Algebra liniowa. 1. Macierze.

Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy przestrzenią macierzy o m wierszach i n kolumnach Macierz A będziemy zapisywać w postaci następującej tabelki a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn Niech X oraz Y będą przestrzeniami skończonego wymiaru oraz niech dimx = n i dimy = n Niech e 1 e n będzie bazą przestrzeni X oraz niech e 1 e m będzie bazą przestrzeni Y Rozważmy odwzorowanie linowe f : X Y Dla dowolnego i = 1 n wektor f(e i ) Y jest kombinacją liniową elementów bazy e 1 e m a zatem istnieje dokładnie jeden układ skalarów a 1i a mi F taki że m f(e i ) = a ji e j i = 1 n Otrzymane skalary układamy w macierz A f = j=1 a 11 a 1n a m1 a mn M(m n F) Zatem przy ustalonych bazach e 1 e n przestrzeni X oraz e 1 e m przestrzeni Y mamy wyznaczone odwzorowanie Ω : L(X Y ) f A f M(m n F) które jest izomorfizmem liniowym Niech będą dane dwie macierze A = Wtedy wyrazy iloczynu macierzy a 11 a 1n a m1 a mn B = c 11 c 1n AB = C = c k1 c kn 1 b 11 b 1m b k1 b km

2 ALGEBRA LINIOWA są określone wzorami c si = m b sj a ji s = 1 k i = 1 n j=1 Dla danej macierzy a 11 a 1n A = M(m n F) a m1 a mn określamy macierz A którą nazywamy macierzą transponowaną wzorem b 11 b m1 a 11 a m1 A = = M(n m F) b 1n b mn a 1n a mn Rzędem odwzorowania liniowego l : X Y nazywamy liczbę naturalną (ewentualnie + ) równą wymiarowi obrazu odwzorowania l to znaczy r(l) = dim(iml) Niech A M(m n F ) Wybieramy przestrzenie wektorowe X oraz Y takie że dim X = n oraz dim Y = m oraz wybieramy bazy e 1 e n oraz e 1 e m w tych przestrzeniach Niech f : X Y będzie odwzorowaniem liniowym takim że A jest macierzą odwzorowania f w bazach e 1 e n oraz e 1 e m Rzędem macierzy A nazywamy rząd odwzorowania f i oznaczamy r(a) Mamy następujące własności: r(a) = r(a ) oraz r(a) = maksymalna liczba kolumn liniowo niezależnych wybranych z macierzy A = maksymalna liczba wierszy liniowo niezależnych wybranych z macierzy A Macierz A M(n n F) nazywamy macierzą odwracalną jeśli istnieje macierz B M(n n F) taka że AB = I gdzie I oznacza macierz identycznościową Niech A M(n n F) będzie macierzą nieosobliwą oraz niech B = [b ij ] M(n n F) będzie macierzą daną wzorem b ij = ( 1) i+j A ji A gdzie macierz A ji powstaje z macierzy A poprzez wycięcie j-tego wiersza i i-tej kolumny Wtedy B = A 1 Niech A będzie macierzą kwadratową o n wierszach i n kolumnach oraz niech a ij będą wyrazami macierzy A Skalar n tr(a) = nazywamy śladem macierzy A Niech f : X X będzie endomorfizmem przestrzeni X os skończonym wymiarze Wybieramy bazę e 1 e n dla X i niech A = [a ij ] będzie macierzą odwzorowania f w wybranej bazie czyli f(e i ) = n j=1 s jie j Ślad endomorfizmu f definiujemy wzorem tr(f) = tr(a) Niech f : X X będzie endomorfizmem oraz niech A oraz A będą macierzami endomorfizmu f w bazach e 1 e n oraz e 1 e n odpowiednio Macierzą przejścia pomiędzy bazami e 1 e n oraz e 1 e n nazywamy macierz p 11 p 1n P = p n1 p nn dla której e i = n p ji e j Wtedy zachodzi równość A = P 1 AP j=1 i=1 a ii M(n n F ) Niech będą dane macierze A M(m n F ) oraz B M(n k F ) oraz niech będą dane liczby s 1 s r s 1 s p oraz s 1 s q takie że m = s 1 + + s r n = s 1 + s p s 1 + + s q

ALGEBRA LINIOWA 3 Zakładamy że macierze A B oraz C = AB zapisane są w postaci blokowej A 11 A 12 A 1p B 11 B 12 B 1q C 11 C 12 C 1q A 21 A 22 A 2p A = B = B 21 B 22 B 2q C = C 21 C 22 C 2q A r1 A r2 A rp B p1 B p2 B pq C r1 C r2 C rq gdzie A ij M(s i s j F ) B ij M(s i s j F ) oraz C ij M(s i s j F ) Przy powyższych założeniach zachodzi (formuła Bineta-Cauchy ego) p C ij = A it B tj i = 1 r j = 1 q t=1 Zadania Zadanie 1 Dane jest przekształcenie liniowe g : R 3 R 2 wzorem g(x 1 x 2 x 3 ) = (2x 1 x 2 + x 3 ) Znaleźć macierz tego przekształcenia jeśli w przestrzeniach R 3 oraz R 2 zadano odpowiednio bazy (u 1 u 2 u 3 ) oraz (v 1 v 2 ) gdzie (1) u 1 = (1 0 0) u 2 = (0 1 0) u 3 = (0 0 1) v 1 = (1 0) v 2 = (0 1) (2) u 1 = (1 2 0) u 2 = (1 1 1) u 3 = (0 0 1) v 1 = (1 0) v 2 = (0 1) (3) u 1 = (1 0 0) u 2 = (0 1 0) u 3 = (0 0 1) v 1 = (1 2) v 2 = (0 1) (4) u 1 = (1 2 0) u 2 = (1 1 1) u 3 = (0 0 1) v 1 = (1 2) v 2 = (0 1) Zadanie 2 Dana jest macierz A = [ 1 0 2 2 1 0 Znaleźć obraz wektora x = (1 0 2) w przekształceniu liniowym o macierzy A jeśli w przestrzeniach R 3 oraz R 2 zadano bazy jak w zadaniu poprzednim Zadanie 3 Dowieść że zbiór { [ ] a b } F = : a b R b a z działaniami dodawania i mnożenia macierzy jest ciałem Dowieść że odwzorowanie [ ] a b F a + ib C b a jest izomorfizmem ciał (tzn bijekcją zachowującą działania) Zadanie 4 Dowieść że wektory ] v 1 = (5 3 1) v 2 = (1 3 2) v 3 = (1 2 1) są liniowo niezależne w przestrzeni wektorowej R 3 oraz wyznaczyć odwzorowanie liniowe f : R 3 R 3 takie że f(v i ) = w i dla i = 1 2 3 gdzie w 1 = ( 2 1 0) w 2 = ( 1 3 0) w 3 = ( 2 3 0) Wyznaczyć macierz odwzorowania liniowego f w bazie v 1 v 2 v 3 Zadanie 5 Dowieść że dla dowolnej liczby naturalnej k zachodzi równość [ ] k [ ] 1 1 ck c = k 1 1 0 c k 1 c k 2 gdzie c 1 c 0 c 1 jest ciągiem Fibonacciego określonym formułą rekurencyjną c 1 = 0 c 0 = 1 oraz c k = c k 1 + c k 2 dla k 1

4 ALGEBRA LINIOWA Zadanie 6 Niech J M(n n F) będzie macierzą w której wszystkie wyrazy wynoszą 1 (n 2) Dowieść że macierz I J jest nieosobliwa (I oznacza macierz jednostkową) oraz że zachodzi wzór (I J) 1 = I 1 n 1 J Zadanie 7 Niech B będzie taką macierzą że istnieje skalar α taki że B 2 = αb Dowieść że jeśli α 1 to macierz I + B jest odwracalna oraz zachodzi wzór (I + B) 1 = I 1 α + 1 B Zadanie 8 Niech A M(2 2 R) będzie macierzą taką że A A = I Dowieść że istnieją α β R takie że β 2 = 1 oraz [ ] β cos α sin α A = β sin α cos α Zadanie 9 Odwzorowanie f : R 3 R 3 określone jest w następujący sposób: f(x 1 x 2 x 3 ) = (2x 1 + x 2 x 3 x 1 + x 2 + 3x 3 x 1 2x 3 + 3x 3 ) (1) Wykazać że f jest przekształceniem liniowym (2) Wyznaczyć bazę dla jądra i obrazu (3) Podać rząd przekształcenia f Zadanie 10 Obliczyć rząd odwzorowania liniowego f : R 4 R 3 danego wzorem f(a b c d) = (a + b + 4d 2a + 5b + 4c + 9d b + 5c + d) Zadanie 11 Niech A oraz B będą dwiema macierzami kwadratowymi tego samego typu tzn takimi że istnieje nieosobliwa macierz P taka że B = P AP 1 Dowieść że (1) macierze A 2 oraz B 2 są tego samego typu (2) dla dowolnej liczby naturalnej k macierze A k oraz B k są tego samego typu (3) dla dowolnego wielomianu p(t) = a n t n + + a 0 o współczynnikach z ciała F macierze p(a) oraz p(b) są tego samego typu gdzie p(a) = a n A n + + a 1 A + a 0 I (4) macierze A oraz B są tego samego typu Zadanie 12 Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A oraz B gdzie 6 2 1 2 2 0 A = 2 1 0 B = 2 5 2 1 0 1 0 2 4 Zadanie 13 Znaleźć w przestrzeni R 3 macierz przejścia P pomiędzy bazami {(1 4 2) (3 2 1) (0 3 1)} oraz {(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)} Wyznaczyć macierz P 1 Zadanie 14 Znaleźć macierz przejścia od bazy (2 1) (3 1) do bazy (1 1) (3 2) Zadanie 15 Endomorfizmowi f w bazie złożonej z wektorów e 1 = (1 1 0) e 2 = (0 1 1) oraz e 3 = (1 0 1) odpowiada macierz 1 2 0 2 0 2 1 1 1 Jaka jest macierz endomorfizmu f w bazie złożonej z wektorów e 1 = (2 1 1) e 2 = (0 1 3) oraz e 3 = (1 1 2)?

ALGEBRA LINIOWA 5 Zadanie 16 Znaleźć dowolne bazy przestrzeni R 3 i R 3 w których odwzorowanie liniowe R 3 (x y z) (x + 4y + 3z 2x + 7y + 5z 2x + 5y + 3z) R 3 ma macierz postaci (I - macierz identycznościowa) [ ] I 0 0 0 Zadanie 17 Znaleźć odwracalne macierze P Q M(3 3; R) że 1 4 3 [ ] 2 7 5 = Q 1 I 0 P 0 0 2 5 3 Zadanie 18 Niech P ij M(n n F) będzie macierzą transpozycji to znaczy macierzą postaci (i) (j) (i) 1 1 P ij = I n + (j) 1 1 gdzie poza czterema wyróżnionymi wartościami pozostałe elementy ostatniej macierzy są równe zero oraz I n M(n n F) oznacza macierz identycznościową Wykazać że macierze P ij są odwracalne oraz że P 2 ij = I n Niech A M(n n F) Jak wyglądają macierze P ij A oraz AP ij? Zadanie 19 Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem F Odwzorowanie nazywamy iloczynem skalarnym jeśli (1) x x = 0 x = 0 : V V F (2) x + y z = x z + y z dla wszystkich x y z V (3) αx y = α x y dla wszystkich α F oraz x y V (4) x y = y z dla wszystkich 1 x y V Udowodnić że iloczyn skalarny jest odwzorowaniem liniowym ze względu na pierwszą zmienną i odwzorowaniem antyliniowym ze względu na drugą zmienną (takie odwzorowania nazywamy skośniesymetrycznymi lub półtoraliniowymi) Zadanie 20 Dowieść że odwzorowanie f : C n C n C dane wzorem n f(x y) = x i y i x y C n i=1 jest iloczynem skalarnym Ponadto jeśli f rozważymy jako odwzorowanie f : R n R n R to f jest odwzorowaniem dwuliniowym (jest to również iloczyn skalarny) Zadanie 21 Dowieść że odwzorowanie f : R 3 R 3 R dane wzorem f(x y) = (x 2 y 3 x 3 y 2 x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1 ) x y R 3 jest odwzorowaniem dwuliniowym antysymetrycznym (jest to iloczyn wektorowy) Zadanie 22 Dowieść że jeśli f : V 1 V n Y jest odwzorowaniem wieloliniowym (odp wieloliniowym symetrycznym wieloliniowym antysytmetrycznym) oraz g : Y Z jest odwzorowaniem liniowym to g f jest odwzorowaniem wieloliniowym (odp wieloliniowym symetrycznym wieloliniowym antysytmetrycznym) 1 x w przypadku F = C oznacza liczbę sprzężoną do liczby x zaś w przypadku F = R oznacza liczbę x

6 ALGEBRA LINIOWA Zadanie 23 Niech f L n (V ) Odwzorowanie f s : V V F dane wzorem f s (x) := 1 f(x σ(1) x σ(n) ) n! σ S n nazywamy symetryzacją odwzorowania f zaś odwzorowanie f a : V V F dane wzorem f a (x) := 1 sgn σf(x σ(1) x σ(n) ) n! σ S n nazywamy antysymetryzacją odwzorowania f Sprawdzić że f s L n s (V ) oraz że f a L n a(v ) Zadanie 24 Dowieść że dla n 2 L n s (V ) L n a(v ) = {0} Zadanie 25 Rozwiązać równanie o niewiadomej t 1 2 3 4 5 t 2 3 4 2 3 5 t 4 2 3 4 1 = 0 Zadanie 26 Rozwiązać i przedyskutować w zależności od parametru k następujący układ równań: 2x y + z = 7 3x + 2y 5z = 4 4x + 5y 13z = k Zadanie 27 Obliczyć następujące wyznaczniki: a 11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a 31 a 32 a 33 0 a n1 a n2 a n3 a nn a 11 0 0 0 0 0 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 2n a 31 0 a 33 0 0 0 a 41 0 a 43 a 44 a 45 a 4n a 51 0 a 53 0 a 55 0 a n1 0 a n3 0 a n5 a nn a 11 a 12 a 13 a 1[n 1] a 1n a 21 0 0 0 0 a 31 a 32 0 0 0 a n1 a n2 a n3 a n[n 1] 0 x 1 x 2 x 3 x n 1 x n x 2 x 2 x 3 x n 1 x n x 3 x 3 x 3 x n 1 x n x n 1 x n 1 x n 1 x n 1 x n x n x n x n x n x n

ALGEBRA LINIOWA 7 Zadanie 28 Obliczyć wyznacznik endomorfizmu f : M(2 2 R) X [ ] 1 1 X M(2 2 R) 1 4 Zadanie 29 Niech A M(2n 1 2n 1 F) będzie macierzą antysymetryczną (A = A) (A oznacza tu macierz transponowaną) Dowieść że A = 0 o ile F jest ciałem charakterystyki różnej od zera Zadanie 30 Niech A M(n n C) będzie macierzą o wyrazach zespolonych taką że A = A (A oznacza macierz transponowaną oraz A oznacza macierz o wyrazach a ij jeśli A jest macierzą o wyrazach a ij ) Dowieść że A jest liczbą rzeczywistą Zadanie 31 Obliczyć macierze odwrotne do danych macierzy (o ile są odwracalne): [ ] [ ] 2 3 1 1 3 1 5 4 cos α sin α 3 0 2 2 7 2 8 6 3 sin α cos α 1 2 1 3 2 4 1 0 0 0 a 0 0 0 a 1 0 0 0 0 a 1 0 a 2 0 0 a 2 0 a 1 0 0 1 a 0 0 0 0 0 a 0 0 0 1 0 0 0 0 a n a n 0 0 0 1 0 0 a 0 0 0 a 1 0 0 1 a Zadanie 32 Niech M M(2n 2n F) będzie macierzą zapisaną w postaci blokowej [ ] A B M = C D gdzie A B C D M(n n F) Dowieść że jeżeli A jest macierzą nieosobliwą to M = A (D CA 1 B)