Wielomiany wielu zmiennych.

Wielomiany wielu zmiennych.

Definicja i uwaga: Niech R będzie dowolnym pierścieniem. Wielomianem zmiennych x 1,..., x n o współczynnikach z pierścienia R będziemy nazywali wyrażenie postaci ÿ a i1...i n x i 1 1... x in n, i 1,...,i nďm gdzie m P N, wskaźniki i 1,..., i n P N przebiegają wszystkie liczby nie większe niż m oraz a i1...i n P R. Dwa wielomiany uważamy za równe, gdy różnią się jedynie o składniki postaci 0 x i 1... x in, gdzie i 1,..., i n P N.

Bedziemy mówili, ze wielomian f ř i 1,...,i a nďm i 1...i n x i 1 1... x in n jest stopnia r, gdy istnieje taki różny od zera współczynnik a i1...i n, że i 1 `... ` i n r i a j1...j n 0 o ile j 1 `... ` j n ą r. Umowa ta nie określa stopnia wielomianu 0, przyjmujemy więc dodatkowo, ze stopniem wielomianu 0 jest 8. Stopień wielomianu f będziemy oznaczać przez degpf q. Wielomiany stopnia 1 będziemy nazywali liniowymi, a wielomiany stopnia 2 kwadratowymi. Wielomian postaci a x i 1 1... x in n, gdzie a P R oraz i 1,..., i n P N nazywamy jednomianem.

W zbiorze wszystkich wielomianów zmiennych x 1,..., x n o współczynnikach z pierścienia R definiujemy dodawanie ` i mnożenie, kładąc dla dowolnych wielomianów f ř i 1,...,i a nďm i 1...i n x i 1 1... x in n oraz g ř j 1,...,j b nďr j 1...j n x j 1 1... x jn n : f ` g ÿ k 1,...,k nďmaxtm,ru c k1...k n x k 1 1... xkn n gdzie $ & a k1...k n ` b k1...k n, gdy k 1,..., k n ď maxtm, ru, c k1...k n a k1...k n, gdy, dla pewnego wskaźnika k i, i P t1,..., nu, k i % b k1...k n, gdy, dla pewnego wskaźnika k i, i P t1,..., nu, k i oraz ÿ f g c k1...k n x k 1 1... xkn n gdzie c k1...k n k 1,...,k nďm`r ÿ 0ďl 1 ďk 1,...,0ďl nďk n a k1 l 1,...,k n l n b l1...l n.

Uwaga Niech R będzie dowolnym pierścieniem, prrx 1,..., x n s, `, q pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia R. Niech ponadto ÿ f a i1...i n x i 1 1... x in n P Rrx 1,..., x n s oraz g ÿ i 1,...,i nďm Wówczas: 1. degpf ` gq ď maxtdegpfq, degpgqu; 2. degpfgq ď degpfq ` degpgq; 3. jeśli j 1,...,j nďr f 0 ^ g 0 ^ R jest pierścieniem całkowitym, b j1...j n x j 1 to degpfgq degpfq ` degpgq.

Wniosek Niech R będzie dowolnym pierścieniem, prrx 1,..., x n s, `, q pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia R. Wówczas jeśli R jest pierścieniem całkowitym, to Rrx 1,..., x n s też.

Definicja Niech R i P będą dowolnymi pierścieniami, niech R Ă P i niech S Ă P będzie pewnym zbiorem. Zbiór S nazywamy algebraicznie niezależnym nad R, jeżeli zbiór tf P Rrs 1,..., s n s : n P N, s 1,..., s n P S, f jest jednomianemu jest liniowo niezależny nad pierścieniem R.

Twierdzenie (własność uniwersalna pierścienia wielomianów wielu zmiennych) Niech R będzie dowolnym pierścieniem, prrx 1,..., x n s, `, q pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia R. 1. Pierścień R ma następującą własność: @P pierścień @r 1,..., r n P P @φ : R Ñ P homomorfizm D!ψ : R rψpx i q r i, i P t1,..., nu ^ ψæ R φs. 2. Dla dowolnego rozszerzenia R Ă S oraz elementów s 1,..., s n P SzR algebraicznie niezależnych nad R i takich, że S Rrs 1,..., s n s, jeżeli @P pierścień @r 1,..., r n P P @φ : R Ñ P homomorfizm D!ψ : S rψps i q r i, i P t1,..., nu ^ ψæ R φs. to S Rrx 1,..., x n s i izomorfizm α : Rrx 1,..., x n s Ñ S jest jednoznacznie wyznaczony przez warunki

Definicja Niech R będzie dowolnym pierścieniem, prrx 1,..., x n s, `, q pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia R. 1. Dla dowolnego pierścienia P i jego elementu r P P oraz homomorfizmu φ : R Ñ P, jedyne przedłużenie ψ : Rrx 1,..., x n s Ñ P homomorfizmu φ takie, że rψpx i q r i, i P t1,..., nu ^ ψæ R φs nazwamy wartością wielomianów, a jego wartość dla wielomianu f P Rrx 1,..., x n s, ψpfq, wartością wielomianu f w punkcie pr 1,..., r n q P R n. Jeżeli wartość wielomianu f w punkcie pr 1,..., r n q P R n jest równa 0, to punkt pr 1,..., r n q P R n nazywamy miejscem zerowym (lub pierwiastkiem) f. Najczęściej rozważamy przypadek, gdy R P oraz φ id P. Wówczas ψpfq ψ ai1...i n x i 1 1... xin n ÿ ÿ ai1...i n r i 1 1... r in n.

Definicja i uwaga Niech R, P będą pierścieniami, a φ : P Ñ R homomorfizmem pierścieni. Wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm ψ : Rrx 1,..., x n s Ñ P ry 1,..., y n s taki, że ψpx i q y i, i P t1,..., nu oraz ψæ R φ. Ponadto jeśli φ jest różnowartościowy, to ψ jest różnowartościowy, a jeśli φ jest surjektywny, to ψ jest surjektywny. Homomorfizm ψ nazywamy homomorfizmem pierścieni wielomianów n zmiennych indukowanym przez homomorfizm współczynników.

Wniosek Niech R będzie dowolnym pierścieniem, prrx 1,..., x n s, `, q pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia R. Niech ponadto 0 f P Rrx 1,..., x n s. Wówczas: 1. jeśli R jest nieskończony, to dla pewnego pr 1,..., r n q P R n, fpr 1,..., r n q 0; 2. jeśli R jest nieskończony, to jedyny homomorfizm ψ : Rrx 1,..., x n s Ñ R Rn definiujący pierścień funkcji wielomianowych jest różnowartościowy.

Definicja Niech pi, ăq będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Jeżeli @i, j P IDk P Iri ă k ^ j ă ks, to wówczas pi, ăq nazywamy zbiorem skierowanym.

Uwaga Niech pi, ăq będzie zbiorem skierowanym, niech tr i : i P Iu będzie rodziną pierścieni indeksowaną elementami zbioru I taką, że @i, j P Irpi ă jq ñ pr i ă R j qs. W zbiorze Ť ipi R i definiujemy działania ` oraz następująco: jeśli a, b P Ť ipi R i, to a P R i, b P R j, dla pewnych i, j P I; ponieważ I jest skierowany, więc dla pewnego k P I zachodzi i ă k oraz j ă k, a zatem R i ă R k oraz R j ă R k, więc a, b P R k i możemy zdefiniować a ` b a `Rk b oraz a b a Rk b. Wówczas p Ť ipi R i, `, q jest pierścieniem.

Definicja i uwaga Niech R będzie pierścieniem, S pewnym zbiorem, a tx s : s P Su rodziną zmiennych indeksowaną elementami zbioru S. Dla dowolnego skończonego zbioru T ts 1,..., s n u Ă S definiujemy R T Rrx s1,..., x sn s. Wówczas pi, Ăq, gdzie I tt Ă S : cardt ă 8u jest zbiorem indeksowanym, zaś tr T : T P Iu rodziną pierścieni indeksowaną elementami zbioru I taką, że @T 1, T 2 P IrpT 1 Ă T 2 q ñ pr T1 ă R T2 qs. Wobec poprzedniej uwagi Ť T PI R T jest pierścieniem. Nazywamy go pierścieniem wielomianów nieskończonej liczby zmiennych ze zbioru tx s : s P Su o współczynnikach z R i oznaczamy Rrtx s : s P Sus.

Uwaga Niech R będzie dowolnym pierścieniem, S pewnym zbiorem, Rrtx s : s P Sus pierścieniem wielomianów nieskończonej liczby zmiennych ze zbioru tx s : s P Su o współczynnikach z pierścienia R. Niech ponadto Wówczas: f P Rrtx s : s P Sus oraz g P Rrtx s : s P Sus. 1. degpf ` gq ď maxtdegpfq, degpgqu; 2. degpfgq ď degpfq ` degpgq; 3. jeśli f 0 ^ g 0 ^ R jest pierścieniem całkowitym, to degpfgq degpfq ` degpgq.

Wniosek Niech R będzie dowolnym pierścieniem, S pewnym zbiorem, Rrtx s : s P Sus pierścieniem wielomianów nieskończonej liczby zmiennych ze zbioru tx s : s P Su o współczynnikach z pierścienia R. Wówczas jeśli R jest pierścieniem całkowitym, to Rrtx s : s P Sus też.

Twierdzenie (własność uniwersalna pierścienia wielomianów nieskończenie wielu zmiennych) Niech R będzie dowolnym pierścieniem, S pewnym zbiorem, Rrtx s : s P Sus pierścieniem wielomianów nieskończonej liczby zmiennych ze zbioru tx s : s P Su o współczynnikach z pierścienia R. 1. Pierścień R ma następującą własność: @P pierścień @λ : tx s : s P Su Ñ P odwzorowanie @φ : R Ñ P rψæ txs:spsu λ ^ ψæ R φs. 2. Dla dowolnego rozszerzenia R Ă R 1 i zbioru T Ă R 1 algebraicznie niezależnego nad R i takiego, że R 1 Rrtx t : t P T us, jeżeli @P pierścień @λ : tx t : t P T u Ñ P odwzorowanie @φ : R Ñ P rψæ txt:tpt u λ ^ ψæ R φs. to R 1 Rrtx t : t P T us i izomorfizm

Definicja Niech R będzie dowolnym pierścieniem, S pewnym zbiorem, Rrtx s : s P Sus pierścieniem wielomianów nieskończonej liczby zmiennych ze zbioru tx s : s P Su o współczynnikach z pierścienia R. Dla dowolnego pierścienia P i odwzorowanie λ : tx s : s P Su Ñ P oraz homomorfizmu φ : R Ñ P, jedyne przedłużenie ψ : Rrtx s : s P Sus Ñ P homomorfizmu φ takie, że rψæ txs:spsu λ ^ ψæ R φs nazwamy wartością wielomianów, a jego wartość dla wielomianu f P Rrtx s : s P Sus, ψpfq, wartością wielomianu f na zbiorze λptx s : s P Suq Ă P. Jeżeli wartość wielomianu f na zbiorze λptx s : s P Suq Ă P jest równa 0, to zbiór λptx s : s P Suq Ă P nazywamy miejscem zerowym (lub pierwiastkiem) f. Najczęściej rozważamy przypadek, gdy R P oraz φ id P.

Definicja i uwaga Niech R, P będą pierścieniami, S pewnym zbiorem, a φ : P Ñ R homomorfizmem pierścieni. Wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm ψ : Rrtx s : s P Sus Ñ P rty s : s P Sus taki, że ψpx s q y s, s P S oraz ψæ R φ. Ponadto jeśli φ jest różnowartościowy, to ψ jest różnowartościowy, a jeśli φ jest surjektywny, to ψ jest surjektywny. Homomorfizm ψ nazywamy homomorfizmem pierścieni wielomianów n zmiennych indukowanym przez homomorfizm współczynników.

Definicja Niech R będzie dowolnym pierścieniem, prrx 1,..., x n s, `, q pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia R. Wielomian 0 f ÿ i 1,...,i nďm a i1...i n x i 1 1... x in n P Rrx 1,..., x n s nazywamy wielomianem jednorodnym stopnia d (lub formą stopnia d) jeżeli @i 1,..., i n ď mrdegpa i1...i n x i 1 1... x in n q ds. Formy stopnia 1 nazywamy formami liniowymi, formy stopnia 2 formami kwadratowymi, formy stopnia 3 formami kubicznymi itd.

Uwaga Niech R będzie dowolnym pierścieniem, prrx 1,..., x n s, `, q pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia R. Wielomian 0 f ÿ i 1,...,i nďm a i1...i n x i 1 1... x in n P Rrx 1,..., x n s jest wielomianem jednorodnym stopnia d wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego pierścienia P, R ă P i dla każdego zbioru n ` 1 algebraicznie niezależnych nad R elementów a, b 1,..., b n P P zachodzi równość fpab 1,..., ab n q a d fpb 1,..., b n q.

Wielomiany symetryczne.

Definicja Niech n P N, niech R będzie pierścieniem. 1. Wielomian f P Rrx 1,..., x n s nazywamy wielomianem półsymetrycznym, jeżeli @σ P Apnqrfpx 1, x 2,..., x n q fpx σp1q, x σp2q,..., x σpnq qs. 2. Wielomian f P Rrx 1,..., x n s nazywamy wielomianem symetrycznym, jeżeli @σ P Spnqrfpx 1, x 2,..., x n q fpx σp1q, x σp2q,..., x σpnq qs. Zbiór wszystkich wielomianów symetrycznych oznaczamy R sym rx 1,..., x n s.

Przykłady: 1. Rozważmy fpx 1, x 2, x 3 q x 2 1 ` x2 2 ` x ` 32. Jest to wielomian symetryczny. 2. Rozważmy fpx 1, x 2, x 3 q x 1 x 2 x 3. Jest to wielomian symetryczny. 3. Rozważmy V px 1,..., x n q ś 1ďiăjďn px i x j q. Jest to wielomian półsymetryczny, nazywamy go wielomianem Vandermonde a. 4. Rozważmy V 2 px 1,..., x n q. Jest to wielomian symetryczny.

Uwaga Niech n P N, niech R będzie pierścieniem. Wówczas R sym rx 1,..., x n s jest pierścieniem.

Definicja Niech n P N, niech R będzie pierścieniem. Wielomiany: S 1 px 1,..., x n q x 1 `... ` x n S 2 px 1,..., x n q x 1 x 2 `... ` x 1 x n ` x 2 x 3 `... ` x 2 x n `... ` x n 1 x n S k px 1,..., x n q. ÿ 1ďi 1 ăi 2 ă...ăi k ďn S n px 1,..., x n q x 1... x n.. x i1 x i2... x ik nazywamy wielomianami symetrycznymi podstawowymi zmiennych x 1,..., x n.

Twierdzenie Niech n P N, niech F będzie ciałem. Wówczas wielomiany symetryczne podstawowe S 1,..., S n P F sym rx 1,..., x n s są algebraicznie niezależne nad F.

Dowód: Dowód prowadzimy przez indukcję względem n. Dla n 1 teza jest oczywista, załóżmy więc, że n ą 1 i że wielomiany symetryczne podstawowe n 1 zmiennych S1 1,..., S1 n 1 P F symrx 1,..., x 1 n 1s są algebraicznie niezależne. Przypuśćmy nie wprost, że istnieje wielomian λ P F ry 1,..., y n s taki, że λps 1,..., S n q 0. Niech ponadto λ będzie wielomianem możliwie najniższego stopnia.

Oczywiście S j px 1,..., x n 1, 0q S 1 j px 1,..., x n 1 q, dla j P t1,..., n 1u. Ponadto S n px 1,..., x n 1, 0q 0. Niech λpy 1,..., y n q ψ 0 py 1,..., y n 1 qy n n`ψ 1 py 1,..., y n 1 qy n 1 n `...`ψ n py 1,. Wobec tego: 0 λps 1 px 1,..., x n 1, 0q,..., S n px 1,..., x n 1, 0qq λps 1 1px 1,..., x n 1 q,..., S n 1 1px 1,..., x n 1 q, S n px 1,..., x n 1, 0qq ψ 0 ps 1 1px 1,..., x n 1 q,..., S 1 n 1px 1,..., x n 1 qq0 n ` ` ψ n ps 1 1px 1,..., x n 1 q,..., S 1 n 1px 1,..., x n 1 qq ψ n ps 1 1px 1,..., x n 1 q,..., S 1 n 1px 1,..., x n 1 qq.

Ponieważ S 1 1,..., S1 n 1 są algebraicznie niezależne, więc ψ n 0. Wobec tego: λpy 1,..., y n q y n pψ 0 py 1,..., y n 1 qyn n 1 `ψ 1 py 1,..., y n 1 qyn n 2 `...`ψ n a zatem ψ 0 ps 1,..., S n 1 qsn n 1 `ψ 1 ps 1,..., S n 1 qsn n 2 `...`ψ n 1 ps 1,..., S n 1 q i stopień wielomianu ψ 0 py 1,..., y n 1 qyn n 1 ` ψ 1 py 1,..., y n 1 qyn n 2 `... ` ψ n 1 py 1,..., y n 1 q jest mniejszy od stopnia wielomianu λ, zatem ψ 0 0,..., ψ n 1 0 i tym samym λ jest wielomianem zerowym, co daje sprzeczność.

Twierdzenie (zasadnicze twierdzenie teorii wielomianów symetrycznych) Niech n P N, niech F będzie ciałem. Wówczas wielomiany symetryczne podstawowe S 1,..., S n P F sym rx 1,..., x n s generują pierścień F sym rx 1,..., x n s.

Dowód: Wystarczy pokazać, że dla ustalonego wielomianu symetrycznego f P F sym rx 1,..., x n s istnieje wielomian G P F ry 1,..., y n s taki, że: f GpS 1,..., S n q. Dowód prowadzimy przez indukcję względem n. Dla n 1 teza jest oczywista, ustalmy więc n ą 1 i załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszelkich k ă n. Niech m deg f. Konstrukcję wielomianu G prowadzimy indukcyjnie względem m. Znowu, dla m 1 nie ma co robić, załóżmy więc, że m ą 1 i że stosowne wielomiany G zostały już skonstruowane dla f o stopniu l ă m.

Wielomian fpx 1,..., x n 1, 0q P F rx 1,..., x n s jest wielomianem symetrycznym n 1 zmiennych. Wobec założenia indukcyjnego istnieje wielomian G 1 P F ry 1,..., y n 1 s taki, że fpx 1,..., x n 1, 0q G 1 ps 1 1px 1,..., x n 1 q,..., S n 1 1px 1,..., x n 1 qq, gdzie S 1 1 px 1,..., x n 1 q,..., S 1 n 1 px 1,..., x n 1 q P F rx 1,..., x n 1 s są wielomianami symetrycznymi podstawowymi n 1 zmiennych.

Niech f 1 px 1,..., x n q fpx 1,..., x n q G 1 ps 1 px 1,..., x n q,..., S n px 1,..., x n qq. Wówczas f 1 jest wielomianem symetrycznym. Ponadto f 1 px 1,..., x n 1, 0q 0, więc x n f 1. Istnieje zatem h P F rx 1,..., x n s taki, że f 1 px 1,..., x n q x n hpx 1,..., x n q.

Ustalmy k P t1,..., nu i niech σ pk, nq P Spnq. Wówczas: f 1 px 1,..., x n q f 1 px σp1q,..., x σpnq q x k hpx σp1q,..., x σpnq q. Wobec tego x k f 1 px 1,..., x n q, dla k P t1,..., nu.

Ponieważ wielomiany x 1,..., x n są parami względnie pierwsze, więc w rezultacie x 1... x n f 1 px 1,..., x n q, czyli S n px 1,..., x n q f 1 px 1,..., x n q. Istnieje zatem g P F rx 1,..., x n s taki, że f 1 px 1,..., x n q S n px 1,..., x n qgpx 1,..., x n q. Oczywiście gpx 1,..., x n q jest wielomianem symetrycznym. Ponadto deg g deg f 1 deg S n deg f 1 n ă m.

Wobec założenia indukcyjnego istnieje wielomian G 2 P F ry 1,..., y n s taki, że gpx 1,..., x n q G 2 ps 1 px 1,..., x n q,..., S n px 1,..., x n qq. Zatem f 1 px 1,..., x n q S n px 1,..., x n qg 2 ps 1 px 1,..., x n q,..., S n px 1,..., x n qq, skąd fpx 1,..., x n q G 1 ps 1 px 1,..., x n q,..., S n 1 px 1,..., x n qq`s n px 1,..., x czyli G G 1 ` y n G 2.

Zauważmy przy okazji, że wielomian G jest wyznaczony w powyższym dowodzie jednoznacznie: gdyby bowiem istniały dwa wielomiany G, G 1 P F ry 1,..., y n s takie, że: GpS 1,..., S n q G 1 ps 1,..., S n q, to wówczas pg G 1 qps 1,..., S n q 0, co, wobec algebraicznej niezależności S 1,..., S n, daje G G 1 0, czyli G G 1.

Przykład: 5. Rozważmy fpx 1, x 2, x 3 q px 1 ` x 2 qpx 1 ` x 3 qpx 2 ` x 3 q. Odwołując się do notacji z dowodu zasadniczego twierdzenia teorii wielomianów symetrycznych, mamy: fpx 1, x 2, 0q px 1`x 2 qx 1 x 2 S 1 1px 1, x 2 qs 1 2px 1, x 2 q G 1 ps 1 1, S 1 2q, gdzie G 1 py 1, y 2 q y 1 y 2. Wówczas f 1 px 1, x 2, x 3 q fpx 1, x 2, x 3 q S 1 S 2 x 1 x 2 x 3, czyli f 1 px 1, x 2, x 3 q S 3 px 1, x 2, x 3 q, gpx 1, x 2, x 3 q 1 oraz G 2 py 1, y 2, y 3 q 1. Reasumując: f S 1 S 2 S 3.

Konstrukcja pierścienia ułamków względem zbioru multyplikatywnego.

Definicja Niech R będzie pierścieniem. Podzbiór S Ă R nazywamy podzbiorem multyplikatywnym, jeżeli 1. 1 P S, 0 R S, 2. @a, b P Spab P Sq.

Przykłady: 1. Niech R będzie pierścieniem. Wówczas S UpRq jest podzbiorem multyplikatywnym. 2. Niech R będzie pierścieniem całkowitym. Wówczas S Rzt0u jest podzbiorem multyplikatywnym. 3. Niech R będzie pierścieniem, I Ÿ R ideałem pierwszym. Wówczas S RzI jest podzbiorem multyplikatywnym. 4. Niech R Z. Wówczas S t2 k : k P N Y t0uu jest podzbiorem multyplikatywnym.

Twierdzenie Niech R ts i : i P Iu będzie rodziną podzbiorów multyplikatywnych pierścienia R; 1. Ş ipi S i jest podzbiorem multyplikatywnym pierścienia R, 2. Ť ipi S i jest podzbiorem multyplikatywnym pierścienia R, o ile R jest łańcuchem.

Definicja Niech R będzie pierścieniem oraz A Ă UpRq pewnym zbiorem. Najmniejszy w sensie inkluzji podzbiór multyplikatywny pierścienia R zawierający zbiór A (tj. przekrój wszystkich podzbiorów multyplikatywnych pierścienia R zawierających A) nazywamy podzbiorem multyplikatywnym generowanym przez A.

Definicja i uwaga Niech R będzie pierścieniem oraz S Ă R podzbiorem multyplikatywym. W zbiorze R ˆ S definiujemy relację warunkiem pa 1, s 1 q pa 2, s 2 q wtw. Ds 0 P Srs 0 pa 1 s 2 a 2 s 1 q 0s. Wówczas relacja jest relacją równoważnościową. Klasę abstrakcji rpa, sqs nazywamy ułamkiem o liczniku a i mianowniku s i oznaczamy a s. Zbiór klas abstrakcji relacji oznaczamy przez S 1 R. W zbiorze S 1 R definiujemy element zerowy jedynkę dodawanie 0 1, 1 1, a 1 s 2 ` a2 s 2 a 1s 2 ` a 2 s 1 s 1 s 2,

Definicja i uwaga Niech R będzie pierścieniem oraz S Ă R podzbiorem multyplikatywym. Odwzorowanie λ : R Ñ S 1 R dane wzorem λpaq a 1 jest homomorfizmem. Nazywamy go homomorfizmem kanonicznym. Ponadto λpsq Ă UpS 1 Rq.

Twierdzenie Niech R będzie pierścieniem oraz S Ă R podzbiorem multyplikatywym. Homomorfizm kanoniczny λ : R Ñ S 1 R jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy S Ă RzDpRq.

Dowód. pðq : Ustalmy a, b P R i załóżmy, że λpaq λpbq. Wówczas a 1 b 1, a zatem dla pewnego s 0 P S: s 0 pa bq 0. Ponieważ s 0 nie jest dzielnikiem zera, więc a b 0, czyli a b. pñq : Załóżmy, że s 0 P S jest dzielnikiem zera, czyli s 0 a 0 dla pewnego a P Rzt0u. Wówczas s 0 pa 0q 0, czyli a 1 0 1, a zatem λpaq λp0q więc λ nie jest różnowartościowe.

Wniosek Niech R będzie pierścieniem całkowitym oraz S Ă R podzbiorem multyplikatywym. Wówczas homomorfizm kanoniczny λ : R Ñ S 1 R jest różnowartościowy.

Definicja i uwaga Niech R będzie pierścieniem całkowitym oraz S Rzt0u. Wówczas homomorfizm kanoniczny λ : R Ñ S 1 R jest różnowartościowy, a pierścień S 1 R jest ciałem (to znaczy każdy pierścień całkowity można zanurzyć w ciało). Ciało S 1 R nazywamy ciałem ułamków pierścienia całkowitego R i oznaczamy prq.

Dowód. Wystarczy pokazać, że S 1 R jest ciałem. Ustalmy a s P S 1 Rzt 0 1 u. Pokażemy, że a s P UpS 1 Rq. Zauważmy, że a 0: istotnie, przypuśćmy, że a 0. Wówczas a s 0 s 0 1, co daje sprzeczność. Wobec tego s a P S 1 R. Ponadto a s s a 1 1.

Przykłady: 5. Niech R Z. Wówczas Q pzq jest ciałem ułamków Z. 6. Niech R F rx 1,..., x n s będzie pierścieniem wielomianów n zmiennych nad ciałem F. Wówczas ciało ułamków pierścienia R oznaczamy F px 1,..., x n q i nazywamy ciałem funkcji wymiernych a jego elementy funkcjami wymiernymi n zmiennych.

Twierdzenie (własność uniwersalna pierścienia ułamków) Niech P, R będą pierścieniami, S Ă P zbiorem multyplikatywnym, niech φ : P Ñ R będzie homomorfizmem takim, że φpsq Ă UpRq. Wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm ψ : S 1 P Ñ S 1 R taki, że ψ λ φ, gdzie λ : P Ñ S 1 P jest homomorfizmem kanonicznym. Ponadto jeśli φ jest różnowartościowy, to ψ jest różnowartościowy. Inaczej: diagram P φ 2222222 λ 2 ψ S 1 P R

Dowód: Zdefiniujmy odwzorowanie ψ : S 1 P Ñ R wzorem ψp a s q φpaqpφpsqq 1 dla a s P S 1 P.

Pokażemy, że ψ jest dobrze określone. Istotnie, ustalmy a s P S 1 P i niech a s a1 s. Wobec tego istnieje element s 1 0 P S taki, że s 0 pas 1 a 1 sq 0. Zatem φps 0 pas 1 a 1 sqq φps 0 qpφpaqφps 1 q φpa 1 qφpsqq 0. Ponieważ φps 0 q P UpRq, więc φpaqφps 1 q φpa 1 qφpsq 0, a stąd ψp a s q φpaqpφpsqq 1 φpa 1 qpφps 1 qq 1 ψp a1 s 1 q.

Bez trudu sprawdzamy, że ψ jest homomorfizmem oraz że jeśli φ jest różnowartościowy, to ψ jest różnowartościowy. Pokażemy, że ψ λ φ. Ustalmy w tym celu a P P. Mamy: ψ λpaq ψpλpaqq ψp a 1 q φpaqpψp1qq 1 φpaq.

Pozostaje wykazać, że ψ jest wyznaczone jednoznacznie. Niech bowiem ψ 1, ψ 2 : S 1 P Ñ S 1 R będą takimi homomorfizmami, że ψ 1 λ φ oraz ψ 2 λ φ. Ustalmy a s P S 1 P. Mamy: ψ 1 p a s q ψ 1p a 1 1 s q ψ 1p a 1 q ψ 1p 1 s q ψ 1p a 1 q pψ 1p s qq 1 1 ψ 1 pλpaqqpψ pλpsqqq 1 1 ψ 1 λpaq pψ 2 λpaqq 1 φpaqpψpsqq 1 ψ 2 p a s q.

Wniosek Niech P będzie pierścieniem całkowitym, niech R będzie dowolnym pierścieniem, S Ă P zbiorem multyplikatywnym, niech φ : P Ñ R będzie homomorfizmem takim, że φpsq Ă UpRq. Wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm ψ : S 1 P Ñ S 1 R taki, że ψ λ φ, gdzie λ : P Ñ S 1 P jest homomorfizmem kanonicznym. Ponadto jeśli φ jest różnowartościowy, to ψ jest różnowartościowy. Inaczej: diagram P φ 2222222 λ 2 ψ S 1 P R

Wniosek Niech P będzie pierścieniem całkowitym, niech F będzie dowolnym ciałem, niech φ : P Ñ F będzie homomorfizmem różnowartościowym. Wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm różnowartościowy ψ : pp q Ñ F taki, że ψ λ φ, gdzie λ : P Ñ pp q jest homomorfizmem kanonicznym. Ponadto jeśli φ jest różnowartościowy, to ψ jest różnowartościowy. Inaczej: diagram φ P 5555555 F λ 5 ψ pp q jest przemienny (to znaczy dla każdego pierścienia całkowitego jego ciało ułamków jest najmniejszym ciałem, w jaki pierścień ten można zanurzyć).