WYKORZYSTANIE METODY SYMULOWANEGO WYŻARZANIA DO OPTYMALIZACJI UŁAMKOWEGO REGULATORA PI D µ

Transkrypt

1 POZA UIVE RSITY OF TE CHOLOGY ACADE MIC JOURALS o 84 Electricl Egieerig 25 Stiłw MIKULSKI* WYKORZYSTAIE METODY SYMULOWAEGO WYŻARZAIA DO OPTYMALIZACJI UŁAMKOWEGO REGULATORA PI D µ W poiżzym rtyule opio metodę doboru prmetrów ułdu regulcji z ułmowym regultorem PI λ D μ terującym obietem ocylcyjym II rzędu. Przedtwioo wyii optymlizcji prmetrów regultor, z ztoowiem metody ymulowego wyżrzi przy różych trtegich chłdzi ułdu. Jo ryterium jości terowi złożoo cłowe ryterium ISE. SŁOWA KLUCZOWE: regultory ułmowe, optymlizcj, pochod ułmow, metod ymulowego wyżrzi. WPROWADZEIE Rchue różiczowy ułmowego rzędu zjduje corz zerze ztoowie m. i. w dziedziie utomtyi. Powtje corz więcej prc opiujących lizę i implemetcję ułdów terowi oprtych o różiczę ułmową, p. utomtycze regultory pięci AVR. Szczególie uwgę moż zwrócić rozzerzeie lyczej defiicji regultor PID regultor ułmowy PI λ D μ. Zd dziłi tiego regultor jet logicz do regultor PID. Różic pojwi ię w rzędch cłowi ʎ i różiczowi µ tiego regultor. Wprowdzeie dwóch owych prmetrów powoduje, że dotąd ze metody doboru tw regultor p. Zeigler-ichol ie pełiją już wojej roli. Dltego w poiżzym rtyule przedtwio zotł liz optymlizcji regultorów PI λ D μ.z wyorzytiem jedej z metheurytyczych metod optymlizcji metody ymulowego wyżrzi. 2. RACHUEK RÓŻICZKOWY UŁAMKOWEGO RZĘDU Rchue różiczowy ułmowego rzędu pozerz podtwową defiicję cłi i różiczi zwrte w lyczym rchuu różiczowym i cłowym cłowitego rzędu. Tie rozzerzeie dje zupełie owe możliwości w zreie zrówo mtemtyczego opiu obietów j i teorii i prtyi terowi. * Politechi Pozń.

2 4 Stiłw Miuli Atulie ze ą trzy podtwowe defiicje różiczo-cłi, uogólioej potci wzoru cłę i różiczę ułmowego rzędu. Pierwzą według defiicji Riem-Liouville wyprowdzić moż ze wzoru cłę wielorotą [6]: I f u u du du2... f u du u Γ f u du gdzie: jet rotością cłowi ϵ,, jet przedziłem cłowi, Γ- fucj gmm Euler. Rozzerzeie wzoru cłowego dl rzędu α ϵ R pozwl zpić wzór cłę ułmowego rzędu według defiicji Riem-Liouville, opiej wzorem[6, 7]: I f Γ u f u du gdzie: α - rząd cłowi w gricch, α ϵ R +. Wzór te moż uogólić do potci różiczo-cłi dl α ϵ R: d D f dt u f u du 3 Γ gdzie: ϵ orz - α. Dodti rząd cłowi α > we wzorze ozcz cłowie, tomit ujemy α < różiczowie ułmowego rzędu. W zgdieich związych z teorią terowi jczęściej toowy jet zpi modelu mtemtyczego obietów regulcji i regultorów płzczyźie Lplce. Dl różiczocłi przeztłceie Lplce m potć: F L D f 4 j j F D f j W przypdu ztoowi 4 problemem tje ię implemetcj przeztłcei cłi ułmowego rzędu, wyijącego z wymogu zjomości wruów początowych dl pochodych ułmowego rzędu. Jet to związe z trudością w iterpretcji fizylej pochodych ułmowego rzędu. Z tego względu częściej toow jet różiczo-cł według defiicji Cputo. Opi wzorem[6]: D f f u Γ u gdzie: -<α<. Potć 5 różi ię od cłi Reibb-Louville przede wzytim przeieieiem pochodej rzędu cłowitego : - < pod cłę. Dzięi tiemu zbiegowi przeztłceie Lplce przybier potć: du 2 5

3 Wyorzytie metody ymulowego wyżrzi do optymlizcji... 5 j j j f F f D L 6 Wrui początowe zdefiiowe ą jo wrtości pochodych cłowitego rzędu dl chwili t =, iterpretcj fizyl tje ię łtwiejz. Zjąc defiicję różiczo-cłi potci 6 moż przedtwić trmitcję G ciągłego ułdu ułmowego rzędu, przy złożeiu zerowych wruów początowych w potci [6, 7]: b b b U Y G m m m m 7 gdzie: Y, U trformcje Lplce ygłów wyjściowego i wejściowego. Do uzyi trmitcji opertorowej ułmowego rzędu wymge jet ztoowie jedej z metod proymcji ułdów ułmowych. W prtyce toowe ą: rozwiięcie w zereg Tylor, Otloup orz metodę jmiejzych wdrtów. Porówie włściwości ietórych metod moż zleźć m. i. w prcy [9]. W ymulcjch przedtwioych w iiejzym rtyule ztoow zotł metod proymcji Otloup, tór poleg przybliżeiu fucji opiej wzorem: r H, r, ] [; r 8 w przedzile czętotliwości ω l, ω h jo: o C H 9 gdzie: rząd proymcji, C wzmocieie opie zleżością: r l h C o 2 ω l, ω h bieguy orz zer trmitcji rówe: 2 5, r l h l, 2 5, r l h l Jedym z podtwowych przyłdów ztoowi pochodej ułmowego rzędu w zgdieich teorii terowie jet defiicj ułmowego regultor PI λ D μ, tóry jet odpowiediiem regultor PID dl ułdów cłowitego rzędu. Dl tiego regultor, oprócz trzech podtwowych prmetrów tłych K P, K I, K D, ułd zotje rozzerzoy o ułmowy rząd cłowi λ gdzie < λ < orz ułmowy rząd różiczowi μ gdzie < μ <. Regultor ti opiy jet wzorem: K K K G D I P 2

4 6 Stiłw Miuli 3. ALGORYTM SYMULOWAEGO WYŻARZAIA Algorytm ymulowego wyżrzi po rz pierwzy opio w prcch [2] z 983 orz [] z 984. Obie prce powtły iezleżie od iebie. Opio w ich metodę optymlizcji oprtą lgorytmie utortw. Metropoli, opubliowego w prcy [5] z 953 rou, łużącego do ymulcji zchowń grupy tomów zjdujących ię w rówowdze termodymiczej przy zdej temperturze. Metropoli w wojej prcy twierdził, że dl utloej tempertury T prwdopodobieńtwo wzrotu eergii cząteczi o δe jet oreśloe z pomocą tępującej reguły: E * T p E e 3 gdzie: - tł Boltzm. Wg. Metropoli prwdopodobieńtwo zmiy poziomu eergii ułdu mleje wrz ze wzrotem eergii cząteczi o δe orz ze pdiem tempertury. Pierwoty lgorytm poległ itercyjych próbch loowi zmiy eergii cząti. Jeżeli wrtość eergii owego rozwiązi był iżz iż poprzediego, rozwiązie utomtyczie przyjmowo z tule rozwiązie. W ytucji przeciwej, gdy wrtość eergii cząteczi dl owego rozwiązi był wyżz, tępowło dodtowe loowie wrtości zmiy eergii z prwdopodobieńtwem opiym wzorem 3. Wyi to z złożei, że zwięzeie eergii odbywć ię może tylo zgodie z złożeiem prwdopodobieńtw podego przez Metropoli [3]. Powyżzy lgorytm zotł zmodyfiowy w rtyułch z 983 i 984 i przytoowy zgdień optymlizcji. Autorzy prcy [2] oreślili logie pomiędzy pozuiwiem prwdopodobieńtw zmiy eergii, pozuiwiem miimum fucji celu. Zmit zmiy eergii cząteczi wprowdzoo pojęcie owej i trej wrtości fucji celu. początu lgorytmu utly jet put początowy, dl tórego wrtość fucji celu jet odpowiediiem początowej eergii cząti. jego podtwie geerowe jet owe rozwiązie. Jeżeli owe rozwiązie było lepze. czyli eergi cząti był miejz, utomtyczie trtowo jo owy put optymly. W przypdu, gdy rozwiązie było gorze owy put był przyjmowy z pewym owym prwdopodobieńtwem. Powyżzy lgorytm oreśly jet w literturze jo lgorytm Metropoli i jet o bzą dl metody ymulowego wyżrzi g. Simulted Aelig. Podtwową różicą pomiędzy tymi lgorytmmi jet możliwość modyfiowi tempertury zleżości 3. Prmetr t zywy jet dl temperturą, choć logi pomiędzy im, procemi fizyczymi zczie ię zmiejz. Zmit tłej Boltzm wprowdzoo tomit grupę wpółczyiów wgowych. W rmch żdej itercji geerowy jet zepół putów ąidujących z tulym rozwiąziem problemu. Z tego zbioru

5 Wyorzytie metody ymulowego wyżrzi do optymlizcji... 7 wybiere jet owe tule, ie oieczie optymle, rozwiązie. Brdzo wżą różicą względem podtwowego lgorytmu Metropoli jet możliwość utwiei w pewym przedzile, związym z tulą temperturą i prwdopodobieńtwem, jo owego putu tulego rozwiązi gorzego iż poprzedie. Dzięi temu lgorytm po odpowiedim dotrojeiu co trzeb zrobić potrfi wyjść poz obzr miimum lolego. Zwięz to prwdopodobieńtwo zleziei miimum globlego. Utleie więzej tempertury pozwl iliej oduwć owe rozwiązie od poprzediego, czyli poid więze prwdopodobieńtwo zleziei putu w obzrze miimum globlego. Po żde itercji tempertur jet zmiejz zgodie z wybrą trtegią chłdzi ułdu. Opi tich trtegii moż zleźć między iymi w prcy [3]. Jej wybór powiie być dotoowy do rozwiązywego zgdiei. Proce trojei lgorytmu poleg doborze tempertury początowej ułdu orz trtegii chłdzi. 4. BADAIA SYMULACYJE W iiejzej prcy przeprowdzoo bdi ymulcyje. Ich celem jet oreśleie optymlych tw regultor PI λ D μ, - zleżość 2 - dl obietu tetowego o złożoej trmitcji i ztoowiem przężei zwrotego. Schemt bloowy bdego ułdu przedtwioo ryuu. U ref + - E G R U reg G O Y Ry.. Schemt bloowy ułdu zmiętego z regultorem z pomiięciem złóceń: Uref ygł zdy, E uchyb regulcji, U reg ygł regulujący, G R trmitcj regultor, Y ygł wyjściowy Jo trmitcję obietu terowi przyjęto obiet ocylcyjy drugiego rzędu o trmitcji [6]: K G O T 2T gdzie: K wpółczyi wzmociei, T ore ocylcji włych, ξ względy wpółczyi tłumiei. Dl celów bdń przyjęto tępujące wrtości prmetrów obietu: T =. [], ξ =.2 orz K =. Ryue 2 przedtwi odpowiedź oową obietu w pętli otwrtej bez regultor. Dl żdego z obietów wybro prmetry podtwie miimlizcji zdego ryterium jościowego z wyorzytiem metody ymulowego wyżrzi.

6 8 Stiłw Miuli Ry. 2. Odpowiedź oow ht obietu G O w ułdzie otwrtym bez regultor W bdich z fucję celu wyorzyto ryterium cłi z wdrtu uchybu regulcji ISE z g. Itegrl Squre Error o potci 5: ISE m 2 e t dt 5 gdzie: et uchyb regulcji. T przyjęte ryterium jości pozwl otrzymć w wyiu optymlizcji miimlizcji ułd o miimlych ocylcjch odpowiedzi oowej. Do obliczeń ymulcyjych wyorzyto oprogrmowie Mtlb & Simuli wrz z modułem obliczeiowym Cotrol Sytem Toolbo orz biblioteą FOMCO z zimplemetowym zbiorem fucji pozwljących obliczei i ymulcje obietów ułmowych rzędów [,]. W obliczeich ztoowo proymcję pochodej ułmowej przy pomocy metody Outloup 7 rzędu. W rmch obliczeń tetowych ymulowo odpowiedzi oowe ułdu z oreem próbowi T S = [μ], w przedzile czu t w zreie od do milieud. Podcz optymlizcji obietu ztoowo trzy róże trtegie chłdzi ułdu: T T Ti T i 6. T T T T Ti T 6.c ep.3i / 2 gdzie: T i tempertur ułdu dl i-tej itercji, T tempertur początow ułdu, T tempertur ońcow, ilość itercji. wyrech z ryuu 3 przedtwioo temperturę ułdu orz prwdopodobieńtwo przyjęci gorzego rozwiązi z tuly put w fucji umeru itercji dl: trtegii I zleżość 6., trtegii II zleżość 6.b orz trtegii III - zleżość 6.c. i / i T 6.b T

7 Wyorzytie metody ymulowego wyżrzi do optymlizcji... 9 Ry. 3. Wyrey przyjętych w bdich chemtów chłodzei ułdu lii ciągł orz prwdopodobieńtw przyjęci z owy put optymlizcji putu gorzego iż tuly lii przeryw: trtegi I, b trtegi II, c trtegi III Dooując teoretyczego porówi chrteryty, moż zuwżyć, że pierwz trtegi jet trtegią jgorzą ze względu brdzo wyoie prwdopodobieńtwo przeou lgorytmu do gorzego rozwiązi. Chrteryty drug i trzeci różią ię iteywością zmiy tempertury, co z tymi idzie pdu prwdopodobieńtw przejści do gorzego rozwiązi. Wdą obu tych chrterytyi w porówiu z pierwz jet touowo duże prwdopodobieńtwo ceptcji gorzego rozwiązi w ońcowej fzie lgorytmu, zwłzcz przy młych różicch w wyiu fucji celu. Wzytie trzy chrterytyi zotły ztoowe w lgorytmie optymlizcji. Dl celów porówwczych optymlizcję przeprowdzoo z dwóch różych putów trtowych X i X 2. zmiezczoych poiżej ryuch przedtwioo wrtość fucji celu dl putu w tórym tulie zjduje ię lgorytm orz tulie zego jlepzego rozwiązi optymlizcji po żdej itercji. b Ry. 4. Przebieg pozuiwń optymlych prmetrów regultor PI λ D μ z ztoowiem trtegii I chłodzei ułdu: z putu X, b z putu X 2

8 Stiłw Miuli b Ry. 5. Przebieg pozuiwń optymlych prmetrów regultor PI λ D μ z ztoowiem trtegii II chłodzei ułdu: z putu X, b z putu X 2 b Ry. 6. Przebieg pozuiwń optymlych prmetrów regultor PI λ D μ z ztoowiem trtegii III chłodzei ułdu: z putu X, b z putu X 2 Ryue 7 przedtwi odpowiedzi oowe dl ułdu z regultorem PI λ D μ o prmetrch tulego rozwiązi w ilu pierwzych itercjch. Przyłd dotyczy optymlizcji ziicjowej w pucie X przy ztoowiu trtegii I chłdzi ułdu. Po pierwzej itercji tule rozwiązie jet zczie gorze iż tępe rozwiązi. przedtwioym wyreie widć, że odpowiedź oow w tym przypdu chrteryzuje ię zczie więzym opóźieiem iż odpowiedź oow dl prmetrów regultor utloych po olejych itercj. Ry. 7. Odpowiedzi oowe dl prmetrów regultor oreśloych w pierwzych itercjch optymlizcji

9 Wyorzytie metody ymulowego wyżrzi do optymlizcji... Porówując odpowiedź oową dl tulego rozwiązi po 7 i 9 itercji widć, że tąpiło pogorzeie jości regulcji. Wyi to z chrterytyczego dl ztoowego lgorytmu przyjęci z tule rozwiązi gorzego iż poprzedie. W tbeli 3. zetwioo wyii optymlizcji ilu przeprowdzoych prób wg. trtegii I, II i III orz putów trtowych X i X 2. Wyelecjoowe zotły jlepze rozwiązi z pośród 5 uruchomień lgorytmu. Tbel 3. Zetwieie wyiów optymlizcji dl pozczególych prób optymlizcji Lp Put trtowy Strtegi K P K I K D µ ISE X I,8 264,5 999,9,77,99,864E-8 2 X 2 I,2 324,4 999,9,47,99,866E-8 3 X II 95,9 962,4 999,9,99,99,867E-8 4 X 2 II ,5 999,8,,99,865E-8 5 X III, 633,4 999,9,29,99,865E-8 6 X 2 III 29,8 433,5 998,5,3,99,877E-8 5. WIOSKI I PODSUMOWAIE W rtyule pozo ztoowie metody ymulowego wyżrzi do celów optymlizcji prmetrów regultor PI λ D μ dl obietu terowi o zdej trmitcji. Wyii bdń pozują, że połączeie środowi ymulcyjego tiego j Mtlb orz owoczeych metod optymlizcji pozwl zprojetowie regultorów o j jlepzych włściwościch dymiczych. Metod ymulowego wyżrzi ozł ię brdzo uteczym rzędziem w pozuiwiu optymlych tw regultor PI λ D μ. Alizując przebiegi pozuiwń optymlych prmetrów regultor ułmowego dl pozczególych prób moż wyciągąć tępujące wioi: Strtegi liiowy pde tempertury pomimo iż w początowej fzie zczie częściej iż pozotłe trtegie wybierł jo owy put pozuiwń gorzy put ozł ię lgorytmem jutecziejzym. Strtegi t zgodie z przewidywimi ogricz w ońcowej fzie prwdopodobieńtwo obri z owy put gorzego rozwiązi. Przy żdej ze trtegii rozwiązi optymle przy różych putch trtowych ozły ię dość zcząco oddloe od iebie. Zwłzcz w przypdu trtegii II i III. Różice pomiędzy wrtościmi wybrego ryterium jości dl pozczególych optymlizcji ie różiły ię od iebie w zczący poób. Świdczy to o dużej ilości etremów lolych w fucji celu o zbliżoych do iebie wrtościch.

10 2 Stiłw Miuli Pomimo tego w opiii utor rtyułu metod ymulowego wyżrzi prwdził ię dl lizowego zgdiei. Zmi tempertury początowej ułdu dł by jezcze więze możliwości wytrojei ułdu. W przypdu brdzo retrycyjych przypdów, gdy iezbęde jet zlezieie idelego rozwiązi zlece ą ie metody pozuiwi optimum globlego. Atulie rozwije ą corz lepze metody proymcji ułdów ułmowych. Wzrot mocy obliczeiowej proceorów i mirootrolerów pozwl zuć corz owzych poobów implemetcji ułdów ułmowego rzędu, dzięi temu, w opiii utor rchue ułmowego rzędu będzie mił corz więze ztoowie w owoczeych ułdch terowi. LITERATURA [] Cery V., Thermodymicl pproch to the trvelig lem problem: A efficiet imultio lgorithm, Jourl of Optimiztio Theory d Applictio Vol. 45, Jury 985, pp [2] Kiptric S., Geltt Jr C. D., Vecchi M. P., Optimiztio by imulted elig, Sciece Vol. 22 o. 4598, My 983, pp [3] Trojowi K., Metheurytyi prtyczie, Wydwictwo WIT, Wrzw 25. [4] Tepljov A., Petleov E., Beliov J., Fijev J., Frctiol-order cotroller deig d digitl implemettio uig FOMCO toolbo for MATLAB, Proc. of the 23 IEEE Multi-Coferece o Sytem d Cotrol coferece, 23, pp [5] Metropoli., Roebluth A. W., Roebluth M.., Teller A., Teller E., Wutio of tte clcultio by ft computig mchie, Jourl of Chmicl Phyic Vol. 2, 953, pp [6] Kczore T., Wybre zgdiei teorii ułdów iecłowitego rzędu, Oficy Wydwicz Politechii Biłotociej, Biłyto 29. [7] Outloup, A., Moreu, X., ouillt, M., The CROE upeio, Cotrol Egieerig Prctice, Vol. 4 o.8, 993, pp. 8. [8] Podluby I., Frctiol Differetil Equtio, Acdemic Pre, S Diego, 999. [9] Vigre B. M., Podluby I., Herdez A., Feliu V., Some pproimtio of frctiol order opertor ued i cotrol theory d pplictio. [] Chi Ch., Go F., Simultig frctiol derivtive uig Mtlb, Jourl of Softwre Vol. 8 o. 3, Mrch 23, pp OPTIMIZATIO OF FRACTIOAL PID COTROLLER PARAMETERS WITH USE OF SIMULATED AEALIG METHOD The pper preet the geerl chrcteritic of clicl d cotemporry method of ue i the cotrol of frctiol cotroller. The priciple of cotructio of lgorithm of frctiol cotroller d decribe the poibility of pplyig them to cotrol the elected object with dely. The pper preet elected reult of the imultio of uch ytem, the cotroller prmeter for differet frctiol.