Silny indeks chromatyczny grafów autoreferat rozprawy doktorskiej

Transkrypt

1 Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Michał Dębski Silny indeks chromatyczny grafów autoreferat rozprawy doktorskiej Promotor rozprawy Prof. dr hab. Jarosław Grytczuk Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Jagiellońskiego Październik, 2015

2 1 Wst p Silnym kolorowaniem kraw dzi grafu G nazywamy kolorowanie kraw dzi G w taki sposób,»e kraw dzie w ka»dym z kolorów tworz indukowane skojarzenie w G (innymi sªowy,»adna z kraw dzi G nie mo»e przecina dwóch kraw dzi w tym samym kolorze). Silny indeks chromatyczny grafu G, oznaczany s (G), to minimalna mo»liwa liczba kolorów w silnym kolorowaniu kraw dzi grafu G. Silne kolorowanie kraw dzi modeluje problem przydziaªu kanaªów w sieci bezprzewodowej, gdzie relacja osi galno±ci jest symetryczna, tzn. je»eli jaki± w zeª u jest w zasi gu w zªa v, wówczas równie» w zeª v jest w zasi gu w zªa u ([2] i [12]). Zakªadamy,»e ka»da para w zªów b d cych nawzajem w swoim zasi gu b dzie si komunikowa i poszukujemy takiego przydziaªu kanaªów, aby caª komunikacja mogªa si odbywa jednocze±nie. u u w x w x v y v y (a) Pozycje w zªów. (b) Odpowiadaj cy graf. Rysunek 1: Model komunikacji w sieci bezprzewodowej. Aby komunikacja przebiegªa pomy±lnie, przydziaª kanaªów musi speªnia nast puj cy warunek: je»eli w zªy u i v komunikuj si u»ywaj c kanaªu c, wówczas»aden z w zªów s siaduj cych z u lub v nie mo»e u»ywa kanaªu c (w przeciwnym wypadku który± z w zªów u, v odbieraªby jednocze±nie dwie zakªócaj ce si transmisje na kanale c). Taki przydziaª odpowiada silnemu kolorowaniu kraw dzi pewnego grafu G (gdzie kolory odpowiadaj 1

3 kanaªom, wierzchoªki G odpowiadaj w zªom sieci i kraw dzie G ª cz s siaduj ce w zªy; przykªad na rysunku 1). Rozprawa kr»y wokóª jednego, zasadniczego pytania: jak du»y mo»e by silny indeks chromatyczny grafu o zadanym maksymalnym stopniu? Dla ka»dego znana jest konstrukcja grafu G o maksymalnym stopniu takiego,»e s (G) = ; w roku 1985 Erd s i Ne²et il wysun li hipotez,»e jest to najgorszy mo»liwy przypadek. Hipoteza 1 (Erd s i Ne²et il, 1985 [8]). Je»eli G jest grafem o maksymalnym stopniu, wówczas s (G) 5 4 2, for even, , for odd. Hipoteza Erd sa i Ne²et ila do dzisiaj pozostaje niepotwierdzona. Šatwo pokaza, u»ywaj c algorytmu zachªannego,»e s (G) 2 2, ale jakakolwiek poprawa staªej 2 jest ju» nietrywialnym zadaniem. W roku 1997 Molloy i Reed udowodnili, posªuguj c si niekonstruktywnym argumentem,»e s (G) [10]. Wynik ten zostaª niedawno poprawiony do s (G) przez Bruhna i Joosa [3] to ograniczenie pozostaje najlepszym znanym. Nasze rozwa»ania obejmuj równie» ograniczone i osªabione warianty problemu. W szczególno±ci, badamy uªamkowe silne kolorowania kraw dzi (które, w kontek±cie oryginalnej motywacji, odpowiadaj komunikacji z podziaªem czasu) i topologiczny parametr pokrewny silnemu indeksowi chromatycznemu. Skupiamy si na szczególnych klasach grafów, w tym na grafach dwudzielnych, bezci ciwowych i lokalnie rzadkich. 2 Metodologia W swoich rozwa»aniach stosujemy metody kombinatoryczne, zarówno konstruktywne (daj ce si przeªo»y na wielomianowy algorytm) jaki niekonstruktywne. Nasze dowody wykorzystuj maª lokaln g sto± rozwa»anych grafów przy czym g sto± jest rozumiana na kilka ró»nych sposobów, zale»nie od kontekstu. Korzystamy z twierdze«dotycz cych liczby chromatycznej i pokrewnych wªasno±ci grafów. Dla grafu G przez χ(g) oznaczamy liczb chromatyczn G, uªamkowa liczba 2

4 chromatyczna G jest oznaczana χ f (G), a topologiczny odpowiednik liczby chromatycznej G chi t (G). Pierwszym z u»ywanych narz dzi jest uªamkowa wersja hipotezy Reeda, udowodniona przez Molloya i Reeda w roku Pozwala ono na pokazanie nietrywialnego górnego ograniczenia na chi f (G), zale»nego od rozmiaru najwi kszej kliki w grae G. Twierdzenie 2 (Molloy i Reed, 2002 [11, Theorem 21.7]). Niech G b dzie grafem o maksymalnym stopniu i najwi kszej klice rozmiaru ω. Wówczas zachodzi s f(g) ω. 2 Drugim narz dziem jest twierdzenie Alona, Krivelevicha i Sudakova, które mówi,»e je»eli s siedztwo ka»dego wierzchoªka w grae G jest rzadkie (to znaczy, rozpina asymptotycznie mniej ni» (G) 2 kraw dzi), to χ(g) jest asymptotycznie mniejsze ni» (G). Twierdzenie 3 (Alon, Krivelevich i Sudakov, 1999 [1]). Istnieje staªa c taka,»e nast puj ce stwierdzenie jest prawdziwe. Je»eli G jest grafem o maksymalnym stopniu takim,»e dla ka»dego wierzchoªka v V (G) podgraf grafu G indukowany przez N(v) ma nie wi cej ni» 2 f ni» c ln f. kraw dzi, dla 1 < f, wówczas liczba chromatyczna grafu G jest nie wi ksza Ponadto, u»ywamy twierdzenia Csorby, Lange'a, Schurra i Wassmera, które pozwala na ograniczenie z góry χ t (G) w zale»no±ci o pewnej czysto kombinatorycznej wªasno±ci grafu G. Twierdzenie 4 (Csorba, Lange, Schurr i Wassmer, 2004 [4]). Je»eli G jest grafem speªniaj cym χ t (G) t, wówczas dla ka»dych l, m N speªniaj cych l + m = t, dwudzielny graf peªny K l,m jest podgrafem grafu G. 3 Uzyskane wyniki Gªówny wynik rozprawy dotyczy uªamkowego silnego indeksu chromatycznego (oznaczanego s f (G)) grafów dwudzielnych. Bezpo±rednie zastosowanie Twierdzenia 2 daje w 3

5 tym przypadku ograniczenie s f (G) (dla grafu dwudzielnego G o maksymalnych stopniu ); pokazujemy,»e staªa 1.5 jest nieoptymalna i»e mo»na j nieznacznie poprawi. Twierdzenie 5 (MD, [5]). Niech G b dzie garfem dwudzielnym o maksymalnym stopniu. Wówczas zachodzi s f(g) Drugim wynikiem jest ograniczenia na silny indeks chromatyczny grafów bezci ciwowych (graf G jest bezci ciwowy, je»eli ka»dy cykl w G jest indukowany). Dowód jest konstruktywny i przekªada si na wielomianowy algorytm znajduj cy po» dane kolorowanie; jest to algorytm 4-aproksymacyjny, poniewa» zachodzi s (G). Twierdzenie 6 (MD, Grytczuk, leszy«ska-nowak, 2015 [7]). Je»eli G jest grafem bezci ciwowym o maksymalnym stopniu, wówczas s (G) 4 3. Kolejny wynik mo»e by rozumiany jako wzmocnienie twierdzenia Mahdiana (które mówi,»e je»eli G jest grafem bez C 4 o maksymalnym stopniu, wówczas zachodzi s (G) 2 2 ; [9]); przy zastosowaniu innej techniki dowodowej potramy pokaza log (asymptotycznie) takie samo ograniczenie dla szerszej klasy grafów, zawieraj cych ma- ª liczb cykli C 4. Ponadto, dowód mo»e zosta przeªo»ony na randomizowany algorytm znajduj cy po» dane kolorowanie. Twierdzenie 7 (MD, 2015+). Istnieje staªa K taka,»e nast puj ce stwierdzenie jest prawdziwe. Niech G b dzie grafem o maksymalnym stopniu takim,»e kazda kraw d¹ G jest w co najwy»ej 2 g cyklach o dªugo±ci 4, gdzie 1 < g 2. Wówczas zachodzi s (G) K 2 ln g. Ponadto, badamy topologiczny odpowiednik silnego indeksu chromatycznego (oznaczany s t(g), gdzie G jest grafem). Pokazujemy,»e dla grafu dwudzielnego G o maksymalnym stopniu zachodzi s t(g) stanowi to istotn popraw poprzedniego najlepszego ograniczenia, wynosz cego

6 Twierdzenie 8 (MD, 2015 [6]). Niech G b dzie grafem dwudzielnym o maksymalnym stopniu. Wówczas zachodzi s t(g) Literatura [1] N. Alon, M. Krivelevich, B. Sudakov, Coloring graphs with sparse neighborhoods, Journal of Combinatorial Theory, Ser. B 77 (1999) [2] C. L. Barrett, V. S. A. Kumar, M. V. Marathe, S. Thite, G. Istrate, S. Thulasidasan, Strong Edge Coloring for Channel Assignment in Wireless Radio Networks, Pervasive Computing and Communications Workshops, IEEE International Conference on, PERCOMW'06, 2006, [3] H. Bruhn and F. Joos, A stronger bound for the strong chromatic index, preprint at arxiv: (2015). [4] P. Csorba, C. Lange, I. Schurr, A. Wassmer, Box complexes, neighborhood complexes, and the chromatic number, J. Combin. Theory Ser. A, 108 (2004), [5] M. D bski, Fractional strong chromatic index of bipartite graphs, In review. [6] M. D bski, On a topological relaxation of a conjecture of Erd s and Ne²et il, European J. Combin. 49 (2015), [7] M. D bski, J. Grytczuk, M. leszy«ska-nowak, The strong chromatic index of sparse graphs, Inf. Process. Lett. Vol. 115 (2015), no. 2, [8] P. Erd s and J. Ne²et il Problem In: Irregularities of Partitions (G. Halász, V.T. Sós, eds), Springer 1989, [9] M. Mahdian, The strong chromatic index of C4-free graphs, Random Structures Algorithms 17 (2000),

7 [10] M. Molloy, B. Reed, A bound on the strong chromatic index of a graph, J. Combin. Theory Ser. B 69 (1997), [11] M. Molloy, B. Reed, Graph Colouring and the Probabilistic Method. Springer, Berlin, [12] S. Ramanathan, A unied framework and algorithm for (T/F/C) DMA channel assignment in wireless networks, in Proc. IEEE INFOCOM'97, 1997, pp [13] B. Reed, ω, and χ, J. Graph Theory 27 (1998),