Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,

Podobne dokumenty
Wykład 11: Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Rachunek prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014

Dyskretne zmienne losowe

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

Statystyka Astronomiczna

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn

1.1 Rachunek prawdopodobieństwa

WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

Matematyczne Podstawy Kognitywistyki

Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka

Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1

2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Przestrzeń probabilistyczna

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Statystyka z elementami rachunku prawdopodobieństwa

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wstęp. Kurs w skrócie

Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Statystyka matematyczna

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Statystyka matematyczna

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego

Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/

Statystyka matematyczna

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.

Zmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka

Statystyka matematyczna

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Ciagi liczbowe wykład 4

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

Zajęcia fakultatywne z matematyki (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Statystyka i eksploracja danych

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń

Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład Przedmiot statystyki

WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Prawdopodobieństwo geometryczne

Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Przestrzeń probabilistyczna

Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Estymacja parametrów w modelu normalnym

Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków

Rachunek prawdopodobieństwa

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

Transkrypt:

Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni 2016/2017

Wybrane działy matematyki wyższej: tematyka wykładów Rachunek prawdopodobieństwa (6 wykładów); Elementy logiki; Elementy teorii zbiorów (teorii mnogości); Elementy algebry macierzy; Funkcje wielu zmiennych: podstawowe pojęcia; Para zmiennych losowych.

Rys historyczny G. Cardano (1501-1575): Liber de Ludo Aleae ( Księga gier losowych ); Christian Huygens, De ratiociniis in ludo aleae ( O rozumowaniu (obliczeniach) w grach losowych ); ksiażka G. Cardano wydana dopiero po opublikowaniu pracy Huygensa; G. Cantor (1845-1916): podstawy teorii zbiorów (teorii mnogości): 2 połowa XIX wieku; aksjomatyczne ujęcie teorii zbiorów: 1908-1930; zbiór podstawowym pojęciem - podstawowym bytem matematycznym ; aksjomatyczne ujęcie rachunku prawdopodobieństwa: A. Kołmogorow (1933).

Doświadczenie losowe Doświadczenie nazywamy losowym, jeśli: może być powtarzane (w zasadzie) w tych samych warunkach; wynik jego nie może być przewidziany w sposób pewny; zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia jest określony przed przeprowadzeniem doświadczenia.

Przykłady doświadczeń losowych Jesteśmy zainteresowani cenami mieszkań w mieście M. Pojedyncze doświadczenie polegałoby na znalezieniu ceny (ofertowej) mieszkania w tym mieście i zanotowaniu jej. Powtarzanie doświadczenia polegałoby na przegladnięciu ofert dotyczacych cen mieszkań, w odpowiednich serwisach internetowych, oraz zanotowaniu cen interesujacych nas mieszkań. Jesteśmy zainteresowani liczb a jajek składanych przez ptaki (powiedzmy jerzyki). Pojedyncze doświadczenie polegałoby na zaobserwowaniu liczby jajek w zaobserwowanym gnieździe. Powtarzanie doświadczenia polegałoby na znajdowaniu gniazd jerzyków i notowaniu liczby jajek.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych Definicja 1 Przestrzenia zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego. Pojedynczy element tej przestrzeni nazywać będziemy zdarzeniem elementarnym. Uwaga Przestrzeń zdarzeń elementarnych będziemy oznaczać symbolem S. W wielu podręcznikach przestrzeń zdarzeń elementarnych oznaczana jest symbolem Ω. Dowolny podzbiór skończonej lub przeliczalnej przestrzeni zdarzeń elementarnych będziemy nazywać zdarzeniem. Uwaga Zbiór nazywamy przeliczalnym, jeżeli wszystkie jego elementy można ustawić w ciag ( ponumerować ).

Przestrzeń zdarzeń elementarnych c.d. W przypadku przestrzeni zdarzeń elementarnych, która nie jest przeliczalna, wyróżniamy pewna klasę F jej podzbiorów, zwana σ-ciałem zdarzeń, i tylko elementy tej klasy nazywamy zdarzeniami, por. ksiażkę W. Krysickiego i in. [Kry99], str. 16.

Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Z dowolnym doświadczeniem kojarzyliśmy: przestrzeń zdarzeń elementarnych S; zbiór zdarzeń F; prawdopodobieństwo P (funkcję określona na zdarzeniach elementach F). Przestrzeń probabilistyczna: trójka (S, F, P).

Przestrzeń zdarzeń elementarnych- przykłady Przestrzenia zdarzeń elementarnych dla doświadczenia losowego : polegajacego na losowym wyborze mieszkania, oferowanego do sprzedaży, i podaniu jego ceny jest [0, ); polegajacego na dwukrotnym rzucie moneta jest {OO, OR, RO, RR}; zapis OO oznacza: orzeł wypadł w pierwszym i drugim rzucie itd.; polegajacego na dwukrotnym rzucie kostka jest {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)}.

Czym jest prawdopodobieństwo Podejście częstościowe: rzucajac moneta (uczciwa) N razy otrzymujemy n orłów można oczekiwać, że n/n będzie dażyć do 1/2 gdy N Podejście aksjomatyczne: każdemu zdarzeniu A, będacemu podzbiorowi przestrzeni zdarzeń elementarnych S przyporzadkowujemy liczbę P(A), spełniajac a warunki: 0 P(A) 1; gdy A =, P(A) = 0; gdy A = S, P(A) = 1; Jeśli zdarzenia A 1, A 2, A 3,... się wzajemnie wykluczaja (tj. A i A j = dla i j) i suma A 1 A 2 A 3... jest zdarzeniem, to P(A 1 A 2 A 3...) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) +....

Prawdopodobieństwo przykład Rzucamy dwukrotnie kostka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie mniejsza lub równa 3. W naszym przypadku S = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)}; przyjmujemy, że prawdopodobieństwo wszystkich zdarzeń elementarnych jest równe 1 6 6 = 1 36. Zdarzenie A, odpowiadajace wyrzuceniu nie więcej niż 3 oczek, ma postać: A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}. Stad P(A) = 3 1 36 = 1 12.

Założenie o jednakowym prawdopodobieństwie zdarzeń elementarnych Uwaga. Z formalnego punktu widzenia moglibyśmy przyjać w rozważanym przykładzie np. P((1, 1)) = P((1, 2)) = 1, P((1, 3)) = P((1, 4)) =... = P((6, 6)) = 0, 2 lecz otrzymany w ten sposób model matematyczny nie będzie sensownie opisywał naszego doświadczenia losowego.

Prawdopodobieństwo warunkowe przykład wprowadzajacy Rzucamy kostka uczciwa ; S = {s 1,..., s 6 }, Dla A S P(s i ) = 1 6, i = 1,..., 6 P(A) = #A{s i A} #{s i S}, gdzie dla dowolnego skończonego zbioru A symbol #A oznacza liczność zbioru A. Dodatkowe założenie Jedyne możliwe wyniki sa liczbami podzielnymi przez 3. Niech B = {s 3, s 6 }. Przyjmijmy, że mamy do czynienia z nowa przestrzenia zdarzeń elementarnych S 1 = B. Oznaczenie Prawdopodobieństwo zdarzenia A w przestrzeni S 1 będziemy oznaczać przez P(A B).

Prawdopodobieństwo warunkowe przykład wprowadzajacy, c.d. Na ogół P(A) nie jest równe P(A B); np. Dla A = {s 3 } P(A) = 1 6 i P(A B) = #A{s i A B} #{s i B} = 1 2, Dla A = {s 1 } P(A) = 1 6 i P(A B) = #A{s i A B} #{s i B} = 0. Obserwacja W obu przypadkach P(A B) = P(A B) P(B). Definicja 2 Dla A, B S i P(B) > 0 przyjmujemy P(A B) = P(A B) P(B).

Prawdopodobieństwo całkowite Twierdzenie 1 Niech zbiory A 1, A 2,..., A n spełniaja warunki: A 1 A 2... A n = S; A i A j = dla i j; P(A i ) > 0 dla i = 1, 2,..., n. Wtedy dla każdego zdarzenia A S ma miejsce następujacy wzór na prawdopodobieństwo całkowite: P(A) = P(A 1 )P(A A 1 ) +... + P(A n )P(A A n ).

Twierdzenie Bayesa Twierdzenie 2 Twierdzenie Bayesa Przy założeniach Twierdzenia 1 P(A i A) = P(A A i )P(A i ) P(A A 1 )P(A 1 ) +... + P(A A n )P(A n ) dla i = 1,..., n. dowód Należy skorzystać z równości P(A i A)P(A) = P(A i A) = P(A A i )P(A i )

Przykład Prawdopodobieństwo awarii w ciagu roku zespołu napędowego samochodu marki X wynosi 0, 02 przy stosowaniu oleju marki A; 0, 03 przy stosowaniu oleju marki B. Wiadomo, że spośród kierowców jeżdżacych samochodami marki X 80% używa oleju marki A; 20% używa oleju marki B. Jakie jest prawdopodobieństwo awarii zespołu napędowego (w ciagu roku) losowo wybranego samochodu marki X?

Przykład c.d. Rozwiazanie Oznaczmy: A 1 : kierowca stosuje olej marki A; A 2 : kierowca stosuje olej marki B; A - zespół napędowy ulega awarii w ciagu roku. Korzystajac ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy: P(A) = P(A A 1 )P(A 1 ) + P(A A 2 )P(A 2 ) = = 0,02 0,8 + 0,03 0,2 = 0,022. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany pojazd spośród samochodów, których zespól napędowy uległ awarii w danym roku, jest marki A można obliczyć korzystajac z twierdzenia Bayesa: P(A 1 A) = 0,02 0,8 0,02 0,8 + 0,03 0,2 0,73.

Niezależność zdarzeń Niezależność zdarzeń wiażemy z brakiem zależności przyczynowo- skutkowej. Można uznać za niezależne: wyniki kolejnych rzutów kostka; ustanowienie rekordu świata w skoku w dal na najbliższej olimpiadzie i utworzenie nowego województwa do końca bieżacego roku Definicja 3 Mówimy, że zdarzenia A i B sa niezależne, jeżeli P(A B) = P(A) P(B). Niezależność dla więcej niż dwóch zdarzeń patrz [KM01],Definicja 2.7. Uwaga Jeżeli A i B sa niezależne i P(B) > 0, to P(A B) = P(A).

Niezależność zdarzeń przykłady W przykładzie z rzutem dwoma kostkami: zdarzenie A wynik pierwszego rzutu jest równy jeden i zdarzenie B wynik drugiego rzutu jest równy 5 sa niezależne, gdyż P(A) = P(B) = 1 6 oraz P(A B) = P((1, 5)) = 1 36.

Lektura uzupełniajaca [GK00] Gajek, L., Kałuszka, M., Wnioskowanie matematyczne, modele i metody. WNT 2000. [KM01] Koronacki, J., Mielniczuk, J. Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. WNT. Warszawa 2001, podrozdział 2.1.2, str. 62-79. [Kry99] Krysicki, W., Bartos, J., Dyczka, W., Królikowska, K. i Wasilewski, M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Cz. 1, Rachunek prawdopodobieństwa, PWN 1999.