Domnk Krężołek Unwersytet Ekonomczny w Katowcach MIARY ZALEŻNOŚCI ANALIZA AYYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU MEALI NIEŻELAZNYCH Wprowadzene zereg czasowe obserwowane na rynkach kaptałowych oraz towarowych cechują sę wysokm pozomem zmennośc w czase, a także wykazują charakter nelnowy. W przypadku zwększana sę stopna zmennośc cen aktywów na rynku oraz gdy ch stopy zwrotu generują wartośc ujemne można obserwować właśne jednokerunkowe zmany cen analzowanych walorów. Zwązk tego rodzaju występują równeż w sytuacj pojawena sę obserwacj w szeregu czasowym, które w stotnym stopnu odchylają sę od wartośc oczekwanej. Dodatkowo stopy zwrotu cechują sę asymetrą, wysokm wskaźnkem leptokurtozy oraz brakem normalnośc rozkładu. Wspomnane charakterystyk, stanowące stotny punkt przy wyborze modelu opsującego charakter szeregu, powodują, ż współczynnk korelacj lnowej Pearsona, merzący lnowy zwązek pomędzy dwema zmennym losowym, ne jest do końca odpowedną marą zależnośc. Problem ten może zostać rozwązany poprzez zastosowane alternatywnych mernków, takch jak tau Kendalla czy rho pearmana 3. Ponadto ważnym zagadnenem jest analza zależnośc występujących w ogonach rozkładów prawdopodobeństwa analzowanych stóp zwrotu, co jest szczególne stotne z punktu wdzena zarządzana ryzykem nwestycyjnym. 3 E.F. Fama: he Behavor of tock Market Prces. Journal of Busness 965, Vol. 38, No., s. 34-05. B. Mandelbrot: he Varaton of Certan peculatve Prces. Journal of Busness 963, Vol. 36, No. 4, s. 394-49. Określany także w lteraturze jako współczynnk korelacj rang [przyp. aut.].
60 Domnk Krężołek. Korelacje lnowe Współczynnk korelacj lnowej jest jedną z najpowszechnej wykorzystywanych mar zależnośc zarówno w analze rynków kaptałowych, towarowych, walutowych, jak w ubezpeczenach 4. Mając dwe zmenne losowe oraz Y, współczynnk korelacj lnowej jest określony jako: (, Y ) ( ) D( Y ) cov ρ (, Y ) =. (.) D Powyższy wzór zachodz pod warunkem, że warancje zmennych losowych oraz Y stneją. Wyrażene cov (,Y ) określa kowarancję pomędzy zmennym losowym oraz Y. Współczynnk ρ (,Y ) jest określony jako współczynnk korelacj lnowej, poneważ jego znajomość jest równoważna znajomośc współczynnka β równana regresj lnowej Y = β + ε, gdze ε jest resztą, która jest lnowo neskorelowana z. Zachodz zatem: ( ) ( ) D ρ = β. (.) D Y Zmenne losowe cechujące sę wartoścam ndeksu ogona 5 ponżej dwóch ne posadają skończonej warancj, stąd współczynnk korelacj ne może być zastosowany. Natomast gdy stneje czwarty moment centralny, wtedy współczynnk korelacj stneje, ale jego estymator, oparty na próbe o rozmarze {( )} Y,, dany wzorem: = ( )( Y Y ) = ˆρ =, (.3) ( ) ( Y Y ) = gdze oraz Y oznaczają odpowedno wartośc średne zmennych losowych oraz Y, ne jest do końca odpowedn, poneważ jego asymptotyczny rozkład jest rozkładem Lévy ego, a ne Gaussa. Zatem współczynnk korelacj z próby może wykazywać stotne odchylena od swojej rzeczywstej wartośc, = 4 5 Y. Malevergne, D. ornette: Extreme Fnancal Rsk. From Dependence to Rsk Management. prnger-verlag, Berln, Hedelberg 006. Określany w lteraturze jako parametr kształtu, ndeks stablnośc; mara grubośc ogona rozkładu zmennej losowej [przyp. aut.].
Mary zależnośc analza statystyczna na przykładze 6 dostarczając newłaścwych oszacowań. Jest to duży problem w modelowanu danych fnansowych 6. Rozważając dwe nezależne zmenne losowe łatwo wskazać, że współczynnk korelacj pomędzy nm wynos zero. Nemnej jednak zależność odwrotna ne stneje. Zatem mając zmenną losową ω posadającą rozkład jednostajny na przedzale 0,π, można zdefnować parę zmennych losowych U oraz V następująco 7 : (, V ) = ( cosω, sn ω) U. (.4) Przyjmując określene dane wzorem.4, zachodz, że ρ ( U, V ) = 0, nawet jeśl dwe zmenne losowe U oraz V ne są nezależne. Bardzej wyrazsta jest sytuacja, gdy znajomość jednej zmennej losowej całkowce określa drugą zmenną losową. Dla przykładu zmenna losowa U ma rozkład jednostajny na przedzale 0,, natomast zmenna losowa V jest zdefnowana jako: V V U =, U 0, θ θ, (.5) U =, U θ, θ dla pewnego θ 0,. Można łatwo wykazać, że zmenna losowa V równeż ma rozkład jednostajny na przedzale 0, oraz że zachodz: (, V ) = θ ρ U. (.6) Zatem U oraz V są neskorelowane dla θ = 0, 5, podczas gdy zmenna losowa V może być jednoznaczne wyznaczona za pomocą zmennej losowej U 8. Jeśl dwe zmenne losowe oraz Y są zależne w sposób lnowy za pomocą relacj: Y = α + β, (.7) 6 7 8 M.M. Meerschaert, H. cheffler: ample Cross-correlatons for Movng Averages wth Regularly Varyng als. Journal of me eres Analyss 00, Vol., No. 4, s. 48. Y. Malevergne, D. ornette: Op. ct., s. 48. Ibd., s. 49.
6 Domnk Krężołek to współczynnk korelacj ρ (, Y ) = ± zależne od tego, czy parametr β przyjmuje dodatną lub ujemną wartość. W tym przypadku zachodz także relacja odwrotna. Wynka to z określena: ρ (, Y ) E = mn α, β [( Y ( α + β )) ] D ( Y ), (.8) gdze E [] oznacza wartość oczekwaną łącznego rozkładu zmennych losowych oraz Y, natomast ρ (,Y ) jest określone jako współczynnk determnacj wskazuje procent warancj zmennej losowej Y, która jest tłumaczona poprzez zmenną losową. Za pomocą nerównośc Cauchy ego-chwartza wynka, że we wzorze. współczynnk korelacj ρ,. Jednakże mając dane dwe zmenne losowe oraz Y o ustalonych rozkładach brzegowych, posadających funkcje dystrybuanty F oraz F Y, ne zawsze współczynnk korelacj może osągnąć swoje wartośc granczne ±. Można wykazać, że dla dowolnego dwuwymarowego rozkładu o dystrybuance F zachodz nerówność Frécheta-Hoeffdnga 9 : { F ( x) + FY ( y),0} F( x, y) ( x, y) mn{ F ( x), F ( y) } max F ym samym, stosując tożsamość Hoeffdnga: (, Y ) [ F( x, y) F ( x) F ( y) ] Y. (.9) ρ = dxdy, (.0) można doweść, że mając dane funkcje dystrybuanty F oraz F Y, współczynnk korelacj ρ zawera sę pomędzy ρ mn oraz ρ max, gdze ρ mn jest osągane dla przecwne monotoncznych zmennych losowych oraz Y, natomast ρ max jest osągane dla współmonotoncznych zmennych losowych oraz Y. Dla przykładu 0, mając dane dwe zmenne losowe o logarytmczno- ~ log N 0, Y ~ log N 0,σ, -normalnych rozkładach brzegowych: ( ) oraz ( ) Y 9 J. Dhaene, M.J. Goovaerts: Dependency of Rsks and top-loss Order. Austn Bulletn 996, Vol. 6, No., s. 04. 0 P. Embrechts, A.J. McNel, D. traumann: Correlaton and Dependence n Rsk Management: Propertes and Ptfalls. W: Rsk Management: Value at Rsk and Beyond. Ed. M.A.H. Dempster. Cambrdge 00, s. 76-3.
Mary zależnośc analza statystyczna na przykładze 63 dolna oraz górna granca dla współczynnka korelacj lnowej ρ (,Y ) są dane odpowedno wzoram: ρ Z ( e Z σ Z mn = ρ, e ) oraz ( e Z σ ρ ρ, e ) max =, (.) gdze Z jest zmenną losową o rozkładze normalnym standardowym. Bezpośredne oblczena z wykorzystanem zwązku : α [ e ] e α E Z =, (.) umożlwają wyznaczene wartośc grancznych jak ponżej: ρ ρ mn max = = e σ σ ( e )( e ) e σ σ ( e )( e ). (.3) Współczynnk korelacj jest nezmennczy ze względu na rosnące przekształcene afnczne zmennych w postac: poneważ ρ (, Y ) = ρ(, Y ). = a + b, a > 0, (.4) Y = c Y + d, c > 0, (.5) Nemnej jednak ta własność ne może zostać uogólnona na jakekolwek (nelnowe) rosnące przekształcene. en brak nezmennczośc w zwązku z nelnowym zmanam zmennych losowych wynka z faktu, że współczynnk korelacj agreguje nformacje z rozkładów brzegowych obu zmennych losowych oraz rzeczywstą strukturę zależnośc, którą można analzować z wykorzystanem funkcj kopul.. Korelacje lokalne Zamast koncentrować sę na defnowanu korelacj w kontekśce ogólnym, można także sę skupć na lokalnej lnowej zależnośc pomędzy dwema zmennym losowym. Podejśce to, zaproponowane przez Doksuma et al., po- Y. Malevergne, D. ornette: Op. ct., s. 50.
64 Domnk Krężołek zwala badać słę korelacj jako funkcję wartośc realzacj zmennych losowych. Umożlwa to znalezene odpowedz na pytane, czy korelacja jest stała czy też ulega zmane, gdy realzacje zmennych losowych są typowe lub ne. Problem ten ma szczególne znaczene w przypadku zjawska zarażana sę rynków. Defnowane lokalnego współczynnka korelacj jest sprawą naturalną. Należy wyjść z założena, że w przypadku podejśca lnowego, jeśl dwe zmenne losowe oraz Y są zależne poprzez relację : Y = α + β + ε, (.) gdze składnk losowy ε jest nezależny (lub przynajmnej neskorelowany) od zmennej losowej, wówczas współczynnk korelacj ma postać: ρ = β β σ σ + σ ε, (.) gdze σ oraz σ ε oznaczają odpowedno warancje zmennej losowej oraz składnka losowego ε. Nemnej jednak można przyjąć bardzej ogólną relację pomędzy zmennym losowym oraz Y 3 : σ () ( ) + σ ( ) ε Y = f (.3) oraz ε = f jest funkcją różnczkowalną. W sąsedztwe = x0 można dokonać lnearyzacj relacj określonej wzorem.3 jako: [ f ( x ) x f ( x )] + f ( x ) ( )ε 0 0 0 0 σ x 0 Y = + (.4) oraz, poprzez analogę do wzoru., zdefnować lokalny współczynnk korelacj lnowej jako: ρ ( x ) 0 f ( x0 ) σ ( x0 ) ( x ) σ ( x ) + σ ( x ) =. (.5) f 0 Można bezpośredno sprawdzć, czy lokalny współczynnk korelacj redu- f jest odwzorowanem af- kuje sę do współczynnka korelacj lnowej, gdy ( ) 0 0. Bjerve, K. Doksum: Correlaton Curves: Measures of Assocaton as Functons of Covarate Values. he Annals of tatstcs 993, Vol., No., s. 89. 3 Ibd., s. 893.
Mary zależnośc analza statystyczna na przykładze 65 ncznym oraz σ ( x) jest stałe. Dodatkowo lokalny współczynnk korelacj ρ ( x) posada te same własnośc, co współczynnk korelacj lnowej ρ : ρ, ( x), ρ ( x) jest nezmenny ze względu na (rosnące) odwzorowane lnowe zarówno zmennej losowej, jak zmennej losowej Y, ρ ( x) = 0 dla każdego x, jeśl zmenne losowe oraz Y są nezależne. Ponadto, jednocześne w opozycj do współczynnka korelacj lnowej, lokalny współczynnk korelacj przyjmuje wartośc granczne tylko wtedy, gdy σ ( x) jest równe zero (znak zależy od pochodnej funkcj f ( ) ), zatem gdy Y = f ( ). ym samym lokalny współczynnk korelacj ne uwzględna negatywnej właścwośc współczynnka korelacj lnowej, ż zankające wartośc blske zero mogą zostać osągnęte nawet wtedy, gdy zmenne losowe oraz Y są determnstyczne zależne jedna od drugej 4. 3. Uogólnona korelacja pomędzy N > zmennym losowym Współczynnk korelacj ρ jest marą lnowej zależnośc pomędzy dwema zmennym losowym. Można przedstawć jego uogólnene dla N zmennych losowych. Nech ( t) oznacza losowy wektor składający sę z N składnków, przykładowo wektor stóp zwrotu N aktywów fnansowych, tworzących portfel nwestycyjny. W perwszej kolejnośc należy oszacować wartośc średne składnków wektora losowego () t, a następne odjąć te wartośc od wektora () t dla t =,..., L, gdze L oznacza rozmar próby (równy przykładowo wybranej długośc przedzału czasowego wykorzystanego do estymacj). Celem uproszczena zapsu nech () t oznacza teraz wektor scentrowany. Estymator z próby macerzy kowarancj N zmennych losowych na próbe o długośc L można zapsać jako 5 : L. (3.) () t = () t () t L t= Dokonując podzału zboru N składowych wektora ( t) otrzymano: skalar () t utworzony z jednej ze składowych oraz ( ) na dwe częśc, N - 4 Ibd., s. 896. 5 A.A. Lyubushn Jr.: Robust Wavelet-aggregated gnal for Geophscal Montorng Problems. Izvestya, Physcs of the old Earth 00, Vol. 38, No. 9, s. 5.
66 Domnk Krężołek -wymarowy wektor kolumnowy przedstawony w postac ξ () [ () () ( ) ( )] t = t,..., t, + t,..., N t stworzony z pozostałych składnków. Mnożąc (loczyn skalarny) każdy wektor ξ przez neznany wektor φ, otrzymano zbór wartośc skalarów ζ = φ ξ. Zagadnene polega na wyszukanu wektora φ, który tworzy kwadrat współczynnka korelacj pomędzy dwoma zmennym losowym oraz ζ jako problem maksmum. Podejśce to stanow przykład zastosowana klasycznego rozwązana zaproponowanego przez Hotellnga dotyczącego korelacj kanoncznej: wektor φ jest zdefnowany jako wektor własny odpowadający maksymalnej wartośc własnej (która jest równa maksymalnemu współczynnkow korelacj pomędzy dwema zmennym losowym oraz ζ ) w postac macerzy o wymarach ( N ) ( N ) ξ ξ ξ 6 : ξ, (3.) gdze: = cov (, ), (, ξ ), = = cov ξ ξ (3.3) = cov( ξ, ξ ). ξ ξ Macerze we wzorach 3. oraz 3.3 są podmacerzam ogólnej N N - -wymarowej macerzy kowarancj = cov(, ), której oszacowane jest dane wzorem 3.. Zatem zastępując macerz oraz jej podmacerze we wzorach 3. oraz 3.3 przez jej oszacowane dane wzorem 3., można wyznaczyć wektor φ oraz zbór wartośc skalarów ζ dla =,..., N. Maksymalna wartość własna macerzy danej wzorem 3. jest określana jako współczynnk kanonczny N-korelacj pomędzy zmenną losową pozostałym ( N ) zmennym losowym. Wykonując tę samą operację na wszystkch pozostałych składowych wektora, można otrzymać N-wymarowy wektor współczynnków kanoncznych N-korelacj równy najwększej wartośc własnej macerzy określonej wzorem 3. dla =,..., N. Dla N = ( N ) -wymarowa macerz dana wzorem 3. redukuje sę do kwadratu standardowego współczynnka korelacj pomędzy dwema zmennym losowym. 6 Ibd., s. 5.
Mary zależnośc analza statystyczna na przykładze 67 Odmenną, ale równoważną formę zapsu uprzedno zaprezentowanych zależnośc przedstawono ponżej. Nech dane będze zagadnene regresj zmennej losowej N -wymarowym wektorze losowym określonym jako na ( ) () t = [ () t () t, ( t),.., ( t) ], tj. rozwnęce wektora φ współ- ξ,..., + N czynnków regresj w postac lnowej 7 : = φ j j + ε = ξ + j φ ε, (3.4) gdze ε reprezentuje składnk resztowy równana regresj. Jeśl wektor φ jest zdefnowany poprzez metodę MNK, rozwązując problem optymalzacyjny: L ( ξ ) mn t = φ, (3.5) w odnesenu do wektora φ, wówczas jego oszacowane można w łatwy jednoznaczny sposób uzyskać jako: φˆ ξ. (3.6) = ξ Nech ξ = φ ξ oznacza udzał w regresj określonej wzorem 3.4 oszacowana zadanego wzorem 3.6. Poneważ: ˆ ˆ ξ (, ξˆ ) = cov(, ) ξξ ξ ξ = ξ ξξ ξ cov, (3.7) wynka stąd, że współczynnk korelacj pomędzy φˆ a jest równy skalarow ξ ξξ ξ, czyl jest maksymalną wartoścą macerzy własnej określonej wzorem 3.. tąd kanonczny współczynnk N-korelacj 8 : N = ξ ξξ ξ ρ (3.8) może być określony z rozwązana problemu regresj danego wzoram 3.4 oraz 3.5. Zależność pomędzy dwoma wskazanym powyżej rozwązanam ma swoje korzene w podobnej zależnośc pomędzy korelacją lnową a współczynnkem regresj lnowej. Ponowne, kanonczny współczynnk N-korelacj jest nezmenny ze względu na transformację lnową każdej ze zmennych losowych, jednakże ne pozostaje on nezmenony ze względu na nelnowe, monotonczne transformacje. 7 Ibd., s. 6. 8 Y. Malevergne, D. ornette: Op. ct., s. 54.
68 Domnk Krężołek 4. Mary zgodnośc podobeństwa: tau Kendalla oraz rho pearmana Fundamentalny problem zwązany z zarządzanem ryzykem na rynkach fnansowych dotyczy zagadnena jednoczesnych jednokerunkowych zman cen analzowanych walorów. Jeżel rozwązane tej kwest jest twerdzące, wówczas dywersyfkacja ryzyka byłaby prawdopodobne trudna, gdyż opera sę ona na założenu, że spadek ceny jednego aktywu jest statystyczne zblansowany wzrostem ceny nnego. Naturalną drogą do określena tendencj aktywów fnansowych do wspólnych, jednokerunkowych zman jest porównane prawdopodobeństwa wspólnego wzrostu (lub spadku) ch ceny z prawdopodobeństwem, że cena jednego z tych dwóch aktywów wzrośne (lub spadne), podczas gdy cena drugego odpowedno spadne (lub wzrośne). Można to zapsać matematyczne w następujący sposób: Zaczynając od dwóch nezależnych realzacj (,Y ) oraz (,Y ) zmennych losowych (, Y ), można wyznaczyć welkość 9 : τ ( Y ) = Pr[ ( ) ( Y Y ) > 0] Pr[ ( ) ( Y Y ) 0], < pary. (4.) Rozważając prawą stronę wzoru 4., perwsza jego część określa prawdopodobeństwo zgodnośc (konkordancj), tj. prawdopodobeństwo tego, że zmenne losowe oraz Y zmenają sę w jednym kerunku (wzrost lub spadek). Z kole druga część wzoru 4. określa prawdopodobeństwo nezgodnośc, tj. prawdopodobeństwo tego, że zmenne losowe oraz Y zmenają sę w przecwnym kerunku. Wyrażene określone wzorem 4. defnuje tzw. współczynnk tau Kendalla (dotyczący populacj). Welkość ta jest nezmenna ze względu na przekształcena rozkładów brzegowych. W stoce zakładając dowolne rosnące odwzorowane G oraz G, zachodz 0 : Y ( ) G ( ) ( Y ) G ( ), (4.) Y. (4.3) G Y GY Y Y Zakładając cągłą postać zmennych losowych oraz Y, określene tau Kendalla dane wzorem 4. można przedstawć jako: ( Y ) = P[ ( ) ( Y Y ) > 0] τ. (4.4), 9 R. Doman: Zastosowane kopul w modelowanu dynamk zależnośc na rynkach fnansowych. Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego, Poznań 0, s. 6. 0 Y. Malevergne, D. ornette: Op. ct., s. 55.
Mary zależnośc analza statystyczna na przykładze 69 Współczynnk tau Kendalla przyjmuje wartośc określone na przedzale,. Dolna granca określonośc współczynnka jest osągana wtedy tylko wtedy, gdy zmenne losowe (, Y ) są przecwne monotonczne, natomast górna granca wtedy tylko wtedy, gdy zmenne losowe (, Y ) są współmonotonczne. Ponadto współczynnk tau Kendalla przyjmuje wartość zero dla nezależnych zmennych losowych. Jednakże, jak w przypadku współczynnka korelacj (lnowej), współczynnk tau może przyjmować wartośc oscylujące wokół zera dla zmennych losowych nebędących zmennym nezależnym. Inna mara zgodnośc oraz podobeństwa zmennych losowych została zaproponowana przez pearmana. Nech dana będze para nezależnych realzacj zmennych losowych (, Y ), tj. (,Y ) oraz (,Y ). ym samym współczynnk rho pearmana jest określony następującym wzorem : ρ ( Y ) = 3[ Pr[ ( ) ( Y Y ) > 0] Pr[ ( ) ( Y Y ) 0 ], <. (4.5) Dodatkowo, rozważając dwe zmenne losowe (, Y ) o rozkładach brzegowych określonych dystrybuantam zapsać za pomocą formuły: F oraz F Y, współczynnk rho pearmana można ( F, FY ) ( F ) D ( F ) cov ρ (, Y ) =. (4.6) D Pomędzy współczynnkem tau Kendalla a rho pearmana zachodz zwązek : 3τ (, Y ) τ ρ (, Y ) (, Y ) + τ (, Y ) τ ρ (, Y ) τ (, Y ) (, Y ) 3τ Y (, Y ), τ +, τ (, Y ) 0 (, Y ) 0, (4.7). (4.8) Współczynnk rho pearmana, podobne jak tau Kendalla, przyjmuje wartośc określone na przedzale,. Dolna granca określonośc współczynnka, są przecwne monotonczne, natomast górna granca wtedy tylko wtedy, gdy zmenne losowe (, Y ) są współmonotonczne. Współczynnk rho pearmana przyjmuje wartość zero dla nezależnych zmennych losowych. jest osągana wtedy tylko wtedy, gdy zmenne losowe ( Y ) R. Doman: Op. ct., s. 6. W.H. Kruskal: Ordnal Measures of Assocaton. Journal of the Amercan tatstcal Assocaton 958, No. 53, s. 84-86.
70 Domnk Krężołek 5. Zależnośc w ogonach rozkładów Jak wspomnano we wprowadzenu, ważnym zagadnenem w analze ryzyka nwestycyjnego jest wykrywane badane zależnośc występujących w ogonach rozkładów prawdopodobeństwa analzowanych stóp zwrotu. Problem polega na szacowanu prawdopodobeństwa tego, że zmenne losowe oraz Y będą jednocześne przyjmować wartośc stotne oddalone od centralnej częśc ch rozkładu. Zagadnene sprowadza sę zatem do oszacowana prawdopodobeństwa tego, że zmenna losowa Y przekroczy kwantyl rzędu α pod warunkem, że przekroczy go także zmenna losowa. ym samym można zdefnować współczynnk określające zależnośc w górnym oraz dolnym ogone rozkładu. Zakładając, że zmenne losowe oraz Y posadają dystrybuanty brzegowe określone odpowedno jako F oraz F Y, można zdefnować 3 : współczynnk zależnośc w dolnym ogone: L λ ( Y F ( α ) F ( α )) = lm+ Y α 0 współczynnk zależnośc w górnym ogone: gdze F oraz U λ P, (5.) ( Y > F ( α ) > F ( α )) = lm Y α P, (5.) F Y oznaczają funkcje kwantylowe reprezentujące zmenne losowe oraz Y. Powyższe wzory zachodzą przy założenu stnena rozważanych granc. Przedstawone współczynnk zależnośc w dolnym górnym ogone rozkładu pozwalają określć prawdopodobeństwo jednoczesnego wystąpena ekstremalnych realzacj zmennych losowych oraz Y. Jeżel wartośc współczynnka λ (nezależne od ogona rozkładu) przyjmują wartośc dodatne, ekstremalne realzacje obu zmennych losowych wystąpą równocześne z prawdopodobeństwem warunkowym równym λ. Natomast jeśl λ = 0, wówczas zmenne losowe oraz Y ne wykazują zależnośc w ogonach rozkładów (są nezależne). Dodatkowo warto nadmenć, że kwantyle wyznaczone jako F ( α ) oraz F Y ( α ) reprezentują wartość zagrożoną Value-at-Rsk na pozo- α ) 4. me stotnośc α (alternatywne na pozome tolerancj ( ) 3 R. Doman: Op. ct., s. 8. 4 Y. Malevergne, D. ornette: Op. ct., s. 68.
Mary zależnośc analza statystyczna na przykładze 7 6. Przykład empryczny Wybrane z omówonych w pracy mernków zależnośc zastosowano do opsu zwązku pomędzy wybranym waloram rynku metal neżelaznych. Rynek ten jest szczególne ważny z punktu wdzena gospodark krajów rozwnętych oraz wschodzących. Ogromne zróżncowane w gatunkach stal wynka z jej różnorodnego zastosowana: w przemyśle konstrukcyjnym, motoryzacyjnym, lotnczym (w tym projekty zwązane z eksploracją przestrzen kosmcznej). Im bardzej specyfczne jest wykorzystane stal, tym wększe znaczene ma jej jakość, na którą w ogromnym stopnu wpływają dodatk stopowe, które mają na celu uszlachetnene jakoścowe produktu fnalnego. W opracowanu rozważono dodatk stopowe notowane na gełdze towarowej w Londyne (London Metal Exchange) w okrese styczeń 000 grudzeń 0. Przedmotem badana objęto dzenne logarytmczne stopy zwrotu następujących metal: alumnum, medź, nkel, ołów, cyna oraz cynk. Na ponższych wykresach przedstawono empryczne szereg czasowe oraz hstogramy wraz z dopasowanym funkcjam gęstośc rozkładu normalnego.
7 Domnk Krężołek Rys.. Empryczne szereg czasowe stóp zwrotu analzowanych metal Źródło: Oblczena własne. Rys.. Hstogramy wraz z dopasowaną funkcją gęstośc Źródło: Oblczena własne.
Mary zależnośc analza statystyczna na przykładze 73 zereg czasowe stóp zwrotu analzowanych metal odznaczają sę wysokm pozomem zmennośc, a dodatkowo uwdacznają zjawsko skupana sę danych. Dodatkowo empryczne rozkłady okazują sę być leptokurtyczne, co w połączenu z wcześnej wspomnanym cecham prowadz do odrzucena hpotezy o normalnośc rozkładu. Potwerdzają to testy Andersona-Darlnga (A-D) oraz Jarque a-bera (J-B). Parametry rozkładu normalnego abela Zmenna Średna Odchylene standardowe Alumnum 007 0,03989 Medź 0446 0,0806 Ołów 048 0,0748 Nkel 04 0,04885 Cyna 048 0,08434 Cynk 060 0,09889 Źródło: Oblczena własne. esty zgodnośc dla rozkładu normalnego abela Zmenna tatystyka AD p-value tatystyka J-B p-value Alumnum 4,0 3,9584 0-7 835,658 0 Medź 9,89 0 84,38 0 Ołów 8,00 0 59,64 0 Nkel 7,399,9084 0-7 488,5 0 Cyna 57,59 0 485,693 0 Cynk 6,84 0 834,63 0 Źródło: Oblczena własne. Na podstawe realzacj stóp zwrotu wyznaczono współczynnk korelacj pomędzy analzowanym zmennym. Wynk przedstawa tabela 3. Współczynnk korelacj lnowej pomędzy analzowanym zmennym abela 3 Współczynnk korelacj Alumnum Medź Ołów Nkel Cyna Cynk Pearsona Alumnum,000000 0,73646 0,558070 0,59096 0,459054 0,6663 Medź 0,73646,000000 0,640607 0,606764 0,5303 0,74348 Ołów 0,558070 0,640607,000000 0,506440 0,46796 0,67030 Nkel 0,59096 0,606764 0,506440,000000 0,45408 0,567735 Cyna 0,459054 0,5303 0,46796 0,45408,000000 0,47703 Cynk 0,6663 0,74348 0,67030 0,567735 0,47703,000000 Źródło: Oblczena własne.
74 Domnk Krężołek Borąc pod uwagę marę zależnośc, jaką jest współczynnk korelacj lnowej Pearsona, najslnejszy zwązek wykazano dla pary zmennych medź oraz cynk, natomast najsłabszy dla pary zmennych nkel oraz cyna. Wszystke współczynnk korelacj wykazywały statystyczną stotność na pozome α =. Wykresy rozrzutu pomędzy poszczególnym param zmennych zaprezentowano na rysunku 3. 0,5 0,5 0,0 0,0 medź ołów -0,0-0,0-0,5-0,0-0,5-0,0 0,0 alumnum alumnum 0,5 0,0 0,0 0,5 0,0 nkel cyna -0,0-0,5-0,0-0,0-0,0 0,0-0,5-0,0 0,0 alumnum alumnum 0,0 0,5 0,0 cynk ołów -0,0-0,0-0,5-0,0 0,0-0,5-0,5-0,0 0,0 0,5 alumnum medź
Mary zależnośc analza statystyczna na przykładze 75 0,5 0,0 0,0 0,5 0,0 nkel cyna -0,0-0,5-0,0-0,0-0,5-0,0 0,0 0,5 medź 0,0-0,5-0,5-0,0 0,0 0,5 medź 0,5 0,0 cynk nkel -0,0-0,0-0,5-0,5-0,5-0,0 0,0 0,5 medź 0,0-0,0-0,5-0,0 0,0 0,5 ołów 0,0 0,5 0,0 cyna cynk -0,0-0,0-0,5-0,5-0,0 0,0 0,5 ołów 0,0-0,5-0,5-0,0 0,0 0,5 ołów 0,0 0,08 0,5 0,0 0,06 0,04 0,0 cyna cynk -0,0-0,04-0,06-0,08-0,0-0,0-0,5-0,0-0,5-0,0 0,0 0,5 nkel -0, -0,0-0,5-0,0 0,0 0,5 nkel
76 Domnk Krężołek 0,0 cynk -0,0-0,5-0,5-0,0 0,0 0,5 0,0 cyna Rys. 3. Wykresy rozrzutu Źródło: Oblczena własne. Na wykresach rozrzutu zaznaczono dodatkowo lnę regresj wraz z 95% przedzałem ufnośc oraz elpsę rozkładu normalnego. Wydać tym samym występowane obserwacj oddalonych. Ponadto na rysunku 4 przedstawono dwuwymarowe rozkłady empryczne dla analzowanych par aktywów rynku metal.
Mary zależnośc analza statystyczna na przykładze 77
78 Domnk Krężołek Rys. 4. Dwuwymarowe rozkłady normalne Źródło: Oblczena własne. Ze względu na odrzucene hpotezy o normalnośc rozkładu badanych zmennych wyznaczono dodatkowe mernk zależnośc: tau Kendalla oraz rho pearmana. Wynk przedstawono w tabelach 4 5.
Mary zależnośc analza statystyczna na przykładze 79 Współczynnk tau Kendalla Alumnum Współczynnk tau Kendalla Medź Ołów Nkel Cyna Cynk abela 4 Alumnum,000000 0,5363 0,38839 0,35945 0,348 0,473709 Medź 0,5363,000000 0,4550 0,46378 0,36473 0,536839 Ołów 0,38839 0,4550,000000 0,339585 0,34095 0,48698 Nkel 0,35945 0,46378 0,339585,000000 0,30808 0,389886 Cyna 0,348 0,36473 0,34095 0,30808,000000 0,36339 Cynk 0,473709 0,536839 0,48698 0,389886 0,36339,000000 Źródło: Oblczena własne. Współczynnk rho pearmana Współczynnk rho pearmana Alumnum Medź Ołów Nkel Cyna Cynk abela 5 Alumnum,000000 0,76383 0,547485 0,5659 0,448554 0,650970 Medź 0,76383,000000 0,6580 0,580379 0,589 0,77903 Ołów 0,547485 0,6580,000000 0,4840 0,457977 0,656908 Nkel 0,5659 0,580379 0,4840,000000 0,4405 0,54606 Cyna 0,448554 0,589 0,457977 0,4405,000000 0,46653 Cynk 0,650970 0,77903 0,656908 0,54606 0,46653,000000 Źródło: Oblczena własne. W przypadku wynków pomaru zależnośc za pomocą współczynnków tau Kendalla oraz rho pearmana wycągnęto podobne wnosk, jak przy zastosowanu współczynnka korelacj lnowej Pearsona: najslnejszą zależność wskazano dla pary medź oraz cynk, natomast najsłabszą dla pary zmennych nkel oraz cyna. Wszystke współczynnk korelacj wykazywały statystyczną stotność na pozome α = 0, 05. Dodatkowo wskazano, że zachodz zwązek: τ (, Y ) < ρ (, Y ) < ρ(, Y ). W ostatnm etape analzy oszacowano współczynnk zależnośc w dolnym (lambda L ) górnym (lambda U ) ogone dwuwymarowych rozkładów badanych walorów. Wynk przedstawono w tabelach 6 oraz 7.
80 Domnk Krężołek Współczynnk zależnośc w dolnym ogone rozkładu abela 6 lambda L Alumnum Medź Ołów Nkel Cyna Cynk Alumnum,000000 0,95 0,54478 0,435 0,457 0,845 Medź 0,95,000000 0,748 0,545 0,45598 0,354 Ołów 0,54478 0,748,000000 0,64 0,5464 0,49 Nkel 0,435 0,545 0,64,000000 0,0957 0,954 Cyna 0,457 0,45598 0,5464 0,0957,000000 0,335 Cynk 0,845 0,354 0,49 0,954 0,335,000000 Źródło: Oblczena własne. Współczynnk zależnośc w górnym ogone rozkładu abela 7 lambda U Alumnum Medź Ołów Nkel Cyna Cynk Alumnum,000000 0,7534 0,49987 0,3455 0,534 0,934 Medź 0,7534,000000 0,649 0,438 0,50 0,94 Ołów 0,49987 0,649,000000 0,59984 0,39958 0,039 Nkel 0,3455 0,438 0,59984,000000 0,085564 0,645 Cyna 0,534 0,50 0,39958 0,085564,000000 0,3348 Cynk 0,934 0,94 0,039 0,645 0,3348,000000 Źródło: Oblczena własne. Wynk przedstawone w tabelach 6 oraz 7 wskazują, że występują zależnośc zarówno w dolnym, jak górnym ogone dwuwymarowych rozkładów analzowanych stóp zwrotu metal. Podobne jak w przypadku współczynnka Pearsona, tau Kendalla oraz rho pearmana, wykazano najslnejsze zależnośc w obu ogonach dla pary medź oraz cynk, natomast najsłabsze dla pary zmennych nkel oraz cyna. Podsumowane Badana empryczne danych fnansowych prowadzone przez ośrodk naukowe na śwece jednoznaczne wskazują, ż występują pomędzy nm zależnośc ne tylko w obrębe samej klasy aktywów, ale także pomędzy różnym rynkam (w sense przedmotowym geografcznym). Powszechne wykorzystywane założene normalnośc rozkładów emprycznych ne jest spełnone
Mary zależnośc analza statystyczna na przykładze 8 w praktyce, mplkując tym samym koneczność wykorzystana nnych mernków zależnośc, odpornych na take cechy fnansowych szeregów czasowych, jak asymetra, tworzene sę skupsk danych czy też występowane obserwacj ekstremalnych. W opracowanu tym, oprócz klasycznego nadal powszechne wykorzystywanego mernka zależnośc, jakm jest współczynnk korelacj Pearsona, zaprezentowano teoretyczne praktyczne take mary, jak tau Kendalla, rho pearmana oraz współczynnk merzące zwązk występujące w ogonach rozkładów. Wynk wskazują na występowane różnc w wartoścach współczynnków, przy czym pokazano, ż zachodz zwązek τ (, Y ) < ρ (, Y ) < ρ(, Y ). Dodatkowo występują także zależnośc zarówno w dolnym, jak górnym ogone rozkładu dwuwymarowego dla rozważanych par metal. Analza tego rodzaju zwązków jest szczególne stotna z punktu wdzena zarządzana ryzykem, gdyż pozwala oszacować prawdopodobeństwo równoczesnego wystąpena realzacj stopy zwrotu na pozome oddalonym od centralnej częśc rozkładu dla obu rozważanych aktywów. Lteratura Bjerve., Doksum K.: Correlaton Curves: Measures of Assocaton as Functons of Covarate Values. he Annals of tatstcs 993, Vol., No., s. 890-90. Dhaene J., Goovaerts M.J.: Dependency of Rsks and top-loss Order. Austn Bulletn 996, Vol. 6, No., s. 0-. Doman R.: Zastosowane kopul w modelowanu dynamk zależnośc na rynkach fnansowych. Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego, Poznań 0. Embrechts P., McNel A.J., traumann D.: Correlaton and Dependence n Rsk Management: Propertes and Ptfalls. W: Rsk Management: Value at Rsk and Beyond. Ed. M.A.H. Dempster. Cambrdge 00, s. 76-3. Fama E.F.: he Behavor of tock Market Prces. Journal of Busness 965, Vol. 38, No., s. 34-05. Gurgul P., yrek R.: Zastosowane meszank kopuł do modelowana współzależnośc pomędzy wybranym sektoram gospodark. Ekonoma Menedżerska 009, nr 6, s. 9-39. Kruskal W.H.: Ordnal Measures of Assocaton. Journal of the Amercan tatstcal Assocaton 958, No. 53, s. 84-86. Lyubushn Jr. A.A.: Robust Wavelet-aggregated gnal for Geophscal Montorng Problems. Izvestya, Physcs of the old Earth 00, Vol. 38, No. 9, s. -7. Malevergne Y., ornette D.: Extreme Fnancal Rsk. From Dependence to Rsk Management. prnger-verlag, Berln, Hedelberg 006.
8 Domnk Krężołek Mandelbrot B.: he Varaton of Certan peculatve Prces. Journal of Busness 963, Vol. 36, No. 4, s. 394-49. Meerschaert M.M., cheffler H.: ample Cross-correlatons for Movng Averages wth Regularly Varyng als. Journal of me eres Analyss 00, Vol., No. 4, s. 48-49. DEPENDENCY MEAURE AIICAL ANALYI UING ELECED AE FROM NON-FERROU MEAL MARKE ummary he analyss of nvestment rsk s strongly assocated wth the knowledge of dependency structure between assets. he am of ths paper s to present some dependency and concordance measures between random varables. uch measures as Pearson coeffcent of correlaton, Kendall s tau and pearman s rho has been dscussed. Moreover, the measures of tal dependences has been presented. An emprcal analyss has been carred out usng selected assets from non-ferrous metals market.