector path followin alorithm for the monotone linear complementarity problem. Mathematical Prorammin, Ser. A 2000, No. 87, p. 113-130. 18. Bure J., Xu S.: The Global Linear Converence of a Non-Interior Path-Followin Alorithm for Linear Complementarity Problems. Technical Report. Department of Mathematics, University of Washinton, Seattle. 1996. 19. Torres G. L., Quintana V. H.: Optimal power flow by a non-linear complementarity method. IEEE Trans. on Power Sys. 2000, Vol. 15, No. 3, p. 1028-1033. 20. Torres G. L., Quintana V. H.: Nonlinear Optimal Power Flow by a Non-Interior-Point Method Based on Chen-Harer-Kanzow NCP-functions. IEEE Canadian Conference on Electrical and Computer Enineerin 1998, Vol. 2, p. 770-773.
136 M. Połomsi 21. Xu. S.: The lobal linear converence of an infeasible non-interior path-followin alorithm for complementarity problems with uniform P-functions. Math. Proram., Ser. A 2000, No. 87, p 501-517. 22. Davis T. A.: Alorithm 832: UMFPACK, an unsymmetric-pattern multifrontal method. ACM Transactions on Mathematical Software 2004, Vol. 30, Vo. 2, p. 196-199. 23. Zimmerman R., Murillo-Sanchez Z.E., Gan D.: MATPOWER a MATLAB Power System Simulation Pacae. Version 3.0.0, Cornell University, February 2005. www.pserc.cornell.edu. 24. http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpac/ Recenzent: Dr hab. inż. Konrad Sowrone, prof. Politechnii Poznańsiej Wpłynęło do Redacji dnia 2 rudnia 2009 r. Abstract In the paper, a variant of non-interior point method alorithm, for solvin nonlinear optimal power flow problem (OPF) has been proposed. Presented formulation of the OPF problem is based on the standard form of the nonlinear prorammin problem (NLP). The optimality conditions of the optimal power flow problem may be rearded as a particular case of the nonlinear complementarity problem (NCP), in which the complementarity conditions are handled by NCP smoothin functions. Particularly, in presented case of the non-interior point method the Chen-Harer-Kanzow-Smale smoothin function has been used. The presented method has been implemented and verified experimentally by applyin it to various test power systems includin the test case of the Polish power system. Performed tests have shown that the formulated variant of the non-interior point alorithm can efficiently solve lare-scale optimal power flow problem.