Transformacje stabilizujące wariancję

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Transformacje stabilizujące wariancję"

Maksymilian Jacek Przybylski
7 lat temu
Przeglądów:

1 ttysty Wyłd Adm Ćmel A4 0 cmel@gh.edu.pl Trsformce stblzuące rcę Przypuśćmy, że mmy ezleżych zmeych losoych,..., z rozłdó N(, σ ),...,, przy czym złdmy, że σ f(m ) f est zą fucą. W prtyce możemy zć tę fucę, gdyż ząc sposób pomru, możemy p. sterdzć, że błąd pomru yrżoy odchyleem stdrdoym est proporcoly do pozomu merzoe elośc. W ych przypdch możemy podste yresu emprycze zleżośc odchyle stdrdoego od rtośc średe rozpozć chrter te zleżośc. Ozczmy przez m σ rtość oczeą odchylee stdrdoe zmee losoe. Nech σ f(m ), gdze f est zą euemą fucą. m Problem. Chcemy zleźć tą trsformcę t, by cąg ezleżych zmeych losoych Y t( ),...,Y t( ) był cągem o stłe (choćby przyblżeu) rc V(Y )cost,,...,. tosuąc rozęce Tylor oół rtośc oczee możemy psć Y t( ) t(m )+ t (m )( - m ), sąd otrzymuemy V[Y ] [t (m )] V[ ] [t (m )] f (m ). Wrue V[Y ] cost prodz do ró różczoego t (x) f (x)c, sąd uzysuemy uż poszuą trsformcę postc t( x) c c, dx + f ( x) gdze stłe c c moż ybrć t, by trsformc mł ygodeszą postć. Zużmy, że eśl f(x)x, to (z dołdoścą do stłych) poszuą trsformcą est trsformc logrytmcz t(x)l x. Jeśl f(x)x α, α, to poszuą trsformcą (z dołdoścą do stłych) est trsformc α α x t ( x) x. Wyorzystuąc zy ft lm l, możemy oreślć szeroą lsę trsformc potęgoych zych o trsformce Box Cox stępuący sposób x 0 x t x, ( x) l x, 0 0, dl x>0. Wrue x>0 e est zbyto rępuący, gdyż zsze moż stępe przesuąć zres obseroych elośc obszr rtośc dodtch, co odpod zstąpeu rgumetu x trsformc t (x) przesuętą rtoścą x+c tego rgumetu. Trsformc t (x) odpod zleżośc f(x)x - pomędzy odchylem stdrdoym rtoścm oczeym cągu zmeych losoych. Jeżel rzeczyst zleżość est postc f(x)x - dl peego, to prmetr te yzcz oretą trsformcę z rodzy trsformc Box-Cox.

2 ttysty Wyłd Adm Ćmel A4 0 cmel@gh.edu.pl Normlzcy trsformc Box-Cox Trsformc Box-Cox moż róeż użyć o trsformc ormlzuące, tz. trsformc przesztłcące cągły rozłd de zmee losoe rozłd ormly, gdyż eśl zme loso m rozłd z bsolute cągłą ścśle rosącą dystrybutą F, to zme loso F () N ( m, σ ) m rozłd edosty przedzle (0,), ęc zme loso F [ F ( )], gdze F N ( m, σ ) ozcz dystrybutę rozłdu ormlego N(m,σ ), m rozłd ormly. Zbdmy ą rodzę rozłdó półproste x>0 moż trsformoć do ormlośc z pomocą trsformc Box- Cox. Ozczmy przez F f odpoedo dystrybutę fucę gęstośc zmee losoe. Przypuśćmy, że stee t rtość prmetru, że zme loso Y t () m rozłd N(m,σ ). Z mootoczośc trsformc t y, że F (x)p( x)p(t () t (x))p(y t (x)) F N(m,σ) ( t (x)). Wyorzystuąc postć dystrybuty rozłdu N(m,σ ) poprzez różczoe poyższe tożsmośc uzysuemy 3-prmetroą rodzę fuc gęstośc trsformolych do -prmetroe rodzy rozłdó ormlych z pomocą trsformc t ( t ( ) ) x m σ f ( x) x e πσ, x>0. Jeśl zme loso m rozłd o fuc gęstośc e leżące do poyższe lsy fuc gęstośc, to możemy próboć prosymoć ezą fucę gęstośc fucą z poyższe lsy. Iym słoy trsformc t może być użyt o przyblżo trsformc do ormlośc. Nezy prmetr moż yzczyć metodą ęsze rygodośc, złdąc (choćby przyblżeu), że zmee losoe Y t ( ),...,Y t ( ) są ezleże mą te sm rozłd N(m,σ ) o ezych prmetrch m σ. Fuc rygodośc m postć ( t ( ) m) m ) σ (, σ, ) ( ) ( e, L π σ e logrytm m postć l ( m, σ, ) l L( m, σ, ) l π lσ + ( ) l ( t ( ) m) σ Wrue oeczy ste estremum l l l 0, 0, 0 m σ prodz do ułdu róń.

3 ttysty Wyłd Adm Ćmel A4 0 cmel@gh.edu.pl m( ) t ( ) σ ( ) ( t ( ) m( )) t ( ) σ ( ) l ( t ( ) m( )) Zmst rozązyć poyższy ułd róń moż, yorzystuąc możlość deompozyc zd msymlzc fuc rygodośc, yorzystuąc d persze ró zleźć roząze problemu postc : ˆ rg mx l( m( ), σ ( ), ) rg mx (( ) l lσ ( )) Ug. Jeżel stępe przesluemy zmee dzeląc żdą z ch przez średą geometryczą, to optymle yzczmy z eco prostszego ruu ˆ rg m σ ( ). Krót przegląd osertyych testó post hoc. Wszyste rozże testy osertye prodzą do stępuące reguły Średe m m są stote róże eżel > rtość progo (łśc dl dego testu) Rozże testy otroluą prdopodobeńst różych błędó Test Fsher NIR (mesz stot różc) (cze LD lest sgfct dffrece). Algorytm. Przeprodzć ANOVA celu przetesto H 0 : m m przeco ltertye H : co me de średe różą sę mędzy sobą. Jeżel e m podst do odrzuce H 0 ończymy lzę. 3. Jeżel H 0 zostł odrzuco, to defuemy meszą stotą różcę NIR (LD) pomędzy średm próboym, tórą leży zobseroć, by uzć odpodące m średe odpoedch populcch z stote roże. 4. Dl yspecyfoe rtośc α celu poró m z m oblczmy NIR g zoru NIR t + α, ( stopch sobody ), gdze t est tylem rzędu α, α rozłdu t-tudet o est sumą drtó eątrz grup (z ANOVA) 5. Poróuemy szyste pry średch próboych. Jeżel NIR, to uzemy, że m m są stote róże. 6. Dl szystch poróń pr prdopodobeństo błędu I rodzu est ustloe pozome α 3

4 ttysty Wyłd Adm Ćmel A4 0 cmel@gh.edu.pl Komputeroe symulce yzły, że eśl stosuemy test Fsher połączeu z ANOVA (t opso poyże), to pozom stotośc złożoego testu poróń elorotych est przyblżeu róy pozomo stotośc testu F (procedur Fsher s protected LD). Jeżel stosuemy test NIR smodzele (bez ANOVA), to otroluemy edye błąd przy poedyczych poróch (per comprso). Odpod to elorotemu stosou testu stotośc różcy dóch średch oprtego sttystyce t-tudet, przy czym estymtor rc opermy cłe próbe (z poodu edorodośc rc grupch) e tylo obsercch z tule poróyych grup. Test W Tuey oprty est studetyzoym rozstępe mx m pomędzy średm próboym. Algorytm (dl edoo lczych grup). Uporządoć średe próboe,,...,. m m są stote róże eżel W, gdze W qα (, df ), df est lczbą stop sobody, lość obserc żde grupe, q α (, df ) prostro rtość rytycz studetyzoego rozstępu (tblce). 3. Prdopodobeństo zobsero fłszye stote różcy dl poróń prm est róe α. W Jeżel grupy e są róolcze, to zmst W leży użyć W q (, df ) ( + ) α Test Tuey' otrolue błąd I rodzu dl szystch poróń prm, tz. prdopodobeństo (przy H 0 : m m ) zobsero tego ułdu średch próboych,,...,, dl tórego przyme ed różc pomędzy średm m est fłszye uz z stotą est róe α. Jeżel est grup, to test Tuey, otrolue łączy błąd I rodzu dl ( ) poróń edocześe (per expermet) Test Nem-Keuls est modyfcą testu Tuey yorzystuącą formcę o lośc mesc pomędzy bdym średm uporządoym cągu średch. Algorytm (dl edoo lczych grup). Uporządoć średe próboe,,...,. Dl dóch średch stote róże eżel odległych o r mesc odpodące m średe m m są W Wr, gdze Wr qα ( r, df ) W, df est lczbą stop sobody, lość obserc żde grupe, q α ( r, df ) prostro rtość rytycz studetyzoego rozstępu (tblce). Ug. Przymuemy, że sąsede średe odległe są o sre o czyl r rg( ) - rg( ) + W Jeżel grupy e są róolcze, to zmst W r leży użyć W q α ( r, df ) ( + ). Test elorotych rozstępó Duc est podoby do dóch poprzedch, gdyż est oprty studetyzoym rozstępe, lecz róż sę od poprzedch tym, że zmey est pozom stotośc przy poszczególych poróch. Gdy średe próboe zostą uporządoe są odległe o r r 4

5 ttysty Wyłd Adm Ćmel A4 0 cmel@gh.edu.pl mesc, to stotość różcy odpodących m średch populcch est testo pozome -(-α) r- Algorytm (dl edoo lczych grup). Uporządoć średe próboe,,...,. Średe m m są stote róże eżel odpodące m średe próboe odległe o r mesc spełą rue ' Wr ' W, gdze Wr q' α ( r, df ), df est lczbą stop sobody, lość obserc żde grupe, ( r, df ) prostro rtość rytycz testu Duc (tblce). Jeżel grupy są przyblżeu róolcze, to zmst leży użyć ~. Test cheffe go. Rozżmy dooly otrst I m H 0 :, ' q α I m 0 obec ltertyy H : I Chcemy zeryfoć hpotezę. Rozżmy dooly otrst próboy Iˆ dl tórego eobcążoym estymtorem rc est Vˆ( Iˆ) 3. Kotrst I uzmy z stoty (stote róży od 0), gdy gdze, ( ) Iˆ ( ),, α > F,, α, F est tylem rzędu -α rozłdu cetrlego edecor Fsher F. 4. Prdopodobeństo zobsero fłszye stotego otrstu est róe α. Test cheffe'go otrolue łączy błąd ęsze lczby poróń ż test Tuey', ęc est brdze osertyy (trude odrzucć H 0 ). W teśce cheffego pozome α prdopodobeństo zobsero fłszye stotego otrstu e przercz α. Poró testó. W poższe tbel zestoo rtośc progoe po przeroczeu tórych różce uzemy z stote. Rozżoo poróe 6 grup, przy czym prób dl żde grupy lczy 5 elemetó 45. Test Lczb mesc pomędzy średm r Fsher NIR Tuey Nem-Keuls Duc cheffe

6 ttysty Wyłd Adm Ćmel A4 0 cmel@gh.edu.pl Wdć, że brdze osertyy est test cheffe go me osertyy (czyl brdze czuły) test NIR. Z ug otrolę błędu gody polece est test Tuey. ymulce preferuą rcze test Nem-Keulus. Z ug czułość duże uze śród prtyó zbudzł test Duc. N ugą zsługue eszcze test Duett elorotych poróń z yróżoą grupą otrolą 6

Podobne dokumenty

Nadokreślony Układ Równań

Nadokreślony Układ Równań Mchł Pzos Istytut echolog Iforcyych Iżyer Ląoe Wyzł Iżyer Ląoe Poltech Kros Noreśloy Uł Róń Z oreśloy ułe loych róń lgebrczych y o czye sytuc, gy lczb loo ezleżych róń est ęsz ż yr przestrze (lczb zeych).