Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Podobne dokumenty
Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

Jednowymiarowa zmienna losowa

ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przestrzeń probabilistyczna

Rachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Metody probabilistyczne

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

Rozkłady statystyk z próby

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

Seria 1. Zbieżność rozkładów

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Rozkłady prawdopodobieństwa

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Zadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n

Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A

Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Statystyka matematyczna

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.

= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2

Prawdopodobieństwo i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.

Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne:

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

Centralne twierdzenie graniczne

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.

Przykłady do zadania 6.1 :

3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

Zmienne losowe skokowe

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Przykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych

4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1

Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II

Dyskretne zmienne losowe

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

Prawdopodobieństwo i statystyka

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:

Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Lista 1 - Prawdopodobieństwo

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL?

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

LISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów

Transkrypt:

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w Białymstoku 21 marca 2009

Lista zadania nr 7 c J. Kotowicz 2009 1 Funkcje zmiennych losowych 1. X jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0,1]. Znaleźć dystrybuantę i gęstość następujących zmiennych losowych Y = ax + b gdzie a, b R a 0; Y = 2X 2 1; Y = ln(1 X); Y = ln X; Y = X k, k N; 2. X ma rozkład wykładniczy ze współczynnikiem λ > 0. Znaleźć gęstość rozkładu: Y = X α, α > 0 Y = X 3 ; Y = 5X 1; Y = 3X + 2; 3. X ma rozkład normalny N(0, 1). Jaki rozkład ma zmienna Y = ax + b gdzie a, b R, a > 0? Zmienne losowe wielowymiarowe 1. Dobrać tak stałą c, aby funkcja cxy dla 1 x 2, 2 y 4 0 dla pozostałych punktów była gęstością rozkładu dwuwymiarowego. Dla tak obliczonej stałej policzyć dystrybuantę tego rozkładu oraz rozkłady brzegowe. 2. Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja cxy + x + y dla 0 x 2, 0 y 1 0 dla pozostałych punktów była gęstością rozkładu dwuwymiarowego. Jeśli tak, to dla tak obliczonej stałej policzyć dystrybuantę tego rozkładu oraz rozkłady brzegowe. 3. Wyznaczyć dystrybuanty oraz rozkłady brzegowe następującego rozkładu dwuwymiarowego 1 dla 0 x 1, x y 2 x. 0 dla pozostałych punktów 4. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład równomierny na kwadracie 0, 2 2. Obliczyć rozkłady brzegowe. 5. Dana jest dwuwymiarowa gęstość 4 9xy dla x, y [1, 2] 0 dla pozostałych (x, y) Obliczyć moment rzędu 2 (2,0); (1,1).

2 Lista zadania nr 7 c J. Kotowicz 2009 6. Dobrać stałą a, tak aby funkcja określona wzorem a dla 0 < y < x 2 < 1 0 dla pozostałych (x, y) była gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej. 7. Dla zmiennej losowej z zadania 6 obliczyć rozkłady brzegowe. 8. Wyznaczyć stałą c, tak aby funkcja c exp( 1 2 (x2 + 2xy + 5y 2 )) była gęstością. Obliczyć momenty zwykłe rzędu 2, rozkłady brzegowe oraz rozkłady zmiennych Z 1 = X + Y, Z 2 = X Y. 9. Dana jest gęstość prawdopodobieństw układu zmiennych losowych kxy exp( (x 2 + y 2 )) dla x 0, y 0 0 dla pozostałych. Wyznaczyć k rozkłady brzegowe, warunkowe, pierwsze i drugie momenty. 10. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa układu trzech zmiennych losowych (X, Y, Z) mając daną dystrybuantę (1 e ax )(1 e by )(1 e cy ) dla x 0, y 0, z 0 F (x, y, z) =. 0 dla pozostałych 11. Znaleźć gęstości prawdopodobieństwa rozkładów brzegowych zmiennych losowych X i Y, mając gęstość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) 2 exp ( x 2y) dla x, y > 0 0 dla pozostałych (x, y). 12. Znaleźć rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y mając rozkład zmiennej losowej dwuwymiarowej (X, Y ) opisany tabelką : x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 0,05 0,23 0,20 0,12 y 2 0,20 0,08 0,10 0,02 13. Obliczyć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Z = X + Y, gdzie X, Y są niezależnymi i mają gęstości równe odpowiednio f X (x) = 1 2 π exp x 2 4, fy (y) = 1 8 y 2 π exp 64. 14. Obliczyć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Z = X Y, gdzie X, Y są niezależnymi i mają gęstości równe odpowiednio f X (x) = 1 exp x2 6, fy (y) = 1 6π 2 y 2 2π exp 8. Uwaga do następnych zadań: Gęstość prawdopodobieństw układu n zmiennych losowych normalnych (wielowymiarowy układ normalny) ma postać dana jest wzorem 1 f(x 1,..., x n ) = exp 1 n k (2π) n ij (x i E(X i ))(x j E(X j )), 2 2 i,j=1 gdzie - macierz korelacji, k ij element macierzy odwrotnej do. Dana jest macierz korelacji układu losowych normalnych (X, Y ) [ 196 91 91 169 Podać wzór na dwuwymiarową gęstość prawdopodobieństwa jeśli E(X) = 26, E(Y ) = 12. ].

Lista zadania nr 7 c J. Kotowicz 2009 3 15. Dana jest macierz korelacji układu czterowymiarowej zmiennej losowej (X 1, X 2, X 3, X 4 ) o rozkładzie normalnym 15 3 1 0 3 16 6 2 1 6 4 1 0 2 1 3 Podać wzór na czterowymiarową gęstość prawdopodobieństwa jeśli E(X 1 ) = 10, E(X 2 ) = 0, E(X 3 ) = 10, E(X 4 ) = 1. 16. Dana jest macierz korelacji układu zmiennych losowych normalnych (X, Y, Z) 5 2 2 2 6 3 2 3 8 Podać wzór na gęstość prawdopodobieństwa jeśli E(X) = E(Y ) = E(Z) = 0... 17. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa 3 f(x, y, z) = 16π 3 2 Zbudować macierz korelacji. [ exp 1 ] 8 (2x2 + 4y 2 2y(z + 5) + (z + 5) 2 ). 18. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa Wyznaczyć c, a następnie zbudować macierz korelacji. c exp [ (4(x 5) 2 + 2(x 5)(y 3) + 5(y 3) 2 ) ]. Nierówności związane z momentami. 1. Niech zmienne losowe X 1,..., X n są niezależne o jednakowych rozkładach, m := E(X k ), ϱ 2 := D 2 (X k ). Stosując klasyczną nierówność Czebyszewa oszacować N dla ustalonego a > 0, by P ({ 1 N N X k m > a}) 0.05. k=1 2. Z klasycznej nierówności Czebyszewa ocenić prawdopodobieństwo, że zmienna losowa normalna (tzn. N(0, 1)) odchyli się od swojej wartości oczekiwanej o więcej niż cztery średnie odchylenia, trzy średnie odchylenia. 3. Rzucamy n razy monetą. Niech X ilość orłów. Korzystając z nierówności Czebyszewa znaleźć takie n aby P ( 1 n X 1 2 < 1/10) > 9/10. 4. Strzelamy 300 razy do tarczy z prawdopodobieństwem trafienia w jednym strzale wynoszącym 1/4. Z nierówności Czebyszewa ocenić P ( X 75 < 30), gdzie X jest ilością trafień. 5. X ma rozkład jednostajny na odcinku [ 3, 3] Oszacować z nierówności Czebyszewa P ( X 3 2 ) Obliczyć P ( X 3 2 ) bezpośrednio. 6. X ma rozkład normalny N(0, 1). Oszacować z góry P ( X 3) przy pomocy:

4 Lista zadania nr 7 c J. Kotowicz 2009 nierówności Czebyszewa tablic 7. Zmienne losowe X i, i N są niezależne i mają jednakowe rozkłady P ({X i = k}) = 0, 2, k = 1, 2, 3, 4, 5. Znaleźć prawdopodobieństwo, że zmienna Y = 100 i=1 X i przyjmie wartość większą od 320. 8. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości dodatnie i istnieje E(X) oraz E(X) = a. Udowodnić, że wtedy P (X 2a}) 1 2. Wsk. Zastować nierówność Markowa. 9. Rzucamy n razy symetryczną monetą. Niech zmienna losowa X k oznacza wyrzucenie orła za k razem. Korzystając z nierówności, Czebyszewa oszacować n aby P ({ω : 1 n 1. Policzyć funkcje charakterystyczne rozkładów: rozkładu jednostajnego na odcinku ( 1, 1); rozkładu jednostajnego na [a, b]; n i+1 X i (ω) 1 2 < 1 10 }) > 9 10. Funkcja charakterystyczna. rozkład trójkątny równoramienny na odcinku 1, 1 ; rozkładu wykładniczego; rozkładu Bernoulliego; rozkładu Poissona; rozkładu dwupunktowego (1 > p > 0, P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 p); rozkładu N(0, 1); rozkładu N(m, σ); rozkładu zadanego wzorem P (X = k) = (1 p)p k dla k = 0, 1, 2,... (0 < p < 1); rozkładu zmiennej losowej X, którego gęstość zadana jest wzorem f(x) = 1 2 exp( x ); zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe ilosci wyrzuconych oczek kostką do gry; 2. Mając daną funkcję charakterystyczną znaleźć rozkład zmiennej losowej: φ(t) = 1 4 (exp( it) + exp(it))2 φ(t) = cos(t) φ(t) = k=0 a k cos(kt), a k > 0, k=0 a k = 1; φ X (t) = (1 + t 2 ) 1. Prawa wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne. 1. Niech X n będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że X n (x) = 1 [ π 4 c exp (x cn ) 2 ], c (0, 1), n N; n P ({X n = n}) = 1 1+n i P ({X 2 n = 1 n2 n }) = 1+n ; 2 P ({X n = n}) = P ({X n = n} = 1 n i P ({X n = 0}) = 1 2 n Czy ciąg spełnia MPWL?

Lista zadania nr 7 c J. Kotowicz 2009 5 2. Niech będzie dany ciąg niezależnych zmiennych losowych {X n n 3} i P (X n = ± ln n) = 1 2 ( ; ) {X n n 1} i P (X n = ±1) = 1 2 1 1 2, P n (Xn = 2 ±n ) = 1 2 n+1 Czy ciąg ten spełnia PWL? MPWL? 3. Niech będzie dany ciąg zmiennych losowych {X n n 2} taki, że X n N(0, ln n). Czy spełnia on PWL? 4. Niech będzie dany ciąg zmiennych losowych {X n n 1} taki, że P (X n = 2 n ) = P (X n = 2 n ) = 2 (2n+1), P (X n = 0) = 1 2 2k. Czy spełnia on MPWL? Niech X n zbiega z według prawdopodobieństwa do X podać wzór na zmienną losowej X i pokazać powyższą zbieżność. 5. Niech {X k k N} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie: P ({ω X k (ω) = i}) = 2 3 Wykazać, że dla zmiennej losowej Y n = 1 n n k=1 X k zachodzi MPWL. ( ) i 1 1, i, k N. 3 6. Niech {X k k N} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie: P ({ω X k (ω) = ( 1)i }) = 1, i, k N; i 2i P ({ω X k (ω) = i}) = e 1, k N, i N {0}. i! Wykazać, że dla zmiennych losowych zachodzi MPWL. 7. Partia towaru ma wadliwość 7 %. Pobrano próbkę 800 elementową. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ilość sztuk wadliwych w tej próbie jest zawarta w granicach 6 % - 9 %. 8. Strzelamy 300 razy, przy czym prawdopodobieństwo za każdym razem trafienia do celu wynosi 0,25. Określić prawdopodobieństwo, że liczba celnych strzałów będzie się różnic o nie więcej niż 0,1 od ogólnej liczby strzałów. najbardziej prawdopodobnej liczby celnych strzałów. 9. Przeprowadzono 60 jednakowych prób, w których mogło zajść zdarzenie A. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenie w pojedynczej próbie wynosi 0, 6. Obliczyć prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie pojawi się w większości prób. 10. W 10 000 rzutów monetą orzeł wypadł 5400 razy. Uzasadnij przypuszczenie, że moneta jest niesymetryczna. 11. Korzystając z prawa wielkich liczb Moivre a - Laplace a oszacować prawdopodobieństwo, że w 720 rzutach kostką ilość szóstek będzie zawierać się pomiędzy 121 a 140 mniejsza niż 125 większa niż 110 12. Rzucamy 1000 razy kostką. Niech zmienna losowa S oznacza sumę wyrzuconych oczek. Na podstawie twierdzenia Lindeberga ocenić P (3450 S 3550), znaleźć takie N, M jak najmniej różniące się od siebie, aby P (M S N) > 99/100.