2. Modele matematyczne obiektów hydraulicznych

Spis treści 1. Wstęp.... 5 2. Modele matematyczne obiektów hydraulicznych..... 6 2.1. Opis zbiornika o kształcie kulistym. 6 2.2. Model matematyczny zbiornika o kształcie kulistym.. 7 2.3. Opis zbiornika o kształcie stożka 9 2.4. Model matematyczny zbiornika o kształcie stożka.. 10 2.5. Model matematyczny pompy... 11 3. Symulator zbiorników w środowisku LabView. 12 3.1. Równania różnicowe obiektów 12 3.1.1. Równania różnicowe opisującego zbiornik kulisty.. 12 3.1.2. Równanie różnicowe opisujące zbiornik o kształcie stożka. 13 3.1.3. Równanie różnicowe opisujące pompę. 13 3.2. Eliminacja błędu dzielenia przez zero.. 13 3.2.1. Rozwiązanie problemu dla zbiornika o kształcie kulistym... 14 3.2.2. Rozwiązanie problemu dla zbiornika o kształcie stożka.. 15 3.3. Implementacja równań w środowisku LabView. 15 4. Badanie charakterystyk rozpatrywanych obiektów 16 4.1. Badanie właściwości zbiornika o kształcie kulistym 16 4.2. Badanie właściwości zbiornika o kształcie stożka 19 5. Układ sterowania.. 22 5.1. Regulator.. 22 5.2. Komunikacja pomiędzy symulatorem i sterownikiem 23 6. Adaptacja nastaw regulatora... 24 6.1. Adaptacja nastaw dla zbiornika o kształcie kulistym.. 24 6.2. Adaptacja nastaw dla zbiornika o kształcie stożka.. 28 7. Porównanie sterowania z adaptacją nastaw ze sterowaniem przy pomocy standardowo nastrojonego regulatora.. 31 8. Wnioski... 35 Literatura 36 3

4

1. Wstęp Celem projektu było stworzenie symulatorów obiektów hydraulicznych, będących zbiornikami o kulistym i stożkowym kształcie oraz zaprojektowanie algorytmów sterowania tymi obiektami. Cechą charakterystyczną obiektów analizowanych w projekcie są duże stałe czasowe. Przeprowadzenie doświadczeń mających na celu zbadanie doświadczalne charakterystyk takich obiektów byłoby bardzo czasochłonnym zajęciem. W takiej sytuacji, znając modele matematyczne, jesteśmy w stanie zasymulować ich działanie i w prosty sposób przyśpieszyć czas symulacji, by zbadać charakterystyki obiektów. Rozdział 1. projektu poświęcono wyprowadzeniu modeli matematycznych rozpatrywanych obiektów hydraulicznych. W rozdziałach 2. i 3. opisane zostało tworzenie symulatora tych obiektów przy pomocy pakietu LabView. Zbiorniki rozpatrywane w pracy są obiektami charakteryzującymi się dużą nieliniowością. W rozdziale 4. zostały zamieszczone wyniki badania ich charakterystyk statycznych i dynamicznych. Sterowanie takimi obiektami wymaga zastosowania regulatora, który dopasowuje się do aktualnego stanu obiektu. Projektowanie takiego regulatora przy pomocy metody gain scheduling opisano w rozdziale 6. Kolejnym krokiem było zrealizowanie połączenia między sterownikiem a symulowanym obiektem. W tym celu posłużono się wymianą danych przez serwer OPC symulowany w środowisku ProTool RT. Opis zrealizowanego połączenia znajduje się w rozdziale 5. W dalszej części pracy przedstawiono porównanie adaptacyjnego systemu sterowania ze sterowaniem bez adaptacji. Zamieszczono również wnioski wyciągnięte z tego porównania. 5

2. Modele matematyczne obiektów hydraulicznych Obiektami rozpatrywanymi w projekcie są zbiorniki o kształcie kulistym oraz stożkowym. Sterowanie nimi odbywa się poprzez zmianę wartości przepływu objętościowego doprowadzonego na wejście zbiornika. Powoduje ona zmianę wysokości cieczy w zbiorniku. Do wyprowadzenia równań opisujących zbiorniki posłużono się równaniami bilansu masy. Przyjęto założenie, że wypływ cieczy ze zbiornika odbywa się w sposób grawitacyjny. 2.1. Opis zbiornika o kształcie kulistym Pierwszym z rozpatrywanych obiektów jest zbiornik o kształcie kulistym i wymiarach takich jak na rysunku 1. Nie uwzględniono geometrii podłączenia instalacji doprowadzającej oraz odprowadzającej ciecz, więc podczas obliczeń brana jest pod uwagę cała objętość bryły stanowiącej zbiornik. Ciecz jest do niego doprowadzana przez pompę, która może wygenerować przepływ z zakresu od 0 do 300 [ cm3 ], dla której przyjęto, że jest obiektem inercyjnym s pierwszego rzędu o stałej czasowej równej 10 [s] oraz wzmocnieniu 1. Odpływ cieczy ze zbiornika jest grawitacyjny i odbywa się przez zawór, przez który ciecz przepływa turbulentnie. Dla uproszczenia przyjęto, że zawór może być w dwóch stanach otwarcia, całkowicie zamknięty oraz, podczas pracy układu, całkowicie otwarty, a jego współczynnik kv wynosi 5 [ cm5/2 ] dla stanu całkowitego otwarcia. s 6

2.2. Model matematyczny zbiornika o kształcie kulistym Rysunek 1: Zbiornik o kształcie kulistym Podczas wyprowadzania równań opisujących zbiornik o kształcie kulistym przyjęto następujące oznaczenia: R - promień kuli równy 25 [cm], h - poziom cieczy w zbiorniku, ρ - gęstość cieczy, V we - przepływ objętościowy na dopływie zbiornika, V wy - przepływ objętościowy na odpływie zbiornika, M we - przepływ masowy na dopływie zbiornika, 7

M wy - przepływ masowy na odpływie zbiornika. Podczas wyprowadzania równań posłużono się wzorem na objętość czaszy kuli, który ma następującą postać: gdzie: hcz - wysokość czaszy. V cz = πh 2 cz (R h cz ), (2.1) 3 Zbiornik został podzielony na dwie części: - dolną, dla której poziom cieczy przyjmuje wartości [0, 25) [cm]. - górną, dla której poziom cieczy przyjmuje wartości [25,50] [cm]. Każda z części została opisana osobnym równaniem różniczkowym. Wyprowadzenie modelu matematycznego części dolnej zbiornika kulistego rozpoczyna się od równania bilansu masy m cieczy w zbiorniku: dm dt = M we M wy. (2.2) Ponieważ przez zbiornik przepływa tylko jeden rodzaj cieczy możliwe jest podzielenie obu stron równania przez gęstość cieczy, dzięki czemu otrzymano przepływy objętościowe: dv cz dt = V we V wy, (2.8) Kolejnym krokiem jest podstawienie wzorów na objętość czaszy kuli oraz przepływ objętościowy cieczy przez zawór. W wyniku otrzymuje się zależność: d(πh 2 (R h 3 )) dt = V we k v h. (2.4) Po przekształceniach otrzymano model matematyczny dolnej części zbiornika w następującej postaci: dh dt = V we k v h 2πRh πh 2. (2.5) Przy wyprowadzaniu równań dla górnej części zbiornika została wprowadzona zmienna pomocnicza x opisująca różnicę między aktualnym i maksymalnym poziomem, na jaki pozwala konstrukcja zbiornika. Jest ona równa: 8

x = 2R h. (2.6) Wyprowadzenie modelu dla części górnej zbiornika rozpoczyna się, podobnie jak wyżej, od równania bilansu masy cieczy w zbiorniku: dm dt = M we M wy. (2.7) Kolejnym krokiem jest podzielenie obu stron równania przez gęstość cieczy dające w wyniku zależność: dv dt = V we V wy, (2.8) w której V oznacza objętość cieczy w zbiorniku. W zależności tej wstawiono wzór na objętość cieczy w zbiorniku oraz przepływ objętościowy cieczy przez zawór otrzymując: d( 4 3 πr3 πx 2 (R x 3 )) dt = V we k v 2R x. (2.9) Dzięki czemu po przekształceniach otrzymano model matematyczny górnej części zbiornika: dx dt = V we k v 2R x πx 2. (2.10) 2πRx 2.3. Opis zbiornika o kształcie stożka Kolejnym z rozpatrywanych obiektów jest zbiornik o kształcie stożka. W jego przypadku również nie uwzględniono geometrii podłączenia instalacji doprowadzającej oraz odprowadzającej ciecz. Podczas obliczeń brana jest pod uwagę cała objętość bryły stanowiącej zbiornik. Wymiary zbiornika znajdują się na rysunku nr.2. Przyjęto, że kąt rozwarcia stożka wynosi 30[ ]. Dopływ oraz odpływ cieczy jest zrealizowany identycznie jak w przypadku zbiornika o kształcie kulistym. Pompa może wygenerować przepływ od 0 do 300 [ cm3 s ]. 9

Rysunek 2: Zbiornik o kształcie stożka 2.4. Model matematyczny zbiornika o kształcie stożka Podczas wyprowadzania modelu matematycznego przyjęto, że α oznacza połowę kąta rozwarcia stożka. Pozostałe oznaczenia są analogiczne do oznaczeń użytych podczas wyprowadzania równań opisujących zbiornik o kształcie kulistym. Model matematyczny zbiornika o kształcie stożka został wyprowadzony, tak jak w przypadku zbiornika kulistego, w oparciu o równanie bilansu masy cieczy w zbiorniku: 10

dm dt = M we M wy. (2.11) Następnie podzielono strony równania przez gęstość cieczy oraz podstawiono wzór na objętość stożka oraz przepływ objętościowy cieczy przez zawór: d( 1 3 πtg2 (α)h 3 ) dt = V we k v h. (2.12) Dzięki czemu otrzymano model matematyczny zbiornika o kształcie stożka: dh dt = V we k v h πtg 2 (α)h 2. (2.13) 2.5. Model matematyczny pompy Przyjęto, że pompa jest obiektem inercyjnym pierwszego rzędu o następującej transmitancji: V we (s) (s) = 1 1 + 10s, (2.14) V zadane gdzie V zadane jest przepływem objętościowym na wejściu pompy. Postać czasowa odpowiadająca transmitancji (2.14) jest następująca: dv we dt = V zadane 10 V we. (2.15) 11

3. Symulator zbiorników w środowisku LabView 3.1. Równania różnicowe obiektów Wyprowadzone modele matematyczne omawianych zbiorników mają postać równań różniczkowych. Aby możliwa była ich implementacja w środowisku LabView należy je zdyskretyzować, czyli sprowadzić je do postaci równań różnicowych. Posłużyła do tego metoda Eulera. 3.1.1. Równania różnicowe opisującego zbiornik kulisty Równanie różniczkowe (2.5) stanowiące model matematyczny dolnej części zbiornika zostało już sprowadzone do postaci przedstawiającej przyrost poziomu cieczy w zbiorniku na jednostkę czasu. Wstawiając do jego prawej strony wartości V wen 1 oraz h n 1 z poprzedniego okresu próbkowania n-1 oraz mnożąc otrzymaną wartość przyrostu przez okres próbkowania Tp otrzymuje się przyrost poziomu cieczy w zbiorniku przypadający na jeden okres próbkowania. Po dodaniu tej wartości do poziomu cieczy z poprzedniego okresu próbkowania otrzymano równanie różnicowe opisujące zmianę poziomu cieczy w dolnej części zbiornika kulistego: V wen 1 k v h n 1 h n = h n 1 + T p 2. (3.1) 2πRh n 1 πh n 1 Postępując w identyczny sposób otrzymano równanie różnicowe opisujące zmianę wysokości pustej czaszy w górnej części zbiornika: V wen 1 k v 2R x n 1 x n = x n 1 + T p 2. (3.2) 2πRx n 1 πx n 1 12

3.1.2. Równanie różnicowe opisujące zbiornik o kształcie stożka Równanie różnicowe opisujące zbiornik o kształcie stożka jest następującej postaci: V wen 1 k v h n 1 h n = h n 1 + T p πtg 2 2. (3.3) (α)h n 1 Zostało wyprowadzone analogicznie do równań opisujących zbiornik kulisty. 3.1.3. Równanie różnicowe opisujące pompę Postępując analogicznie jak w przypadku wyprowadzania równań różnicowych opisujących zmiany poziomu cieczy w zbiornikach otrzymano następujące równanie różnicowe opisujące dynamikę pompy: V wen = V wen 1 V zadanen 1 + T p 10 V wen 1. (3.4) 3.2. Eliminacja błędu dzielenia przez zero Problemem, na jaki można się natknąć podczas numerycznej implementacji równań (3.2), (3.3) i (3.4) opisujących modele rozpatrywanych zbiorników jest konieczność dzielenia przez wartość poziomu cieczy w zbiorniku, która może przyjmować wartości równe bądź bliskie zeru. Rozwiązaniem tego problemu jest zastąpienie wówczas pewnej części zbiornika o kształcie kulistym lub stożka zbiornikiem o kształcie walca. 13

3.2.1. Rozwiązanie problemu dla zbiornika o kształcie kulistym Pierwszym krokiem było wyprowadzenie modelu matematycznego zbiornika o kształcie walca: gdzie rw jest promieniem koła tworzącego podstawę walca. dh dt = V we k v h, (3.5) πr2 w Równanie (3.5) zostało wyprowadzone w analogiczny sposób do wyprowadzenia równań opisujących zbiornik kulisty oraz stożkowy. Zbiornikiem o kształcie walca została zastąpiona czasza o wysokości 0,1 [cm], czyli 0,2% wysokości całego zbiornika. Porównując objętość rozpatrywanej czaszy oraz objętość walca, możliwe było obliczenie wartości promienia koła tworzącego podstawę walca: r w = 1,5801 [cm]. Na tej podstawie możliwe było wyprowadzenie metodą Eulera równania różnicowego opisującego zmianę poziomu cieczy w zbiorniku o kształcie walca: V wen 1 k v h n 1 h n = h n 1 + T p π(1,5801) 2. (3.6) Powyższe równanie zastosowano w dolnej części zbiornika. Problem dzielenia przez zero i wartości bliskie zeru pojawia się również w górnej części zbiornika kulistego. Po wprowadzeniu zmiennej pomocniczej (2.6) uzyskano następujący model matematyczny zbiornika o kształcie walca zastępującego taką samą objętość oraz o takich samych wymiarach jak w przypadku dolnej części: dx dt = V we k v 2R x π(1,5801) 2. (3.7) Umożliwiło to wyprowadzenie równania różnicowego następującej postaci: x n = x n 1 + T p ( V we n 1 k v 2R x n 1 πr w 2 ). (3.8) 14

3.2.2. Rozwiązanie problemu dla zbiornika o kształcie stożka Rozpatrując przypadek zbiornika o kształcie stożka należało zastąpić nieco większą jego część zbiornikiem o kształcie walca. Jest to spowodowane tym, że jak widać w mianowniku równania (3.3), występuje jedynie człon zawierający wartość poziomu cieczy podniesioną do kwadratu. Przyjęto, że zastąpione zostanie 0,5 [cm] dolnej części zbiornika, czyli 1% wysokości całego obiektu. Porównując objętość zastępowanego fragmentu stożka ze wzorem na objętość walca otrzymano promień koła tworzącego podstawę walca: r w = 0,0774 [cm]. Po podstawieniu do równania różnicowego opisującego zmianę poziomu cieczy w zbiorniku o kształcie walca otrzymujemy: V wen 1 k v h n 1 h n = h n 1 + T p π(0,0774) 2. (3.9) Rozwiązanie to nie eliminuje całkowicie problemu, jednak w znacznym stopniu ogranicza wartość błędu otrzymywanego poziomu cieczy w zbiorniku podczas symulacji. 3.3. Implementacja równań w środowisku LabView W symulacji została wykorzystana pętla while ("While Loop"). Wewnątrz niej znajduje się bloczek ("Formula Node") zawierający algorytm obliczający wartość sterowania wystawianego przez pompę i symulujący zachowanie się poziomu cieczy w zbiorniku. Na wejścia bloczka podawana jest wartość V * zadane, V * we oraz h z poprzedniej iteracji. Jeden cykl wykonania programu trwa jedną sekundę. Podczas niego obliczane jest sto iteracji, w których obliczana jest zmiana poziomu cieczy w zbiorniku oraz sterowanie wystawiane przez pompę. Rysunki 3 oraz 4 przedstawiają zaimplementowany w języku graficznym symulator zbiornika kulistego oraz jego panel. Symulator zbiornika o kształcie stożka został wykonany w analogiczny sposób. 15

Rysunek 3 Diagram symulatora zbiornika o kształcie kulistym Rysunek 4 Panel symulatora zbiornika o kształcie kulistym 16

4. Badanie charakterystyk rozpatrywanych obiektów Symulatory stworzone w LabView posłużyły do zbadania właściwości dynamicznych oraz statycznych rozpatrywanych obiektów hydraulicznych. Za obiekty uważane są zbiorniki bez urządzeń wykonawczych, czyli pomp. 4.1. Badanie właściwości zbiornika o kształcie kulistym Aby skutecznie sterować obiektem należy w pierwszej kolejności zbadać jego dynamikę. W tym celu obserwuje się np. zachowanie obiektu po skokowej zmianie wartości wymuszenia. Na rysunku 5 przedstawiono odpowiedź obiektu na skokową zmianę przepływu na wejściu zbiornika z 32 [ cm3 ] na 33 [cm3 ]. s s Rysunek 5: Przykładowa odpowiedź poziomu cieczy w zbiorniku kulistym na skokową zmianę przepływu na wejściu Można zauważyć, że badany obiekt może zostać przybliżony inercją pierwszego rzędu, której transmitancja jest następująca: gdzie: k - wzmocnienie, T - stała czasowa. K(s) = k 1 + st, (4.1) 17

Stała czasowa T to czas, po jakim odpowiedź obiektu przyjmuje 63,2% wartości osiąganej w stanie ustalonym, natomiast wzmocnienie w rozpatrywanym przypadku jest obliczane następująco: k = h V we. (4.2) Wzmocnienie obiektu oraz stała czasowa zmieniają się wraz ze zmianą poziomu cieczy w zbiorniku. W przypadku z rysunku 5 powyższe parametry przyjmują następujące wartości: k = 2,5 [ ms cm 3], T= 2710 [s]. W celu sprawdzenia poprawności odczytanych wartości stałej czasowej oraz wzmocnienia narysowano wykres porównujący odpowiedź na skokową zmianę przepływu z 32 [ cm3 ] na 33 [ cm3 ] symulowanego obiektu oraz odpowiadającej mu inercji pierwszego rzędu. s s Rysunek 6: Porównanie odpowiedzi symulowanego obiektu oraz inercji pierwszego rzędu, będącej jego przybliżeniem Kolejnym krokiem było zbadanie charakterystyki statycznej obiektu. Badanie polega na kolejnych zmianach wartości zadanej i odczytywaniu wartości ustalającej się na wyjściu w stanach ustalonych. Po przeprowadzeniu takiego doświadczenia otrzymano wyniki przedstawione w tabeli 1. V we [ cm3 s ] Poziom cieczy w 18

zbiorniku [cm] 0 0 5 1 10 4 15 9 20 16 25 25 30 36 32 41 33 43,5 34 46,2 Tabela 1: Zależność poziomu cieczy w stanie ustalonym od przepływu wejściowego Pozwoliły one na przedstawienie charakterystyki statycznej badanego obiektu w postaci następującego wykresu: Rysunek 7: Charakterystyka statyczna zbiornika o kształcie kulistym Z powyższego wykresu wynika, że badany obiekt jest obiektem nieliniowym. Nieliniowość wynika z kształtu zbiornika (w całej jego wysokości zmienia się powierzchnia tafli cieczy) oraz z odpływu grawitacyjnego (wartość przepływu na odpływie zbiornika zależy od pierwiastka poziomu cieczy w zbiorniku). 4.2. Badanie właściwości zbiornika o kształcie stożka 19

Badanie właściwości zbiornika wymagało w pierwszej kolejności wykreślenia przykładowej odpowiedzi skokowej obiektu. Na rysunku 8 znajduje się odpowiedź obiektu na skokową zmianę wartości przepływu na wejściu z 31 [ cm3 ] na 33 [cm3 ]. s s Rysunek 8: Przykładowa odpowiedź poziomu cieczy w zbiorniku o kształcie stożka na skokową zmianę przepływu na wejściu Zbiornik o kształcie stożka, tak jak zbiornik kulisty, może zostać przybliżony inercją pierwszego rzędu. Parametry te, dla przypadku z rysunku 8, przyjmują następujące wartości: k = 2,56 [ ms cm 3], T= 680 [s]. Zachowanie elementu inercyjnego o wyznaczonych parametrach porównano na rysunku 9 z zachowaniem symulowanego obiektu dla skoku przepływu na wejściu takiego jak dla przypadku z rysunku 8. 20

Rysunek 9: Porównanie odpowiedzi symulowanego obiektu oraz inercji pierwszego rzędu, będącej jego przybliżeniem Kolejnym krokiem było wyznaczenie charakterystyki statycznej obiektu. W tym celu przeprowadzono takie samo doświadczenie jak w przypadku zbiornika kulistego. Wyniki przedstawiono w tabeli poniżej. V we [ cm3 Poziom cieczy w s ] zbiorniku [cm] 0 0 5 1 10 4 15 9 20 16 25 25 29 33,64 31 38,43 33 43,55 35 49 Tabela 2: Zależność poziomu cieczy w stanie ustalonym od przepływu wejściowego Pozwoliło to na przedstawienie charakterystyki statycznej badanego obiektu w postaci wykresu przedstawionego na rysunku 10. 21

Rysunek 10: Charakterystyka statyczna zbiornika o kształcie stożka Z wyznaczonej charakterystyki statycznej można było wywnioskować, że obiekt jest obiektem nieliniowym, a na jego nieliniowość wpływa, tak jak w przypadku zbiornika kulistego, odpływ grawitacyjny oraz zależność powierzchni tafli od poziomu cieczy. 22

5. Układ sterowania Sterowanie zbiornikami zostało zrealizowane w następujący sposób - symulator stworzony w LabView wysyła na serwer OPC aktualny poziom cieczy w zbiorniku oraz poziom zadany. Sterownik pobiera te wartości z serwera i oblicza sterowanie, które jest wysyłane na serwer a następnie pobierane przez symulator. Przedstawiono to w sposób ideowy na rysunku 11. Rysunek 11: Schemat układu sterowania zbiornikiem 5.1. Regulator Regulator został zrealizowany na sterowniku Siemensa S7-300 CPU 315-2 DP. Sterownik odczytuje wartości h oraz hzadane z serwera OPC i podaje je na wejście bloczka FB41, czyli bloczka regulatora o działaniu ciągłym. Realizowany jest algorytm regulacji PID - człon różniczkujący jest włączony ze względu na duże, w stosunku do wymiarów zbiornika, prze- 23

pływy jakie są podawane na wejście obiektu. Program znajduje się w bloku OB35, który jest wywoływany co 100 [ms]. Częstość wywoływania programu została dobrana tak, aby była mniejsza od częstości odświeżania serwera OPC - co 500 [ms] odświeżany jest serwer, a co 1 [s] wywoływany jest program. 5.2. Komunikacja pomiędzy symulatorem i sterownikiem Komunikacja pomiędzy symulatorem i sterownikiem odbywa się poprzez serwer OPC, który jest symulowany w środowisku ProTool RT. Zadeklarowane są w nim zmienne powiązane ze zmiennymi zadeklarowanymi w bloku DB2 sterownika. Symulator stworzony w LabView ma do nich dostęp poprzez odpowiednie skonfigurowanie bloczków zmiennych ("Control" oraz "Indicator"). Na rysunku 8 pokazano przykładową konfigurację bloczka "Indicator", który służy do przesyłania wartości poziomu cieczy w zbiorniku do serwera. Ponieważ symulator ma zapisywać zmienną na serwerze z listy "Access Type" należy wybrać pole "Write Only". W okienku "Patch" znajduje się adres zmiennej na serwerze OPC. Pozostałe zmienne zostały skonfigurowane w analogiczny sposób. Rysunek 12: Przykładowa deklaracja zmiennej przesyłanej na serwer OPC 24

6. Adaptacja nastaw regulatora 6.1. Adaptacja nastaw dla zbiornika o kształcie kulistym Problemem na jaki można się natknąć podczas strojenia regulatora dla obiektu o nieliniowej charakterystyce jest bardzo duża różnica pomiędzy wartościami wzmocnienia oraz stałych czasowych badanego obiektu dla różnych punktów pracy. Dla rozpatrywanego przypadku zbiornika kulistego po przybliżeniu go inercją pierwszego rzędu wartość wzmocnienia waha się między 0,2 a 2,7 [ ms cm3], a wartość stałej czasowej między 24 a 4400 [s]. Powoduje to, że nastawy obliczone dla jednego punktu pracy zupełnie nie sprawdzą się, gdy zmieni się poziom cieczy w zbiorniku. Rozwiązaniem tego problemu może być adaptacja nastaw regulatora. Pierwszym krokiem wyznaczenia równań do obliczania nastaw regulatora było obliczenie nastaw dla zbadanych wcześniej punktów pracy. Ponieważ obiekt regulacji jest połączony szeregowo z pompą, będącą elementem wykonawczym, możliwe było wyznaczenie wypadkowej transmitancji o następującej postaci: gdzie: K w (s) = k (1 + st 1 )(1 + st 2 ), (6.1) T 1 = 10 [s], jest stałą czasową pompy. Nastawy będą obliczane tak, aby transmitancja układu regulacji redukowała się do postaci: gdzie: K w (s) = Tc - dopuszczalna szybkość zmian wyjścia obiektu. Aby to osiągnąć nastawy są obliczane w następujący sposób: - czas całkowania: - czas różniczkowania: 1 (1 + st c ), (6.2) T i = T 1 + T 2, (6.3) T d = T 1T 2 T 1 + T 2, (6.4) 25

- wzmocnienie regulatora: k r = T i T c k. (6.5) Do obliczeń wykorzystano odpowiedzi skokowe otrzymane podczas badania charakterystyki statycznej zbiornika. Przyjęto, że dopuszczalna szybkość zmian Tc wynosi 40 [s]. Wyznaczone nastawy są przedstawione w poniższej tabeli. Poziom cieczy w zbiorniku [cm] T i [s] T d [s] k r 0 34 7,05 4,25 1 226 9,55 9,41 4 891 9,88 22,27 9 2050 9,95 36,60 16 3505 9,97 48,68 25 4410 9,97 50,11 36 3760 9,97 37,60 41 2720 9,96 27,20 43,5 2000 9,95 18,51 Tabela 3: Nastawy regulatora PID w zależności od poziomu cieczy w zbiorniku Otrzymane wyniki należało aproksymować w celu uniknięcia skokowych zmian nastaw podczas pracy regulatora. Można zauważyć, że wartości czasu całkowania oraz wzmocnienia regulatora rosną do poziomu 25 [cm], po czym zaczynają maleć. W celu zwiększenia dokładności aproksymacji zbiornik podzielono na dwie części, dla których wyznaczono metodą najmniejszych kwadratów osobne wielomiany aproksymujące obliczające nastawę na podstawie aktualnego poziomu h cieczy w zbiorniku. Aproksymacja czasu całkowania regulatora PID Czas całkowania dla poziomu mniejszego bądź równego 25 [cm] jest obliczany w następujący sposób: T i = 0,2299h 3 + 4,7461h 2 + 200,279h + 28,3639, (6.6) natomiast dla poziomu większego niż 25 [cm] następująco: 26

T i = 0,0735h 3 1,8093h 2 + 258,6334h + 223,4828. (6.7) Dodatkowo, dla równania (6.7) założono, że wartość obliczonego czasu całkowania nie może spaść poniżej 34 [s]. Założenie to wprowadzono, ponieważ parametr ten nie może być ujemny, a w przypadku regulowanego obiektu podanie zbyt małej nastawy czasu całkowania powoduje znaczny spadek jakości regulacji. Graficzna porównanie równań aproksymujących z obliczonymi wartościami nastaw została przedstawiona na wykresie: obliczone nastawy aproksymacja Rysunek 13: Aproksymacja czasu całkowania regulatora PID Aproksymacja czasu różniczkowania regulatora PID W przypadku zbiornika o kształcie kuli najdokładniejsze przybliżenie nastaw czasu różniczkowania otrzymano po pominięciu w obliczeniach nastawy dla poziomu równego 0 [cm] i przybliżeniu reszty nastaw funkcją liniową. Dla takiego postępowania błąd aproksymacji całego zakresu poziomów cieczy jest mniejszy od 0,2 sekundy kosztem dokładności nastaw dla poziomów mniejszych niż 1 [cm]. Wielomian aproksymujący czas różniczkowania regulatora ma następującą postać: T i = 0,005h + 9,7897. (6.8) Wynik aproksymacji został przedstawiony na rysunku 14. 27

obliczone nastawy aproksymacja Rysunek 14: Aproksymacja czasu różniczkowania regulatora PID Aproksymacja wzmocnienia regulatora PID Wzmocnienie regulatora jest obliczane według następujących równań: - dla poziomu cieczy mniejszego bądź równego 25 [cm]: T i = 0,0014h 3 0,1598h 2 + 4,9469h + 4,5056. (6.9) - dla poziomu cieczy większego niż 25 [cm]: T i = 0,0069h 3 + 0,6401h 2 20,8517h + 278,4183, (6.10) oraz wzmocnienie regulatora dla tej części zbiornika nie może spaść poniżej 18. Graficzne porównanie otrzymanych równań aproksymujących z obliczonymi nastawami znajduje się na wykresie poniżej. obliczone nastawy aproksymacja Rysunek 15: Aproksymacja wzmocnienia regulatora PID 28

6.2. Adaptacja nastaw dla zbiornika o kształcie stożka Dla zbiornika o kształcie stożka nastawy zostały obliczone tą samą metodą, jak w przypadku zbiornika kulistego. Dopuszczalna szybkość zmian Tc również wynosi 40 [s]. Wyniki zostały przedstawione w tabeli 4. Poziom cieczy w zbiorniku [cm] T i [s] T d [s] k r 0 26 6,15 3,25 1 23 5,65 0,95 4 32 6,87 0,80 9 67 8,50 1,19 16 181 9,44 2,51 25 427 9,76 4,94 33,64 690 9,85 7,20 38,43 940 9,89 9,17 43,55 1280 9,92 11,74 Tabela 4: Nastawy regulatora PID w zależności od poziomu cieczy Nastawy są przybliżane wielomianami drugiego stopnia. W celu zwiększenia dokładności aproksymacji podczas obliczeń pominięto obliczone wartości nastaw dla poziomu cieczy w zbiorniku równemu 0 [cm]. Skutkiem tego było znaczne poprawienie dokładności przybliżenia obliczanych nastaw dla poziomów większych niż 1 [cm], czyli dla prawie całego zakresu regulacji. Aproksymacja czasu całkowania regulatora PID Czas całkowania jest aproksymowany następującym równaniem: T i = 0,7115h 2 3,1634h + 34,7509. (6.11) Graficzne porównanie wyznaczonego równania aproksymującego z obliczonymi nastawami znajduje się na rysunku 16. 29

obliczone nastawy aproksymacja Rysunek 16: Aproksymacja czasu całkowania regulatora PID Aproksymacja czasu różniczkowania regulatora PID Czas różniczkowania jest przybliżany następującymi równaniami: - dla poziomu cieczy mniejszego bądź równego 16 [cm]: T d = 0,0144h 2 + 0,4998h + 5,1436, (6.12) - dla poziomu cieczy więlszego niż 16 [cm]: T d = 0,0166h + 9,2506. (6.13) Przybliżenie to przedstawiono na wykresie 17. Rysunek 17: Aproksymacja czasu różniczkowania regulatora PID 30

Aproksymacja wzmocnienia regulatora PID Wzmocnienie regulatora PID jest aproksymowane następującym równaniem: k r = 0,0051h 2 + 0,0256h + 0,7440. (6.14) Wynik aproksymacji został przedstawiony na wykresie 18. Rysunek 18: Aproksymacja wzmocnienia regulatora PID 31

7. Porównanie sterowania z adaptacją nastaw ze sterowaniem przy pomocy standardowo nastrojonego regulatora W celu oceny jakości zastosowanej w pracy metody adaptacji nastaw porównano odpowiedzi obiektu układu z regulatorem nastrojonym tą metodą z odpowiedziami układu z regulatorem nastrojonym dla jednej, wybranej wartości poziomu cieczy. Zastosowano metodę obliczania nastaw taką jak w przypadku regulatora z adaptacją. Regulatory nastrojono dla połowy zbiorników, czyli dla poziomu 25 [cm]. Poniżej znajdują się przebiegi regulacji zbiornika kulistego dla skoku wartości zadanej z 0 [cm] do: - 5 [cm], Rysunek 19: Porównanie przebiegu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku kulistym dla wartości zadanej - 20 [cm]. równej 5 [cm] Rysunek 20: Porównanie przebiegu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku kulistym dla wartości zadanej równej 20 [cm] 32

- 45 [cm]. Rysunek 21: Porównanie przebiegu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku kulistym dla wartości zadanej równej 45 [cm] Można zauważyć, że nie istnieje zauważalna różnica pomiędzy regulacją z adaptacją nastaw a regulacją bez adaptacji. Ponadto, w żadnym z tych wypadków uchyb w stanie ustalonym nie zeruje się a dla wartości zadanej równej 45 [cm] szybciej i dokładniej działa układ regulacji nastrojony dla połowy zbiornika. Podobną sytuację można zaobserwować przy przeprowadzeniu takiego doświadczenia na zbiorniku o kształcie stożka. W celu znalezienia przyczyny tego zjawiska przedstawiono transmitancję zamkniętego układu regulacji w postaci: gdzie: K(s) = - Ko(s) - transformata obiektu regulacji, - Kr(s) - transformata regulatora PID. K o(s)k r (s) 1 + K o (s)k r (s), (7.1) Licznik oraz mianownik równania może zostać podzielony przez wzmocnienie regulatora kr, dzięki czemu otrzymano: gdzie: K(s) = K o(s)r r (s), (7.2) 1 + K k o (s)r r (s) r R r (s) = K r(s) k r. Dla dużych wartości wzmocnienia regulatora prawa strona równania (7.2) przyjmuje w przybliżeniu wartość 1, czyli wymuszenie jest przenoszone na wyjście układu. Aby to sprawdzić wprowadzono następujące nastawy do regulatora: T i = 8000s, 33

T d = 5s, k r = 200, czyli czas całkowania oraz różniczkowania znacznie różni się od wartości wyliczonych w podrozdziale (6.1). Tak nastrojony regulator połączono ze zbiornikiem kulistym, co dało przebieg odpowiedzi obiektu na skokową zmianę wartości zadanej z 0 na 20 [cm] przedstawiony na rysunku 22. Rysunek 22: Przebieg regulacji poziomu cieczy w zbiorniku kulistym dla dużego wzmocnienia Jak widać na rysunku 22 odpowiedź obiektu stabilizuje się na wartości zadanej z niewielkim przeregulowaniem. Można z tego wnioskować, że w celu poprawy jakości regulacji obiektów o charakterystyce takiej, jak badane zbiorniki, czyli będące w pewnym przybliżeniu inercjami o dużych stałych czasowych, można w znacznym stopniu zwiększyć wzmocnienie regulatora. Uwzględniając powyższe zjawisko wprowadzono zmiany w algorytmie doboru nastaw regulatora PID zaimplementowanego na sterowniku, wzmocnienie w całym zakresie regulacji ma stałą wartość i jest równe odpowiednio: - dla zbiornika kulistego 50, - dla zbiornika stożkowego 12. Z przeprowadzonych doświadczeń wynika, że przy takim doborze wzmocnienia regulatora układ działa szybciej oraz uchyb w stanie ustalonym jest bliski zeru. Na rysunkach 23 (zbiornik kulisty) i 24 (zbiornik stożkowy) przedstawiono przykładowe odpowiedzi układu regulacji na skokową zmianę wartości zadanej z 0 na 40 [cm]. 34

Rysunek 23: Przykład działania układu regulacji zbiornika kulistego Rysunek 24: Przykład działania układu regulacji zbiornika stożkowego 35

8. Wnioski W ramach pracy wyprowadzono modele matematyczne zbiorników o kształcie kulistym oraz stożkowym. Na bazie tych modeli stworzono symulatory zbiorników w środowisku LabView. Kolejnym etapem prac było zbadanie charakterystyk statycznych i dynamicznych rozpatrywanych obiektów. Umożliwiło to obliczenie nastaw regulatora PID na podstawie zarejestrowanych odpowiedzi skokowych obiektów. Aby zaimplementowany na sterowniku firmy SIEMENS regulator działał poprawnie aproksymowano obliczone nastawy dla pełnego zakresu zmian poziomu cieczy w zbiornikach. Kolejnym krokiem było zrealizowanie połączenia między sterownikiem a stworzonymi symulatorami. Wymiana danych tą metodą wymaga jedynie zasymulowania na komputerze serwera OPC, dzięki czemu do przesyłania informacji między środowiskiem LabView a zaimplementowanym regulatorem wystarczy jedynie odpowiednio zadeklarować zmienne w symulatorze oraz sterowniku. Tak skonfigurowany układ regulacji poddano testowi. Porównano przebieg wartości regulowanej dla sterowania z adaptacją nastaw i przy użyciu regulatora nastrojonego dla połowy zbiornika. Zaobserwowano, że przebiegi różnią się od siebie jedynie w niewielkim stopniu. Ponadto układ bez adaptacji działa szybciej i dokładniej dla dużych poziomów cieczy. Wpływ na to ma charakter układu - duża stała czasowa oraz to, że badane zbiorniki połączone z urządzeniami wykonawczymi, czyli pompami, są w przybliżeniu inercjami drugiego rzędu sprawiają, że można w znacznym stopniu zwiększyć obliczone nastawy wzmocnienia regulatora bez obawy o spadek jakości regulacji. Takie działanie sprawia, że układ szybciej osiąga stan ustalony oraz znacznie poprawia się dokładność jego działania. Zastosowano to spostrzeżenie do poprawy algorytmu adaptacji nastaw regulatora. 36

Literatura [1] PID Control User Manual SIMATIC [2] J. Klamka, M. Pawełczyk, J. Wyrwał: Metody numeryczne. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 2001 [3] LabView User Manual, National Instruments, April 2003 Edition [4] K. J. Åström, Björn Wittenmark: Adaptive control. Addison. Weasley Publishing Company, 1989 [5] Jerzy Pułaczewski: Automatyka. WSiP, 1977 37