ALGORYTM UNIKANIA KOLIZJI PRZEZ ROBOTY MOBILNE BAZUJ

Transkrypt

1 mgr nż. Marek Majchrowsk dr nż. Wojcech Szynkewcz Instytut Automatyk Informatyk Stosowanej Poltechnka Warszawska ALGORYTM UNIKANIA KOLIZJI PRZEZ ROBOTY MOBILNE BAZUJĄCY NA PRZESZUKIWANIU PRZESTRZENI PRĘDKOŚCI * W artykule omówono mplementację wynk badań eksperymentalnych algorytmu unkana kolzj przez grupę współpracujących robotów moblnych w statycznym środowsku. Idea algorytmu polega na wyznaczanu dopuszczalnych prędkośc lnowej kątowej jako rozwązana zadana optymalzacj lnowej. OBSTACLE AVOIDANCE ALGORITHM FOR MOBILE ROBOTS BASED ON VELOCITY SPACE SEARCH The paper presents a modfed erson of well known Curature Velocty Method for local obstacle aodance. The obstacle aodance problem s formulated as one of a constraned optmzaton problem n elocty space. The obtaned elocty commands satsfy all the constrants and mze the objecte functon. The algorthm has been mplemented and tested on a group of smulated robots.. WSTĘP Wykrywane lokalnych przeszkód unkane z nm kolzj jest jedną z podstawowych funkcj sterownków robotów moblnych dzałających w neznanym lub częścowo neznanym bądź dynamcznym otoczenu. W algorytmach unkana kolzj wykorzystuje sę dane pomarowe z czujnków a także docelową pozycję robota oraz jego aktualną pozycję względem docelowej do lokalnej modyfkacj trajektor ruchu robota. Wymaga sę aby algorytmy były efektywne oblczenowo a generowany ruch był możlwe gładk oraz by robot podążał w kerunku celu przy uwzględnenu fzycznych ogranczeń robota [ 9]. Wększość znanych z lteratury algorytmów unkana kolzj można zalczyć do jednej z dwóch podstawowych grup: wyznaczana kerunku ruchu [ 6 ] oraz wyznaczana prędkośc lnowej kątowej robota w wynku przeszukwana odpowedno dobranej przestrzen prędkośc [3 5 8 ]. Jednym z wcześnejszych algorytmów zalczanych do perwszej grupy jest podejśce wykorzystujące sztuczne pola potencjalne [6]. Robot traktowany jako cząsteczka porusza sę w polu zaś jego ruch jest wypadkową dzałających na nego sł pochodzących od przeszkód sły odpychające oraz od celu sła przycągająca. W swej perwotnej wersj metoda pól potencjalnych mała szereg wad wśród których najpoważnejszą było występowane mnmów lokalnych pola czyl punktów różnych od docelowego w których sła wypadkowa jest równa zeru [ 4]. Wśród metod wyznaczana kerunku najwększą popularność zdobyły kolejne wersje algorytmów z grupy tzw. hstogramów pola wektorowego Vector Feld Hstogram VFH [] VFH+ [] oraz VHF * []. Idea tego podejśca polega na poszukwanu prześwtów przejść w tworzonych lokalne hstogramach begunowych wokół beżącej pozycj robota. W algorytme VHF+ przy wyznaczanu toru ruchu brane są pod uwagę wymary robota uproszczony model robota w postac okręgu możlwość realzacj danej trajektor przy ogranczenach wynkających z knematyk robota []. Wybór kerunku polega na poszukwanu mnmum wartośc pewnej funkcj kosztu. Zakłada sę że robot porusza * Praca jest fnansowana przez grant MEN: 3 TA9 9

2 sę po odcnkach prostych łukach okręgów. Zblżone do VFH podejśce zaprezentowane w pracy [7] wykorzystuje dagramy blskośc Nearness Dagram ND. Dzęk uwzględnenu geometrycznych knematycznych dynamcznych ogranczeń dla robota algorytm ten daje lepsze rezultaty nż VFH+ szczególne w środowskach z dużą lczbą przeszkód wąskm przejścam. Technk wykorzystujące pojęce okna dynamcznego Dynamc Wndow są przykładem podejśca polegające na przeszukwanu przestrzen prędkośc w celu znalezena sterowań prędkośc dopuszczalnych przy uwzględnenu ogranczeń wynkających z knematyk robota uproszczonego modelu dynamk [3 5 8]. Przestrzeń prędkośc jest zborem wszystkch par ω składających z prędkośc kątowych ω lnowych. W podejścu tym zakłada sę że robot może poruszać sę tylko po łukach okręgów reprezentowanych przez parę ω. Orygnalne podejśce to zaproponowane w pracy [5] polegało na wyznaczenu lokalnego okna dynamcznego czyl wszystkch par ω które mogą być osągnęte w następnym przedzale próbkowana borąc pod uwagę dopuszczalne przyspeszena oraz odrzucając te prędkośc których wybór powodował kolzję. Inn autorzy zaproponowal lczne modyfkacje udoskonalena m.n. wprowadzene globalnego okna dynamcznego w celu osągnęca pewnych zalet globalnego planowana śceżk bez kompletnego modelu otoczena [3] zapewnena zbeżnośc algorytmu dzęk połączenu orygnalnego podejśca z technkam sterowana predykcyjnego teor stablnośc Lapunowa [8]. Do grupy podejść bazujących na wyznaczanu prędkośc zalcza sę także metodę tzw. krzywzn prędkośc Curature Velocty Method CVM []. Zakłada sę tutaj podobne jak w technkach okna dynamcznego że robot porusza sę tylko po łukach okręgów o krzywznach c. W podejścu tym możlwe jest uwzględnene ogranczeń na dopuszczalne ω prędkośc przyspeszena. Algorytm przedstawony w nnejszej pracy zalcza sę do tej grupy stanow rozwnęce de zaproponowanej w []. W nnejszej pracy starano sę wyelmnować nedocągnęca błędy orygnalnej wersj tego algorytmu. Podstawowym celem pracy była eksperymentalna weryfkacja algorytmu dla robotów neholonomcznych w szczególnośc dla robotów o napędze różncowym.. ALGORYTM CVM.. Ops algorytmu Algorytm ten należy do grupy lokalnych metod planowana ruchu bazujących na wyznaczanu prędkośc lnowej kątowej robota. Problem omjana przeszkód jest opsywany jako zadane optymalzacj z ogranczenam w przestrzen prędkośc robota. Przestrzeń prędkośc jest zborem dopuszczalnych prędkośc. W zadanu tym przyjmujemy sterowane za pomocą nezależnych prędkośc: lnowej oraz kątowej ω. Wybór takch sterowań jest naturalny dla robotów o napędze synchroncznym. Dla naszego robota o napędze różncowym bardzej oczywste wydaje sę sterowane za pomocą nezależnych prędkośc lewego l oraz prawego r koła. Przejśce pomędzy tym prędkoścam wyraża l r sę prostym zależnoścam: ω gdze d to rozstaw kół robota oraz l + r. Po- d

3 neważ przelczene take jest dokonywane w sterownku robota węc w ponższych rozważanach będzemy operować na prędkoścach ω. Pożądane prędkośc ω są uzyskwane w wynku maksymalzacj określonej funkcj celu przy spełnenu ogranczeń. Do zalet tak sformułowanego zadana należą mędzy nnym: łatwość dodawana ogranczeń wynkających z dynamk robota nezależne sterowane prędkoścą oraz zmaną orentacj robota przez zadawane prędkośc lnowej kątowej sterowane prędkoścą kątową wpływa tylko wyłączne na zmanę orentacj natomast prędkość lnowa wpływa jedyne na prędkość robota możlwość wprowadzana dodatkowych czynnków decydujących o wyborze prędkośc przez modyfkację funkcj celu. W rzeczywstośc z dobrym przyblżenem można założyć że robot w każdej chwl czasu ω porusza sę wzdłuż łuku pewnego okręgu którego krzywzna wyraża sę wzorem: c. Fzyczna konstrukcja robota narzuca dwa typy ogranczeń: na maksymalną oraz mnmalną prędkość kątową oraz lnową robota: mn oraz ωmn ω ω na przyspeszene kątowe oraz lnowe. Dla prędkośc ω n n w chwl n oraz okresu T będącego czasem jednego wykonana algorytmu prawdzwe są warunk: ω ε T ω ω + ε T oraz + a T n n+ n n+ n gdze ε oraz to odpowedno maksymalne przyspeszene kątowe oraz maksymalne przyspeszene lnowe robota a n + n + T. Najważnejszym źródłem ogranczeń na dopuszczalne prędkośc ω są przeszkody znajdujące sę w środowsku otaczającym robota. Poneważ w naturalny sposób przeszkody są opsywane we współrzędnych kartezjańskch należy dokonać transformacj ch opsu do przestrzen prędkośc robota. Ponżej opsano jak jest to realzowane. Dla wszystkch krzywzn c należy oblczyć odległość d c p rozumaną jako długość drog jaką mus przebyć robot startując z punktu w układze lokalnym robota wzdłuż okręgu o krzywźne c zanm zderzy sę z przeszkodą p w punkce p. Następne defnujemy funkcje odległośc robota od przeszkody jako zaps ten ne jest ścsły z matematycznego punktu wdzena: d c p d ω p Dla danego zboru przeszkód Π funkcja ta ma postać: dla ω gdze c. dla D ω Π nf d ω p. p Π Rysunek. Wyznaczane odległośc od przeszkody p dla okręgu o krzywźne c 3

4 Poneważ zasęg czujnków jest ogranczony należy ogranczyć zakres możlwych wartośc funkcj D do pewnej ustalonej wartośc L w naszym przypadku przyjęlśmy L m: D ogr ω Π mn L D ω Π Oblczene odległośc d c p od przeszkody p o dowolnym kształce może być w ogólnym przypadku skomplkowane. Dlatego też w naszych rozważanach będzemy przyblżać przeszkody okręgam opsanym na nch. Dla robota o orentacj zgodnej z osa OY dla danego okręgu o krzywźne c który przecna przeszkodę w punkce p x y otrzymujemy rys. : y d c p θ c dla c dla c a tan y x dla c < c θ 4 π a tan > y x dla c c Mając już dane ogranczena wynkające z otoczena robota jak jego możlwośc wartośc prędkośc otrzymujemy poszukując maksmum funkcj celu. Funkcje celu doberamy tak aby spełnć następujące wymagana: robot pownen dążyć do osągnęca swojej maksymalnej prędkośc lnowej robot pownen poruszać sę po krzywych ne koldujących z przeszkodam robot pownen zawsze kerować sę na cel. Powyższe wymagana można zapsać w postac lnowej funkcj celu: gdze: V F ω α V + α D ω + α G 5 3 ω Dogr ω Π D ω L Wartośc poszczególnych składnków V D G funkcj F są znormalzowane. Składowa V odpowada za poruszane sę z maksymalną możlwą prędkoścą lnową składowa D jest odpowedzalna ze podążane wzdłuż bezkolzyjnych krzywych natomast składowa G preferuje podążane za celem. W ostatnm człone θ cel jest orentacją do celu w układze współrzędnych robota. Wartośc współczynnków α są wagam powyższych składnków. Od doboru tych współczynnków zależy zachowane robota tzn. jaka będze krzywzna skrętu jak wcześne będze reagował na przeszkody td... Szczegółowy ops algorytmu CVM θcel ω T G ω π Rysunek. Krzywe styczne do przeszkody p w punktach p mn p Gdy robot jest wyposażony w czujnk zblżenowe z pomarów otrzymujemy nformację o położenu krawędz przeszkody natomast położene środka promeń koła opsanego na tej 3 4

5 przeszkodze są neznane. W zwązku z tym w dalszych rozważanach przez przeszkodę będze rozumany okrąg o środku znajdującym sę na krawędz przeszkody w którym został dokonany pomar odległośc przez czujnk. W ten sposób jedna rzeczywsta przeszkoda może być reprezentowana przez wele okręgów. Pommo uproszczena jakm jest przyjęce że przeszkody są reprezentowane przez okręg oblczene wartośc funkcj D dla dużej lczby przeszkód jest czasochłonne. Zauważmy ogr y że dla danej przeszkody p odległość dc p jest neskończona na zewnątrz krzywych stycznych do danej przeszkody. Wystarczy zatem że będzemy rozpatrywać jedyne krzywe leżące pomędzy krzywym c mn a c rys.. Aby wyznaczyć wartośc c mn c p mn xmn ymn oraz p x y dla przeszkody p środku w punkce p x x y promenu r należy znaleźć take r aby ponższy układ równań przedstawający dwa okręg mał dokładne jedno rozwązane: x x + y y x r + y r r Powyższy układ równań należy sprowadzć do równana kwadratowego jednej zmennej wyznaczyć wyróżnk tego równana. O wyborze zmennej względem której będzemy rozwązywać to równane kwadratowe będze decydować położene przeszkody w układze współrzędnych czego powodem jest mnmalzacja błędów numerycznych oraz unknęce przypadków szczególnych przypadku y dla równana kwadratowego względem zmennej x oraz analogcznego przypadku x względem zmennej y. W ponższych rozważanach przejęlśmy że y > x będzemy sprowadzać dany układ równań do równana kwadratowego względem zmennej x. Natomast dla y x należy dany układ równań sprowadzć do równana kwadratowego względem zmennej y a rozwązana będą analogczne do przedstawonych ponżej. Rozwązując równane kwadratowe względem zmennej r gdze to wyróżnk równana kwadratowego o którym mowa była wyżej otrzymujemy rozwązana: r c x + y r x r x r r mn x + y r x + r mn c r x + y r r mn x + y r p mn xmn ymn oraz p x y : Punkty stycznośc okręgów x y mn mn x r / y ymn yrmn r r mn x y x x + r / y y yr r r + r Mając dane krzywe styczne do przeszkody przyblżamy funkcję d daną wzorem funkcją stałą 3 dla wszystkch c z zakresu c [ c c mn ] mmo że możemy najmnejszą z długośc łuków prowadzących do przeszkody wyznaczyć analtyczne. W ten sposób przyspeszamy dzałane algorytmu unkamy czasochłonnych oblczeń. Funkcja ta ma postać: 5

6 d c p d c p mn mn mn dla cmn c c d ω p 6 w p. p. W ten sposób dla zboru przeszkód otrzymujemy zbór przedzałów. Każdy z tych przedza- c c d gdze c c to krzywzny łów można reprezentować jako strukturę postac: [ ] okręgów wyznaczających ten przedzał c c a d jest odległoścą do przeszkody wewnątrz tego przedzału. W dalszych rozważanach przedzał będze rozumany jako jego re- c c d. Zaczynając od lsty przedzałów zawerają- prezentacja w postac struktury typu: [ ] cej tylko przedzał [ ] L dla każdej przeszkody wyznaczamy przedzał [ c mn c ] d dodajemy ten przedzał do lsty według zasady: dla każdego przedzału [ c c ] d z lsty: sprawdź w jakch zależnoścach jest ten przedzał z nowododawanym. Jeśl: są to przedzały rozłączne nc ne rób przedzał z lsty zawera sę w nowododawanym przedzale c cmn c c ustaw d mn d d odległość przedzał z lsty zawera nowododawany przedzał c cmn c c jeśl d < d c d c c d c c d ; to podzel stnejący przedzał na trzy: [ c mn ] [ mn ] oraz [ ] w przecwnym przypadku nc ne rób przedzały na sebe zachodzą jeśl d < d to podzel stnejący przedzał na dwa a wynk uzależnj od tego które brzeg przedzałów na sebe zachodzły tzn. dla c > c c d c c d w przecwnym przypadku na przedza- podzel na przedzały [ c mn ] [ mn ] ły [ c c ] d [ c c] d ; jeśl d d to nc ne rób. Rysunek 3. Przeszkody grafczna nterpretacj lsty przedzałów które z nch powstały Następne należy połączyć sąsadujące przedzały które mają tę samą odległość. W ten sposób otrzymujemy lstę rozłącznych przedzałów w przestrzen prędkośc. Geometryczne każdy przedzał w takej lśce defnuje parę prostych w przestrzen prędkośc rys. 3. c c mn pojedynczą wartoścą ne daje dobrych wynków rys. 4. W pewnych sytuacjach przyblżene take jest zbyt restrykcyjne Przyblżene zboru długośc krzywych z zakresu [ ] 6

7 a w nnych jest zbyt słabe może powodować problemy sytuacja w której rzeczywsta odległość od przeszkody jest mnejsza nż ta wylczona ze wzoru 6. Rysunek 4. Łuk okręgów o różnych krzywznach c wyznaczające odległość d c p dla danej przeszkody p c c mn na podprzedzały zastosowane równana 6 dla tych podprzedzałów a następne dodane ch do lsty zawerającej wszystke take przedzały w sposób omówony wyżej. Jednym z rozwązań tego problemu jest podzelene przedzału [ ] Przyjęto rozwązane polegające na wyznaczenu punktu na okręgu opsującym przeszkodę do którego odległość od robota jest najmnejsza w metryce eukldesowej. Następne okrąg ten jest dzelony na k segmentów które wyznaczają nowe punkty rys. 5 począwszy od wyznaczonego wcześnej punktu. Dla każdych dwóch sąsadujących punktów leżących pomędzy punktam wyznaczonym przez krzywe styczne do przeszkody tworzony jest przedzał c c d dodawany do lsty w sposób omówony wyżej. c c to krzywzny okręgów [ ] przechodzących przez te dwa punkty a jako odległość d brana jest mnejsza z odległośc lczonych jako droga z równana 3 wzdłuż krzywych c c. Dla przykładu z rysunku 5 dodane zostaną cztery przedzały zamast jednego..3. Rozszerzene algorytmu na grupę współpracujących robotów W celu wykorzystana opsanego powyżej algorytmu dla grupy współpracujących robotów w środowsku statycznym wprowadzono pewne założena. Rysunek 5. Sposób podzału okręgu opsującego przeszkodę na k 8 częśc Każdy z robotów w grupe ma unkalny prorytet przy czym robot o wyższym prorytece ma perwszeństwo przed robotem o nższym prorytece którego traktuje Rysunek 6. Punkty przecęca na planowanej śceżce ruchu jak przeszkodę. Prorytety mogą być nadawane arbtralne lub też dynamczne zmenane w zależnośc od planowanych dzałań. Każdy z robotów posada nformacje o wymarach szerokość długość pozostałych członków grupy w celu określena promena okręgu opsanego na danym roboce. 7

8 Każdy z robotów posada nformacje o położenu pozostałych członków grupy w pewnym układze globalnym oraz ch aktualnej prędkośc poruszana sę. Zakładana jest tu także możlwość wymenana nformacj pomędzy robotam komunkacja oraz ch samolokalzacja. W celu wyznaczena nowych sterowań w sposób opsany powyżej każdy z robotów do lsty wykrytych przeszkód przez czujnk odległośc dodaje po dwe nowe przeszkody na każdego robota o nższym prorytece. Perwsza z tych przeszkód reprezentuje aktualną pozycję danego robota o nższym prorytece druga zaś opsuje pozycję którą osągne ten robot po czase T. 3 3 W obu przypadkach okręg reprezentujące te przeszkody mają promeń równy sume promen: okręgu opsanego na roboce który wykonuje ten algorytm oraz okręgu opsanego na danym roboce o nższym prorytece. Po tym jak robot wyznaczy nowe sterowana sprawdzane jest czy na planowanej drodze ruchu ne znajduje sę robot o wyższym prorytece. W tym celu są wyznaczane punkty przecęca G H: okręgu opsanego na roboce o wyższym prorytece okrąg z opsem robot oraz okręgów c sw c sz współśrodkowych z okręgem c wzdłuż którego będze następował ruch o promenach które zapewną styczność z danym robotem rys. 6. W przypadku szczególnym gdy robot porusza sę po prostej będzemy szukal punktów przecęca K L E F okręgu prostych a b. Następne jest wyznaczana najmnejsza z odległośc do tych punktów wzdłuż odpowednch okręgów/prostych. Dla tak wyznaczonego dystansu jest modyfkowana prędkość robota aby ten w ustalonym czase zdążył zatrzymać sę przed poruszającym sę przed nm robotem o wyższym prorytece. 3. WYNIKI EKSPERYMENTALNE Rysunek 7. Unkane kolzj przez grupę robotów moblnych Wyżej przedstawony algorytm został zamplementowany przetestowany w środowsku symulacyjnym. W przeprowadzonych eksperymentach roboty wykorzystywały modele dalmerzy laserowych SICK LMS. Jako częstotlwość dzałana algorytmu T przyjęto Hz. Przedstawony algorytm unkana kolzj zależy od doboru welu parametrów w szczególnośc od wartośc współczynnków α. Po przeprowadzenu szeregu dośwadczeń w środowsku symulacyjnym dobrano następujące wartośc parametrów: α α 8 9 α 3 3 8

9 Środowsko w którym przeprowadzane były eksperymenty przedstawone jest na rysunku 7. Na lewym rysunku roboty znajdują sę w sytuacj początkowej na prawym przedstawona jest sytuacja w której normalne doszłoby do zderzena sę robotów. Robot nr 3 mał najwyższy prorytet natomast robot nr mał najnższy prorytet. Cel dla każdego robota znajdował sę w odległośc 5 m przed robotem. Roboty osągnęły cel z błędem ponżej cm. Rysunek 8. Wykresy położena oraz prędkośc robotów w trakce omjana przeszkód Rysunek 8 przedstawa wykres położena oraz prędkośc robotów w trakce omjana przeszkód. Przebeg położena jest gładk co jest stotne. Wynka z nego że roboty ne zaklnowały sę ngdze oraz ne zblżyły sę do przeszkód na tyle blsko aby musały zatrzymać sę obrócć sę w mejscu. Zatem uzyskane wynk można uznać za zadowalające. Na wykresach Rysunek 9. Wykresy położena oraz prędkośc robotów dla nnych prorytetów prędkośc lnowej najlepej wdać który robot mał najwyższy prorytet gdyż ne musał on hamować an sę zatrzymywać jak to mało mejsce w przypadku robotów nr. Na rysunku 9 przedstawono te same wykresy co wyżej tylko tym razem robot nr mał najwększy prorytet natomast robot nr 3 najmnejszy. W tym przypadku roboty także ne uległy zakleszczenu a przebeg położena są gładke. Na rysunku przedstawono sytuację w której roboty nr nr 3 sę zatrzymał a robot nr przejeżdżał swobodne mędzy przeszkodam. 9

10 4. PODSUMOWANIE Możlwość dzałana welu robotów we wspólnej przestrzen roboczej wymaga efektywnych algorytmów wykrywana unkana kolzj mędzy robotam. W nnejszej pracy zaproponowano algorytm unkana kolzj bazujący na przeszukwanu przestrzen prędkośc robotów. Wynk uzyskane w wybranych przykładach rys. 8 9 pokazują że można było uzyskać zadowalające zachowane robotów w środowsku całkowce neznanym pommo eksperymentalnego doboru parametrów α funkcj celu F 5. Było to jednak możlwe dzęk welokrotnym eksperymentom z różnym wartoścam poszczególnych parametrów w środowsku symulowanym. Obecne trwają prace nad doskonalenem opsanego w tej pracy algorytmu oraz nad opraco- ω z wększą precyzją. wanem nnych funkcj celu pozwalających na dobór prędkośc 5. LITERATURA [] R. C. Arkn. Behaor-Based Robotcs. Cambrdge Mass. MIT Press 998. [] J. Borensten Y. Koren. The ector feld hstogram fast obstacle aodance for moble robots. IEEE Trans. on Robotcs and Automaton 99 wol. 7 nr 3 s [3] O. Brock O. Khatb. Hgh-speed nagaton usng the global dynamc wndow approach. In: Proc. IEEE Int. Conf. on Robotcs and Automaton. Proceedngs s [4] I. Dulęba. Metody algorytmy planowana ruchu robotów moblnych manpulacyjnych. Warszawa Akademcka Ofcyna Wydawncza EXIT. [5] D. Fox W. Burgard S. Thrun. The dynamc wndow approach to collson aodance. IEEE Robotcs and Automaton Magazne 997 wol. 4 nr s [6] O. Khatb. Real-tme obstacle aodance for manpulators and moble robots. The Internatonal Journal Robotcs Research 986 wol. 5 nr s [7] J. Mnguez L. Montano. Nearness dagram ND nagaton: Collson aodance n troublesome scenaros. IEEE Trans. on Robotcs and Automaton 4 wol. nr s [8] P. Ögren N.E. Leonard. A conergent dynamc wndow approach to obstacle aodance. IEEE Transactons on Robotcs Aprl 5 wol. nr s [9] R. Segwart I.R. Nourbakhsh. Introducton to Autonomous Moble Robots. Cambrdge Mass. London. England MIT Press 4. [] R. Smmons. The curature-elocty method for local obstacle aodance. In: Proc. IEEE Int. Conf. on Robotcs and Automaton. Proceedngs 996 s [] I. Ulrch J. Borensten. VFH+: relable obstacle aodance for fast moble robots. In: Proc. IEEE Int. Conf. Robotcs and Automaton. Proceedngs 998 s [] I. Ulrch J. Borensten. VFH * : local obstacle aodance wth lookahead erfcaton. In: Proc. IEEE Int. Conf. Robotcs and Automaton. Proceedngs s Rysunek 8. Unkane kolzj przez grupę robotów moblnych dla nnych prorytetów