09.10.2008
Plan prezentacji 1 Wstęp Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe 2 3 4
Diagram Ferrersa Wstęp Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe Niech λ = {λ 1 λ 2 λ m } będzie podziałem liczby n. DEFINICJA: Diagramem Ferrersa odpowiadajacym λ nazywamy tablicę F λ komórek indeksowanych parami (i, j), takimi że 1 i m, 1 j λ i. FORMALNIE: F λ = {(i, j) N 2 : 1 i m, 1 j λ i }
Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe
Tableau Young a Wstęp Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe DEFINICJA: Tableau Young a odpowiadajacym diagramowi Ferrersa F λ nazywamy takie ustawienie liczb 1, 2,..., n w komórkach diagramu, że każdy wiersz i kolumna tworza ciag uporzadkowany rosnaco. FORMALNIE: Tableau Young a to funkcja t : F λ {1, 2,..., n}, taka że (i,j) Fλ t(i, j) t(i + 1, j) t(i, j) t(i, j + 1). Liczbę wszystkich tableau Young a diagramu F λ oznaczamy przez f λ.
Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe
Haczyk (Hook) Wstęp Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe DEFINICJA: Haczykiem odpowiadajacym komórce (i, j) z diagramu Ferrersa F λ nazywamy zbiór H ij komórek (a, b), takich że a = i b j lub a i b = j. FORMALNIE: H ij = {(a, b) F λ : (a = i b j) (a i b = j)} DEFINICJA: Długościa haczyka nazwiemy liczbę komórek w zbiorze H ij.
Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe
Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe
Twierdzenie Haczykowe Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe TWIERDZENIE HACZYKOWE (FRAME ROBINSON THRALL) Jeśli λ jest podziałem liczby n, to f λ = n! (i,j) F λ h ij
DOWÓD PRAWA HACZYKOWEGO
Idea dowodu Wstęp 1 Napiszemy rekurencyjny wzór na f λ.
Idea dowodu Wstęp 1 Napiszemy rekurencyjny wzór na f λ. 2 Pokażemy, że nasza formuła haczykowa spełnia wzór rekurencyjny. W tym celu podamy probabilistyczna interpretację tego wzoru.
Wzór rekurencyjny Niech f λ f (λ 1, λ 2,..., λ m ) dla {λ 1 λ 2 λ m }. 8 0 λ nie jest podziałem n, >< 1 m = 1, f (λ 1,..., λ m) = mx >: f (λ 1,..., λ α 1,..., λ m) wpp. α=1
f (4, 3, 3, 1, 1) = f (3, 3, 3, 1, 1) + f (4, 3, 2, 1, 1) + f (4, 3, 3, 1)
Co chcemy pokazać? Chcemy pokazać, że formuła haczykowa 0 λ nie jest podziałem n, n! FH(λ 1,..., λ m ) = wpp. (i,j) F λ h ij spełnia nasz wzór rekurencyjny.
Do sprawdzenia sa trzy przypadki: Gdy λ nie jest podziałem n OK
Do sprawdzenia sa trzy przypadki: Gdy λ nie jest podziałem n OK Gdy m = 1 OK FH(λ 1 ) = λ 1! λ 1! = n! (i,j) F λ h ij = f (λ 1 )
Do sprawdzenia sa trzy przypadki: Gdy λ nie jest podziałem n OK Gdy m = 1 OK Gdy m > 1... FH(λ 1 ) = λ 1! λ 1! = n! (i,j) F λ h ij = f (λ 1 )
Trzeba pokazać, że FH(λ 1,..., λ m ) = co w skrócie zapiszemy m FH(λ 1,..., λ α 1,..., λ m ) α=1 FH = α FH α czyli 1 = α FH α FH
Rozważmy eksperyment losowy: Wybieramy losowa komórkę (i, j) z diagramu F λ. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki to 1. n
Rozważmy eksperyment losowy: Wybieramy losowa komórkę (i, j) z diagramu F λ. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki to 1. n Wybieramy losowa komórkę (i, j ) (i, j) z haczyka H ij. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki z haczyka to 1. h ij 1
Rozważmy eksperyment losowy: Wybieramy losowa komórkę (i, j) z diagramu F λ. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki to 1. n Wybieramy losowa komórkę (i, j ) (i, j) z haczyka H ij. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki z haczyka to 1. h ij 1 Następna losowa komórkę wybieramy spośród komórek haczyka H i j i tak dalej.
Rozważmy eksperyment losowy: Wybieramy losowa komórkę (i, j) z diagramu F λ. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki to 1. n Wybieramy losowa komórkę (i, j ) (i, j) z haczyka H ij. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki z haczyka to 1. h ij 1 Następna losowa komórkę wybieramy spośród komórek haczyka H i j i tak dalej. Kontynuujemy proces aż trafimy do jakiegoś rogu.
Rozważmy eksperyment losowy: Wybieramy losowa komórkę (i, j) z diagramu F λ. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki to 1. n Wybieramy losowa komórkę (i, j ) (i, j) z haczyka H ij. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki z haczyka to 1. h ij 1 Następna losowa komórkę wybieramy spośród komórek haczyka H i j i tak dalej. Kontynuujemy proces aż trafimy do jakiegoś rogu.
Rozważmy eksperyment losowy: Wybieramy losowa komórkę (i, j) z diagramu F λ. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki to 1. n Wybieramy losowa komórkę (i, j ) (i, j) z haczyka H ij. Prawdopodobieństwo wybrania każdej komórki z haczyka to 1. h ij 1 Następna losowa komórkę wybieramy spośród komórek haczyka H i j i tak dalej. Kontynuujemy proces aż trafimy do jakiegoś rogu. Czy każdy eksperyment się zakończy?
Wynikiem każdego eksperymentu jest pewna losowa ścieżka. DEFINICJA: Ścieżka w diagramie Ferrersa F λ nazwiemy ciag (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a k, b k ) wyników kolejnych losowań w eksperymencie losowym.
Eksperyment losowy definiuje przestrzeń probabilistyczna. Zdarzenia elementarne to ścieżki. Prawdopodobieństwo ścieżki: P((a 1, b 1 ) (a k, b k )) = 1 k 1 n 1 h ai b i 1 i=1
Niech αβ będzie zdarzeniem polegajacym na tym, że ścieżka kończy się w komórce (α, β). LEMAT O PRAWDOPODOBIEŃSTWIE KOŃCA ŚCIEŻKI P(αβ) = FH α FH
OBSERWACJA 1 FH α FH = 1 n = 1 n 1 i<α 1 i<α h iβ h iβ 1 (1 + 1 j<β 1 h iβ 1 ) h αj h αj 1 = 1 j<β (1 + 1 h αj 1 )
DEFINICJA Śladem ścieżki (a 1, b 1 ) (a k, b k ) nazywamy parę zbiorów (A, B), taka że A = {a 1, a 2,..., a k } B = {b 1, b 2,..., b k } Niech A, B będzie zdarzeniem polegajacym na tym, że ścieżka ma ślad (A, B).
Niech ab będzie zdarzeniem polegajacym na tym, że ścieżka zaczyna się od komórki (a, b). OBSERWACJA 2 Jeśli α = max A, β = max B, a = min A, b = min B, to P(A, B ab) = i A,i α 1 h iβ 1 j B,j β 1 h αj 1 =:
DOWÓD OBSERWACJI 2 Indukcja względem ( A, B ). A = 1, B 1 P({α}, B ab) = P({α}, B ab) P(ab) = Y j B,j β 1 h αj 1 = 1 n Y j B,j β 1 n 1 h αj 1
DOWÓD OBSERWACJI 2 Indukcja względem ( A, B ). A = 1, B 1 P({α}, B ab) = P({α}, B ab) P(ab) = Y j B,j β B = 1, A 1 analogicznie 1 h αj 1 = 1 n Y j B,j β 1 n 1 h αj 1
B > 1, A > 1 Niech ab, cd będzie zdarzeniem polegajacym na tym, że ścieżka zaczyna się od komórek (a, b) (c, d). P(A, B ab) = = = P(A, B ab) = P(ab) P(A, B ab, cb) P(ab, cb) P(ab) P(A, B ab, cb) 1 1 1 n + n h ab 1 + P(A, B ab, ad) P(ab, ad) P(ab) P(A, B ab, ad) 1 1 1 n = n h ab 1 =
1 P(A, B ab) = (P(A, B ab, cb) + P(A, B ab, ad)) = h ab 1 1 = (P(A a, B cb) + P(A, B b ad)) = h ab 1 1 = h ab 1 ((h aβ 1) Y +(h αb 1) Y ) = = (h aβ 1) + (h αb 1) Y Y = h ab 1 KONIEC DOWODU OBSERWACJI 2
WNIOSEK P(αβ) = 1 n P(A, B ab) = 1 n = 1 n = FH α FH 1 i<α i A,i α (1 + 1 h iβ 1 j B,j β 1 h iβ 1 ) FHα FH = 1 1 j<β 1 h αj 1 (1 + 1 h αj 1 )
KONIEC DOWODU PRAWA HACZYKOWEGO
Zamiast pokazywać, że formuła haczykowa spełnia równanie rekurencyjne można pokazać, że każdy tableau Young a jest jednakowo prawdopodobny. Prawdopodobieństwo wygenerowania każdego tableau Young a wynosi: 1 FH
Wstęp C. Greene, A. Nijenhuis, H. S. Wilf, A probabilistic proof of a formula for the number of Young tableaux of a given shape, Adv. in Math. 31 (1979), 104-109, Jean-Christophe Novelli, Igor Pak, Alexander V. Stoyanovskii, A direct bijective proof of the hook-length formula.