Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne

Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej (krótko: logik a modaln a, gdy X jest zamkniȩty na regu lȩ (MP ) oraz dla dowolnej α L : jeżeli CL α, to α X, gdzie relacja konsekwencji CL jest wyznaczona tak jak logika klasyczna, przez zbiór regu l CL, ale dla jȩzyka L (innymi s lowy, X jest zamkniȩty na każd a regu lȩ z CL). Logika modalna X jest klasyczna, gdy jest zamkniȩta na regu lȩ (RE) α β/ α β, gdzie dla dowolnych α, β L : α β = (α β) (β α). Logika modalna X jest regularna, gdy jest klasyczna oraz zawiera wszystkie formu ly z L postaci: (C) ( α β) (α β) oraz (M) (α β) ( α β), tzn. X jest zamkiȩty na regu ly aksjomatyczne (C), (M). Logika modalna X jest normalna, gdy jest regularna oraz zamkniȩta na regu lȩ (NR) α/ α. Twierdzenie 10.1: Dla dowolnej logiki modalnej X : (RE) oraz (M) wtw X jest zamkniȩty na regu lȩ: (R) α β/ α β. X jest zamkniȩty na Dowód: ( ): Za lóżmy, że X jest logik a modaln a zamkniȩt a na regu ly (RE), (M). Nastȩpuj acy dowód formu ly α β ze zbioru formu l: {α β} na gruncie regu l ze zbioru CL {(RE), (M)} uzasadnia fakt, iż X jest zamkniȩty na (R): α β, α α (H0), (α α) ((α β) (α (α β))) (I1), α (α β) (MP ), (α β) α ( 1), α (α β) ( 3), (MP ),def., α (α β) (RE), α (α β) def., ( 1)(MP ), (α β) ( α β) (M),

1. Logiki modalne normalne 77 α ( α β) (Syll), ( α β) β ( 2), α β (Syll), gdzie (Syll) jest regu l a klasycznej logiki zdaniowej, postaci: α β, β γ/α γ. ( ): Za lóżmy, że X jest logik a modaln a zamkniȩt a na regu lȩ (R). Nastȩpuj acy dowód formu ly α β ze zbioru {α β} na gruncie regu l z CL {(R)} świadczy o tym, że X jest zamkniȩty na regu lȩ (RE): α β, α β def., ( 1), (MP ), β α def., ( 2), (MP ), α β (R), β α (R), α β ( 3), (MP ),def.. Nastȩpuj acy dowód formu ly (α β) ( α β) z pustego zbioru formu l na gruncie regu l z CL {(R)} oznacza, iż zbiór X jest zamkniȩty na regu lȩ aksjomatyczn a (M): (α β) α ( 1), (α β) β ( 2), (α β) α (R), (α β) β (R), (α β) ( α β) (I1), (MP ). Wniosek: Logika modalna jest regularna wtw jest zamkniȩta na regu ly (R), (C). Dowód: oczywisty na podstawie Tw.10.1. Twierdzenie 10.2: Jeżeli logika modalna jest regularna, to zawiera wszystkie formu ly postaci: (K) (α β) ( α β), tzn. jest zamkniȩta na regu lȩ aksjomatyczn a (K). Dowód: Niech X bȩdzie logik a modaln a regularn a. Na mocy Wniosku powyżej X jest zamkniȩta na (R) oraz (C). Nastȩpuj acy dowód formu ly (α β) ( α β) z pustego zbioru formu l na gruncie regu l z CL {(R), (C)} świadczy o tym, że X jest zamkniȩty na regu lȩ (K): ((α β) α) β (teza klasyczna), ((α β) α) β (R), ( (α β) α) ((α β) α) (C), ( (α β) α) β (Syll), (( (α β) α) β) ( (α β) ( α β)) (teza klasyczna), (α β) ( α β) (MP). Twierdzenie 10.3: Logika modalna X jest normalna wtw X jest zamkniȩty na regu ly (NR), (K).

1. Logiki modalne normalne 78 Dowód: ( ): oczywisty na mocy Tw.10.2. ( ): Za lóżmy, że logika modalna X jest zamkniȩta na (N R), (K). Aby wykazać, iż X jest normalna, wystarcza dowieść, że X jest regularna. Wobec Wniosku powyżej wykazujemy, że X jest zamkniȩty na regu ly (R), (C). Nastȩpuj acy dowód formu ly α β ze zbioru formu l {α β} wed lug regu l z CL {(NR), (K)} jest uzasadnieniem dla faktu, że X jest zamkniȩty na regu lȩ (R): α β, (α β) (NR), (α β) ( α β) (K), α β (MP ). Nastȩpuj acy dowód formu ly ( α β) (α β) z pustego zbioru formu l wed lug regu l ze zbioru CL {(NR), (K)} świadczy o tym, iż X jest zamkniȩty na regu lȩ aksjomatyczn a C: α (β (α β)) ( 3), α (β (α β)) (R), (β (α β)) ( β (α β)) (K), α ( β (α β)) (Syll) ( α β) α ( 1), ( α β) ( β (α β)) Syll, (( α β) β) (( α β) (α β)) (H2), (MP ), ( α β) β ( 2), ( α β) (α β) (MP ). Niech N bȩdzie dowoln a modaln a logik a normaln a. Oznaczmy jako R N zbiór dwóch regu l: R N = {(AxN), (MP )}, gdzie (AxN) jest regu l a aksjomatyczn a postaci: (AxN) = {<, α >: α N}. Relacjȩ wyprowadzalności RN, oznaczan a dalej w skrócie jako N bȩdziemy nazywać konsekwencj a stowarzyszon a z logik a modaln a N. Twierdzenie 10.4: Dla dowolnej normalnej logiki modalnej N : {α L : N α} = N. Dowód: Niech N bȩdzie dowoln a normaln a logik a modaln a. ( ): Oczywisty na mocy definicji konsekwencji N. ( ): Zbiór {α L : N α} jest najmniejsz a wzglȩdem inkluzji teori a konsekwencji N. Lecz N T h( N ), bo N jest zamkniȩty na regu ly (AxN), (MP ), tzn. N jest zamkniȩty na każd a regu lȩ ze zbioru R N. Ostatecznie, {α L : N α} N. Naturalnie dla każdej konsekwencji N stowarzyszonej z jak aś normaln a logik a modaln a N zachodzi twierdzenie o dedukcji, bowiem {(AxN),(MP )} = R, gdzie R = {(H1), (H2), (MP ), (AxN)} (zauważmy, że R N = R i zastosujmy Tw.5.11(2)), zaś (M P ) jest jedyn a nieaksjomatyczn a regu l a w R oraz regu ly (H1), (H2) wystȩpuj a w R.

2. Logika Kripkego K 79 Twierdzenie 10.5: Dla dowolnej logiki normalnej N oraz dowolnej teorii X logiki N, zbiór X = {α L : α X} jest również teori a logiki N. Dowód: Niech X T h( N ). Na mocy Tw.5.13 wystarcza wykazać, że zbiór X jest zamkniȩty na dwie regu ly: (AxN) oraz (MP ). Rozważmy wiȩc parȩ uporz adkowan a <, α > (AxN). Wówczas α N. Ponieważ N jest zamkniȩty na regu lȩ (N R), wiȩc α N. Lecz wed lug Tw.10.4, N jest najmniejsz a teori a logiki N, zatem z za lożenia, α X, zatem α X, co dowodzi, że zbiór X jest zamkniȩty na regu lȩ (AxN). Aby wykazać, że zbiór ten jest zamkniȩty na (MP ) przypuśćmy, że α, α β X. Wówczas α, (α β) X. Wobec inkluzji N X oraz faktów: (α β) ( α β) X, X jest zamkniȩty na (M P ) wnosimy, iż β X. Ostatecznie, β X. Lemat fundamentalny dla N : Dla dowolnej logiki normalnej N, dowolnej teorii X RMax( N ) oraz dowolnych α, β L : ( ) α β X wtw α, β X, ( ) α β X wtw α X lub β X, ( ) α β X wtw α X lub β X, ( ) α X wtw α X, ( ) α X wtw Y RMax( N )( X Y α Y ). Dowód: Niech X RMax( N ). Warunki ( ), ( ), ( ) oraz ( ) dowodzi siȩ tak samo jak w lemacie fundamentalnym dla CL, bowiem skoro N X oraz X jest zamkniȩty na (MP ), wiȩc X jest zamkniȩty na każd a regu lȩ z CL; ponadto dla N spe lnione jest twierdzenie o dedukcji. dla ( )( ): Niech α X, Y RMax( N ) oraz X Y. Wówczas α X, a st ad α Y. dla ( )( ): Za lóżmy, że α X. Wówczas α X. Ponieważ X T h( N ) (Tw.10.5), wiȩc X N α. Zatem wed lug lematu Lindenbauma, dla pewnej teorii Y RMax( N ) zachodzi: X Y oraz α Y, co kończy dowód. 2. Logika Kripkego K Najmniejsza normalna logika modalna, czyli najmniejszy (wzglȩdem inkluzji) ze wszystkich zbiór formu l jȩzyka modalnego zamkniȩty na regu ly CL {(K), (NR)} (inaczej zbiór tez: {α L : CL {(K),(NR)} }) nazywamy logik a Kripkego i oznaczamy jako K. Niech K bȩdzie klas a wszystkich modeli m = < W m, = m > takich, że W m jest dowolnym niepustym zbiorem (punktów) oraz relacja prawdziwości w punkcie = m jest określona przez dwa parametry: dowoln a relacjȩ binarn a R m W m W m oraz dowoln a funkcjȩ v m P (W m ) V ar, w sposób nastȩpuj acy: x = m p wtw x v m (p), x = m α β wtw x = m α oraz x = m β,

2. Logika Kripkego K 80 x = m α β wtw x = m α lub x = m β, x = m α β wtw x = m α lub x = m β, x = m α wtw x = m α, x = m α wtw y W m (< x, y > R m y = m α). Naturalnie klasa K wyznacza semantycznie konsekwencjȩ = K. Lecz nie tyle ta konsekwencja bȩdzie w centrum zainteresowania, ile raczej zbiór formu l logicznie prawdziwych: {α L : = K α}: Twierdzenie o przystosowaniu dla logiki K: α L (α K = K α). Dowód: Ponieważ zbiór K jest z definicji najmniejszym zbiorem zamkniȩtym na regu ly ze zbioru CL {(K), (NR)}, wiȩc aby dowieść inkluzji: K {α L : = K α} wystarcza wykazać, iż zbiór {α L : = K α} jest zamkniȩty na owe regu ly. Tutaj wykazujemy tylko jego zamkniȩcie na (K) oraz (N R). Za lóżmy wiȩc nie wprost, że dla pewnych formu l α, β : = K (α β) ( α β). Zatem dla pewnego modelu m K oraz x W m zachodzi: x = m (α β) ( α β). W konsekwencji, (1) x = m (α β), (2) x = m α oraz (3) x = m β. Z (3) wynika, iż dla pewnego y W m takiego że < x, y > R m zachodzi: y = m β. Jednakże na mocy (1) i (2): y = m α β oraz y = m α. Zatem y = m β; sprzeczność. Aby wykazać zamkniȩcie zbioru {α L : = K α} na (NR) za lóżmy, że dla pewnej formu ly α : = K α oraz = K α. Wówczas dla pewnego m K oraz x W m zachodzi: x = m α. Zatem dla pewnego y W m takiego, że < x, y > R m mamy: y = m α, co jest niemożliwe skoro z za lożenia: m K z W m, z = m α. Aby dowieść twierdzenia o pe lności: α L : = K α α K, rozważmy nastȩpuj acy model kanoniczny: k = < RMax( K ), = k >, w którym relacja = k jest określona tak jak w każdym modelu z klasy K, przez nastȩpuj ace parametry: dla dowolnych X, Y RMax( K ), < X, Y > R k wtw X Y ; dla dowolnego p V ar, v k (p) = {X RMax( K ) : p X}. Lemat g lówny: W modelu k, dla dowolnych X RMax( K ), α L : X = k α wtw α X. Dowód: (indukcyjny ze wzglȩdu na postać formu ly α) Niech X RMax( K ) oraz α jest postaci p, gdzie p V ar. Wówczas X = k p wtw X v k (p) wtw p X. Niech α jest postaci: β γ, przy czym spe lnione jest za lożenie indukcyjne: Y RMax( K )(Y = k β wtw β Y ) oraz Y RMax( K )(Y = k γ wtw γ Y ). Wówczas X = k β γ wtw X = k β oraz X = k γ wtw β X oraz γ X wtw β γ X, na mocy lematu fundamentalnego dla K, warunek ( ). Analogicznie, gdy α jest postaci: β γ, β γ, β. Niech α jest postaci β oraz spe lnione jest za lożenie indukcyjne: Y RMax( K )(Y = k β wtw β Y ). Wówczas X = k β wtw Y RMax( K ) (< X, Y > R k Y = k β) wtw Y RMax( K )( X

3. Logika T Feysa - von Wrighta 81 Y β Y ) wtw β X), na mocy odpowiednio, warunku prawdziwości dla formu ly postaci β w modelu, definicji relacji R k i za lożenia indukcyjnego, oraz lematu fundamentalnego dla K, warunek ( ). Twierdzenie o pe lności dla logiki K: α L ( = K α α K). Dowód: Za lóżmy, że α K. Wówczas wed lug Tw.10.4: K α. Zatem na mocy lematu Lindenbauma, dla pewnej teorii Y RMax( K ), α Y. St ad, wed lug lematu g lównego, w modelu kanonicznym mamy: Y = k α. Ostatecznie, ponieważ k K, wiȩc = K α. 3. Logika T Feysa - von Wrighta Najmniejsza ze wszystkich modalnych logik normalnych zamkniȩtych na regu lȩ aksjomatyczn a: (T ) α α, nazywana jest logik a T Feysa - von Wrighta. Niech T bȩdzie klas a wszystkich modeli m = < W m, = m > takich, że W m jest dowolnym niepustym zbiorem (punktów) oraz relacja prawdziwości w punkcie = m jest określona przez dwa parametry: dowoln a zwrotn a relacjȩ R m W m W m oraz dowoln a funkcjȩ v m P (W m ) V ar, w sposób identyczny jak w dowolnym modelu z klasy K. Oczywiście T K oraz T K. Twierdzenie o przystosowaniu dla logiki T : α L (α T = T α). Dowód: Ponieważ zbiór T jest z definicji najmniejszym zbiorem zamkniȩtym na regu ly ze zbioru CL {(K), (NR), (T )}, wiȩc aby dowieść inkluzji: T {α L : = T α} wystarcza wykazać, iż zbiór {α L : = T α} jest zamkniȩty na owe regu ly. Tutaj wykazujemy tylko jego zamkniȩcie na (T ). Przypuśćmy, że = T α α. Zatem dla pewnego modelu m T oraz x W m zachodzi: x = m α α. Wówczas x = m α oraz x = m α. W konsekwencji, dla wszystkich y W m takich, że < x, y > R m zachodzi: y = m α. Wobec zwrotności relacji R m otrzymujemy: x = m α; sprzeczność. Twierdzenie 10.6: Model kanoniczny k = < RMax( T ), = k > dla logiki T, taki, że relacja = k jest w nim identycznie zdefiniowana na zbiorze RMax( T ) jak relacja = k jest zdefiniowana na zbiorze RMax( K ) w modelu kanonicznym dla logiki K, należy do klasy T, tzn. relacja R k jest zwrotna. Dowód: Niech X RMax( T ). Oczywiście < X, X > R k wtw X X. Aby wykazać tȩ inkluzjȩ weźmy α X. Wówczas α X. Lecz X, bȩd ac teori a logiki T, jest zamkniȩty na regu lȩ (T ) oraz (MP ). Zatem α X. Twierdzenie o pe lności dla logiki T : α L ( = T α α T ),

4. Logika S4 82 jest prostym wnioskiem, identycznie dowodzonym jak twierdzenie o pe lności dla logiki K, w oparciu o Tw.10.6 oraz o analogicznie sformu lowany i dowodzony jak dla logiki K lemat g lówny. 4. Logika S4 Najmniejsza ze wszystkich modalnych logik normalnych oraz zamkniȩtych na regu ly aksjomatyczne: (T ) oraz (4) α α, nazywana jest logik a S4. Niech S4 bȩdzie klas a wszystkich modeli m = < W m, = m > takich, że W m jest dowolnym niepustym zbiorem (punktów) oraz relacja prawdziwości w punkcie = m jest określona przez dwa parametry: dowoln a zwrotn a i przechodni a relacjȩ R m W m W m oraz dowoln a funkcjȩ v m P (W m ) V ar, w sposób identyczny jak w dowolnym modelu z klasy K. Oczywiście S4 T oraz S4 T. Twierdzenie o przystosowaniu dla logiki S4: α L (α S4 = S4 α). Dowód: Wykazujemy jedynie, że zbiór formu l: {α L : = S4 α) jest zamkniȩty na regu lȩ aksjomatyczn a (4). Przypuśćmy wiȩc, że dla pewnej formu ly α : = S4 α α. Wówczas dla pewnego m S4 oraz x W m, x = m α α. Oznacza to, iż (1) x = m α oraz (2) x = m α. Z (2) otrzymujemy: dla pewnego y W m takiego, że < x, y > R m zachodzi: y = m α. St ad dla pewnego z W m takiego, że < y, z > R m mamy: z = m α. Lecz z (1), na mocy przechodniości relacji R m otrzymujemy: z = m α; sprzeczność. Twierdzenie 10.7: Model kanoniczny k = < RMax( S4 ), = k > dla logiki S4, taki, że relacja = k jest w nim identycznie zdefiniowana na zbiorze RMax( S4 ) jak relacja = k jest zdefiniowana na zbiorze RMax( K ) w modelu kanonicznym dla logiki K, należy do klasy S4, tzn. relacja R k jest zwrotna i przechodnia.

5. Logika B Brouwera 83 Dowód: Dowiedzenie zwrotności relacji R k przebiega tak samo jak w dowodzie Tw.10.6. Aby wykazać przechodniość za lóżmy, że dla jakichś X, Y, Z RMax( S4 ) zachodzi: < X, Y > R k, < Y, Z > R k. Wówczas X Y oraz Y Z. Niech α X. Wtedy α X. Lecz X jest zamkniȩty na (4) i (MP ), zatem α X. St ad α X i w konsekwencji, α Y, a zatem α Y. Dlatego α Z, co dowodzi inkluzji X Z, a st ad < X, Z > R k. Twierdzenie o pe lności dla logiki S4: α L ( = S4 α α S4), jest prostym wnioskiem, identycznie dowodzonym jak twierdzenie o pe lności dla logiki K, w oparciu o Tw.10.7 oraz o analogicznie sformu lowany i dowodzony jak dla logiki K lemat g lówny. 5. Logika B Brouwera Najmniejsza ze wszystkich modalnych logik normalnych oraz zamkniȩtych na regu ly aksjomatyczne: (T ) oraz (B) α α, nazywana jest logik a B Brouwera. Niech B bȩdzie klas a wszystkich modeli m = < W m, = m > takich, że W m jest dowolnym niepustym zbiorem (punktów) oraz relacja prawdziwości w punkcie = m jest określona przez dwa parametry: dowoln a zwrotn a i symetryczn a relacjȩ R m W m W m oraz dowoln a funkcjȩ v m P (W m ) V ar, w sposób identyczny jak w dowolnym modelu z klasy K. Oczywiście B T oraz B T. Twierdzenie o przystosowaniu dla logiki B: α L (α B = B α). Dowód: Wykazujemy jedynie, że zbiór formu l: {α L : = B α) jest zamkniȩty na regu lȩ aksjomatyczn a (B). Przypuśćmy wiȩc, że dla pewnej formu ly α : = B α α. Wówczas w pewnym modelu m B oraz punkcie x W m zachodzi: x = m α α. Czyli x = α, tzn. (1) x = m α oraz (2) x = m α. Z (2) wnosimy, iż dla pewnego y W m takiego, że < x, y > R m zachodzi: y = m α. St ad, wobec symetrii relacji R m otrzymujemy: x = m α; sprzeczność z (1). Twierdzenie 10.8: Model kanoniczny k = < RMax( B ), = k > dla logiki B, taki, że relacja = k jest w nim identycznie zdefiniowana na zbiorze RMax( B ) jak relacja = k jest zdefiniowana na zbiorze RMax( K ) w modelu kanonicznym dla logiki K, należy do klasy B, tzn. relacja R k jest zwrotna i symetryczna. Dowód: Wykazujemy tylko, że R k jest symetryczna. Za lóżmy, że tak nie jest. Niech zatem X, Y RMax( B ) bȩd a takie, że < X, Y > R k oraz < Y, X > R k, tzn. X Y i Y X. Niech wiȩc α Y oraz α X. Na

6. Logika S5 84 mocy lematu fundamentalnego dla B, warunek ( ) (identycznego z lematem fundamentalnym dla konsekwencji K ) otrzymujemy natychmiast: α X. Ponieważ X jest zamkniȩty na (B) oraz (MP ), wiȩc α X, czyli α X. Zatem z za lożenia: α Y. St ad (lemat fundamentalny) α Y, zatem α Y. Sprzeczność. Twierdzenie o pe lności dla logiki B: α L ( = B α α B), jest prostym wnioskiem, identycznie dowodzonym jak twierdzenie o pe lności dla logiki K, w oparciu o Tw.10.8 oraz o analogicznie sformu lowany i dowodzony jak dla logiki K lemat g lówny. 6. Logika S5 Najmniejsza ze wszystkich modalnych logik normalnych oraz zamkniȩtych na regu ly aksjomatyczne: (T ) oraz (5) α α, nazywana jest logik a S5. Nastȩpuj acy dowód formu ly α α z pustego zbioru formu l na gruncie regu l ze zbioru CL {(NR), (K), (T ), (5)} świadczy o tym, że logika S5 jest zamkniȩta na regu lȩ aksjomatyczn a (4): 1. α α (5), 2. α α (T ), 3. ( α α) ( α α (I3), 4. α α (MP ) 2,3, 5. α α (Syll) 4,1, 6. ( α α) ( α α) (teza CL ), 7. α α (5), 8. α α (MP ) 6,7, 9. α α (teza CL ), 10. α α (Syll) 8,9, 11. ( α α) (N R) 10, 12. ( α α) ( α α) (K), 13. α α (MP ) 11,12, 14. α α (Syll) 5,13. Niech S5 bȩdzie klas a wszystkich modeli m = < W m, = m > takich, że W m jest dowolnym niepustym zbiorem (punktów) oraz relacja prawdziwości w punkcie = m jest określona przez dwa parametry: dowoln a relacjȩ równoważności R m W m W m oraz dowoln a funkcjȩ v m P (W m ) V ar, w sposób identyczny jak w dowolnym modelu z klasy K.

7. Logika modalna trywialna T R 85 Twierdzenie o przystosowaniu dla logiki S5: α L (α S5 = S5 α). Dowód: Wykazujemy jedynie, że zbiór formu l: {α L : = S5 α) jest zamkniȩty na regu lȩ aksjomatyczn a (5). Przypuśćmy wiȩc, że dla pewnej formu ly α : = S5 α α. Wówczas w pewnym modelu m S5 oraz punkcie x W m zachodzi: x = m α α. Zatem x = m α, czyli (1) x = m α oraz (2) x = m α. Z (2) dla pewnego y W m takiego, że < x, y > R m mamy: y = α, tzn. (3) y = α. Lecz z (1) wnosimy, iż dla pewnego z W m takiego, że < x, z > R m zachodzi: (4) z = m α. Wobec symetrii i przechodniości relacji R m : < y, z > R m, zatem z (3): z = m α; sprzeczność z (4). Twierdzenie 10.9: Model kanoniczny k = < RMax( S5 ), = k > dla logiki S5, taki, że relacja = k jest w nim identycznie zdefiniowana na zbiorze RMax( S5 ) jak relacja = k jest zdefiniowana na zbiorze RMax( K ) w modelu kanonicznym dla logiki K, należy do klasy S5, tzn. relacja R k jest równoważnościowa. Dowód: Fakty, że relacja R k jest zwrotna i przechodnia wykazuje siȩ identycznie jak odpowiednio w dowodach Tw.10.6, Tw.10.7 (wobec tego, że logika S5 jest zamkniȩta na regu lȩ aksjomatyczn a (4)). Dowodzimy, że R k jest symetryczna. Za lóżmy, że nie jest. Niech wiȩc X, Y RMax( S5 ) bȩd a takie, że < X, Y > R k oraz < Y, X > R k. Zatem X Y oraz Y X. Niech wiȩc α Y i α X. St ad, wobec zamkniȩcia zbioru X na regu ly (T ), (MP ) uzyskujemy: α X. Zatem wed lug lematu fundamentalnego: α X. Ponieważ X jest zamkniȩty ponadto na (5), wiȩc α X. Dlatego α X. St ad i z za lożenia otrzymujemy: α Y, czyli α Y, a wiȩc α Y ; sprzeczność. Twierdzenie o pe lności dla logiki S5: α L ( = S5 α α S5), jest prostym wnioskiem, identycznie dowodzonym jak twierdzenie o pe lności dla logiki K, w oparciu o Tw.10.9 oraz o analogicznie sformu lowany i dowodzony jak dla logiki K lemat g lówny. 7. Logika modalna trywialna T R Najmniejsza ze wszystkich modalnych logik normalnych oraz zamkniȩtych na regu ly aksjomatyczne: (T ) oraz (T R) α α nazywana jest logik a normaln a trywialn a. Twierdzenie 10.10: S5 T R oraz S5 T R.

7. Logika modalna trywialna T R 86 Dowód: Zauważmy, że (5) (T R) (inkluzja zbiorów par uporz adkowanych). Zatem zbiór T R, bȩd ac zamkniȩty na regu lȩ (T R) jest tym samym zamkniȩty na (5). Z definicji jest również logik a normaln a zamkniȩt a na (T ). Lecz zbiór S5 jest najmniejszym (wzglȩdem inkluzji) wśród wszystkich modalnych logik normalnych zamkniȩtych na regu ly (T ), (5). Zatem S5 T R. Fakt, że te dwa zbiory s a różne dowodzi siȩ latwo, np. wykazuj ac, że = S5 p p, pos luguj ac siȩ 2-elementowym modelem Kripkego. Niech TR bȩdzie klas a wszystkich modeli m = < W m, = m > takich, że W m jest dowolnym niepustym zbiorem (punktów) oraz relacja prawdziwości w punkcie = m jest określona przez dwa parametry: relacjȩ R m = id(w m ) (relacja identycznościowa na zbiorze W m ) oraz dowoln a funkcjȩ v m P (W m ) V ar, w sposób identyczny jak w dowolnym modelu z klasy K. Naturalnie obecnie warunek prawdziwości w punkcie x modelu m TR dla formu ly postaci α wygl ada nastȩpuj aco: x = m α wtw x = m α. Twierdzenie o przystosowaniu dla logiki T R: α L (α T R = TR α). Dowód: Wobec powyższego warunku prawdziwości dla formu ly postaci α latwo wykazać, że zbiór formu l {α L : = TR α} jest zamkniȩty na (T ) oraz (T R), tzn. = TR α α oraz = TR α α. Twierdzenie 10.11: Model kanoniczny k = < RMax( T R ), = k > dla logiki T R, taki, że relacja = k jest w nim identycznie zdefiniowana na zbiorze RMax( T R ) jak relacja = k jest zdefiniowana na zbiorze RMax( K ) w modelu kanonicznym dla logiki K, należy do klasy TR, tzn. relacja R k jest identycznościowa na RMax( T R ). Innymi s lowy, warunek ( ) w lemacie fundamentalnym dla T R ma postać: X RMax( T R ) ( α X wtw α X). Dowód: Za lóżmy, że dla X, Y RMax( T R ) zachodzi: < X, Y > R k, tzn., X Y. Dowodzimy inkluzji: X Y. Niech α X. Ponieważ X jest zamkniȩty na (T R), (MP ) wiȩc α X, st ad α X, zatem z za lożenia: α Y. Inkluzjȩ przeciwn a: Y X otrzymujemy na mocy symetrii relacji R k, tzn. maj ac dane wyrażenie Y X dochodzimy do tejże inkluzji identycznie jak przed chwil a, zamieniaj ac X na Y i Y na X. Symetria relacji R k jest konsekwencj a zamkniȩcia teorii X na regu ly (T ), (MP ) oraz (5) X jest bowiem zamkniȩty na (T R) (por. dowód Tw.10.9). Twierdzenie o pe lności dla logiki T R: α L ( = TR α α T R), jest prostym wnioskiem, identycznie dowodzonym jak twierdzenie o pe lności dla logiki K, w oparciu o Tw.10.11 oraz o analogicznie sformu lowany i dowodzony jak dla logiki K lemat g lówny.

7. Logika modalna trywialna T R 87 Zbiór czȩściowo uporz adkowany rozważanych logik modalnych normalnych: < {K, T, S4, B, S5, T R}, > przedstawia siȩ nastȩpuj aco: T R S5 S4 B T K