Dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny Fizyka układów złożonych
Wahadło matematyczne F θ = mgsinθ Druga zasada dynamiki: ma = mgsinθ a = d2 x dt 2 = gsinθ Długość łuku: x = Lθ Równanie ruchu: θ ሷ + g L sinθ = UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 22 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Jak to rozwiązać? θ ሷ + g L sinθ = sinθ = θ θ3 3! + θ5 5! Jeśli założysz, że θ, wtedy sinθ = θ θ ሷ + g L θ = łatwo rozwiązać (jak?) Ale co to znaczy θ? (doświadczenie)
Małe kąty Dla małych kątów (oscylator harmoniczny) ሷ θ + g L θ = Otrzymujemy: θ t = θ cos Wtedy prędkość kątowa: ሶ θ t = θ g L sin g L t g L t
Przestrzeń konfiguracyjna dla oscylatora harmonicznego 5, d/dt -5-2 4 6 8 t
Przestrzeń fazowa dla oscylatora harmonicznego d/dt 5-5 Każdy punkt w tej przestrzeni określa stan układu Przestrzeń położeń i pędów x, y, z, p x, p y, p z Dla układu wielu cząstek x, y, z, x 2, y 2, z 2, p x, p y, p z, p x2, p y2, p z2, - - -5 5
A jeśli interesują nas duże kąty? θ ሷ + g L sinθ = Jak to rozwiązać? A co jeśli jakieś dodatkowe siły? Tłumienie Wymuszanie cykliczne Wahadło może zadziwić!
Wymuszane wahadło 2 d sin 2 dt Acos( t)
Czy układ słoneczny jest stabilny? 887 król Szwecji Oscar II: nagroda 25 koron Poincare (854-92), francuski matematyk zdobył tę nagrodę Problem stabilności układu słonecznego nie jest rozwiązany do dziś.
Co to znaczy stabilny? Punkt stały niestabilny Punkt stały stabilny
Co zrobił Poincare? Ograniczył się do modelu 3 oddziałujących ciał. prosty model - skomplikowane zachowanie Problem 3 ciał i równania dynamiki, 89 (27 stron)
Dynamika populacji dlaczego nas to interesuje?
Rysie i zające cykle w układzie drapieżca ofiara
Liczba much w eksperymencie zmiany cykliczne?
Może to też wyglądać tak Populacja Pantofelków w labolatorium Popularny skorupiak ( pchła wodna ) Populacja fok na wyspie Świętego Pawła, Alaska
Równanie logistyczne n n n n n n n n n n n n n x x r x c r r x c rc c c c r c c c ) ( a P. F. Verhulst (belgijski matematyk), 845:
x x x x Przykłady.2...9.8.7.6.5.4 <a<.3 2 4 6 8 2 4 6 8 2.8.7.6 t.35.3.25.2. 2 4 6 8 2 4 6 8 2.8.7.6 t <a<2.4.4.3.2 2<a<3.3.2 3<a<4. 2 4 6 8 2 4 6 8 2. 2 4 6 8 2 4 6 8 2 t
c(t+) c(t+) c(t+) Co możemy otrzymać?.9.8.7.6.4.3.2. Punkty stałe Cykle Chaos a=.45.2.4.6.8 c(t).9.8.7.6.4.3.2. a=3.2.2.4.6.8 c(t).9.8.7.6.4.3.2. a=4.2.4.6.8 c(t)
c(t+) Punkty stałe x n ax n x n.9.8.7 a=2.75 x n x n x *.6.4 x*, x ** a.3.2. a.2.4.6.8 c(t)
Typy punktów stałych f '( x*) przyciągający (stabilny) f '( x*) f ' f ' f ' f ' odpychający (niestabilny) odpychający schodkowo przyciągajacy schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie
Typy punktów stałych równania logistycznego a a a f a f x a f 2 ', () ' ), 2 ( ' a a x x x x f x ax f *, * * *, 4 3 3 2 2 a a a a odpychający schodkowo przyciągający schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie
c(t+) c(t) a=.2.9.8.7.6.4.3.2..2.4.6.8 c(t) a a 2 a 3 a 2 3 4...9.8.7.6.5.4.3 2 4 6 8 2 4 6 8 2 t odpychający schodkowo przyciągający schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie
c(t+) c(t) a=.45.35.9.8.3.7.6.25.4.2.3.2..2.4.6.8 c(t) a a 2 a 3 a 2 3 4. 2 4 6 8 2 4 6 8 2 t odpychający schodkowo przyciągający schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie
c(t+) c(t) a=2.75.9.8.7.6.4.3.2..8.7.6.4.3.2.2.4.6.8 2 c(t) a a a 3 a 2 3 4. 2 4 6 8 2 4 6 8 2 odpychający schodkowo przyciągający schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie t
c(t+) c(t) a=3.2.9.8.7.6.8.7.6.4.3.2..2.4.6.8 2 c(t) a a a 3 a 2 3 4.4.3.2. 2 4 6 8 2 4 6 8 2 odpychający schodkowo przyciągający schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie t
Jak znaleźć cykl?.9.8 f(x).9.8 f(f(x)).7.6.7.6 a=2.4.4.3.3.2.2...2.4.6.8.2.4.6.8.9.8 f(x).9.8 f(f(x)).7.6.7.6 a=3.2.4.4.3.3.2.2...2.4.6.8.2.4.6.8
c(t+) c(t) a=3.5.9.8.7.6.4.3.2..2.4.6.8 c(t).9.8.7.6.4.3.2. 5 5 2 25 3 35 4 45 5 t a a 2 2 a 3 a 3 4 odpychający schodkowo przyciągający schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie
c(t+) c(t) a=4.9.8.7.6.4.3.2..2.4.6.8 c(t).9.8.7.6.4.3.2. 2 4 6 8 2 4 6 8 2 t Chaos deterministyczny
Drzewo podwajania okresu,diagram Feigenbauma, bifurkacyjny
Zbiór Cantora Pierwszy Fraktal na krawędzi chaosu
Iteracja dla a=3.6.9.8.7.6 c(t).4.3.2. 5 5 2 25 3 35 4 45 5 t
Iteracja dla a=3.7 i t=5.9.8.7 c(t).6.4.3.2. 5 5 2 25 3 35 4 45 5 t
Iteracja dla a=3.7 i t=.9.8.7 c(t).6.4.3.2. 2 3 4 5 6 7 8 9 t
Okienka okresowe 6 5 3 3.828,3.857
Oszustwa koło okienek: cykl czy nie?.9.8.7 c(t).6.4.3.2. 2 3 4 5 6 7 8 9 t
Intermitencja= fazy laminarności na przemian z chaosem.9.8.7 c(t).6.4.3.2. 2 3 4 5 6 7 8 9 t
Iteracja równania logistycznego koncentracja początkowa liczba iteracji function[c,t]=logist(c,a,n) t=::n; c t ac t c t c()=c; for i=:n c(i+)=a*c(i)*(-c(i)); end
Diagram Feigenbauma for i=: a=.4*i; n=5; [c,t]=log(.,a,n); x=ones(,)*a; plot(x,c(n-99:n),'.'); hold on; end function[c,t]=log(c,a,n) t=::n; c()=c; for i=:n c(i+)=a*c(i)*(-c(i)); end
Rainfall (mm) Opady deszczu Rainfall between Apr and Jun (95-2) 8 6 4 Normal: 854 mm 72 92 75 57 66 82 98 2 8 6 4 2 63 95 955 96 965 97 975 98 985 99 995 2 95 Year * up to 28-6-2
Jak skomplikowany musi być model?
Wrażliwość na warunki początkowe
Konwekcja Gorące powietrze unosi się do góry chmury burzowe powstają w wyniku konwekcji. 962, Saltzman równania dla prostej konwekcji
Model pogody wg. Lorenza Edward Lorenz, MIT w 96 (w wieku 44 lat) Przypadek a może lenistwo? Odkrycie małe zmiany warunków początkowych prowadzą do
Układ Równań Lorenza jeszcze więcej uproszczeń dx dt dy dt dz dt ( yx) x y xz xy z 28 8 3 Wielkości wybrane przez Saltzmana
Lenistwo Lorenza i jego Królewska Pszczoła 25 2 5 5-5 - -5-2 -25 2 3 4 5 6 7 8 9
Przestrzeń konfiguracyjna i fazowa
Narysujmy to w przestrzeni
Cechy atraktora Lorenza Trajektorie są przyciągane przez ograniczony obszar przestrzeni fazowej Ruch jest nieregularny Wrażliwość na warunki początkowe (sekwencja pętli) Ten atraktor jest dziwny!
atraktor Roesslera (976) x' ( y z) y' x ay z' b xz cz a.2, b.2, c 5.7
Wzorzec chaosu wyrabianie ciasta rozciąganie składanie
Gdzie są rodzynki? Odległość rośnie wykładniczo
Chaos i losowość 2.5 - - -.5-2 5 5 2 25 3 35 4 2.5 - - -.5-2 5 5 2 25 3 35 4 Data: Dr. C. Ting Który z tych szeregów czasowych jest chaotyczny, a który losowy?
Mapa powrotów prawdę ci powie: x(t+)od x(t) Odwzorowanie Henona x n+ =.4 - x 2 n +.3 y n y n+ = x n 2.5 - - -.5 2.5 - - -.5-2 5 5 2 25 3 35 4 Biały szum -2-2 -.5 - -.5 2 2.5 - - -.5 2.5 - - -.5-2 5 5 2 25 3 35 4-2 -2 -.5 - -.5 2
Pomyśl o tym