3. MODELOWANIE NIELINIOWYCH SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH
|
|
- Paulina Marek
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 3. MODELOWANIE NIELINIOWYCH SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH 3.. Wprowadzenie Analiza systemów dynamicznych ma podstawowe znaczenie w technice. Ich modelowanie jest być może zasadniczym sposobem poznawania otaczającej nas rzeczywistości i wyciągania stąd stosownych wniosków, zarówno co do zachodzących wokół procesów, jak i ich wykorzystania. Dynamika systemów jest odtwarzana za pomocą modeli zależnych od czasu. W ogólnym przypadku, czas może być reprezentowany w postaci ciągłej lub dyskretnej. W zależności od tego, stosowne modele są formułowane w postaci równań różniczkowych (czas ciągły) lub równań różnicowych (czas dyskretny). Historia rozwoju obu tych gałęzi dynamiki jest różna, co jest głównie związane z dostępnością odpowiednich narzędzi analitycznych i obliczeniowych. Modele tworzone w oparciu o równania różniczkowe pojawiły się wraz ze sformułowaniem przez Newtona i Leibniza podstaw rachunku różniczkowego i całkowego, podczas, gdy dynamiczne modele czasu dyskretnego są wytworem zaledwie ostatnich dziesięcioleci. W odniesieniu do systemów liniowych stosowane są dobrze poznane, uniwersalne narzędzia analityczne, które pozwalają badać ich stabilność oraz różnorodne charakterystyki w dziedzinie czasu i częstotliwości. W przeciwieństwie do tego, narzędzia badania systemów nieliniowych są często ograniczone do ściśle określonej grupy systemów. Ponadto, w ostatnim czasie znaczną uwagę zwraca się na dynamiczne systemy nieliniowe, których opis wykracza poza tradycyjnie stosowane podejście. Do ich zrozumienia często stosuje się różne techniki modelowania i symulacji. Krótkiemu przeglądowi tych właśnie zagadnień poświęcony jest niniejszy rozdział. 3.. Równanie Van der Pola Równanie Van der Pola 3 opisuje oscylacje w układzie elektronicznym ze wzmacniaczem (oryginalnie z zastosowaniem lampy typu trioda). Dynamika układu jest określona za pomocą następującego równania nieliniowego: dy ( y ) + y = 0 d y μ, (3.) dt dt 3 Van der Pol Balthazar ( ) pionier radio- i telekomunikacji
2 3 Podstawy modelowania systemów gdzie μ współczynnik tłumienia. Równanie (3.) można zapisać w postaci układu równań pierwszego rzędu: x 3 d x = μ x y dt 3 dy x = dt μ (3.) Przebiegi uzyskane z rozwiązania równania dla dwóch różnych wartości współczynnika tłumienia są pokazane na rys. 3.. Na podstawie (3.) można otrzymać portret fazowy rozwiązania, co jest przedstawione na rys. 3.. Rys. 3.. Rozwiązanie równania Van der Pola dla dwóch wartości współczynnika μ
3 3. Modelowanie systemów nieliniowych 33 Rys. 3.. Portrety fazowe dla dwóch wartości współczynnika μ Generator Van der Pola ma ważną praktyczną właściwość tłumienia oscylacji o rosnącej amplitudzie i wzmacniania oscylacji tłumionych. Prowadzi to do stabilizacji drgań o ustalonej granicznej amplitudzie. Właściwość ta jest stosowana do odtwarzania zjawisk w różnych dziedzinach techniki, biologii, socjologii, czy ekonomii. Wpływ warunków początkowych na stan przejściowy generatora jest pokazany na rys Widać, że generator szybko przechodzi do ustalonych warunków pracy.,5,5 0,5 0 0,5,5 (x(0), y(0)) = (, 00) (x(0), y(0)) = (, 400), t, s a) b) (, 00) (, 400) 00,5,5 0,5 0 0,5,5,5 x Rys Wpływ warunków początkowy na stan przejściowy generatora; μ = 500
4 34 Podstawy modelowania systemów Zastosowania generatora można rozszerzyć przez wprowadzenie zewnętrznego wymuszenia (układ nieautonomiczny). Wymaga to uzupełnienia równania (3.) przez dodanie z prawej strony odpowiedniej funkcji wymuszającej. Najczęściej ma ona postać funkcji harmonicznej, na przykład: F cos(ωt) Równanie różniczkowe Duffinga Równanie Duffinga jest często stosowane do opisu drgań układów mechanicznych sprężystych z tłumieniem (sztywna sprężyna, sprężysta belka), a także nieliniowe układy elektroniczne, które podlegają wymuszeniom oscylacyjnym. Ogólna postać równania Duffinga z wymuszeniem okresowym jest następująca: 0 3 x + δ x ± ω x + βx = F cos( ωt + ϕ) (3.3) gdzie parametry równania są odpowiedzialne za poszczególne procesy w modelowanym obiekcie: δ współczynnik tłumienia; β liniowy współczynnik sztywności; ω 0 współczynnik oscylacji (własnych); F amplituda wymuszenia; ω pulsacja wymuszenia. Zależność (3.3) może być przedstawiona w postaci dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu (równania stanu): u = v 3 v = mω u βu δv + F cos( ωt + ϕ) 0 (3.4) gdzie dwie zmienne (zmienne stanu) mają prostą interpretację fizyczną: u przemieszczenie, v prędkość. Rozpatrywany tu problem jest często ilustrowany za pomocą urządzenia z rys. 3.4 [], gdzie ferromagnetyczna sprężyna (belka) jest pobudzana za pomocą dwóch elektromagnesów. Równanie (3.3) odwzorowuje drgania sprężystej belki pobudzanej przez elektromagnesy.
5 3. Modelowanie systemów nieliniowych 35 Rys Układ do ilustracji równania Duffinga W zależności od wartości poszczególnych parametrów w (3.3), równanie przyjmuje różne praktyczne formy. Dla parametrów: β = 0, ϕ = 0 oraz przy dodatnim znaku przy współczynniku ω 0, (3.3) przyjmuje następującą formę: 0 x + δ x + ω x = F cos( ωt) (3.5) Jest to równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach z wymuszeniem oscylacyjnym. Jego rozwiązanie uzyskuje się według standardowych procedur [3]. W tym przypadku otrzymujemy następujący związek: x ( t) = Acos( ωt φ), (3.6) który na płaszczyźnie fazowej (x, v) = (x, x ) przedstawia elipsę: x( t) ( ) v t + = (3.7) A ω A Wartość amplitudy A oraz przesunięcia fazowego φ zależą od pulsacji wymuszenia ω: ( ω0 ω ) F δω A ( ω) =, tgφ( ω) = (3.8) + ( δω) ω0 ω Pulsacja rezonansowa występuje wówczas, gdy przy zmianie współczynnika tłumienia δ, amplituda A(ω) = A(ω rez ) przyjmuje największą wartość. Z warunku określenia maksymalnej wartości A(ω) (3.8), znajdujemy: 0 (δ / ) ωrez = ω (3.9)
6 36 Podstawy modelowania systemów Widać bezpośrednie powiązanie pulsacji rezonansowej z pulsacją drgań własnych ω 0 oraz z tłumieniem δ. Dla regularnych odstępów czasu: t = 0, T, T,, gdzie T = π/ω, odpowiedzi równania układają się w punkty na płaszczyźnie fazowej: ( x, v) = ( Acosφ, Aω sinφ), (3.0) tworząc tzw. odwzorowanie punktowe albo odwzorowanie (przekrój) Poincarégo 4 [5, 8], które jest w tym przypadku zbiorem punktów rozwiązania równania (3.7) dla przyjętego kroku czasowego. Mówi się wówczas, że zbiór punktów rozwiązania powstaje w wyniku stroboskopowego (synchronicznego) próbkowania rozwiązania. Ilustruje to kolejny przykład. Przykład 3.. Wyznaczyć podstawowe przebiegi uzyskane w wyniku rozwiązania równania (3.5) dla następujących parametrów: F =,0; δ = 0,06; ω 0 =,0; ω = 0,6; przy warunkach początkowych: x(0) = 0,; x`(0) = 0,. Obliczenia zostały wykonane z wykorzystaniem procedury ode5s w języku MATLAB. Rezultaty są prezentowane na rys Przedstawiają one przebiegi zmiany odchylenia x(t) oraz przyśpieszenia x`(t) (rys. 3.5a). Rys Przebiegi związane z rozwiązaniem równania Duffinga Widać, że stan przejściowy zanika po czasie ok. 00 s. Po jego zaniku, obraz tych przebiegów na płaszczyźnie fazowej przyjmuje kształt elipsy (rys. 3.5b). Odwzorowanie Poincarégo określone zgodnie z (3.0) jest pokazane na rys. 3.6a (punkty przekroju dla t = 0, T, T, są wyznaczone przez wierzchołki wykresu). Szczegóły tego przekroju dla czasu t > 00 s są pokazane na rys. 3.6b. Jak widać, przekrój Poincarégo upraszcza wykres, zachowując podstawowe cechy przebiegu, co jest szczególnie istotne w przypadku bardziej złożonych wykresów. 4 Jules Henri Poincaré (854 9), matematyk i fizyk francuski.
7 3. Modelowanie systemów nieliniowych 37 Rys Przekrój Poincarégo dla analizowanego równania (a) oraz szczegół dla t > 00 s (b) Analizowany powyżej przypadek odnosi się do równania Duffinga, zredukowanego do postaci liniowej. Bardziej interesujące właściwości (także z praktycznego punktu widzenia) ma postać nieliniowa tego równania co będzie przedmiotem analizy w dalszej części rozdziału Systemy chaotyczne Teoria chaosu pojawiła się, jako gałąź teorii układów dynamicznych, a jej powstanie łączy się z nazwiskiem Poincarégo w związku z jego analizą równań dynamiki trzech ciał powiązanych grawitacyjnie []. Termin chaos oddaje tu generalną zasadę odnoszącą się do systemów deterministycznych, mówiącą, że choć w takich systemach przyszłość można przewidzieć na podstawie stanu obecnego, to jednak w systemie chaotycznym aproksymacja stanu obecnego nie przybliża jego przyszłych stanów. Problem ten wyraziście pojawił się w latach 60-tych XX wieku w pracach Lorenza 5, przy okazji tworzenia modeli do przewidywania prognoz meteorologicznych Równania Lorenza Równania Lorenza są zazwyczaj podawane w następującej postaci [, 0]: y ( t) = α 3 ( y ( t) y ( t) ) y ( t) = βy ( t) y y ( t) = γy ( t) + y ( t) y 3 ( t) y ( t) y ( t) ( t) 3 (3.) 5 Edward Norton Lorenz (97 008), matematyk i meteorolog amerykański.
8 38 Podstawy modelowania systemów Przy następujących parametrach: a = 0, b = 8, g = 8/3 oraz przy warunkach początkowych: y (0) = 0, y (0) =, y 3 (0) = 5, uzyskuje się rozwiązanie, którego przebieg w układzie współrzędnych y, y, y 3 jest pokazany na rys y3 Rys Rozwiązanie równań Lorenza przy podanych warunkach początkowych Rysunek 3.8 przedstawia wykres zmian y 3 względem y, gdzie widać charakterystyczne obszary przyciągania rozwiązania, znane, jako dziwny atraktor 6 Lorenza. Obszary te układają się w kształt skrzydeł motyla, co obrosło legendą na temat możliwości przewidywania pogody w postaci tzw. efektu motyla: trzepot skrzydeł motyla w puszczy amazońskiej wywołuje tornado w Teksasie. 6 Atraktor dziwny, to atraktor (obszar przyciągania), w którym liczba punktów rośnie do nieskończoności, zaś sam atraktor staje się zbiorem samopodobnym (fraktalem). Występowanie takiego atraktora jest jedną z cech układów chaotycznych.
9 3. Modelowanie systemów nieliniowych 39 Rys Rozwiązanie równań Lorenza: atraktor y 3 = f(y ) Rys Rozwiązanie równań Lorenza (przebiegi czasowe) przy podanych warunkach początkowych
10 40 Podstawy modelowania systemów Bazą do tworzenia takich anegdot są nieoczekiwane właściwości matematycznych modeli systemów chaotycznych. Wbrew ich deterministycznej naturze, zachowują się w sposób nieprzewidywalny. Widać to dobrze na podstawie analizy przebiegów czasowych w rozpatrywanym przykładzie modelu Lorenza (rys. 3.9), gdzie nie sposób znaleźć powtarzających się, przewidywalnych wzorców. Cechy układów chaotycznych: wrażliwość na warunki początkowe; mieszanie: trajektoria przegląda wszystkie obszary przestrzeni fazowej i w każdym przebywa przez czas proporcjonalny do jego objętości; sąsiednie trajektorie zarówno oddalają się od siebie, jak też powracają dowolnie blisko, nieskończenie wiele razy; występowanie atraktora, którym jest wyróżniony stan ruchu w przestrzeni fazowej, do którego zmierzają pobliskie trajektorie; przy różnych warunkach początkowych, ewolucja dwóch identycznych systemów będzie rosła z czasem, jednak oba systemy pozostaną w strefie atraktora Nieliniowy model Duffinga Wróćmy do rozważanego w p. 3.3 równania Duffinga w ogólnej postaci (3.3). Różne właściwości układów reprezentowanych za pomocą tego równania można uzyskać przez odpowiedni dobór współczynników równania Duffinga. Zauważmy, że obecność nieliniowego członu βx 3 całkowicie zmienia właściwości równania, gdyż przedstawia ono układ nieliniowy. Na przykład, dla współczynnika sztywności β > 0 uzyskuje się model sztywnej sprężyny, natomiast dla β < 0 otrzymujemy charakterystyki sprężyny miękkiej. W przypadku przyjęcia dodatniego znaku przy składniku ω 0 x w (3.3), uzyskuje się dwa punkty w przestrzeni stanów (x, x`) o minimalnej energii, co łatwo zauważyć, rozpatrując ustaloną (niezależną od czasu) wartość siły w (3.3): 0 x) 3 ( 0 x β ) F ( = ± ω + x, (3.) skąd można wyznaczyć energię potencjalną (przy zerowych warunkach początkowych): x 0 0 ω x βx V ( x) = F0 ( x) d x = ± + (3.3) 4 Przebiegi energii potencjalnej dla obu wartości znaków stojących przy współczynniku (ω 0 ) jest pokazany na rys Minimalne wartości energii wyznaczają stabilne punkty rozwiązania. Widać, że dla (ω 0 ) < 0 występują dwa punkty stabilne oraz punkt niestabilny w początku układu. Zauważmy, że wniosek ten jest zbieżny z kryterium Lapunowa formułowanym w odniesieniu do systemów dynamicznych [3]. 4
11 3. Modelowanie systemów nieliniowych 4 ω 0 > 0 ω 0 < 0 Rys Przebiegi energii potencjalnej w zależności od znaku współczynnika Ma to potwierdzenie w przebiegu trajektorii na płaszczyźnie fazowej, co ilustruje kolejny przykład. Przykład 3.. ω 0 Wyznaczyć przebiegi czasowe i trajektorię na płaszczyźnie fazowej dla równania Duffinga przy następujących parametrach: F = 0,0 (bez wymuszenia); δ = 0,0 (bez tłumienia); (ω 0 ) =,0; przy warunkach początkowych: x(0) = 0,0; x`(0) = 0,00; wykonać kilka pomiarów dla różnych wartości x(0). Do analizy nieliniowego modelu Duffinga została opracowana w języku MATLAB procedura duff_ rozwiązywania równania (3.3) z zastosowaniem funkcji ode45 (tekst programu znajduje się w Dodatku). Analizowane równanie jest przedstawione w formie zmiennych stanu (3.4). Po wprowadzeniu zadanych parametrów i uruchomieniu symulacji, otrzymujemy trajektorie, jak na rys. 3.. Rysunek przedstawia całą serię wyników symulacji, które zostały wykonane przy różnych warunkach początkowych (zmieniana była wartość x(0)) i następnie na siebie nałożone. Można zauważyć, że trajektorie przedstawiają regularne krzywe zamknięte, co jest wynikiem braku tłumienia oraz wymuszenia (układ autonomiczny). Strzałkami zaznaczono kierunki przemieszczania się punktów trajektorii. Widać także rezultat założenia: (ω 0 ) =,0, co prowadzi do wystąpienia dwóch punktów, określających minima energii potencjalnej rozważanego układu (rys. 3.0). Łatwo także zauważyć, że początek układu współrzędnych fazowych jest punktem niestabilnych, na co wskazują kierunki trajektorii w tym punkcie. Pokazanym trajektoriom odpowiadają także regularne przebiegi obu współrzędnych w czasie: x(t), x`(t), co nie jest tutaj pokazane. W odniesieniu do procedury obliczeniowej nałożone są dosyć duże wymagania co do dokładności, gdyż w przeciwnym przypadku trajektorie tworzone w kolejnych cyklach nie będą się pokrywały. Kwestię tę regulują parametry RelTol oraz AbsTol, którym należy nadać odpowiednie wartości.
12 4 Podstawy modelowania systemów Rys. 3.. Trajektorie fazowe równania Duffinga dla różnych wartości początkowych W przypadku przyjęcia dodatniej wartości kwadratu pulsacji własnej: (ω 0 ) =,0, funkcja energii potencjalnej V(t) ma jedno minimum (rys. 3.0), co zmienia obraz trajektorii fazowej systemu oraz samych przebiegów czasowych. Wyniki symulacji równania Duffinga dla przyjętych powyżej parametrów, po zmianie znaku współczynnika (ω 0 ), są pokazane na rys. 3.. Przyjęto wartość początkową: x(0) = 0,6. Można zauważyć, że w tym przypadku otrzymuje się bardzo regularne odpowiedzi w dziedzinie czasu oraz na płaszczyźnie fazowej. Parametr ω 0 ma bezpośrednią interpretację fizyczną: jest to pulsacja własna układu, skąd: T 0 = π/ω 0. Rys. 3.. Trajektorie fazowe równania Duffinga dla (ω 0 ) =,0
13 3. Modelowanie systemów nieliniowych 43 Przy rozważaniu pobudzanego nieliniowego układu Duffinga korzystamy z równania (3.3) z wymuszeniem. W przypadku układu z dodatnią wartością parametru (ω 0 ), otrzymujemy odpowiedź, jak w przykładzie 3.. Następny przykład ilustruje zachowanie się rozwiązania dla przypadku (ω 0 ) < 0 z wymuszeniem. Przykład 3.3. Wyznaczyć przebiegi czasowe i trajektorię na płaszczyźnie fazowej dla równania Duffinga przy następujących parametrach: F = 0,8; δ = 0,; β = 0,07; (ω 0 ) =,0; ω =,0. Przyjąć następujące warunki początkowe: x(0) = 0,0; x`(0) = 0,00. Wykonać pomiary dla różnych wartości F. Stosując procedurę duff_, wykonano obliczenia symulacyjne modelu Duffinga dla założonych parametrów. Wyniki symulacji w formie przebiegów czasowych obu zmiennych stanu oraz trajektorii na płaszczyźnie fazowej, są pokazane na rys Rys Odpowiedź czasowa (a) i trajektorie fazowe równania Duffinga (b) dla (ω 0 ) =,0 Można zauważyć, że po zaniku początkowego stanu przejściowego, przebiegi przyjmują formę oscylacji wokół jednego z punktów odpowiadających minimalnej energii potencjalnej układu (w tym przypadku jest to punkt leżący na dodatniej części płaszczyzny wyznaczonej przez zmienną x). Częstotliwość obserwowanych oscylacji ustalonych jest związana z częstotliwością sygnału wymuszającego. Kolejna symulacja została wykonana dla następujących parametrów: F = 5,5; δ = 0,5; β =,5; (ω 0 ) =,0; ω =,0 przy takich samych, jak powyżej warunkach początkowych. Wyniki symulacji są pokazane na rys W tym przypadku nie jest obserwowany stan ustalony przebiegów, co jest charakterystyczne dla zachowań chaotycznych. Obszary przyciągania rozwiązania na portrecie fazowym są zbliżone do obu punktów minimalnej energii potencjalnej układu. W każdym cyklu rozwiązania, jego trajektoria przemierza obszar pomiędzy obu charakterystycznymi atraktorami, kształty zakreślanych śladów nie powtarzają się.
14 44 Podstawy modelowania systemów x` Rys Chaotyczne rozwiązanie równania Duffinga Uzyskane chaotyczne rozwiązania równań Duffinga nie mają bezpośredniej interpretacji w odniesieniu do pierwowzoru mechanicznego. Zauważmy, że dobrze znany model nieliniowego mechanicznego układu drgającego stał się użyteczny w innych dziedzinach i przyczynił się do wzrostu zainteresowania takimi zagadnieniami w matematyce [,, 7] Obwód Chua Różne pomysły prowadzące do zastosowania efektów chaotycznych w nauce i technice spowodowały zainteresowanie fizyczną realizacją układów chaotycznych. Jednym z przykładów takich układów jest elektryczny obwód zaproponowany przez L. Chua 7. W oryginalnej formie ma on postać schematu, jak na rys. 3.5 [5, 33], gdzie dioda Chua N R jest układem elektronicznym o charakterystyce, jak na rys. 3.5b). Rys Obwód Chua: schemat zastępczy a) oraz charakterystyka diody Chua b) 7 Leon O. Chua (), profesor elektrotechniki i informatyki na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley, pionier w zakresie sieci neuronowych, układów chaotycznych i systemów nieliniowych,
15 3. Modelowanie systemów nieliniowych 45 Charakterystyka diody Chua może być opisana następującą funkcją: i R G ur dla ur < E = g( ur ) = GuR + ( G G ) E dla ur E (3.4) G u ( G G ) E u E R dla R Równania stanu rozpatrywanego schematu są związane z trzema elementami gromadzącymi energię: L, C oraz C i mają następującą postać: u u R C L i = RC = i C = u L ( u u ) L C C RC R g( ur ) C ( u u ) C R (3.5) przy warunkach początkowych: u R (0), u C (0), i L (0). Rozwiązanie tych równań dla następujących parametrów: R =,0/0,7 Ω, L =,0/7,0 H, C = 0, F, C =,0 F, G = 4,0 S, G = 0, S, E =,0 V oraz przy warunkach początkowych: u R (0) = 4,0 V, u C (0) = 4,0 V, i L (0) = 0, prowadzi do charakterystycznej trajektorii, jak na rys Przebiegi uzyskanych zmiennych stanu są pokazane na rys Widać występowanie nieregularnych, chaotycznych przebiegów. W celu odtworzenia funkcji diody Chua proponowane są różne elektroniczne układy. Jeden z nich jest pokazany na rys W literaturze można znaleźć różne zbiory parametrów tego obwodu, na przykład [3]: R =,33 kω, R = 46, kω, R = 3,3 kω, L = 8, mh, R 3 = 3,3 kω, R 4 = 46, kω, C = 5,5 nf, R 5 =,5 kω, R 6 = 300,0 Ω, C = 50,0 nf, R 7 = 300,0 Ω.
16 46 Podstawy modelowania systemów il, A Rys Przebieg trajektorii i L (u R ) il, A uc, V ur, V Rys Przebiegi zmiennych stanu w układzie Chua
17 3. Modelowanie systemów nieliniowych 47 i L R i R R 6 L C C u C u R +Vcc + Vcc R 7 R R R 3 R 4 R 5 Vcc +Vcc Rys Schemat układu Chua W literaturze można znaleźć praktyczne wskazówki na temat właściwości oraz fizycznej realizacji obwodu Chua [3,, 36, 37, 38] Modelowanie nieliniowych układów dyskretnych Rozpatrywane powyżej deterministyczne systemy dynamiczne są opisywane za pomocą równań różniczkowych. Zapis tych równań w postaci dyskretnej prowadzi do dynamicznych systemów dyskretnych. Odpowiednie równania otrzymuje się przez ich dyskretną aproksymację: x dx dt Δx Δt x x t ( t ) k k = = = xk xk (3.6) Zachowanie się systemów dyskretnych może być zupełnie odmienne od ich ciągłych oryginałów. W charakterze przykładu rozpatrzmy system Rösslera opisany następującym układem równań różniczkowych [5]: x = y z y = x + ey z = f + xz mz (3.7) przy następujących parametrach: e = f = 0,; m = 5,7. Przebieg trajektorii z = g(x,y) jest pokazany na rys. 3.9.
18 48 Podstawy modelowania systemów Rys Trajektoria z = g(x,y) ciągłego systemu Rösslera Dyskretna postać równań (3.7) może być zapisana w następującej formie: x y z k k k = x = y = z k k k h + h + h ( yk + zk ) ( xk + eyk ) ( f + ex z mz ) k k k (3.8) Równania (3.8) z parametrami, jak w (3.7) oraz h = 0,7, mają także podobne właściwości. W ogólnym przypadku, równania dyskretnych modeli typu (3.8) mają następującą postać: ( x ) x (3.9) k = xk + bxk k co przy odpowiedniej zmianie parametru b może być zapisane następująco: ( x ) x (3.0) k = bxk k Zależność (3.0) jest nazywana równaniem logistycznym (w nawiązaniu do występującego w tym równaniu przesunięcia, transportu ). Dyskretne systemy logistyczne charakteryzują się występowaniem punktów bifurkacji 8, które związane są z gwałtownym rozdwojeniem procesu, przy niewielkiej zmianie parametru b. Tego typu charakterystyki są przedstawiane na płaszczyźnie (b, x). Rozdwojone (rozchodzące się) procesy charakteryzują się wyraźną różnicą amplitudy obu 8 łac. bifurcare rozdwajać, rozwidlać.
19 3. Modelowanie systemów nieliniowych 49 bliźniaczych zjawisk (rys Proces generacji diagramu bifurkacji jest pokazany na rys. 3..,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 b Rys Diagram bifurkacji Na rys. 3. można wyróżnić poszczególne przebiegi generowane zgodnie z zależnością (3.0), z uwzględnieniem stanu przejściowego, który jest pominięty na rys. 3.. Równanie logistyczne (3.0) ma sens, gdy odtwarzane wartości x k pozostają w przedziale [0, ], co ma miejsce dla 0 < b. Cechą charakterystyczną zjawiska bifurkacji jest w tym przypadku podwojenie częstotliwości przebiegów generowanych zgodnie z zależnością (3.0) po osiągnięciu przez parametr b odpowiednich wartości: b = 3,0, 3, , 3, , W rezultacie kolejnych zdwojeń okresu oscylacji, częstotliwość generowanych drgań wzrasta w kolejnym n-tym punkcie bifurkacji do wartości n, n = 0,,, Towarzyszące tym punktom wartości parametru b = b n stosują się do prawa Feigenbauma [5]: bn bn δ = lim = 4, (3.) n b b n n+ Prawu temu podlegają różne zjawiska bifurkacji. Efekt ten można także obserwować w układach wielowymiarowych opisanych równaniami różniczkowymi (patrz zadanie 3.3 na końcu rozdziału).
20 50 Podstawy modelowania systemów Rys. 3.. Ilustracja generacji diagramu bifurkacji Model logistyczny (3.0) jest stosowany do opisu wielu praktycznych zależności, w szczególności w biologii, w demografii, czy też w ekonometrii (modele wzrostu) Zadania 3.. Korzystając z programu lorenz_.m (patrz Dodatek) wykonać symulacje modelu Lorenza. Sprawdzić wpływ poszczególnych parametrów na dynamikę układu. 3.. Za pomocą programu duff_.m zbadać wpływ poszczególnych parametrów modelu Duffinga na wystąpienie oscylacji chaotycznych. Zbadać warunki stabilności modelu przy braku wymuszenia W równaniach Rösslera (3.7) przyjąć stałe wartości parametrów : e = f = 0,, natomiast parametr m zmieniać w zakresie: m = 4, 6, 8,5, 8,7, 9,,,8, 3, 8. Dla każdej z tych wartości wyznaczyć i przeanalizować trajektorie y = f(x) przebiegi czasowe. Jak zmieniają się częstotliwości generowanych oscylacji? Skorzystać z programu drossler_.m, w którym całkowanie jest uproszczone do sumowania.
INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoTEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska
TEORIA CHAOSU Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska Wydział MiNI Politechnika Warszawska Rok akademicki 2015/2016 Semestr letni Krótki kurs historii matematyki DEFINICJA
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoZastosowanie ciągłych układów chaotycznych do bezpiecznej komunikacji. Karol Jastrzębski
Zastosowanie ciągłych układów chaotycznych do bezpiecznej komunikacji Karol Jastrzębski kjastrze@elka.pw.edu.pl Plan prezentacji Teoria chaosu wprowadzenie Cechy sygnału chaotycznego Obwód Chuy oscylator
Bardziej szczegółowoEfekt motyla i dziwne atraktory
O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoDrgania wymuszone - wahadło Pohla
Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera Arkadiusz Syta A. Syta (Politechnika Lubelska) 1 / 19 Wstęp Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i funkcji Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.
VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MODELOWANIE UKŁADÓW MECHANICZNYCH Badania analityczne układu mechanicznego
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowo3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
Bardziej szczegółowoPOMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH
POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMST Semestr letni Wykład nr 3 Prawo autorskie Niniejsze
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoDynamika nieliniowa i chaos deterministyczny. Fizyka układów złożonych
Dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny Fizyka układów złożonych Wahadło matematyczne F θ = mgsinθ Druga zasada dynamiki: ma = mgsinθ a = d2 x dt 2 = gsinθ Długość łuku: x = Lθ Równanie ruchu: θ ሷ
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoLaboratorium Mechaniki Technicznej
Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit
Cykle graniczne Dotychczas zajmowaliśmy się głównie znajdowaniem i badaniem stabilności punktów stacjonarnych. Wiele ciekawych procesów ma naturę cykliczną. Umiemy już sobie poradzić z cyklicznością występującą
Bardziej szczegółowoUkład RLC z diodą. Zadanie: Nazwisko i imię: Nr. albumu: Grzegorz Graczyk. Nazwisko i imię: Nr. albumu:
Politechnika Łódzka TIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 2009/2010 sem. 3. grupa II Zadanie: Układ z diodą Termin: 5 I 2010 Nr. albumu: 150875 Nazwisko i imię: Grzegorz Graczyk Nr. albumu: 151021
Bardziej szczegółowoKatedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.
Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach
Bardziej szczegółowoMETODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03
METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoWIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów
LABORATORIUM DRGANIA I WIBROAUSTYA MASZYN Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Zakład Wibroakustyki i Bio-Dynamiki Systemów Ćwiczenie nr WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów
Bardziej szczegółowoFizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
Bardziej szczegółowoDrgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 7 BADANIE ODPOWIEDZI USTALONEJ NA OKRESOWY CIĄG IMPULSÓW 1. Cel ćwiczenia Obserwacja przebiegów wyjściowych
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC
Ćwiczenie 3 3.1. Cel ćwiczenia BADANE OBWODÓW PRĄD SNSODANEGO Z EEMENTAM RC Zapoznanie się z własnościami prostych obwodów prądu sinusoidalnego utworzonych z elementów RC. Poznanie zasad rysowania wykresów
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoZastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej
Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej dr inż. Olgierd Małyszko Katedra Elektroenergetyki i Napędów Elektrycznych, Wydział Elektryczny Zachodniopomorski Uniwersytet
Bardziej szczegółowoRuch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony
Ruch drgający Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony Ruchem drgającym nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Ruchy drgające dzielimy na ruchy: okresowe, nieokresowe. Ruch
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)
Bardziej szczegółowoWIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów
LABORATORIUM WIBROAUSTYI MASZYN Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Instytut Mechaniki Stosowanej Zakład Wibroakustyki i Bio-Dynamiki Systemów Ćwiczenie nr WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoBADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO
ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia
Bardziej szczegółowoBADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC
Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoProcedura modelowania matematycznego
Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie
Bardziej szczegółowoPojęcie funkcji. Funkcja liniowa
Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Wykład 2; rok akademicki 2016/2017 Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry
Bardziej szczegółowoSprawozdanie z zad. nr 4 Wahadło Matematyczne z Fizyki Komputerowej. Szymon Wawrzyniak / Artur Angiel / Gr. 5 / Poniedziałek 12:15
Sprawozdanie z zad. nr 4 Wahadło Matematyczne z Fizyki Komputerowej Szymon Wawrzyniak / Artur Angiel / Gr. 5 / Poniedziałek 12:15 =============================================== =========================
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
Bardziej szczegółowoRUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoPodstawowe człony dynamiczne
. Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoPOMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH
POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMNS Semestr zimowy studia niestacjonarne Wykład nr
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoWpływ nieliniowości elementów układu pomiarowego na błąd pomiaru impedancji
Wpływ nieliniowości elementów układu pomiarowego na błąd pomiaru impedancji Wiesław Miczulski* W artykule przedstawiono wyniki badań ilustrujące wpływ nieliniowości elementów układu porównania napięć na
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoWAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoDrgania, dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny. Katarzyna Weron
Drgania, dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny Katarzyna Weron Polecana literatura Polecam też skrypt: David Morin, Waves http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves Liniowość: Oscylator harmoniczny
Bardziej szczegółowoVII. Drgania układów nieliniowych
VII. Drgania układów nieliniowych 1. Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna siła zwrotna 1.1 Różniczkowe równanie ruchu Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do sprężyny o współczynniku
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoSiły wewnętrzne - związki różniczkowe
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami
Bardziej szczegółowoChaos w układach dynamicznych: miary i kryteria chaosu
: miary i kryteria chaosu Uniwersytet Śląski w Katowicach, Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 27.08.14 : miary i kryteria chaosu Temat tego referatu jest związany z teorią układów dynamicznych która ma
Bardziej szczegółowoSterowanie napędów maszyn i robotów
Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014 Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Zadanie przestawiania Postać modalna
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowoWykład 6 Drgania. Siła harmoniczna
Wykład 6 Drgania Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus albo
Bardziej szczegółowoDRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI
DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoRys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik
Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik gdzie: m-masa bloczka [kg], ẏ prędkośćbloczka [ m s ]. 3. W kolejnym energię potencjalną: gdzie: y- przemieszczenie bloczka [m], k- stała sprężystości, [N/m].
Bardziej szczegółowo17. 17. Modele materiałów
7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach
Bardziej szczegółowoBadania doświadczalne drgań własnych nietłumionych i tłumionych
Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl twitter.com/imiopolsl LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Badania
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr X ANALIZA DRGAŃ SAMOWZBUDNYCH TYPU TARCIOWEGO
Ćwiczenie nr X ANALIZA DRGAŃ SAMOWZBUDNYCH TYPU TARCIOWEGO Celem ćwiczenia jest zbadanie zachowania układu oscylatora harmonicznego na taśmociągu w programie napisanym w środowisku Matlab, dla następujących
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoPOMIAR PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU METODĄ REZONANSU I METODĄ SKŁADANIA DRGAŃ WZAJEMNIE PROSTOPADŁYCH
Ćwiczenie 5 POMIR PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU METODĄ REZONNSU I METODĄ SKŁDNI DRGŃ WZJEMNIE PROSTOPDŁYCH 5.. Wiadomości ogólne 5... Pomiar prędkości dźwięku metodą rezonansu Wyznaczanie prędkości dźwięku metodą
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoBADANIE PODŁUŻNYCH FAL DŹWIĘKOWYCH W PRĘTACH
Ćwiczenie 4 BADANIE PODŁUŻNYCH FAL DŹWIĘKOWYCH W PRĘTACH 4.1. Wiadomości ogólne 4.1.1. Równanie podłużnej fali dźwiękowej i jej prędkość w prętach Rozważmy pręt o powierzchni A kołowego przekroju poprzecznego.
Bardziej szczegółowo- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Bardziej szczegółowoRuch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.
Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania oscylacje to cykliczna
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoBADANIE REZONANSU W SZEREGOWYM OBWODZIE LC
BADANE EZONANSU W SZEEGOWYM OBWODZE LC NALEŻY MEĆ ZE SOBĄ: kalkulator naukowy, ołówek, linijkę, papier milimetrowy. PYTANA KONTOLNE. ównanie różniczkowe drgań wymuszonych. Postać równania drgań wymuszonych
Bardziej szczegółowoZałóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb
Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Bardziej szczegółowoWłasności dynamiczne przetworników pierwszego rzędu
1 ĆWICZENIE 7. CEL ĆWICZENIA. Własności dynamiczne przetworników pierwszego rzędu Celem ćwiczenia jest poznanie własności dynamicznych przetworników pierwszego rzędu w dziedzinie czasu i częstotliwości
Bardziej szczegółowoElektrotechnika I stopień Ogólno akademicki. Przedmiot kierunkowy. Obowiązkowy Polski VI semestr zimowy
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczenia jednopłaszczyznowe wyważanie wirników
Instrukcja do ćwiczenia jednopłaszczyznowe wyważanie wirników 1. Podstawowe pojęcia związane z niewyważeniem Stan niewyważenia stan wirnika określony takim rozkładem masy, który w czasie wirowania wywołuje
Bardziej szczegółowoWykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)
Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością
Bardziej szczegółowo