Stany związane. Andrzej Baran 18 stycznia 2017 UMCS

Transkrypt

1 Stany związane Andrzej Baran 18 stycznia 2017 UMCS

2 Macierzowy algorytm Numerowa

3 Algorytm macierzowy Numerowa I Algorytm Numerowa dla równania ψ (x) = f(x)ψ(x), (1) (dla równania Schroedingera f(x) = 2m(E V (x))/ 2 ) na sieci punktów x i odległych o d jest ψ i+1 = ψi 1(12 d2 f i 1) 2ψ i(5d 2 f i + 12) d 2 f i+1 12 gdzie np. ψ i = ψ(x i). Można to przedstawić w postaci 2 (ψ i 1 2ψ i + ψ i+1) + 2m d 2 (ψi ψi + ψi+1) = E 12 + O(d 6 ) (2) Vi 1ψi Viψi + Vi+1ψi (3) 2

4 Algorytm macierzowy Numerowa II Reprezentując ψ w postaci wektora (..., ψ i 1, ψ i, ψ i+1,... ) i definiując macierze A = (I 1 2I 0 + I 1)/d 2, B = (I I 0 + I 1)/12, V = diag(... V i 1, V i, V i+1,... ), gdzie I p oznacza macierz jedynek na diagonali p i zer w pozostałej części, równanie to zapiszemy w postaci Mnożąc przez B 1 mamy 2 Aψ + BV ψ = EBψ. (4) 2m 2 2m B 1 Aψ + V ψ = Eψ. (5) 3

5 Algorytm macierzowy Numerowa III Warunki brzegowe określimy, biorąc podmacierze N N macierzy A, B. Odpowiada to warunkom ψ 0 = ψ N+1 = 0, co efektywnie oznacza umieszczenie potencjału w pudle o nieskończonych ścianach. Alternatywą jest przyjęcie warunków okresowych z A 1,N = A N,1 = 1/d 2 i B 1,N = B N,1 = 1/12. 4

6 Definicja sieci Chcemy znaleźć stany dla E < E max. Minimalna długość fali de Broglie a λ jest w tym wypadku równa λ = h/ 2mE max. Praktyka pokazuje, że wystarczającą dokładność otrzymuje się jeśli krok d sieci ma wartość równą jednego punktu na radian, tzn. d = λ/2π. Znajomość punktów zwrotnych x t takich, że V (x t) = E max oraz przyjęcie założenia, że w obszarach wzbronionych (E < V ) dodajemy dodatkowo 2λ, daje dla liczby punktów sieci wartość N = 2(x t/d + 4π) zaokrągloną do liczby całkowitej. 5

7 Przykład. V = x. I Potencjał V = b x jest rozwiązywalny dokładnie co jest ważne dla sprawdzenia. R. Sch. jest Przy oznaczeniach d 2 ψ + bxψ = Eψ. (6) 2m dx2 ( ) 2 1/3 x = as, a =, W = 2 mb ma, ɛ = E, ξ = (s ɛ) (7) 2 W otrzymamy równanie Airy ego, którego rozwiązaniem są funkcje Airy ego: Ai( 3 2ξ) i Bi( 3 2ξ). Funkcja Bi dla ξ i nie jest wobec tego rozwiązaniem fizycznym, a więc gdzie C n jest stałą normalizacyjną. ψ n(ξ) = C nai( 3 2ξ n), (8) 6

8 Przykład. V = x. II Rozwiązanie jest słuszne dla s > 0. Z własności symetrii potencjału wynika, że rozwiązania dla s < 0 otrzymamy z otrzymanych rozwiązań. Ponieważ to żądamy by ψ even (s) = ψ even ( s), ψ odd (s) = ψ odd ( s) (9) ψ odd (0) = Ai( 3 2ɛ k ) = 0, dψ even k ds = Ai ( 3 2ɛ k ) = 0, (10) dla numerycznych rozwiązań nieunormowanych. Stałą normalizacyjną C n oblicza się wg, wzoru C n = 2 1/3 [ 3 2ɛ n Ai(ξ n) 2 dξ n ] 1/2. (11) 7

9 Przykład. V = x. III Równania (10) określają wartości własne dla rozwiązań odd i even. Dochodzimy do wniosku, że energie własne E n są dane przez ( ) 2 b 2 1/2 E n = ɛ nw = ɛ n. (12) m 8

10 Przykład. V = x. IV Solution for v(x)= x, n=50 Theory Numerov ψ x Rysunek 1: Przykład rozwiązań dokładnych w przypadku V x dla n = 50. Punkty odpowiadaja rozwiązaniu z wykorzystaniem macierzowego algorytmu Numerowa. 9

11 Przykład. V = x. V Errors in solution, n=50 Numerov-Theory x Rysunek 2: Błąd rozwiązań Numerowa w przypadku V x dla n = 50. Pokazano różnicę ψ Numerow ψ analityczne. 10

12 Energie własne w potencjale x Tablica 1: Comparison of exact and numerical results for the quantized energies (in scaled units, see text) of the x potential. The numerical results are calculated on an N = 278 point grid with a spacing of in scaled distance units. n= Exact Numerov pt W trzecim wierszu Tablicy zamieszczono wyniki obliczeń w przypadku zastąpienia drugiej pochodnej formułą 3-punktową, co jest równoważne przyjęciu, że macierz B = I. Wyniki dla dużych n są nieco gorsze od dokładnych wyników metody Numerova. 11

13 Zadania I Napisać procedurę obliczania sferycznych funkcji Bessela j l (x) i n l (x). Wykorzystać związek rekurencyjny s l+1 (x) + s l 1 (x) = 2L + 1 s l (x), (13) x gdzie s l oznacza albo j l, albo n l. Wykorzystać wyrażenia dla j l, n l, l = 0, 1: j 0(x) = sin x x, n0(x) = cos x x (14) j 1(x) = sin x cos x x 2 x, n l(x) = cos x sin x x 2 x. (15) Relacje rekurencyjne mają dwa niezależne rozwiązania, z których jedno może silnie rosnąć z l. Dlatego też, ze względu na błędy numeryczne, rozwiązanie, które nas interesuje, może być niestabilne (błędy zaokrągleń). Zdarza się to w przypadku j l dla l znacznie większych niż x. Dla obliczenia j l należy więc stosować metodę zstępującą. Kładziemy s l max +1 = 0, a s l max = δ, gdzie δ jest małą liczbą. Rekurencję prowadzimy w dół, aż do interesującej nas wartości l. Zauważmy, że normalizacja rozwiązania jest 12

14 Zadania II wyznaczona przez δ, a więc jest w tym sensie dowolna. Aby uzyskać właściwą wartość j l należy rekurencję prowadzić do l = 0 i następnie, korzystając z faktu, że (j 0(x) xj 1(x)) cos x + xj 0(x) sin x = 1 wyznaczyć stałą normalizacyjną. Górna wartość Lmax, od której zaczynamy rekurencję powinna być w miarę duża. Przyjąć, że {[ ]} 3[x] Lmax = max + 20, l + 20, 2 gdzie [x] oznacza największą liczbę całkowitą mniejszą od x, a l odpowiada wartości l obliczanej funkcji Bessela. Napisać funkcję obliczającą j l (x). Sprawdzić wynik, przyjmując, że j 5(1.5) = , n 5(1.5) =

15 Literatura J.L. Quiroz Gonzáles, D. Thompson: Getting started with Numerov Method, Computers in Physics, 11, Sep/Oct Stephen B. Haley, An Underrated entanglement: Riccati and Schrödinger equations, Am. J. Phys., 65, March 1997, pp Mohandas Pillai, Joshua Goglio, and Thad G. Walkera. Matrix Numerov method for solving Schrödinger s equation. Am. J. Phys., 80 (11), November 2012, p Computation of special functions. Shanjie Zhang and Jianming Jin. John Wiley Sons, Inc

16 Thank you! 14

17 Norma ψ Całkę z równania (11) dla normy można zapisać w postaci I m = Ai(s ɛ m) 2 ds 3 2ɛ m m zm 1 = Ai 2 (s)ds + z m k=1 0 z 1 Ai 2 (s)ds + 0 Ai 2 (s)ds, (16) gdzie z k jest kolejnym zerem Ai(s), Ai (s) (Patrz Rysunek (3). Ostatnią całkę można obliczyć analitycznie. Jest ona równa 0 Ai 2 (s)ds = 1 = (17) 3 2/3 Γ 2 (1/3) Pozostałe całki oblicza się numerycznie metodą Gaussa lub Gaussa-Kronroda między kolejnymi zerami Ai, Ai i miedzy z 1 i 0.

18 Norma ψ Rysunek 3: Funkcja Ai(s) i jej pochodna Ai (s). Zera funkcji Airy ego znajdujemy numerycznie, korzystając, np. z procedur numerycznych z pracy Shanjie Zhang i Jianming Jin [4].