Constructions of Nonequilibrium Statistical Mechanics Piotr Nayar, Seria I
|
|
- Szymon Borkowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria I Zadanie F Maj c dan sum statystyczn Z H, T mo»emy wyznaczy energi swobodn na jeden spin ukªadu poprzez przej±cie do granicy termodynamicznej fh, T = k B T lim ln Z H, T Widom 965 zasugerowaª,»e w otoczeniu punktu krytycznego funkcja f powinna podlega reguªom skalowania w postaci λfh, t = fλ a t, λ b H, dla λ > 0, gdzie t = T T c /T c i T c jest temperatur w punkcie krytycznym, za± a i b s pewnymi rzeczywistymi parametrami Entropia s, magnetyzacja m, ciepªo wªa±ciwe c H przy staªym H oraz podatno± magnetyczna χ T mo»e by wyznaczona za pomoc wzorów s = f T M, M = µ 0 f H T, c H = T s T H, χ T = M H T Dla H = 0 i t = 0 wielko±ci termodynamiczne mog mie osobliwo±ci Asymptotyczne zachowanie wielko±ci termodynamicznych w otoczeniu punktu krytycznego mo»e by opisane przez wykªadniki krytyczne α, α, β, γ, γ, δ: { t β, gdy t 0 M0, T 0, gdy t 0 +, MH, T c ± h /δ, gdy h ±0, χ T 0, T { t γ, gdy t 0 + { t α t γ, gdy t 0, c, gdy t 0 + H0, T t α, gdy t 0 Zakªadaj c hipotez skalowania Widoma i dodatkowe zaªo»enie g y, y yc, gdy y dla pewnej staªej c, udowodnij,»e α = α = a, β = a, γ = γ = a, δ = β Wywnioskuj st d zwi zki mi dzy wykªadnikami krytycznymi α + β + γ =, γ = βδ Zadanie M pier±cie«isinga Spiny s i dla i =,, mog przyjmowa niezale»nie warto±ci ± z rozkªadem jdnostajnym Hamiltonian ukªadu dany jest wzorem Hs,, s = J s i s i+ H s i, gdzie s + = s i J > 0 Znajd¹ sum statystyczn Z H, T = exp βhs,, s, s,,s =± i= i=
2 gdzie β = /k B T Wyznacz MH, T i udowodnij,»e lim H 0 MH, T = 0 dla T > 0 Zatem nie ma przej±cia fazowego w niezerowej temperaturze Wskazówka: rozwa» macierz z Zadania 3 Zadanie 3 M Warto± ±redni funkcji mikrostanu A{s i } wzgl dem zespoªu kanonicznego deniujemy jako {s A = A{s i} i}e βh{si} = Z {s i} e βh{si} n A{s i }e βh{si} Udowodnij,»e w modelu z Zadania po przej±ciu do granicy termodynamicznej mamy j i s i s j = cos λ φ + sin φ, s i = cos φ, λ {s i} gdzie λ > λ s warto±ciami wªasnymi macierzy e K+h e K, K = J/k B T, h = H/k B T e K i cot φ = e K sinh h Zadanie 4 M e K h a Udowodnij,»e je±li r, r,, r s niezale»nymi rademacherami, to zmienne r r, r r 3,, r r s równie» niezale»nymi rademacherami; b Hamiltonian dla jednowymiarowego modelu Isinga ze swobodnymi warunkami brzegowymi oraz bez pola magnetycznego jest postaci Hs,, s = J i= s i s i+ Korzystaj c z cz ±ci a wyznacz sum statystyczn dla tego ukªadu Zadanie 5 M Znajd¹ wektory wªasne i warto±ci wªasne macierzy c c c n c n c c n M i,j=,,n = c c 3 c Poka»,»e w sytuacji gdy macierz M jest rzeczywista i symetryczna, warto±ci wªasne s równe n λ k = c s cos[πk s /n], k =,, n, s= i odpowiadaj im unormowane wektory wªasne n cos[πk s /n] + sin[πk s /n], k =,, n s=,,n
3 Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria II Zadanie M model gaussowski W modelu gaussowskim spiny mog przyjmowa warto±ci ci gªe z g sto±ci rozkªadu normalnego Zatem suma statystyczna jest równa Z H, T = exp R π i= Rozwa»my hamiltonian ukªadu spinów zadany wzorem Hs,, s = s i i,j= exp k B T Hs,, s ds ds J ij s i s j H s i, przy czym J ij = c j i mod n + Innymi sªowy mamy Hs,, s = s T Ms H i= s i, gdzie s = s, s,, s i macierz M ma posta jak w Zadaniu 5 Oznaczmy β = /k B T, h = H/k B T Udowodnij,»e i= h Z H, T = exp ln βλ i, βλ gdzie λ k s jak w zadaniu 5 Wyka»,»e w przypadku oddziaªywania najbli»- szych s siadów J ij = Jδ i j, mamy βfh, T = h 4K + 4π = h 4K + ln π 0 i= + ln 4K cos ω dω 6K Zadanie M delta Diraca a Udowodnij,»e dla funkcji f L R, hölderowskiej w zerze mamy lim M + fx +M e itx dt dx = f0 π M b Udowodnij,»e je±li σ jest miar Lebesgue'a na sferze S R i f : R R jest funkcj gªadk o zwartym no±niku, to S fs dσs = lim M +M fx e it x dt dx π R M
4 Zadanie 3 M model sferyczny Berlina i Kaca W modelu sferycznym spiny mog przyjmowa konguracje speªniaj ce warunek i= s i = Konkretniej, suma statystyczna jest równa exp S k B T Hs,, s dσs, gdzie σ jest standardow miar probabilistyczn, rotacyjnie niezmiennicz na euklidesowej sferze S Poka»,»e dla hamiltonianu z Zadania mamy Z H = 0, T = A n π / α+i exp z i πi lnz βλ dz, α i i= gdzie A du»a jest miar Lebesgue'a sfery S, a liczba α > 0 jest dostatecznie Zadanie 4 M a Przypu± my,»e g : R R jest funkcj gªadk speªniaj c g x 0 dla x supp f i niech f : R R b dzie funkcj gªadk o zwartym no±niku Udowodnij,»e fxe igx dx = o k dla wszystkich k R R b Je±li g ma sko«czenie wiele punktów krytycznych, które s niezdegenerowane, to π fxe igx dx = e 4 iπsgng x eigx fx + o 3/ g x x:g x=0 c Je±li g ma pojedyncze niezdegenerowane maksimum globalne w x = x 0, to fxe gx dx = fx 0 e gx0 π g x 0 + o 3/ γ R d Je±li f : C C jest funkcj analityczn i h : C C jest funkcj analityczn posiadaj c pojedyncze globalne maksimum cz ±ci rzeczywistej w punkcie z = z 0 i je±li γ jest konturem, to fze gz dz = e i arg[ g z 0] π g z 0 + o 3/ Oczywi±cie zakªadamy rozs dn caªkowalno± tych wyra»e«zadanie 5 M Korzystaj c z Zadania 4 oblicz energi swobodn w modelu Berlina i Kaca: βf = + [ + 4K ] / ln { + [ + 4K ] / }
5 Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria III Model Sherringtona-Kirkpatricka Zadanie M iech g ij i<j b d niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie 0, iech standardowo σ i {, +}, i =,, Deniujemy losowy hamiltonian H σσ = g ij σ i σ j i<j Zdeniujmy R, σ, σ = σi σi i oraz metryk Hamminga na konguracjach spinów dσ, σ = {i σ i σ i } Udowodnij,»e R, σ, σ = dσ, σ oraz E H σ, H σ = R,, EH σ = Zadanie M iech g i i M b d symetrycznymi gaussowskimi zmiennymi losowymi, dla których Egi τ dla i M nie zakªadamy niezale»no±ci Udowodnij,»e E max g i τ ln M i M Zadanie 3 M Udowodnij,»e Emax σ H σ/ ln Zadanie 4 M Deniujemy zmienn losow Z = σ e H σ Jest to losowa suma statystyczna Udowodnij,»e istnieje warto± oczykiwana energii swobodnej na jeden spin p = E ln Z Zadanie 5 M Zdeniujmy hamiltonian ukªadu spinów w polu magnetycznym h wzorem H σ = β g ij σ i σ j h σ i i i<j Udowodnij,»e ln p β 4 + ln + ln chh
6 Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria IV Zadanie M Udowodnij,»e dla hamiltonianu z Zadania III3 mamy 0 p β β E max σ H σ ln β Zadanie M Wprowadzamy nowy, losowy hamiltonian H σ = i σ i βz i q + h, gdzie q jest pewnym parametrem, a z, z, s niezale»nymi standardowymi zmiennymi gaussowskimi Deniujemy ±redni warto± funkcji f : Σ R gdzie Σ = {, } wzorem f = σ fσe βh σ σ e βh σ Zaobserwuj,»e miara Gibbsa zespóª kanoniczny generowana przez nowy hamiltonian jest produktowa, czyli dla funkcji f : Σ R postaci fσ = i f iσ i, gdzie f i : Σ R, mamy f = i f i i rednia i jest rozumiana jako ±rednia wzgl dem miary Gibbsa dla H i σ = σβz i q + h Udowodnij,»e σ i = thβz i q + h Udowodnij,»e Z = chβz i q + h, i p = ln + E ln chβz q + h, gdzie z jest standardow zmienn gaussowsk Zadanie 3 M Dla niezale»nych zmienych gaussowskich g,, g M deniujemy przestrze«gaussowsk G jako zbiór liniowych kombinacji z = i M a ig i Przestrze«liniow G jest naturalnie wyposa»ona w iloczyn skalarny z z = Ezz W tym sensie jest podprzestrzeni L Ω, F, P a Udowodnij,»e podprzestrzenie F, F przestrzeni G s ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy s niezale»ne b Dla dowolnego wektora z,, z M o rozkªadzie ª cznym gaussowskim istniej zmienne z,, z G takie,»e z,, z M z,, z M c dla dowolnej dodatnio okre±lonej macierzy q ij i,j M istniej zmienne y,, y M o rozkªadzie ª cznym gaussowkim speªniaj ce Ey i y j = q ij
7 Zadanie 4 M a Wyka»,»e je±li g jest symetryczn zmienn gaussowsk i F C R jest funkcj speªniaj c lim t F te at = 0 dla a > 0, to EgF g = Eg EF g b Wyka»e,»e je±li F C R n speªnia lim x F x e a x = 0 dla a > 0, to Egz,, z n = Egz i E F z,, z n, x i i n gdzie g, z, z,, z n s zmiennymi z pewnej przestrzeni gaussowskiej Zadanie 5 M Przypu± my,»e rodziny u i i i v i i s niezale»ne i maj rozkªad ª czny gaussowski Rozwa»amy losowe ±cie»ki u i t = tu i + tv i iech φt = EF ut Udowodnij,»e dla funkcji F jak w Zadaniu IV4 mamy φ t = i,j Eu i u j Ev i v j E F x i x j ut Zadanie 6 M Lemat Slepiana Przypu± my,»e rodziny u i i i v i i maj rozkªad ª czny gaussowski i F jak poprzednio Je±li F x i x j 0 dla i j, to Eu i = Ev i dla i j, Eu i u i Ev i v j dla i j, EF u EF v
8 Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria V Zadanie M nie martw si je±li nie umiesz zrobi! iech F : R M R b dzie funkcj L-lipschitzowsk wzgl dem metryki euklidesowej i niech g = g,, g M b dzie standardowym wektorem gaussowskim Wtedy dla ka»dego t > 0 mamy P F g EF g > t exp t 4L Zadanie M Dla ka»dego elementu s nale» cego do pewnego zbioru sko«czonego S rozwa»amy wektor as R M i liczb w s > 0 Deniujemy funkcj F : R M R wzorem F x = ln s S w s e x as iech g b dzie standardowym wektorem gaussowskim w R M Udowodnij,»e t P F g EF g > t exp, 4 max s S as dla t > 0, gdzie jest norm euklidesow Zadanie 3 M Udowodnij,»e losowa energia swobodna na jeden spin f = ln Z dla hamiltonianu speªnia nierówno± H σ = β g ij σ i σ j h σ i i i<j P f Ef > t exp t β
9 Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria VI Zadanie M iech u σ σ i v σ σ, σ Σ b d niezale»nymi rodzinami o rozkªadzie ª cznym gaussowskim Deniujemy ±cie»k mi dzi tymi rodzinami wzorem u σ t = tu σ + tv σ iech M = = card Σ i niech F : R M R b dzie zadana wzorem F x = ln ZX, Zx = σ w σ expx σ, gdzie w σ > 0 dla σ Σ Wprowadzamy oznaczenie Uσ, τ = Eu σu τ v σ v τ Dla f : Σ n R deniujemy σ f t =,,σ n fσ,, σ n w σ w σn expu σ t expu σn t w σ w σn expu σ t expu σn t Dla φt = EF ut udowodnij,»e φ t = E Uσ, σ t E Uσ, σ t Zadanie M iech g ij i<j i z i i b d niezale»nymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkªadzie gaussowskich iech h i i b d zmiennymi losowymi o tym samym rozkªadzie ze wszystkimi momentami sko«czonymi Deniujemy zmienne u σ = β i<j g ij σ i σ j, v σ = β i z i qσi, i funkcj φt = F ut jak w Zadaniu VI Udowodnij,»e φ t = β q E R 4, t + qe R, t, R, σ, σ = σi σi i w σ = exp h i σ i i
10 Wywnioskuj,»e φ t β 4 q, φ φ0 + β 4 q Zadanie 3 M Twierdzenie Guerra's replica-symmetric bound Dla hamiltonianu prawdziwe jest oszacowanie dla wszystkich q 0 Hσ = β g ij σ i σ j i<j i h i σ i p β, h ln + E ln chβz q + h + β 4 q, Zadanie 4 M Udowodnij,»e liczba q ekstremalizuj ca wyra»enie E ln chβz q + h + β q 4 speªnia q = Eth βz q + h Zadanie 5 M Latala-Guerra Lemma iech φ : R R b dzie rosn c funkcj nieparzyst, speªniaj ca φ y < 0 dla y > 0 Wówczas funkcja Ψx = Eφz x + h /x jest malej ca na R + i speªnia lim x + Ψx = 0 h R, z ma standardowy rozkªad normalny Zadanie 6 M Udowodnij,»e je±li Eh > 0, to równanie ma dokªadnie jedno rozwi zanie q = Eth βz q + h
11 Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria VII Zadanie M Deniujemy H σ = β g ij σ i σ j i<j i Udowodnij,»e h i σ i, p β, h = E ln Z p + β, h + p β, h + + p β, h Udowodnij,»e istnieje granica termodynamiczna pβ, h = lim p β, h Wskazówka: Rozwa» standardow ±cie»k od hamiltonianu H policz φ do hamiltonianu nieoddziaªuj cych podukªadów H σ = β g ij σ i σ j β g ij σ i σ j h i σ i i<j <i<j + i + i policz φ0 Wyznacz Uσ, σ, Uσ, σ i udowodnij,»e φ t > 0 patrz Zadania VI i VI Zadanie M Dla w σ > 0 i u σ R udowodnij,»e Φβ := ln σ w σ expβu σ jest funkcj wypukª Wywnioskuj st d,»e funkcja Φβ := ln Z β, h jest losow funkcj wypukª Udowodnij to równie» zauwa»aj c,»e dla dowolnej miary µ i funkcji f > 0 na pewnej przestrzeni mierzalnej funkcja β ln f β dµ jest wypukªa Zadanie 3 M Udowodnij,»e je±li ci g ró»niczkowalnych funkcji wypukªych φ : a, b R jest zbie»ny do funkcji wypukªej φ, to lim n φ x = φ x w punktach ró»niczkowalno±ci funkcji φ Zadanie 4 M Udowodnij,»e d dβ p β, h = β E R, Udowodnij istnienie granicy lim E R,
12 Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria VIII Rozwa»amy dwie rodziny o rozkªadzie ª cznym gaussowskim u σ σ Σ, v σ σ Σ Tworzymy ±cie»k mi dzy tymi rodzinami u σ t = tu σ + tv σ Dla funckcji f : Σ n R i liczb w σ > 0 okre±lamy f t = σ,,σ n fσ,, σ n w σ w σ n exp l n u σ lt σ,,σ n w σ w σ n exp l n u σ lt Okre±lamy te» ν t f = E f t i ν tf = d dt E f t U»ywali±my te» notacji l,l n Uσ l, σ l = Eu σ lu σ l Ev σ lv σ l Zadanie M Udowodnij,»e ν tf = ν t Uσ l, σ l f n ν t Uσ l, σ n+ f l n nν t Uσ n+, σ n+ f + nn + ν t Uσ n+, σ n+ f Poka»,»e je±li Uσ, σ nie zale»y od σ, to ν tf = ν t Uσ l, σ l f n ν t Uσ l, σ n+ f + l<l n Zadanie M iech teraz u σ = β i<j l n nn + ν t Uσ n+, σ n+ f g ij σ i σ j, v σ = β i z i qσi, w σ = exp i h i σ i, gdzie z i s niezale»nymi standardowymi zmiennymi gaussowskimi Wprowadzili±my ju» notacj R l,l = σ l iσi l i
13 Udowodnij,»e je±li f : Σ R, to ν tf = β ν t R, q f ν t R l,3 q f + 3ν t R 3,4 q f l Zadanie 3 M Udowodnij,»e dla λ > 0 mamy ν t R3,4 q expλr, q ν t R, q expλr, q Zadanie 4 M Udowodnij,»e ν t expλr, q β ν t R, q expλr, q Zadanie 5 M Udowodnij,»e dla t < λ mamy β d νt expλ tβ R, q 0 dt Zadanie 6 M Przypu± my,»e q = Eth βz q + h Udowodnij,»e dla λ < / mamy W tym celu: a Poka»,»e ν 0 σ i σ i = q, b Poka»,»e dla u R mamy ν 0 expλr, q λ ν 0 expuσ i σ i q = exp quchu + qshu c Udowodnij,»e dla q 0 mamy d Udowodnij,»e dla u R mamy chu + qshu exp qu expu / ν 0 expur, q expu / e Udowodnij,»e je±li g jest gaussowska o ±redniej 0 i Eg = τ, aτ <, to dla ka»dego b mamy E expag + bg = exp τ b aτ aτ f Rozwa» zmienn gaussowsk u o wariancji λ/ i uzyskaj tez Zadanie 7 M iech β < / i s < 4β Udowodnij,»e ν expsr, q s 4β, gdzie q jest rozwi zaniem równania q = Eth βz q + h
14 Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria IX Zadanie M iech H σ = β g ij σ i σ j i<j i h i σ i, p β, h = E ln Z, gdzie h i s niezale»nymi gaussowskimi zmiennymi losowymi o tym samym rozkªadzie niekoniecznie symetrycznymi Udowodnij,»e E ln Z β, h p β, h k K k/ i staªa K pozostaje ograniczona, gdy β i V arh s ograniczone Zadanie gaussowsk i niech M iech ak = Eg k, gdzie g jest standardow zmienn b = Eln chy E ln chy β q, gdzie Y = βz q + h Udowodnij,»e przy zaªo»eniach poprzedniego zadania dla β < / i k mamy k E ln Z β, h SKβ, h k/ akbk/ gdzie K nie zale»y od K k+/,
15 Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria X Zadanie M Udowodnij,»e dla p i 0 q mamy E σ σ p σ σ p KpνR, q W tym celu: a Zaobserwuj,»e wystarczy udowodni krok indukcyjny E σ σ p σ σ p σ p KpνR, q b Wprowad¹my oznaczenie σ i = σ i σ i Poka»,»e E σ σ p σ σ p σ p = νσ σ σ p σ p σ p σ p c Wykorzystuj c symetri mi dzy spinami udowodnij,»e p + νσσ σp σ p σ p σ p νσi σi σi σi σi p σi p σ i p σ i p = p ν R p, q p σ σ i,,i p d Udowodnij,»e ν R p, q p σ σ p νr, q / ν σ σ / e Poka»,»e σ σ σ σ 3 σ σ 4 4 R, q Wywnioskuj tez Zadanie M iech β < / iech G b dzie miar Gibbsa generowan przez standardowy gaussowski losowy Hamiltonian H iech G,n b dzie rozkªadem wektora σ,, σ n wzgl dem G iech µ n η = n i n + η i σ i Wówczas µ n i G,n s losowymi miarami na {, } n Udowodnij,»e E G,n µ n Kn,
16 gdzie jest caªkowit wariacj miary Wskazówka Rozwa» zbiór A η = {σ Σ i n, σ i = η i } iech σ I = i I σ i i η I = i I η i Poka»,»e I A σ = n i n + σ i η i = n I {,,n} σ I η I Zaobserwuj,»e G,n {η} = G A η = I A i udowodnij nierówno± G,n {η} µ n {η} n Korzystaj c z równo±ci I {,,n} σ I i I σ i G,n µ n = η G,n {η} µ n {η}, wywnioskuj tez
EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 4 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStacjonarne szeregi czasowe
e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci 1 Denicja 1 Szereg {x t } 1 t N nazywamy ±ci±le stacjonarnym (stacjonarnym w w»szym sensie), je»eli dla dowolnych m, t 1, t 2,..., t m, τ ª czny rozkªad prawdopodobie«stwa
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoZadania z zyki statystycznej
Zadania z zyki statystycznej 14 stycznia Zadanie 7.1 (Rozdziaª 5.4 w [4], zadanie 6.11 w [1] ) Wykorzystuj c przybli»enie ±redniego pola wyznacz równania uwikªane opisuj ce ±redni warto± spinu < s > przy
Bardziej szczegółowoa) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) W modelu rezerwy R n = u + n (W 1 + + W n ) wiemy,»e W i s iid o rozkªadzie geometrycznym na 0, 1, 2,...
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. a) (6 pkt.) oblicz intensywno± pªaconych skªadek;
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2019r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dwa niezale»ne portfele S 1, S 2 maj zªo»one rozkªady Poissona. S 1 CP oisson(2, F ), S 2 CP oisson(2, G), gdzie
Bardziej szczegółowo2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Znajd¹ rozwi zanie poni»szego zagadnienia programowania liniowego: Zmaksymalizowa x 1 2x 2 + x 3 x 5 przy ograniczeniach x 1 3x 2 + x 3 + 2x 5 = 8
Bardziej szczegółowo5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoMetody probablistyczne i statystyka stosowana
Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801
Bardziej szczegółowoAnaliza i aproksymacja nieliniowego modelu elastycznego ograniczaj cego odksztaªcenie
Analiza i aproksymacja nieliniowego modelu elastycznego ograniczaj cego odksztaªcenie Wojciech O»a«ski 9 Kwi 2015 Przykªad ukªadu mechanicznych o ograniczaj cym odksztaªceniu: nierozciagliwa struna σ spreżyna
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoRozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych
Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 1 / 22
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoNieklasyczna analiza skªadowych gªównych
* Wydziaª Matematyki i Informatyki UAM Pozna«Referat ten jest przygotowany na podstawie wspólnych wyników uzyskanych z Karolem Der gowskim z Instytutu Zarz dzania Pa«stwowej Wy»szej Szkoªy Zawodowej w
Bardziej szczegółowoEkstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoCo to jest model Isinga?
Co to jest model Isinga? Fakty eksperymentalne W pewnych metalach (np. Fe, Ni) następuje spontaniczne ustawianie się spinów wzdłuż pewnego kierunku, powodując powstanie makroskopowego pola magnetycznego.
Bardziej szczegółowo16 Jednowymiarowy model Isinga
16 Jednowymiarowy model Isinga Jest to liniowy łańcuch N spinów mogących przyjmować wartości ± 1. Mikrostanem układu jest zbiór zmiennych σ i = ±1, gdzie i = 1,,..., N (16.1) Określają one czy i-ty spin
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoFunkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji
Bardziej szczegółowoDynamiczne wªasno±ci algorytmu propagacji przekona«
BP propagacji przekona«4. Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne Wydziaª Fizyki Politechnika Warszawska B dlewo, 26 maja, 2013 BP 1 2 3 4 5 6 BP Rysunek: Zbiór zmiennych losowych. BP Rysunek: Zbiór
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M =
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M = 2 14 2 10 8 0 10 8. a) Znajd¹ rozwi zanie dwuosobowej gry o sumie zero maj cej powy»sz macierz wypªat. b) Przyjmuj
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoZadania z Koncentracji Miary I
Zadania z Koncentracji Miary I Przez λ n oznaczamy n-wymiarową miarę Lebesgue a, a przez σ n unormowaną miarę powierzchniową na S n. Jeśli µ jest miarą na X, d), to określamy dla dowolnego zbioru A miarę
Bardziej szczegółowo. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n
GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoLiniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Bardziej szczegółowoKinetyczna teoria gazów
Kinetyczna teoria gazów Gaz doskonaªy 1. Cz steczki gazu wzajemnie na siebie nie dziaªaj, a» do momentu zderzenia 2. Rozmiary cz steczek mo»na pomin, traktuj c je jako punkty Ka»da cz steczka gazu porusza
Bardziej szczegółowo*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4
Zadanie ODP = exp(, 4 )E W () = exp(, )E l (;+ ) (S()) ODP = exp(, )P (S() > ), gdzie oznacza miar martyngaªow. Przy MBS proces cen akcji ma posta S(t) = S() exp[t(µ, 5σ ) + σw t ], gdzie {W t, t } jest
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo
Spis tre±ci Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4 5 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoWst p do ekonometrii II
Wst p do ekonometrii II Wykªad 1: Modele ADL. Analiza COMFAC. Uogólniona MNK (1) WdE II 1 / 36 Plan wykªadu 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy
Bardziej szczegółowo1 Gaussowskie zmienne losowe
Gaussowskie zmienne losowe W tej serii rozwiążemy zadania dotyczące zmiennych o rozkładzie normalny. Wymagana jest wiedza na temat własności rozkładu normalnego, CTG oraz warunkowych wartości oczekiwanych..
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowo1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoMierzalne liczby kardynalne
czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o następujących rozkładach: a) symetryczny dwupunktowy; b) dwumianowy z parametrami n, p; c) Poissona z parametrem
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Bardziej szczegółowo1 Lista 6 1. LISTA Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%.
1. LISTA 6 1 1 Lista 6 1.1 Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci 3000. Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%. 1.2 Obliczy JSN dla nast puj cej renty dla (30)-latka: je±li»yje
Bardziej szczegółowoLegalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowoWYKŠAD 3. di dt. Ġ = d (r v) = r P. (1.53) dt. (1.55) Przyrównuj c stronami (1.54) i (1.55) otrzymujemy wektorowe równanie
WYKŠAD 3 Równania Gaussa dla e, I, Ω, ω, M. Ω, di 1.3.3 Od caªki ól do ė, W odró»nieniu od skalarnej caªki siª»ywych, wektorowa caªka ól mo»e nam osªu»y do otrzymania a» trzech kolejnych równa«gaussa.
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoTablice wzorów z probabilistyki
Akademia Górniczo - Hutnicza im. Stanisªawa Staszica Wydziaª Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i In»ynierii Biomedycznej Kierunek: Automatyka i robotyka Tablice wzorów z probabilistyki Prowadz cy:
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowoEstymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa, 3-7.12.2012 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p,
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoEgzamin test GRUPA A (c) maleje na przedziale (1, 6). 0, ,5 1
Matematyka dla Biologów Warszawa, stycznia 04. Imię i nazwisko:... Egzamin test GRUPA A nr indeksu:... Przy każdym z podpunktów wpisz, czy jest on prawdziwy (TAK) czy fałszywy (NIE). Za każde pytanie można
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. Plan. 1 Pochodna cz stkowa. 1.1 Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów... 3
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 2 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego
Bardziej szczegółowo