Bisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja
|
|
|
- Dominika Piekarska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych
2 Plan prezentacji Przypomnienie:
3 Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna
4 Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Definicje bisymulacji i równoważności
5 Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Definicje bisymulacji i równoważności Inne wersje gry
6 Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Definicje bisymulacji i równoważności Inne wersje gry Indukcja i koindukcja
7 Przypomnienie
8 Gra bisymulacyjna
9 Dwóch graczy: Spoiler i Duplikator
10 Dwóch graczy: Spoiler i Duplikator Pozycje: pary stanów (P, Q) S
11 Dwóch graczy: Spoiler i Duplikator Pozycje: pary stanów (P, Q) S Przebieg gry: W pozycji (P, Q) Spoiler wykonujer ruch P α P (lub Q α Q ). Duplikator odpowiada, wykonujac ruch Q α Q (odpowiednio: P α P ). Następnie rozgrywkę kontynuuje się od (P, Q ).
12 Dwóch graczy: Spoiler i Duplikator Pozycje: pary stanów (P, Q) S Przebieg gry: W pozycji (P, Q) Spoiler wykonujer ruch P α P (lub Q α Q ). Duplikator odpowiada, wykonujac ruch Q α Q (odpowiednio: P α P ). Następnie rozgrywkę kontynuuje się od (P, Q ). Rozstrzygnięcie: Gracz, który nie może wykonać ruchu, przegrywa. W przypadku rozgrywki nieskończonej zawsze wygrywa Duplikator.
13 Gra bisymulacyjna Przykład
14 Gra bisymulacyjna Twierdzenie Systemy P i Q sa bisymulacyjnie równoważne (ozn. P Q) wtedy i tylko wtedy, gdy Duplikator ma strategię wygrywajac a w grze rozpoczynajacej się od (P, Q).
15 Gra bisymulacyjna (Słaba) bisymulacja Wprowadzamy specjalna akcję τ, oznaczajac a sprawy własne. Odpowiedzia Duplikatora na ruch α jest ci gdzie â = a, τ = ɛ. ag τ bα, τ
16 Gra bisymulacyjna (Słaba) bisymulacja
17 Silna bisymulacja i silna równoważność
18 Silna bisymulacja Definicja Niech S będzie zbiorem stanów (P, Q,.. S), na którym dana jest rodzina relacji binarnych { a S S} a A. Silna bisymulacja nazwiemy relację binarna R na S taka, że jeśli (P, Q) R, (i) P a P Q Q a Q i (P, Q ) R, (ii) Q a Q P P a P i (P, Q ) R.
19 Silna bisymulacja Definicja Niech S będzie zbiorem stanów (P, Q,.. S), na którym dana jest rodzina relacji binarnych { a S S} a A. Silna bisymulacja nazwiemy relację binarna R na S taka, że jeśli (P, Q) R, (i) P a P Q Q a Q i (P, Q ) R, (ii) Q a Q P P a P i (P, Q ) R. Uwaga: jest świetnym przykładem silnej bisymulacji!
20 Silna bisymulacja Przykład
21 Silna bisymulacja Przykład Znajdź silna bisymulację, która zawiera parę (SEM 3, SEM SEM SEM).
22 Silna bisymulacja Przykład Znajdź silna bisymulację, która zawiera parę (SEM 3, SEM SEM SEM). {(SEM 3, SEM SEM SEM), (SEM 3, SEM SEM SEM), (SEM 3, SEM SEM SEM), (SEM 3, SEM SEM SEM ) (SEM 3, SEM SEM SEM), (SEM 3, SEM SEM SEM ), (SEM 3, SEM SEM SEM ), (SEM 3, SEM SEM SEM )}
23 Silna bisymulacja Własności Twierdzenie Niech P i, i = 1, 2,.. - silne bisymulacje. Wówczas: 1 Id S 2 P 1 i 3 P 1 P 2 4 i I P i sa silnymi bisymulacjami.
24 Silna równoważność Definicja P i Q sa silnie równoważne (ozn. P Q), gdy (P, Q) R dla pewnej silnej bisymulacji R.
25 Silna równoważność Definicja P i Q sa silnie równoważne (ozn. P Q), gdy (P, Q) R dla pewnej silnej bisymulacji R. Inaczej: = {R : R jest silna bisymulacja}.
26 Silna równoważność Uwaga 1 jest największa silna bisymulacja 2 jest relacja równoważności
27 i równoważność obserwacyjna
28 Po co nam coś słabszego? Dotychczas w naszym modelu była tylko komunikacja pomiędzy agentami. Przypomnienie: specjalna akcja τ oznacza sprawy własne.
29 Po co nam coś słabszego? Dotychczas w naszym modelu była tylko komunikacja pomiędzy agentami. Przypomnienie: specjalna akcja τ oznacza sprawy własne. Definicja Niech S będzie zbiorem stanów (P, Q,.. S), na którym dana jest rodzina relacji binarnych { α S S} α A. (Słaba) bisymulacja nazwiemy relację binarna R na S taka, że jeśli (P, Q) R, (i) P α P Q Q τ bα τ Q i (P, Q ) R, (ii) Q α Q P P τ bα τ P i (P, Q ) R, gdzie â = a, τ = ɛ.
30 Przykład
31 Przykład Znajdź bisymulację, która zawiera parę (A 0, B 1 ).
32 Przykład Znajdź bisymulację, która zawiera parę (A 0, B 1 ). {(A 0, B 1 ), (A 1, B 1 ), (A 2, B 2 )}
33 Obserwacyjna równoważność Definicja P i Q sa obserwacyjne równoważne (ozn. P Q), gdy (P, Q) R dla pewnej bisymulacji R.
34 Obserwacyjna równoważność Definicja P i Q sa obserwacyjne równoważne (ozn. P Q), gdy (P, Q) R dla pewnej bisymulacji R. Inaczej: = {R : R jest bisymulacja}.
35 Obserwacyjna równoważność Definicja P i Q sa obserwacyjne równoważne (ozn. P Q), gdy (P, Q) R dla pewnej bisymulacji R. Inaczej: = {R : R jest bisymulacja}. Obserwacyjna równoważność posiada własności analogiczne do silnej równoważności.
36 Inne wersje gry
37 Inne wersje gry Wersja symetryczna Usymetryczniamy zdefiniowana wcześniej grę (dla słabej bisymulacji), tzn. ruchy Spoilera sa postaci τ bα. τ Pozostałe zasady się nie zmieniaja.
38 Inne wersje gry Wersja symetryczna Usymetryczniamy zdefiniowana wcześniej grę (dla słabej bisymulacji), tzn. ruchy Spoilera sa postaci τ bα. τ Pozostałe zasady się nie zmieniaja. Jaki jest zwiazek tej gry z gra bisymulacyjna? (Czy równoważność w tak zdefiniowanej grze i równoważność bisymulacyjna sa tym samym?)
39 Inne wersje gry Wersja symetryczna Usymetryczniamy zdefiniowana wcześniej grę (dla słabej bisymulacji), tzn. ruchy Spoilera sa postaci τ bα. τ Pozostałe zasady się nie zmieniaja. Jaki jest zwiazek tej gry z gra bisymulacyjna? (Czy równoważność w tak zdefiniowanej grze i równoważność bisymulacyjna sa tym samym?) Oczywiście Spoilerowi sprawy nie utrudniamy, bo może grać dokładnie tak, jak w grze bisymulacyjnej. Czyli: jeśli Duplikator ma strategię wygrywajac a w grze symetrycznej, ma także strategię wygrywajac a w grze bisymulacyjnej.
40 Inne wersje gry Wersja symetryczna Usymetryczniamy zdefiniowana wcześniej grę (dla słabej bisymulacji), tzn. ruchy Spoilera sa postaci τ bα. τ Pozostałe zasady się nie zmieniaja. Jaki jest zwiazek tej gry z gra bisymulacyjna? (Czy równoważność w tak zdefiniowanej grze i równoważność bisymulacyjna sa tym samym?) Oczywiście Spoilerowi sprawy nie utrudniamy, bo może grać dokładnie tak, jak w grze bisymulacyjnej. Czyli: jeśli Duplikator ma strategię wygrywajac a w grze symetrycznej, ma także strategię wygrywajac a w grze bisymulacyjnej. Trochę wbrew intuicji, Duplikatorowi też życia nie utrudniamy. Wręcz przeciwnie, jeśli Duplikator potrafi odpowiadać na pojedyncze ruchy, potrafi też odpowiedzieć na kilka τ oraz α zagrane bez przerwy.
41 Inne wersje gry Długie ruchy Grę bisymulacyjna (dla silnej lub słabej bisymulacji) modyfikujemy w następujacy sposób: Spoiler wykonuje ruchy o α dowolnej długości, np.: β. γ Pozostałe zasady się nie zmieniaja.
42 Inne wersje gry Długie ruchy Grę bisymulacyjna (dla silnej lub słabej bisymulacji) modyfikujemy w następujacy sposób: Spoiler wykonuje ruchy o α dowolnej długości, np.: β. γ Pozostałe zasady się nie zmieniaja. Jaki jest zwiazek tej gry z gra bisymulacyjna? (Czy równoważność w tak zdefiniowanej grze i równoważność bisymulacyjna sa tym samym?)
43 Inne wersje gry Długie ruchy Grę bisymulacyjna (dla silnej lub słabej bisymulacji) modyfikujemy w następujacy sposób: Spoiler wykonuje ruchy o α dowolnej długości, np.: β. γ Pozostałe zasady się nie zmieniaja. Jaki jest zwiazek tej gry z gra bisymulacyjna? (Czy równoważność w tak zdefiniowanej grze i równoważność bisymulacyjna sa tym samym?) Odpowiedź jest analogiczna, jak dla gry symetrycznej.
44 Inne wersje gry Symulacja Do gry bisymulacyjnej dodajemy istotna regułę: Spoiler przed gra wybiera, na którym systemie będzie grał i przez cała rozgrywkę nie będzie tego zmieniał. Pozostałe zasady się nie zmieniaja.
45 Inne wersje gry Symulacja Do gry bisymulacyjnej dodajemy istotna regułę: Spoiler przed gra wybiera, na którym systemie będzie grał i przez cała rozgrywkę nie będzie tego zmieniał. Pozostałe zasady się nie zmieniaja. Jaki jest zwiazek tej gry z gra bisymulacyjna? (Czy równoważność symulacyjna i bisymulacyjna sa tym samym?
46 Inne wersje gry Symulacja Do gry bisymulacyjnej dodajemy istotna regułę: Spoiler przed gra wybiera, na którym systemie będzie grał i przez cała rozgrywkę nie będzie tego zmieniał. Pozostałe zasady się nie zmieniaja. Jaki jest zwiazek tej gry z gra bisymulacyjna? (Czy równoważność symulacyjna i bisymulacyjna sa tym samym? Oczywiście, jeśli Duplikator ma strategię wygrywajac a w grze bisymulacyjnej, ma też strategię wygrywajac a w grze symulacyjnej. Czy w druga stronę implikacja zachodzi?
47 Gra symulacyjna Przykład Powyższe systemy nie sa bisymulacyjne równoważne, natomiast Duplikator ma strategię wygrywajac a w grze symulacyjnej.
48 Inne wersje gry Gra o zakontraktowanej długości Tym razem do gry bisymulacyjnej dodajemy następujace reguły: na poczatku gry Spoiler wybiera długość gry (liczbę kroków). Gra odbywa się standardowo, jednak w przypadku osiagnięcia zadeklarowanej przez Spoilera liczby kroków, Duplikator wygrywa (tak, jakby gra była już nieskończona). Pozostałe zasady się nie zmieniaja.
49 Inne wersje gry Gra o zakontraktowanej długości Tym razem do gry bisymulacyjnej dodajemy następujace reguły: na poczatku gry Spoiler wybiera długość gry (liczbę kroków). Gra odbywa się standardowo, jednak w przypadku osiagnięcia zadeklarowanej przez Spoilera liczby kroków, Duplikator wygrywa (tak, jakby gra była już nieskończona). Pozostałe zasady się nie zmieniaja. Jaki jest zwiazek takiej gry z gra bisymulacyjna? (Czy równoważność w takiej grze i równoważność bisymulacyjna sa tym samym?
50 Inne wersje gry Gra o zakontraktowanej długości Tym razem do gry bisymulacyjnej dodajemy następujace reguły: na poczatku gry Spoiler wybiera długość gry (liczbę kroków). Gra odbywa się standardowo, jednak w przypadku osiagnięcia zadeklarowanej przez Spoilera liczby kroków, Duplikator wygrywa (tak, jakby gra była już nieskończona). Pozostałe zasady się nie zmieniaja. Jaki jest zwiazek takiej gry z gra bisymulacyjna? (Czy równoważność w takiej grze i równoważność bisymulacyjna sa tym samym? Oczywiście, jeśli Duplikator ma strategię wygrywajac a w grze bisymulacyjnej, ma też strategię wygrywajac a w tej wersji gry. Czy w druga stronę implikacja zachodzi?
51 Gra o zakontraktowanej długości Przykład
52 Gra o zakontraktowanej długości Przykład Powyższe systemy nie sa bisymulacyjne równoważne, natomiast Duplikator ma strategię wygrywajac a w grze o dowolnej, z góry ustalonej długości.
53 Indukcja i koindukcja
54 Indukcja i koindukcja Algebry i koalgebry Algebra dla zbioru skończonych słów nad alfabetem A (A ): A, α : ({ } + (A A )) A, gdzie α( ) = ɛ, α( a, w ) = a w.
55 Indukcja i koindukcja Algebry i koalgebry Algebra dla zbioru skończonych słów nad alfabetem A (A ): A, α : ({ } + (A A )) A, gdzie α( ) = ɛ, α( a, w ) = a w. Koalgebra dla zbioru słów skończonych i nieskończonych: A ω, γ : A ω ({ } + (A A ω )), gdzie γ(ɛ) =, γ(a w) = a, w.
56 Indukcja i koindukcja Dualność algebr i koalgebr algebra relacja substytutywna kongruencja indukcja koalgebra = system bisymulacja bisymulacja + równoważność koindukcja
57 Koalgebry Ściślej Definicja Niech F : S S - funktor. F koalgebra lub F system to para (S, α S ), gdzie S - zbiór stanów, oraz α S : S F(S). S nazywamy nośnikiem systemu, α S to F struktura tranzycyjna lub po prostu struktura tranzycyjna systemu S.
58 Koalgebry Przykład Jak zwykle S będzie zbiorem stanów (P, Q,.. S), na którym dana jest rodzina relacji binarnych { a S S} a A. Definiujemy funktor B(X) = (A X) = {V V A X}.
59 Koalgebry Przykład Jak zwykle S będzie zbiorem stanów (P, Q,.. S), na którym dana jest rodzina relacji binarnych { a S S} a A. Definiujemy funktor B(X) = (A X) = {V V A X}. System tranzycyjny może być reprezentowany jako B system (S, α S ) poprzez: α S : S B(S), s { a, s s a s }.
60 Koindukcja Zasada dowodu koindukcyjnego R - bisymulacja, S - system. s,s S((s, s ) R s = s )
61 Definicje koindukcyjne Przykład 1 - Zipujemy strumienie Niech F(S) = A S - funktor systemu tranzycyjnego z wyjściem, (A, h, t ) - system.
62 Definicje koindukcyjne Przykład 1 - Zipujemy strumienie Niech F(S) = A S - funktor systemu tranzycyjnego z wyjściem, (A, h, t ) - system. Niech zip : A A A spełnia: h, t (zip a v, w ) = (a, zip w, v ).
63 Definicje koindukcyjne Przykład 1 - Zipujemy strumienie Niech F(S) = A S - funktor systemu tranzycyjnego z wyjściem, (A, h, t ) - system. Niech zip : A A A spełnia: h, t (zip a v, w ) = (a, zip w, v ). Czy prawda jest, że zip a, b = (ab)?
64 Definicje koindukcyjne Przykład 1 - Zipujemy strumienie Niech F(S) = A S - funktor systemu tranzycyjnego z wyjściem, (A, h, t ) - system. Niech zip : A A A spełnia: h, t (zip a v, w ) = (a, zip w, v ). Czy prawda jest, że zip a, b = (ab)? Niech R A A składa się z par: { zip a, b, (ab), zip b, a, (ba) }. Pokażemy, że R jest bisymulacja, czyli a A, v,w R v a v i w a w v, w R.
65 Definicje koindukcyjne Przykład 1 - Zipujemy strumienie h, t (zip a v, w ) = (a, zip w, v ) Czy zip a, b = (ab)? R = { zip a, b, (ab), zip b, a, (ba) } Pokażemy, że R jest bisymulacja, czyli a A, v,w R v a v i w a w v, w R. Rozważmy pierwsza parę z R. zip a, b a zip b, a
66 Definicje koindukcyjne Przykład 1 - Zipujemy strumienie h, t (zip a v, w ) = (a, zip w, v ) Czy zip a, b = (ab)? R = { zip a, b, (ab), zip b, a, (ba) } Pokażemy, że R jest bisymulacja, czyli a A, v,w R v a v i w a w v, w R. Rozważmy pierwsza parę z R. zip a, b a zip b, a oraz (ab) a (ba).
67 Definicje koindukcyjne Przykład 1 - Zipujemy strumienie h, t (zip a v, w ) = (a, zip w, v ) Czy zip a, b = (ab)? R = { zip a, b, (ab), zip b, a, (ba) } Pokażemy, że R jest bisymulacja, czyli a A, v,w R v a v i w a w v, w R. Rozważmy pierwsza parę z R. zip a, b a zip b, a oraz (ab) a (ba). Ale zip b, a, (ba) R.
68 Definicje koindukcyjne Przykład 1 - Zipujemy strumienie h, t (zip a v, w ) = (a, zip w, v ) Czy zip a, b = (ab)? R = { zip a, b, (ab), zip b, a, (ba) } Pokażemy, że R jest bisymulacja, czyli a A, v,w R v a v i w a w v, w R. Rozważmy pierwsza parę z R. zip a, b a zip b, a oraz (ab) a (ba). Ale zip b, a, (ba) R. Podobnie dla drugiej pary.
69 Definicje koindukcyjne Przykład 1 - Zipujemy strumienie h, t (zip a v, w ) = (a, zip w, v ) Czy zip a, b = (ab)? R = { zip a, b, (ab), zip b, a, (ba) } Pokażemy, że R jest bisymulacja, czyli a A, v,w R v a v i w a w v, w R. Rozważmy pierwsza parę z R. zip a, b a zip b, a oraz (ab) a (ba). Ale zip b, a, (ba) R. Podobnie dla drugiej pary. Czyli znaleźliśmy bisymulację, więc mamy dowód.
70 Definicje koindukcyjne Przykład 2 - Konkatenacja strumieni (skończonych lub nieskończonych) Niech : A ω A ω A ω spełnia: v a v v w a v w, v i w a w v w a v w, v i w v w
71 Definicje koindukcyjne Przykład 2 - Konkatenacja strumieni (skończonych lub nieskończonych) Niech : A ω A ω A ω spełnia: v a v v w a v w, v i w a w v w a v w, v i w v w Czy prawda jest, że v ɛ = ɛ v = v?
72 Definicje koindukcyjne Przykład 2 - Konkatenacja strumieni (skończonych lub nieskończonych) Niech : A ω A ω A ω spełnia: v a v v w a v w, v i w a w v w a v w, v i w v w Czy prawda jest, że v ɛ = ɛ v = v? Niech R = { ɛ v, v v A ω }. Widać, że R jest bisymulacja. Podobnie dla v ɛ. Znaleźliśmy bisymulacje, więc mamy dowód.
73 Definicje koindukcyjne Przykład 2 - Konkatenacja strumieni (skończonych lub nieskończonych) Niech : A ω A ω A ω spełnia: v a v v w a v w, v i w a w v w a v w, v i w v w Czy ta konkatenacja jest łaczna?
74 Definicje koindukcyjne Przykład 2 - Konkatenacja strumieni (skończonych lub nieskończonych) Niech : A ω A ω A ω spełnia: v a v v w a v w, v i w a w v w a v w, v i w v w Czy ta konkatenacja jest łaczna? Niech R = { (u v) w, u (v w) u, v, w A ω }. R jest bisymulacja, ale łatwiej pokazać, że S = R { u, u u A ω } jest bisymulacja.
75 Definicje koindukcyjne Przykład 2 - Konkatenacja strumieni (skończonych lub nieskończonych) v a v v w a v w, v i w a w v w a v w, v i w v w Czy ta konkatenacja jest łaczna? S = { (u v) w, u (v w) u, v, w A ω } { u, u u A ω } Sa trzy możliwości: 1 u, u
76 Definicje koindukcyjne Przykład 2 - Konkatenacja strumieni (skończonych lub nieskończonych) v a v v w a v w, v i w a w v w a v w, v i w v w Czy ta konkatenacja jest łaczna? S = { (u v) w, u (v w) u, v, w A ω } { u, u u A ω } Sa trzy możliwości: 1 u, u
77 Definicje koindukcyjne Przykład 2 - Konkatenacja strumieni (skończonych lub nieskończonych) v a v v w a v w, v i w a w v w a v w, v i w v w Czy ta konkatenacja jest łaczna? S = { (u v) w, u (v w) u, v, w A ω } { u, u u A ω } Sa trzy możliwości: 1 u, u - oczywiste 2 (ɛ v) w, ɛ (v w) >
78 Definicje koindukcyjne Przykład 2 - Konkatenacja strumieni (skończonych lub nieskończonych) v a v v w a v w, v i w a w v w a v w, v i w v w Czy ta konkatenacja jest łaczna? S = { (u v) w, u (v w) u, v, w A ω } { u, u u A ω } Sa trzy możliwości: 1 u, u - oczywiste 2 (ɛ v) w, ɛ (v w) >
79 Definicje koindukcyjne Przykład 2 - Konkatenacja strumieni (skończonych lub nieskończonych) v a v v w a v w, v i w a w v w a v w, v i w v w Czy ta konkatenacja jest łaczna? S = { (u v) w, u (v w) u, v, w A ω } { u, u u A ω } Sa trzy możliwości: 1 u, u - oczywiste 2 (ɛ v) w, ɛ (v w) > - (ɛ v) w = v w = ɛ (v w), czyli jesteśmy u, u 3 (u v) w, u (v w), u ɛ
80 Definicje koindukcyjne Przykład 2 - Konkatenacja strumieni (skończonych lub nieskończonych) v a v v w a v w, v i w a w v w a v w, v i w v w Czy ta konkatenacja jest łaczna? S = { (u v) w, u (v w) u, v, w A ω } { u, u u A ω } Sa trzy możliwości: 1 u, u - oczywiste 2 (ɛ v) w, ɛ (v w) > - (ɛ v) w = v w = ɛ (v w), czyli jesteśmy u, u 3 (u v) w, u (v w), u ɛ
81 Definicje koindukcyjne Przykład 2 - Konkatenacja strumieni (skończonych lub nieskończonych) v a v v w a v w, v i w a w v w a v w, v i w v w Czy ta konkatenacja jest łaczna? S = { (u v) w, u (v w) u, v, w A ω } { u, u u A ω } Sa trzy możliwości: 1 u, u - oczywiste 2 (ɛ v) w, ɛ (v w) > - (ɛ v) w = v w = ɛ (v w), czyli jesteśmy u, u 3 (u v) w, u (v w), u ɛ - u a u, więc (u v) w a (u v) w oraz u (v w) a u (v w), czyli pozostajemy w R. Znaleźliśmy bisymulacje, więc mamy dowód.
82 Definicje koindukcyjne Przykład 3 - Dodawanie liczb naturalnych (w systemie unarnym) Niech : {1} ω {1} ω {1} ω spełnia: n n n m n m, n i m m n m n m, n i m n m, gdzie s(n) n, s - następnik.
83 Definicje koindukcyjne Przykład 3 - Dodawanie liczb naturalnych (w systemie unarnym) Niech : {1} ω {1} ω {1} ω spełnia: n n n m n m, n i m m n m n m, n i m n m, gdzie s(n) n, s - następnik. Czy 0 m = m?
84 Definicje koindukcyjne Przykład 3 - Dodawanie liczb naturalnych (w systemie unarnym) Niech : {1} ω {1} ω {1} ω spełnia: n n n m n m, n i m m n m n m, n i m n m, gdzie s(n) n, s - następnik. Czy 0 m = m? Tak (jak konkatenacja z ɛ)
85 Definicje koindukcyjne Przykład 3 - Dodawanie liczb naturalnych (w systemie unarnym) Niech : {1} ω {1} ω {1} ω spełnia: n n n m n m, n i m m n m n m, n i m n m, gdzie s(n) n, s - następnik. Czy 0 m = m? Tak (jak konkatenacja z ɛ) Czy s(n) m = s(n m)?
86 Definicje koindukcyjne Przykład 3 - Dodawanie liczb naturalnych (w systemie unarnym) Niech : {1} ω {1} ω {1} ω spełnia: n n n m n m, n i m m n m n m, n i m n m, gdzie s(n) n, s - następnik. Czy 0 m = m? Tak (jak konkatenacja z ɛ) Czy s(n) m = s(n m)? Tak, bo R = { s(n) m, s(n m) } { n, n } jest bisymulacja.
87 Definicje koindukcyjne Przykład 3 - Dodawanie liczb naturalnych (w systemie unarnym) n n n m n m, n i m m n m n m, n i m n m, gdzie s(n) n, s - następnik. Czy to dodawanie jest przemienne?
88 Definicje koindukcyjne Przykład 3 - Dodawanie liczb naturalnych (w systemie unarnym) n n n m n m, n i m m n m n m, n i m n m, gdzie s(n) n, s - następnik. Czy to dodawanie jest przemienne? Najpierw pokażemy, że n s(m) = s(n) m. R = { n s(m), s(n) m } { n, n } jest bisymulacja.
89 Definicje koindukcyjne Przykład 3 - Dodawanie liczb naturalnych (w systemie unarnym) n n n m n m, n i m m n m n m, n i m n m, gdzie s(n) n, s - następnik. Czy to dodawanie jest przemienne? Najpierw pokażemy, że n s(m) = s(n) m. R = { n s(m), s(n) m } { n, n } jest bisymulacja. Korzystajac z tego otrzymujemy, że Q = { n m, m n } jest bisymulacja. Znaleźliśmy bisymulacje, więc mamy dowód.
90 Dziękuję za uwagę
Bisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja
Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych 11.03.2009 Czym będziemy się zajomwać? Plan prezentacji Silna bisymulacja i silna równoważność Plan prezentacji Silna bisymulacja i silna równoważność
Algorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5
Algorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5 Wykład prowadził dr hab. Igor Walukiewicz Notatki przygotował Dymitr Pszenicyn 02-04-2003 1 Spis treści 1 Przypomnienie 3 1.1
Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Zadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też. A = (A, Q, q I, F, δ)
Zadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też L = {vw : vuw L dla pewnego u A takiego, że u = v + w } Rozwiązanie. Niech A =
1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
JAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych
JAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych Definicja gramatyki bezkontekstowej Podstawowymi narzędziami abstrakcyjnymi do opisu języków formalnych są gramatyki i automaty. Gramatyka bezkontekstowa
Zasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.
Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym
Bisymulacja, automaty czasowe
Krzysztof Nozderko kn201076@zodiac.mimuw.edu.pl 13 grudzień 2005 Plan wykładu 1 Automaty czasowe 2 Regiony 3 Bisymulacja Plan wykładu 1 Automaty czasowe 2 Regiony 3 Bisymulacja Plan wykładu 1 Automaty
Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Matematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:
Zbiory 1 Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich
Teoria liczb. Wykład nr 9: Przybliżanie liczb rzeczywistych. Ułamki łańcuchowe (cz.1) Semestr letni 2018/2019
Teoria liczb Wykład nr 9: Przybliżanie liczb rzeczywistych. Ułamki łańcuchowe (cz.1) Semestr letni 2018/2019 Trzy sposoby definiowania liczb rzeczywistych Dedekind Parę (A, B) podzbiorów zbioru Q nazywamy
Zbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
O centralizatorach skończonych podgrup
O centralizatorach skończonych podgrup GL(n, Z) Rafał Lutowski Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdańskiego III Północne Spotkania Geometryczne Olsztyn, 22-23 czerwca 2009 1 Wprowadzenie Grupy podstawowe
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
Przykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}
Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.
vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE
UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,
2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego
2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną G = gdzie: N zbiór symboli nieterminalnych, T zbiór symboli terminalnych, P zbiór
Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
DEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.
RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego
BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH
BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest
ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
Wykład 1 Wybrane problemy algorytmiki
Wykład 1 Wybrane problemy algorytmiki mgr Agnieszka Zbrzezny IPI PAN mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 1 / 23 Literatura 1 Jewels of stringology World Scientific, 2002, W. Rytter,
0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Schematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Rozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji
Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Zbiory 2 Pary uporządkowane 3 Relacje Zbiory dystrybutywne
Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1
FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru
Minimalizacja automatów niedeterministycznych na słowach skończonych i nieskończonych
Szczepan Hummel Minimalizacja automatów niedeterministycznych na słowach skończonych i nieskończonych 24.11.2005 1. Minimalizacja automatów deterministycznych na słowach skończonych (DFA) [HU] relacja
Teoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Automat ze stosem Automat ze stosem to szóstka
Algebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Strategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ
TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o
Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Wstęp do Matematyki (2)
Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie
Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi
Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni
1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Krzysztof Jakubczyk. Zadanie 2
Zadanie 2 Krzysztof Jakubczyk Moje rozwiązanie nie znajduje strategii pozycyjnej w znaczeniu zdefiniowanym na wykładzie (niezaleŝnie od pozycji startowej), gdyŝ takowa nie istnieje. Przykład: 1 1 0 Środkowa
Zadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Podstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:
Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Podstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite
Maszyna Turinga. Algorytm. czy program???? Problem Hilberta: Przykłady algorytmów. Cechy algorytmu: Pojęcie algorytmu
Problem Hilberta: 9 Czy istnieje ogólna mechaniczna procedura, która w zasadzie pozwoliłaby nam po kolei rozwiązać wszystkie matematyczne problemy (należące do odpowiednio zdefiniowanej klasy)? 2 Przykłady
Podstawowe pojęcia teorii podzielności.
Podstawowe pojęcia teorii podzielności. Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem 1 całkowitym. Mówimy, że element a dzieli b, a, b P R, (lub że a jest dzielnikiem b, lub że b jest wielokrotnością a)
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;